【文档说明】新教材2022版数学湘教版必修第一册提升训练：第1章　集合与逻辑 本章达标检测含解析.docx，共(16)页，59.387 KB，由小赞的店铺上传

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本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={0,2},则下列关系表示错误的是()A.0∈AB.{2}∈AC.⌀⊆AD.{0,2}⊆A2.已知a∈R,集

合M={1,a2},N={a,-1},若M∪N有三个元素,则M∩N=()A.{0,1}B.{0,-1}C.{0}D.{1}3.有下列四个命题,其中是真命题的是()A.∀n∈R,n2≥nB.∃n∈R,∀

m∈R,m·n=mC.∀n∈R,∃m∈R,m2<nD.∀n∈R,n2<n4.若集合P={1,2,3,4},Q={x|x≤0或x≥5},则“x∈P”是“x∈∁RQ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.4B.8C.7D.166.已知集合A={x|x<-2或x>3},B={x|a≤x≤2a-1},若A∪B=A,则实数a的取值范围为()A.{𝑎|𝑎<-12或𝑎>3}B.{a|a

<1或a>3}C.{𝑎|𝑎<-12或𝑎>1}D.{a|a≤1或a≥3}7.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=√𝑎2+𝑏2-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件8.如图所示,M,P,S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩S)∩(∁SP)D.(M∩P)∪(∁VP)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分

选对的得2分,有选错的得0分)9.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A,B是U的两个子集,且满足A∪B=U,A∩(∁UB)={1,4},(∁UA)∩B={5,6,7},则()A.2∈AB.2∉BC.A∩B={2,3}D.A∪(

∁UB)={1,2,3,4}10.已知U为全集,则下列说法正确的是()A.若A∩B=⌀,则(∁UA)∪(∁UB)=UB.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀C.若A∪B=⌀,则(∁UA)∩(∁UB)=UD.若A∪B=⌀,则A=B=⌀11.下列说法正确的是()A.“对任

意一个无理数x,x2也是无理数”是真命题B.“xy>0”是“x+y>0”的充要条件C.命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0”D.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则实数m的取值范围是[1,3

]12.若命题“∃x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3≤0”是假命题,则k的值可能为()A.-1B.1C.4D.7三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.若命题p:∃x∈R,使x2-1>0,则¬p

为.14.已知集合P={x|x2-x-2≤0},Q={x|0<x-1≤2},则(∁RP)∩Q=.15.若∀x∈{x|1≤x≤2},∃t∈{t|1≤t≤2},使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是.16.设集合M={1

,2,3,4,6},S1,S2,…,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=;若集合A是由这k个元素(S1,S2,…,Sk)中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj}(i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k})都有ai<bi,aj<bj,且𝑎𝑖𝑏𝑖≠𝑎

𝑗𝑏𝑗,则A中元素个数的最大值是.(本小题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在①B={x|-2<x<3},②∁RB={x|-3<x

<5},③B={x|x≥a2+6}且A∪B={x|x>a}这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.已知非空集合A={x|a<x<8-a},,若A∩B=⌀,求a的取值集合.注:如果选择多个

条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2}.(1)求a,b的值及A,B;(2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB).19.(本小题满分12分)设集合A={x|x2-3x+

2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.(1)当a

=3时,求A∩B;(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,且A≠⌀,求实数a的取值范围.21.(本小题满分12分)设a,b,c分别为△ABC的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程x2+

2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.22.(本小题满分12分)已知p:∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥√𝑚2+8恒成立;q:∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围

.答案全解全析一、单项选择题1.B∵集合A={0,2},∴0∈A,{2}⊆A,⌀⊆A,{0,2}⊆A,故B中关系表示错误.故选B.2.C因为集合M={1,a2},N={a,-1},M∪N有三个元素,所以a2=a且a≠±1,解得a=0.此时M∩N={0},故选C.3.B对于选项A,令

n=12,则(12)2=14<12,故A错;对于选项B,令n=1,则∀m∈R,m·1=m显然成立,故B正确;对于选项C,令n=-1,则m2<-1显然无解,故C错;对于选项D,令n=-1,则(-1)2<-1显然不成立,故D错.故选B.4.A∵Q={x|x≤0或x≥5},∴∁

