【文档说明】河南省新乡名校2020-2021学年高二下学期期末联考数学（理）试题含答案.docx，共(15)页，1.159 MB，由小赞的店铺上传

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1新乡名校2020—2021学年下期期末联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

）1．设集合220Mxxx=−，Nxxa=，若MN，则实数a的取值范围是（）A．2aB．2aC．2aD．2a2．已知复数131izi−=−（i为虚数单位），则z=（）A．1B．2C．2D．53．已知等差数列na的前n项和为nS，若540S=，25a=

，则11S=（）A．165B．176C．180D．1874．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至144．亿，由2013年到2019年（依次对应的年份代号为1

到7）的统计数据可得国内生产总值（GDP）y（单位：万亿元）关于年份代号x的回归方程为66504yx=+．．，且2020年到2035年y关于x也满足此回归方程，则由该回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（）A．14.0B．13.6C．202.2D．

195.65．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天

权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A．1121B．1021C．1142D．5216．设函数()322xxfxx−=−+，则使不等式()()2130f

xf−+成立的实数x的取值范围是（）A．(),2−B．(),1−−C．()1,−+D．()2,+7．已知()1,2a=，(),1bm=，(3,4)c=−，若()abc+⊥，则向量a，b夹角的正切值为（）2A．3B．2C．1D．228．已知某6个

数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为（）A．8B．7C．6D．59．设0a，b，1c，随机变量X的分布列是X012Pabc若4()3EX=，5()9DX=，则（）A．14a=，16b=B．16a=，13b=C．14a=，13b=D．16a=，12b=1

0．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：0.18xeyk−=()0k，当0x=时，y的值表示2021年年初的种群数量若t()*tN年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t的最小值为（参考值：ln31.09）A．9B．10C．11D．121l．已知椭圆G：

22221xyab+=()0ab的右焦点为()32,0F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为()2,2−，则G的方程为（）A．2213214xy+=B．2213820xy+=C．2214830xy+=D．2

213618xy+=12．若函数()cosfxx=与函数()eexxmgx−=()mR的图象在区间0,2上有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为（）A．22e,e−B．2e,+C．2e,2−−D．22,e二、填空题

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若二项式1nxx+()*nN的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是______．14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角

”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前n项和为nS，若数列na满足()22log11nnaS=+−，则2021a=______．315．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F，2F，且两曲线在第一

象限的交点为P，12PFF△是以1PF为底边的等腰三角形．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，且125e=，18PF=，则2e=______．16．如图，正四棱锥PABCD−的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边

三角形．若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必

须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2223332acbac+=−．（1）求sinB；（2）若3a=，2b=．①求cos23A−的值；②求ABC△的面积．18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自

主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的

关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．4关注没关注合计男女合计附：P()20Kk0.1500100．0050．0010．0005．0k2.0722706．3841．663

5．7879．()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．（1）完成上面的22列联表，试问是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；（2）若将频率视为概率

，现从该中学高三的女生中随机抽取3人，记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱111ABCABC−中，D是AC上一点，E是1BC的中点，且//DE平面11ABBA．（1）证明：DAD

C=；（2）若1BB⊥平面ABC，平面11ABBA⊥平面11BCCB，12AAACAB==，求直线DE与平面11ABC所成角的正弦值．20．已知M是抛物线1C：214yx=的准线上的任意一点，过点M作1C的

两条切线MP，MQ，其中P，Q为切点．（1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标；5（2）若直线PQ交椭圆2C：22145xy+=于A，B两点，求PQAB的最小值．21．已知函数()1lnfxxax=+（a

R，0a）．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当2a=时，若关于x的方程()fxm=有两个实数根1x，2x，且12xx，求证：121xx+．【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修4

-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22xkyk==（k为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos14−=．（1

）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，点()2,0M，求22PMQM+的值．23．【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2fxxaxb=+−−（0a，0b）（1）当1ab==时，解不等式()0fx；（2）若函数()()6gxxx

=+−的最大值为2，求14bb+的最小值．新乡名校2020—2021学年下期期未联考高二数学（理）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BDDAABCBBCDD1．【解析】因为220xx−，所以()2220xxxx−=−，所以

0,2M=，6由于Nxxa=，MN，所以2a．故选：B．2．【解析】因为()()()()1311313321112iiiiiziiii−+−+−+====−−−+，所以()22215z=+−=．故选：D．3．【解析】

设等差数列na的首项为1a，公差为d，由540S=，25a=，可得1151040,5,adad+=+=解得3d=，所以62417aa=+=，故11611187Sa==．故选：D．4．【解析】到203

5年底对应的年份代号为23，由回归方程ˆ66504yx=+．．得，我国国内生产总值约为6623+．5042022=．．（万亿元），又202.214.014.4，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为140．方元．故选：A．5．【解析】因为玉衡和

天权都没有被选中的概率为25271021CPC==，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为101112121−=．故选：A．6．【解析】函数()fx的定义域为R，()()322xxfxxfx−−=−−=−，所以

