【文档说明】湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.287 MB，由小赞的店铺上传

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机密★启用前2024年下学期长沙市岳麓实验中学高二入学考试数学考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共40分）1.已知i是虚数单位，则i1i+的虚

部是（）A.1i2B.1i2−C.12D.12−【答案】C【解析】【分析】根据复数除法的运算法则和虚部的概念求解即可.【详解】由题意得，()()()i1ii1i11i1i1i1i222−+===+++−，虚部为12.故选：C2.对于①sin0，②sin0，

③cos0，④cos0．⑤tan0，⑥tan0，则为第三象限角的充要条件为（）A.①③B.④⑥C.②③D.②⑤【答案】D【解析】【分析】根据三角函数值的正负性，结合充要条件的性质逐一判断即可.【详解】A：因sin0，cos0，所以为第一象限角，因此不符

合题意；B：因为cos0，tan0，所以为第二象限角，因此不符合题意；C：因为sin0，cos0，所以为第四象限角，因此不符合题意；D：因为sin0，tan0，所以为第三象限角，显然当为第三象限角时，sin0，tan0成立，故选：D为3.若26

cos2cos21+=−，则tan=（）A.2B.3C.2D.3−【答案】B【解析】【分析】由余弦的二倍角公式化简求得21cos10=，再运用同角三角函数间的关系可得选项．【详解】由已知可得226cos2(2cos1)1+−=−，∴21cos10=，29sin10=，∴2tan

9=，即tan=3，故选：B.【点睛】本题考查余弦的二倍角公式和同角三角函数间的关系，属于基础题．4.a表示135−的小数部分，则2log(21)aa+的值是A.-1B.-2C.0D.12【答案】A【解析】【分析】对135−进行分母有理化得354+，通过对5值的估算

，得到354+的范围，进而得到a的取值，再代入对数式求值.【详解】因为135435+=−，而253，则35124+，所以3551144a+−=−=，所以51511222125log(21)log(1)

log()log()1522251511aa−−−−+=−+−=+=−=.故选A.【点睛】本题考查用逼近法估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，考查对数式的运算求值.5.函数()sin()fxAx＝＋（其中0A，2的图象如图所示，为了得到()singxx＝

的图象，可以将()fx的图象A.向右平移6个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D向左平移3个单位长度【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.考点：正弦型函数解析式函数图像平移变换点评：在求解的

图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.6.已知函数3()3(5)28fxxx=−+−，{}na是公差不为0的等差数列，122017()()()4034fafafa+++=，则1009()fa的值为（）A.0B.1C.2D.5【答案】C

【解析】【分析】33()3(5)283(5)2(5)2fxxxxx=−+−=−+−+，函数()fx关于(5,2)中心对称，构造函数()()2gxfx=−，关于(5,0)中心对称，利用等差数列性质即可寻找其零点，即可求解.【详解】33()3(5)283(5)2(5)2fxxxxx=−+−

=−+−+，3(10)3(5)2(5)2fxxx−=−+−+，()(10)4fxfx+−=所以函数()fx关于(5,2)中心对称，.其导函数2()9(5)20fxx=−+，可得3()3(5)28fxxx=−+−是单调增函数，构造函数()()2gxfx=−，关于(5,0)

中心对称，且单调递增，()gx有唯一零点5x=，将122017()()()4034fafafa+++=变形为122017()2()2()20fafafa−+−++−=，即122017()()()0gagaga+++=

，{}na是公差不为0的等差数列，则一定是单调数列，不妨考虑：1232017aaaa，根据等差数列性质120172201610092aaaaa+=+==，1009a即()gx与x轴的交点，所以1009()0ga=，所以1009()2

fa=.故选：C【点睛】此题考查函数对称性与零点问题，关键在于弄清已知函数的单调性对称性和零点，需要掌握三次函数的基本性质，例如此题考到三次函数必有对称中心，根据函数图象的中心对称关系求值.7.在平面内，四边形ABCD的B与D互补，1,3,30DCBCDAC===，则四边形ABCD面

积的最大值=（）A.3B.312+C.212+D.2【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理，可求得3sin2BAC=，即角60BAC=或120BAC=，分类讨论，由BCDABDSSS=+，计算三角形的面积，利用均值不等式求最值即可.【

详解】因为B与D互补，sinsinBD=，且,,,ABCD四点共圆.所以30CBDDAC==，在ADC△中，由正弦定理得sinsinACDCDDAC=，在ABCV中，由正弦定理得sinsinACBCBBAC=

，所以sinsinBCDCBACDAC=，得3sin2BAC=，所以60BAC=或120BAC=.设四边形ABCD的外接圆半径为R，则2sinDCRDAC=，解得1R=.（1）设,ABaADb==.当60BAC=，则90BAD=，故90BCD