RQ={x|0<x<5},∴x∈P⇒x∈∁RQ,但x∈∁RQx∈P.故“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分不必要条件.5.B由已知得,集合A={2,3},B={1,2,3,4,5}.因为A⊆C⊆B,所以集合C的个数为25-2=8.6.B因为A∪B=A,所以B⊆A.①若B=⌀,则

a>2a-1,解得a<1;②若B≠⌀,则{𝑎≥1,2𝑎-1<-2或{𝑎≥1,𝑎>3,解得a>3.综上,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}.7.C由φ(a,b)=0,得√𝑎2+𝑏2-a-b=0,√𝑎2+𝑏2-a-b=0⇒√𝑎2+𝑏

2=a+b⇒a2+b2=(a+b)2⇒ab=0且a≥0,b≥0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充分条件;反之,由a与b互补,可得a≥0,b≥0,且ab=0,从而有a2+b2=(a+b)2⇒√𝑎2+𝑏2=|a+b|=a+b⇒φ(a

,b)=√𝑎2+𝑏2-a-b=0,所以“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的必要条件.故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件.故选C.8.C题图中的阴影部分是M∩S的子集,但该子集中不含集合P中的元素,且该子集包含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.二、多项选择题9.ACD∵A∩(

∁UB)={1,4},∴1,4∈A且1,4∉B.∵(∁UA)∩B={5,6,7},∴5,6,7∈B,且5,6,7∉A.∵A∪B=U,∴2∈A,2∉B或2∈B,2∉A,则2∈A∩(∁UB)或2∈(∁UA)∩B,不符合题意,∴2∈A且2∈B.同理,可得3∈A

且3∈B.综上,A={1,2,3,4},B={2,3,5,6,7},A∩B={2,3},A∪(∁UB)={1,2,3,4}.故选ACD.10.ACDA说法正确,因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),A∩B=⌀,所以(∁UA)∪(∁UB)=

∁U(A∩B)=U;B说法错误,若A∩B=⌀,则集合A,B不一定为空集,只需两个集合中无公共元素即可;C说法正确,因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),A∪B=⌀,所以(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=U;D

说法正确,A∪B=⌀,即集合A,B中均无任何元素,可得A=B=⌀.11.CDx=√2是无理数,x2=2是有理数,故A错;x=-1,y=-2时,xy>0,但x+y=-3<0,不是充要条件,故B错;命题“∃x∈R,x2+1=0”的否定是“∀x∈R,x2+1≠0”,故C正确;若“1<x<3”的一个必

要不充分条件是“m-2<x<m+2”,则{𝑚-2≤1,𝑚+2≥3,且两个等号不同时取得,解得1≤m≤3,故D正确.故选CD.12.BC由题可知,命题“∀x∈R,(k2-1)x2+4(1-k)x+3>

0”是真命题.当k2-1=0时,k=1或k=-1,若k=1,则原不等式为3>0,恒成立,符合题意;若k=-1,则原不等式为8x+3>0,不恒成立,不符合题意;当k2-1≠0时,依题意得{𝑘2-1>0,16(1-𝑘)2-4(𝑘2-1)×3<0,即{(𝑘+

1)(𝑘-1)>0,(𝑘-1)(𝑘-7)<0,解得1<k<7.综上所述,实数k的取值范围为{k|1≤k<7}.故选BC.三、填空题13.答案∀x∈R,x2-1≤0解析命题p:∃x∈R,使x2-1>0为特称

命题,∴¬p为全称命题,即∀x∈R,x2-1≤0.14.答案{x|2<x≤3}解析由题意得P={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},Q={x|0<x-1≤2}={x|1<x≤3},∴∁RP={x|x<-1或x>2},∴(∁RP

)∩Q={x|2<x≤3}.故答案为{x|2<x≤3}.15.答案{m|m<2}解析由∀x∈{x|1≤x≤2},x+2>t+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m.又由∃t∈{t|1≤t≤

2},使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是{m|m<2}.16.答案10;6解析易得集合M的含有两个元素的子集的个数为10,则k=10.这10个子集分别为{1,2},{1,3},{1,4},{1,6},{2,3}

,{2,4},{2,6},{3,4},{3,6},{4,6},因为𝑎𝑖𝑏𝑖≠𝑎𝑗𝑏𝑗,所以{1,2},{2,4},{3,6}中只能取一个,{1,3},{2,6}中只能取一个,{2,3},{4,6}中只能取一个