函数()fx是奇函数，并由解析式可知函数()fx是增函数，原不等式可化为()()213fxf−−，∴213x−−，解得1x−，∴x的取值范围是(),1−−．故选：B．7．【解析】由题意知：()1,3abm+=+，又()abc+⊥，∴()

31120m+−=，可得3m=，由52cos,2510ababab===，又,0,ab，∴,4ab=，则向量a，b夹角的正切值为1．故选：C．78．【解析】设原数据为1a、2a、3a、4a、5a、6a，则616424iia===，()6211486iia=−=，加入2和6两个新

数据后，所得8个数据的半均数为612648iia=++=，所得8个数据的方差为()()()622221424644844788iias=−+−+−++===．故选：B．9．【解析】由分布列可知：1abc++=，()40123EXabc=++=，()22244450123339DXab

c=−+−+−=，即1645nb++=．联这方程组：1401231645abcabcabc++=++=++=，解得：161312abc===．故

选：B．10．【解析】因为当0x=时，y的值表示2021年年初的种群数量，所以有8yk=，即2021年年初的种群数量为8k，当()*tN年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，所以有0.18481

xekk−，即0.128xe−，所以0.122log8log2te−，则0.113te−，所以10.1lnln33t−=−，即0.11.09t−−，得109t．，所以t的最小值为11．选：C．11．【解析】设点()11,Axy、()22,Bxy，则221122

22222211xyabxyab+=+=，两式作差得：22221212220xxyyab−−+=，整理可得2221222212yybxxa−=−−．8设线段AB的中点为()2,2M=−，即2121221212ABOMyyyybkkxxxxa−+==−−+，另一

方面212322ABMFkk===−，1OMk=−，所以，()2211122ba−=−=−，所以，22222182cabab=−==，解得223618ab==，故椭圆G的方程为2213618xy

+=．故选：D．12．【解析】由题意知方程ecosexxmx−=，即()1cose0xxm+−=在区间0,2上有且仅有一个解．令()()1cose0xhxmx=+−=，则()hx在0,2

上有且仅有一个零点，()()1sincose12sine4xxhxxxx=−+=−−，当02x时，22sin242x−−，所以012sin24x−−，所以()12sine04xhxx

=−−，故函数()hx在区间0,2上单调递增，又函数()hx在区间0,2上只有一个零点，所以结合考点有在性定理可得()2020,e02hmhm=−=−解得22me，即m的取值范围是22

,e．故选：D．二、填空题13．8414．404115．216．318913．【解析】由已知条件可得45nnCC=，所以，459n=+=，二项式1nxx+的展开式通项为39921991rrrrrrTC

xCxx−−−==，令3902r−=，解得6r=，因此，展开式中的常数项为6984C=．故答案为：84．14．【解析】因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字和为1，第二行数字和为2，第三行数字和为4，所以该等比数列首项为1，公比2q=，所以1

22112nnnS−==−−，所以()22log11nnaS=+−=22log2121nn−=−，所以20212202114041a=−=．故答案为：4041．15．【解析】设椭圆与双曲线的标准方程为22221xyab+=，2222221xya

b−=（1a，2a，1b，20b，11ab），焦距为2c()0c，由于12PFF△是以1PF为底边的等腰三角形，且18PF=，由椭圆的定义可得122PFPFa−=，由双曲线的定义可得1222PFPFa−=，∴1282a

c=+，2282ac=−，即14ac=+，24ac=−()4c，故122aac−=()4c，两边同除以c，可得12112ee−=，又125e=，可得22e=．故答案为：2．16．【解析】设球M、球O的半

径分別为R，r，ABa=，连接PO，BO，如图，因为四棱锥PABCD−的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，在RtPOB△中，22aOB=，PBa=，所以22aPO=，10所以22aOBOAOCODOPR======，因为半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与

四个侧面均相切，所以2214312433432PABSraraa==△，解得66ra=，则半球O的体积与球M的体积的比为3333614613234218232arRa==．故答案为318．三、解答題17．【

解析】（1）由2223332acbac+=−得222233acbac+−=−，由余弦定理知，2222333cos223acacbBacac−+−===−．又()0,B，所以26sin1cos3BB=−=．（2）①由正弦定理sinsinabAB=，有

63sin23sin22aBAb===，又ab，所以0,2A，所以4A=，所以3cos2cos2cos34362A−=−==．②由2222cosbacacB=+−，即221cc+=，解得21

c=−（舍去负根），所以()11622sin3212232ABCSacB−==−=△．18．【解析】（1）22列联表如下：关注没关注合计男303060女122840合计425810011()()()()()(

)222100302812308003.9413.84142584060203nadbcKabcdacbd−−===++++，所以有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性別有关”．（2）因为随机选一个高三的女生，

对此事关注的概率为1234010P==，由题意知3~3,10XB，所以随机变量X的分布列为：X0123P343100044110001891000271000故()910EXnp==．19．【解析】（1）证明：连接1CB，1AB，因为四边形1