=，此时1313sin9022BCDS==，且2BD=，在RtABD△中，2242abab=+，所以2ab，即112ABDSab=.所以四边形ABCD面积312BCDABDSSS=++，当且仅当ab=时，四边形ABCD面积取得最大值为312+（2）

当120BAC=，则150BAD=，故30BCD=，所以1313sin3024BCDS==.因为2sinBDRBAD=，所以1BD=，则在ABD△中由余弦定理得2212cos150abab=+−，所以()22311abab=−+，即33ab.所以113sin15

02412ABDSabab==，此时，四边形ABCD面积33132BCDABDSSS=++.综上，四边形ABCD面积的最大值等于312+，故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形面积公式，均值不等式，属于难题.8

.在三棱锥SABC−中，2,2,1,SASBABBCABBC====⊥．若SC与面SAB所成角的最大值为，则2tan的值为（）A.12B.22C.512−D.512+【答案】C【解析】【分析】取,,ABACSA中点分别为O，D，E，连,,,SOODSDDE，过D作DGSO⊥于G，

连EG，可证DEG为所求线面角，设SOD=，用cos表示出2tan求最值.【详解】取,,ABACSA中点分别为O，D，E，连,,,SOODSDDE，过D作DGSO⊥于G，连EG，由SASB=，则ABSO⊥，又,ABBCODBC⊥∥，则ABOD⊥，又SO平面S

OD，DO平面SOD，SODOO=I，所以AB⊥平面SOD，又DG平面SOD，则ABDG⊥，又AB平面SAB，SO平面SAB，SOABO=，则DG⊥平面SAB．又//SCDE，故SC与面SAB所成角与DE与面SAB所成角

相等，所以DEG为所求线面角，设(),0,πSOD=，则111sin,cos,1cos222DGOGSG===−，22221112cos45coscos422EGSESGSESG=+−=−+，故2222222sin1costancos2cos2cos2cos2DG

DEGEG−===−+−+212cos31cos1=−−+−，令()2cos3,5,1tt=−−−，则2211tan44115656DEGttttt==−+−+++++，因为()5,1t−−，所以56625tt++−，当且仅当5t=−时取等号．所以251tan

2DEG−.故选：C【点睛】关键点点睛：已知斜线AB与平面交于点B，则直线AB与平面所成角的作法：（1）直接法作线面角：即定义法，过A作面垂线，垂足为O，根据线面角的定义得ABO为直线AB

与平面所成角.（2）借助于面面垂直作线面角：过A点作平面的垂面，过A点作两面交线的垂线，垂足为O，则ABO为直线AB与平面所成角.二、多选题（共18分）9.若*,abR，则下列不等式中正确的是（

）A.2abab+B.22222abab++C.2baab+D.11()4abab++【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式可知ACD正确，举特值可知B错误.【详解】由基本

不等式2abab+…可知22abab+…，当且仅当ab=时等号成立，选项A成立；取2,4ab==，则2229,1022abab++==，此时22222abab++，选项B错误；由基本不等式可

知：22babaabab+=，当且仅当ab=时等号成立，选项C成立；11()2224babaabababab++=+++=…，当且仅当ab=时等号成立，选项D成立；故选：ACD.10.已知定义域为R的函数()fx对任意实数,xy都有

()()()()2fxyfxyfxfy++−=，且()10,002ff=，则（）A.()01f=B.()()fxfx−=的C.()()10fxfx−+=D.()()1fxfx+=【答案】ABC【解析】【分析

】对于A，在表达式中令0xy==结合已知即可验证；对于B，在表达式中令0x=结合A选项分析即可验证；对于C，在表达式中令12x=结合已知即可验证；对于D，结合B、C选项的分析即可验证.【详解】对于A，在()()()()2fxyfx

yfxfy++−=中令0xy==，可得()()22020ff=，又()00f，所以()01f=，故A选项正确；对于B，在()()()()2fxyfxyfxfy++−=中令0x=，可得()()()()20fyfyffy+−=，又由A选

项分析可知()01f=，所以()()()2fyfyfy+−=，所以()()−=fyfy，由实数,xy具有任意性，所以()()fxfx−=，故B选项正确；对于C，()()()()2fxyfxyfxfy++−=中令12x=，结合102f=，故可得()1112

0222fyfyffy++−==，所以()()10fyyf−+=，由于实数,xy具有任意性，所以()()10fxfx−+=，故C选项正确；对于D，由C选项分析可知()()10fxfx+

+−=，而由B选项分析可知()()fxfx−=，所以()()1fxfx+=−，故D选项错误.故选：ABC.11.设函数π()sin()(0)5fxx=+，已知()fx在[0,2π]有且仅有4个零点，下述四个

结论正确的是（）A.()fx在(0,2π)有且仅有3个极大值点B.()fx在(0,2π)有且仅有2个极小值点C.的取值范围是[1910,125）D.()fx在π(0,)12上单调递增【答案】BCD【