,故10个元素中要去掉4个,则k的最大值为6.四、解答题17.解析选①:因为A是非空集合,所以8-a>a,(2分)解得a<4.(4分)因为B={x|-2<x<3},A∩B=⌀,所以a≥3或8-a≤-2,(7分)解得a≥3或a≥10.(9分)综上所

述,a的取值集合是{a|3≤a<4}.(10分)选②:因为A是非空集合,所以8-a>a,(2分)解得a<4.(4分)因为∁RB={x|-3<x<5},所以B={x|x≤-3或x≥5},(6分)因为A∩B=⌀,所以{𝑎≥-3,8-𝑎≤5,𝑎

<4,解得3≤a<4.(9分)故a的取值集合是{a|3≤a<4}.(10分)选③:因为A是非空集合,所以8-a>a,(2分)解得a<4.(4分)因为A∩B=⌀,B={x|x≥a2+6},A∪B={x|x>a},所以a2+6=8-a,(7分)解得a=-2或a=1,

(9分)故a的取值集合是{-2,1}.(10分)18.解析(1)因为A∩B={2},所以2是方程x2+ax+12=0和x2+3x+2b=0的唯一公共解,(2分)则22+2a+12=0,22+3×2+2b=0,解得a=-8,b=-5

,(4分)所以A={x|x2-8x+12=0}={x|(x-2)(x-6)=0}={2,6},B={x|x2+3x-10=0}={x|(x-2)(x+5)=0}={2,-5}.(6分)(2)由A={2,6},B={2,-5},可得全集U=A∪B={

-5,2,6},(8分)所以∁UA={-5},∁UB={6},(10分)所以(∁UA)∪(∁UB)={-5,6}.(12分)19.解析由题意得A={1,2},(1分)∵A∪B=A,∴B⊆A,(2分)∴B可能为⌀或{1}或{2}或{1,2}.(3分)当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4

(a2-5)<0,解得a<-3;(5分)当B={1}时,有{1+1=-2(𝑎+1),1×1=𝑎2-5,无解;(7分)当B={2}时,有{2+2=-2(𝑎+1),2×2=𝑎2-5,解得a=-3;(9分)当B={1,2}时,有{1+2=-2(𝑎+1),1×2=𝑎2-

5,无解.(11分)综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.(12分)20.解析(1)当a=3时,A={x|-1≤x≤5},又B={x|x≤1或x≥4},(2分)∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}.(4分)(2)∵B={x|x≤1或x≥4},∴∁

RB={x|1<x<4}.(6分)由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件,得A⫋∁RB,(8分)又A={x|2-a≤x≤2+a},A≠⌀,∴{2-𝑎≤2+𝑎,2-𝑎>1,2+𝑎<4,∴0≤a<1.(11分)∴a的取值范围是{a|0≤a<

1}.(12分)21.证明必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根x0,则𝑥02+2ax0+b2=0,𝑥02+2cx0-b2=0,(2分)两式相减并整理,得(a-c)x0+b2=0.(4分)∵b≠0,∴a-c≠0,∴x0=𝑏2𝑐-𝑎,将此式代入𝑥02+

2ax0+b2=0中,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.(6分)充分性:∵∠A=90°,∴b2+c2=a2,∴b2=a2-c2.①(7分)将①代入方程x2+2ax+b2=0中,可得x2+2ax+a2-c2

=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.(9分)将①代入方程x2+2cx-b2=0中,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.(10分)故两方程有公共实数根x=-(a+c).(11

分)∴关于x的方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共实数根的充要条件是∠A=90°.(12分)22.解析当m∈{m|-1≤m≤1}时,2√2≤√𝑚2+8≤3,(2分)若∀m∈{m|-1≤m≤1},不等式a2-5a-3≥√𝑚2+8恒成立,则a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-

1,(5分)故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.(6分)若q为真命题,则∃x∈R,使不等式x2+ax+2<0成立,(7分)∴Δ=a2-8>0,∴a>2√2或a<-2√2,(10分)故命题q为假命题时,-2√2≤a≤2√2.(11分)综上可知,当p为真命题,q为假命题时,a的取值范围

为-2√2≤a≤-1.(12分)获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com