1BCCB是半行四边形，所以C，E，1B三点共线，且E是1CB中点．因为平面1ABC平面111ABBAAB=，且//DE平面11ABBA，DE平面ABC，所以1//DEAB，所以D是CA中点，即DADC=．（2）因为1BB⊥平面ABC，所以1BBBA⊥，1BBBC⊥．因

为平面11ABBA平面111BCCBBB=，所以ABC是二面角1ABBC−−的平面角，因为面11ABBA⊥面11BCCB，所以2ABC=，所以BA，BC，1BB两两垂直，以B坐标点，以BC，BA，1BB为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Bxyz−，如图所示，12因为2ACAB

=，2ABC=，所以BABC=．设2AC=，则2BABC==，112BBAAAC===,则()0,0,0B，()2,0,0C，()12,0,2C，()0,2,0A，()10,2,2A，22,,022D，2,0,1

2E，所以20,,12DE=−，()12,0,2BC=，()10,2,2BA=．()10,2,2BA=．设平面11ABC的法向量为(),,nxyz=，则1100BCnBAn==，即220,220

,xzyz+=+=取2x=，得()2,2,1n−，设直线DE与平面11ABC所成角为，则2230sincos,15652DEnDEnDEn====，所以直线DE与平面11ABC所成角的正弦值为23

015．20．【解析】（1）由题意，设(),1Mt−，()11,Pxy，()22,Qxy，由214yx=，得12yx=，所以切线MP的程为：()1112xyyxx−=−，又21114yx=，所以MP的方程可化为：()112xxyy=+，

同理，切线MQ的方程为：()222xxyy=+．因为直线MP、直线MQ都过点M，把M的坐标代入两方程，13得11220txy−+=和22220txy−+=．故点P，Q都在直线l：220txy−+=上，而直线l过定点()0

,1，所以直线PQ过定点()0,1．（2）设直线PQ的方程为1ykx=+（k总在），()33,Axy，()44,Bxy，由方程组21,41,yxykx==+消去y可得：2440xkx−−=，因为()21610k=+，所以124xxk+=，124x

x=−，所以()2212141PQkxxk=+−=+，由方程组221,451,xyykx+==+消去y可得：()22548160kxkx++−=，因为()2264510k=+，所以342854kxxk−+=+，3421654xxk−=+，

所以()22342851154kABkxxk+=+−=+，所以22555522PQkAB=+．所以PQAB的最小值为52．21，【解析】（1）因为()1lnfxxax=+，所以()21axfxax−=()0x，当0a时，()0fx对

任意的()0,x+成立；当0a时，令()0fx，得10xa；令()0fx，得1xa．综上，当0a时，函数()fx在区间()0,+上单调递增；当0a时，函数()fx在区间10,a上单调减，在区间1,a+

上单调递增．14（2）证明：当2a=时，方程()fxm=，即为1ln2xmx+=．由题意得11221ln21ln2xmxxmx+=+=，两式相减得：122111ln22xxxx=−，即112221ln2xxxxxx−=，故1212122lnxxxxxx−=，所以()()()

12121212122lnxxxxxxxxxx−++=，所以()()12121211222lnxxxxxxxxxx−++=，令12xtx=()01t，则1212lnttxxt−+=，设()12lnhtttt=−−()01t，则()22(1)thtt−=，因为01t，所以的(

)0ht，所以()ht在区间()0,1上单调递增．又当1t=时，12ln0ttt−−=，所以当()0,1t时，()0ht，即12ln0ttt−−，所以当()0,1t时112lnttt−，即121xx+．22．【解析】（1）由曲线C的参数方

程：22xkyk==（k为参数），消去参数k，可得22yx=，所以曲线C的普通方程为：22yx=．由直线l的极坐标方程为cos14−=，化简：cossin2+=，15因为cosx=，siny=，代入可得直

线l的直角坐标方程为20xy+−=，（2）将直线l的普通方程化为参数方程为22222xtyt=−=（t为参数），代入曲线C：22yx=，整理可得222420tt+−=，而()()222414281620=

−−=+．设1t，2t是方程的两个实数根，则1222tt+=−，1242tt=−．所以()222221212122882PMQMtttttt+=+=+−=+．23．【解析】（1）当1ab==时，()0fx，即121xx+−，两边

平方得()2221421xxxx++−+，即231030xx−+，解得：133x，故不等式的解集为133xx．（2）函数()()gxfxxbxaxb=+−=+−−，所以()gxxaxbabab=+−−+=+，当且仅当()()0xaxb+−时

等号成立，即()abgxab−−+，即xb时，()gx最大值为ab+，又因为函数()()gxfxxb=+−的最大伯为2，∴2ab+=，即122ab+=，141452592222222abbaababab+=+

+=+++=当且仅当4baab=，即23a=，43b=时取等号，∴14ab+的最小值为92．