解析】在【分析】当02πx时求出整体π5x+的范围，结合sinyx=的图象求出的范围，然后再结合sinyx=的图象判断A、B选项是否正确．对于D：当π012x时，结合的范围判断整体π5x+是否在正弦函数的增区间内.【详解】因为02

πx，则πππ2π555x++，()fx有4个零点，则π2π[4π,5π)5+，1912,)105[，故C对；()fx有两个极小值点，2个或3个极大值点，故A错，B对；对于D：当π012x时，ππππ55125x++，ππ

43π2,π)1251205[+，2ππ52∴()fx在π(0,)12上单调递增，故D对，故选：BCD三、填空题（共15分）12.若关于x的方程220xb−−=有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是________.【答案】(0,2)

【解析】【分析】将问题转化为函数22xy=−与yb=的图象的有两个交点的问题，结合函数图象求解即可.【详解】解：令220xb−−=，得22xb−=，由题意可知函数22xy=−与yb=的图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知，02

b.故答案：(0,2)．为【点睛】本题考查函数的零点问题，方法是数形结合法，把零点个数转化为函数图象与直线交点个数，本题属于中档题．13.在三棱锥ABCD−中，底面BCD△是边长为2的等边三角形，ABCV是以BC为斜边的等腰直角三角形，若二面角ABCD−−的大小为120，则三棱锥ABCD

−外接球的表面积为______.【答案】52π9##52π9【解析】【分析】取BC的中点H，连接AH，DH，则可得AHD为二面角ABCD−−的平面角，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为

R，连接OA，OD，然后在ODH中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.【详解】如图，取BC的中点H，连接AH，DH，由题意，222ABACBC===，2DBDC==，所以,AHBCDHBC⊥⊥，所以AHD为二面角ABCD−−的平面角，所以120AH

D=，因为ABCV是以BC为斜边的等腰直角三角形，且2BC=，所以1AH=，又BCD△是边长为2的等边三角形，所以3DH=，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OA，OD，可得22221OHOAAHR=−=−，在ODH

中，30OHD=，利用余弦定理可得2222cos30ODOHHDHOHD=+−，所以2223132132RRR=−+−−，解得R2＝139，所以其外接球的表面积为252π4π9R=.故答案为：52π9.14.设函数120112010()sin([,])2

011122xxfxxx++=+−+的最大值为M，最小值为N，那么MN+=________【答案】4021【解析】【分析】先把函数120112010()sin20111xxfxx++=++变形为1()2011sin20111xfxx=−++,判断函数

的单调性,根据函数在定义域上为增函数以及函数的定义域就可求出函数的最大值与最小值,进而求出最大值与最小值之和.【详解】函数()1201120111120112010201120112010()sinsinsin201112011120111xxxxxxfx

xxx++−++=+=+=++++12011sin20111xx=−++2011xy=在,22x−上为增函数,120111xy=+在,22x−上为减函数120111xy=−+在,22x−上

为增函数,而sinyx=在,22x−上也为增函数1()2011sin20111xfxx=−++在,22x−上为增函数2Mf=，2Nf=−2121222211120114022402240

212220111201112011120111MNff−+=+−=−−=−+=++++故答案为4021【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求函数的最大值与最小值,关键是把函数化简成可以判断单调性的形式.四、解答题（共77分）1

5.某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间50,100中）作为样本进行统计，按照)50,60，)60,70，

)70,80，)80,90，90,100的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在)50,60，)60,70的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x，y

的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，求抽到的2名学生成绩均在)80,90的概

率（将样本频率视为概率）.【答案】（1）40n=，0.0025x=，0.0400y=（2）310【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和茎叶图中的数据即可求出,,nxy;（2）由古典概型列出事件的所有

情况即可求得概率.【小问1详解】由直方图可知，分数在)60,70中的频率为0.0075100.075=，根据茎叶图可知，分数在)60,70中的频数为3，所以样本容量3400.075n==，根据茎叶图可知，分数在)50,60中的频数为1，所以分数在)50,60中的频

率为10.02540=，所以100.025x=，所以0.0025x=，由()0.00250.00750.03000.0200101y++++=，得0.0400y=，综上所述：40n=，0.0025x=，0.0400

y=．【小问2详解】由题意，本次竞赛成绩样本中分数在)80,90中的学生有400.031012=名，分数在90,100中的学生有400.02108=名．抽取分数在)80,90中的学生有1253128=+名，抽取分数在90,100中

的学生有852128=+名．设成绩在90,100分的学生为A，B，成绩在)80,90的学生为C，D，E．从成绩在80分以上的学生中随机抽取两名学生，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE

，DE共10种情况，其中2名同学均在)80,90共有CD，DE，CE共3种情况，设抽到的2名学生成绩均在)80,90为事件M，所以()310PM=.16.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，//BCAD，ABBC⊥，2PA=

，1AB=，22ADBC==，M是PD的中点.(1)求证：//CM平面PAB；(2)求三棱锥PACM−的体积；(3)求二面角MACD−−的余弦值．【答案】(1)答案见解析；(2)13；(3)33.【解析】【分析】(1)取AD中点N，连接MN，CN，推证平面CMN与平面BPA平行而得；

(2)由于M是PD中点，点P，D到平面ACM等距离，利用等体积法转化求得；(3)作出二面角M-AC-D的平面角，由直角三角形求解而得.【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取AD中点N，连接MN，CN，如图

，因M是PD中点，则MN//PA，MN平面PAB，所以MN//平面PAB，由已知得BC//AN且BC=AN，则ABCN为平行四边形，则CN//AB，CN平面PAB，所以CN//平面PAB，而,CNMNNCN=平面CMN，MN平面CMN，平面CMN//平面PAB，又CM平面CMN，

CM//平面PAB；(2)由(1)知MN//PA，112MNPA==，而PA⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，而AB⊥BC，则ABCN是矩形，CN⊥AD，平面ACM经过线段PD的中点，则点P，D到平面ACM距离相等，CN=AB=1，1111121133263PACMDACMMACDACDV

VVSMNADCNMN−−−======；(3)取AC中点O，连ON，OM，因CN=AN=1，CN⊥AN，则ON⊥AC，由(2)知MN⊥AC，所以AC⊥平面OMN，AC⊥OM，∠MON是二面角M-AC-D的平面角，RtOMN中，MN⊥ON，MN=

1，ON=22，则62OM=，232cos362ONMONOM===.【点睛】(1)三棱锥体积，可以利用等体积法转化求解；(2)求二面角大小的方法，一是作出二面角的平面角解决，二是用空间向量方法解决.

17.某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公

司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元.（1）写出y与x*(0,)xxN之间的函数关系式；（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得

最大利润？并求最大利润.【答案】（1）850,030,101150,3060,xxNyxxxN=−+；（2）21060【解析】【详解】分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因

此可分类，030x和30x（*xN），在30x时，培训费用为85010(30)x−−；（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得．详解：（1）依题意得，当030x时，850y=；当3060x时，()8501

030101150yxx=−−=−+.**850,030,101150,3060,xxNyxxxN=−+.（2）当*030,xxN时，85012000Qx=−,𝑥=30时,Q取得最大值max13500Q=.当*3060,xxN时,()2101150120001

0115012000Qxxxx=−+−=−+−,2115421251022x=−−+,当57x=或58时,Q取得最大值max21060Q=.因为2106013500，当公司参加培训的员工人数为57或58时，培训机构可获得最大利润2106

0元.点睛：本题考查分段函数模型的实际应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，这只要认真审题，仔细阅读题目就可得出．函数应用题中关系式一般在题中都有给出，关键是要读懂题意．18.在ABCV中，,,abc分别是,,ABC所对的边，tantan3(1tantan

)ABAB+=−−,7c=，三角形的面积为332，（1）求C的大小；（2）求ab+的值．【答案】（1）3C=；（2）5ab+=【解析】【分析】(1)根据已知可求得tantan31tatnaan()ntABABAB+=−−+=，化

简可求C；(2)1sin2ABCSabC=，求得ab，再根据余弦定理，利用222()2ababab+=+−，解得ab+的值.【小问1详解】tantantan(+B)31tantanABAAB+==−−0(0,)120ABAB又++=,060C=【小问2详解】由133sin22

ABCSabC==，得6ab=又22222()21cos222abcababcCabab+−+−−===解得+5ab=19.如图，一个角形海湾AOB，AOB=（常数为锐角）.拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种

方案可供选择：图1图2方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中»PQl=；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CDl=．现给定数据如下：3AOB==，3l=（1）求方案一中养殖区的面积1S；（2）求方案二中养殖区的最大面积2S；（3）

为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）192S=；（2）2334S=，0,2；（3）应选择方案一，理由见解析.【解析】【分析】（1）由扇形面积公式计算出扇形面积；（2）设OCx=，ODy=，由余弦定理求得,xy的关系，利用基本不等

式得xy的最大值，从而得面积的最大值；（3）比较（1）（2）两个面积可得．【详解】解：（1）方案一：设此扇形所在的圆的半径为r，则lr=，lr=.2119222llSl===（2）设OCx=，ODy=，则2222cos

lxyxy=+−，由均值不等式222xyxy+可得222coslxyxy−可得224sin2lxy，当且仅当3OCOD==时取等号．故229334434tan2lS==，0,2（3）显然有：26.28436.9则12SS．

故为使养殖区面积最大，应选择方案一．