【文档说明】江西省南昌市新建县第一中学2021届高三第一次月考数学（理）试卷含答案.doc，共(8)页，767.500 KB，由小赞的店铺上传

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数学（理科）试卷一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集为R，集合}032|{2−−=xxxA，集合}41|{−=xNxB，则=BACR（D）A.}2,1{B.}2,1,0{

C.}3,2,1{D.}3,2,1,0{2.函数xexxf−−=ln)(的零点所在区间为（B）A.)1,0(B.)2,1(C.)3,2(D.)4,3(3.下列各组为同一函数的是（C）A.2)(xxf=与xxg=)(B.|1|)(+=xxf与−−−−+=111,1)(xx

xxxgC.xxxxf+−−=|2|1)(2与21)(2ttg−=D.xxf=)(与xexgln)(=4.已知命题:p“关于x方程0122=−+xxa有两个不相等的实数根”，命题:q“存在实数0x，使得当0xx时，112+

xex恒成立”，则下列命题为真命题的是（B）A.qpB.qp)(C.)(qpD.)()(qp5.函数321+=xy的值域为（A）A.)31,0(B.]31,0(C.)31,(−D.),31[+6.已知甲为：0)(2

−abm，乙为：ab，则甲是乙的什么条件（B）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数)(xf的定义域为]3,1[−，则函数1)12()(−+−=xxfxg的定义域为（C）A.]5,3[−B.]2

,0[C.]2,1[D.]5,1[8.函数4sin)(2−−=−xxeexfxx在区间),(−上的图像最可能是（A）ABCD9.已知311213,,2===cebae（其中e为自然对数的底数），则cba,,的大小关系正确的是（C）A

.cbaB.abcC.bcaD.acb10.已知函数1)(2++=xaxxf在)2,2(−上恰有一个零点，则a的取值范围是（A）A.)41,43[−B.)41,43(−C.]41,43[−D.)41,0()0,43[−11.

定义域为R的已知奇函数)(xf满足)1()1(xfxf−=+对任意x恒成立，且当10x时，1)(2+−=xxf，则函数|)2sin(|)()(xxfxg−=在]5,1[−上的零点个数为（D）A.3B.4C.5D.612.已知定义域为),0()0,(+−的

奇函数)(xf满足xxxfxf+)()(在),0(+上恒成立，且21)2(=f，则不等式01)(−xxf的解集为（A）A.)2,0()2,(−−B.),2()2,(+−−C.)2,0()0,2(−D.),2()0

,2(+−二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13.函数2ln)(+=xxf在))1(,1(f处的切线方程为1+=xy14.函数)34lg()(2+−=xxxf的单调递减区间为)1,(−15.函数++=1,2ln1,2)(xaxxaxfx是单调函数，

则a的取值范围是),2[+16.函数xaxaxexfx)1(ln)(1−+−=−有两个极值点，则实数a的取值范围是),1()1,0(+三、解答题17.已知命题:p“存在实数x使得不等式0122

−+xax成立”，命题:q“集合:A}121|{−+axax是集合:B}51|{xx的子集”。（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题qp为假命题，同时qp为真命题，求a的取值范围。解答：

（1）p为真命题等价于0a或+0440aa，解得1−a。分6......（一种情况得2分）（2）当=A时，2a，BA；当A时，由BA得−+512112aaa，解得3a。故3a时q为

真命题。分7......依题意可知p，q一真一假。分9......当p真q假时，−31aa，解得3a当p假q真时，−31aa，解得1−a分11......综上a的取值范围是),3(]1,(+−−分12......18.已知函数)(xg的定义域为R，

对任意x都有)1(21)(−=xgxg，当)2,1[x时，23)(2+−=xxxg.（1）求)(xg在)3,0[上的函数解析式；（2）当)3,0(x时，求)(xg的取值范围。解答：（1）当)3,2[x时，)2,1[1−x，32521]2)1(3)1[(21)1(21)(22

+−=+−−−=−=xxxxxgxg；…2分当)1,0[x时，)2,1[1+x，由)1(21)(−=xgxg得)1(2)(+=xgxg，…3分故xxxxxg22]2)1(3)1[(2)(22−=++−+=…5分所以+−+−−=32

,3252121,2310,22)(222xxxxxxxxxxg…6分（2）由（1）知当)1,0(x时，21)21(222)(22−−=−=xxxxg，0)(21xg；…8分当)2,1[x时，23)(2+−=xxxg，0)

(41−xg；当)3,2[x时，32521)(2+−=xxxg，0)(81−xg；…10分故当)3,0(x时，求)(xg的取值范围是]0,21[−…12分19.已知函数xeaxxxf1)(2−+=在2=x处取得极值。（1）求a的值，并求)(xf的单调区间；（2）求)

(xf在]3,2[−上的最值。解答：（1）xeaxaxxf)1()2()(2+−−+−=，由0)1()2(24)2(2=+−−+−=eaaf得1=a；…2分此时xexxxf1)(2−+=，xxexxexxxf)1)(2(2)(2+−−=−−−=，当1−

x时，0)(xf；当21−x时，0)(xf；当2x时，0)(xf；…4分2=x为极大值点符合题意。…5分综上1=a；)(xf的单调递增区间为)2,1(−，单调递减区间为),2(),1,(+−−。…6分（

2）由（1）知)(xf在)1,2[−−上单调递减，在)2,1(−上单调递增，在]3,2(上单调递减，…8分2)2(ef=−，ef−=−)1(，25)2(ef=，311)3(ef=，且)2()2(ff−，)1()3(−ff…10分所以)(xf的最大值

为2)2(ef=−，最小值为ef−=−)1(。…12分20.已知某木桌的桌脚为如图（1）所示的长方体22221111DCBADCBA−，由于受到撞击在与底面平行的平面ABCD附近不慎被折断，FE,分别在线段22,CCAA上。木工师傅在修复时为尽可能保持桌脚的原样，将断裂处整

理成如图（2）所示的几何体EFABCD−。经测量知ABCD是边长为2的正方形，22==FCAE。（1）求证BDFBDE平面平面⊥；（2）求直线BE与平面DEF所成角。图（1）图（2）（1）证明：连接AC交BD于点O，连接FOEOEF,,，去AE中点M，连接FM。由长方体可

知ABCDFCABCDAE面面⊥⊥,，由正方形ABCD可知O为BD中点。由平面几何及长度可知CBFCDFABEADE,，故6==DEBE，3==DFBF。所以BDFOBDEO⊥⊥,，故EOF为二面角FBDE−−的平面角

，322=+=FMEMEF，因此222FOEOEF+=，即2=EOF，所以BDFBDE平面平面⊥。（2）如图建立平面直角坐标系，则)1,2,2(),0,2,0(),2,0,0(),0,0,2(),0,0,0(FDE

BA，)1,2,2(),2,2,0(),2,0,2(−=−=−=→→→EFEDBE。设平面DEF的法向量),,(zyxm=→，由==→→→→00FDmEDm得=−+=−022022zyxzy，可设)2,2,1(−=→m，22||||,cos==→→→→→→BEm

BEmBEm，所以直线BE与平面DEF所成角的正弦值为22，故直线BE与平面DEF所成角为421.已知函数axexf−=)(，1ln)(+=xxg。(1)当0=a时，求证1)()(−xgxf；(2)设)()()1

ln()(xxgxfxxxF−+=，若0)(xF在定义域内恒成立，求a的取值范围。解答：（1）法1：令)1()(+−=xexhx，则1)(−=xexh，故当0x时0)(xh，当0x时0)(xh，因此0

)0()(=hxh，故)1(+xex。令)1(ln)(−−=xxx，则xxxx−=−=111)(，故当10x时0)(x，当1x时0)(x，因此0)1()(=x，故1ln−xx。所以2ln1++xxex且两个等号不同

时成立，11ln)()(−−=−xexgxfx。法2：令2ln1)()()(−−=−−=xexgxfxhx，则xxexexhxx11)(−=−=，因为1)(−=xxex在),0[+单调递增且01)1(,01)0(−=−=e，故)(x在),0(

+上存在唯一零点0x，且)1,0(0x，当00xx时0)(x，即0)(xh，当0xx时0)(x，即0)(xh，所以2ln)()(000−−=xexhxhx（*）。由01)(000=−=xexx得00xex−=代入（*）

得0222ln)(000000−+=−+=−−−xxxxeexexexh，当且仅当00=x时取等号，又因00x，故等号不成立，即1)()(−xgxf。（2）由0)(xF在定义域内恒成立得01)1(1−=−aeF，故1a。下证a的取值范围是1a。当ex1时

，当1a时，由（1）的证明知xxxexln1,1−+，故1ln1+−xxex且当1=x时两个等号同时成立。因为1a，故1ln1+−−xeexax。令1ln)(+−=xxxxh，则xxhln

)(=，)(xh在)1,0(上单调递减，),1(+上单调递增。0)1()(=hxh，故01ln+xxx。由知)1(ln)1ln(++−xxexxax，即0)(xF。当ex10时，)1(l

n0)1ln(++−xxexxax，综上1a。（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（10分）选修44−：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为)(12为参数ttytx

+=+=，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4=，直线l与曲线C相交于BA,两点。（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求线段AB的长度。解答：（1）由)(12为参数ttytx+=+=消t得，l的普通方程为1−

=xy…2分由cos4=得cos42=，结合==sincosyx得xyx422=+，故曲线C的直角坐标方程为4)2(22=+−yx…5分（2）曲线C的圆心到直线l的距离22=d，2=r，1

42||22=−=drAB…10分23.（10分）[选修4−5：不等式选讲]已知函数|1|||2)(++=xxxf。（1）解关于x的不等式||3)(xxf+；（2）若存在x使得33)(2+−aaxf，求a的取值范围。解答：（1）原不等式等价于3|1|||++xx，等价于

−−−3121xx或−3101x或+3120xx，解得12−x，故解集为]1,2[−。（2）+−+−−−−=++=0,1301,11,13|1|||2)(xxxxxxxxxf，)(xf在)1,(−−上单调递减，在

]0,1[−上单调递减，在在),0[+上单调递增，故)(xf的最小值为1)0(=f。依题意可知3312+−aa，解得1a或2a。