【文档说明】河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2019-2020学年高二4月月考数学（理科）试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.693 MB，由小赞的店铺上传

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-1-理科数学试卷一、选择题1.已知12,2xyxx=+−，则y的最小值为（）A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】【分析】将y的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.【详解】因为12,2

xyxx=+−，所以()()1122222422yxxxx=−++−+=−−，取等号时122xx−=−即3x=，故选C.【点睛】形如()(),0bfxxxabxa=+−形式的函数，可利用基本不等式求解函数最

小值：()()()22bbbfxxxaaxaabaxaxaxa=+=−++=−+=+−−−，取等号时有：bxaxa−=−.2.若()224lnfxxxx−−＝，则()0fx的解集为（）A.()(),12−−+，B.()0,+C.()2+，D.()10-,【答案】C【

解析】【分析】求得函数定义域，然后求导，令导数大于零求得x的取值范围.【详解】函数的定义域为()0,+，-2-()()2222422422xxxxfxxxxx−−−−==−−=()()221xxx−+=，当()'0fx时

，2x.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查一元二次不等式的解法.在求函数导数前，要注意求函数的定义域.属于基础题.3.若命题:0,,tan14pxx，则命题p的否定为（

）A.00,,tan14xxB.00,,tan14xxC.00,,tan14xxD.00,,tan14xx【答案】D【解析】【分析】

根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：00,,tan14xx，故选D．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．4.如果方程22154xy

mm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）.A.45mB.92mC.942mD.952m【答案】D【解析】【分析】根据焦点在y轴上推出40m−，50m−且45mm−−，解不等式求得m的范围．-3-【详解】由题意方程22154xymm+=−−表示焦点

在y轴上的椭圆，可得：40m−，50m−并且45mm−−，解得：952m．故选D．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在x轴还是在y轴．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD

所成角的余弦值为（）A.22B.34C.26D.36【答案】C【解析】【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果．【详解】解：正方体ABCD-A1B1C1

D1，M为A1B1的中点，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A（1，0，0），M（0，12，1），B（1，1，0），D（0，0，0），AM=（-1，12，1），()110DB=，，，cosAMBD＜，＞=11223

622−+=−，-4-所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为26，故选C．【点睛】本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．6.双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为2yx=，则双曲线的离心率为（

）A.55B.255C.52D.5【答案】D【解析】【分析】根据渐近线方程得到ba，由此求得双曲线离心率.【详解】由题可知2ba=，所以2222221+()5ccabbeaaaa+=====故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，

考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知a，b均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（）A.若ab，cd，则abcdB.若11ab，则abC.若ab，则22abD.若||ab，则0ab+【答案】D【解析】【分析】利用特殊值代入法排

除A、B、C，利用不等式的基本性质||0ba−，可得ba，从而得到0ab+，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a=−，2b=−，4c=，1d=，尽管满足ab，cd，但显然不满足abcd，故A错误；对于②，不妨令1a=，1b=−，显然满足1

1ab，但不满足ab，故B错误；对于③，不妨令1a=−，2b=−，显然满足ab，但不满足22ab，故C错误；-5-对于④，若||ab，则||0ba−，即ba，0ab+，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在

限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法．8.111dexx−的值为（）A.e2−B.eC.e1+D.e1−【答案】A【解析】【分析】直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】11111111d1dd

ln1102eeeeexxxxxeexx−=−=−=−−+=−故选A【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.9.已知m是直线，α，β是两个不同平面，且m∥α，则m⊥β是α⊥β的（）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性得到答案。【详解】当m⊥时，已知m则⊥，充分性；当⊥时，已知m，可以得到,,mmmA=

，故不必要；故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力。10.已知抛物线22(0)xpyp=的焦点F是椭圆22221(0)yxabab+=的一个焦点，且该抛物-6-线的准线

与椭圆相交于A、B两点，若FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（）A.12B.22C.33D.32【答案】C【解析】【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与y轴交于椭圆的另一焦点'F,则'2FFc=.根据正三角形性质可得1',2AFAF=结合椭圆定义'2AFAFa+=,可

由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知,AB与y轴交于椭圆的另一焦点'F,则'2FFc=.由椭圆定义可知'2AFAFa+=,且FAB为正三角形所以1',2AFAF=则24',33aaAFAF==由正三角形性质可知'AFF为直角三角形所

以()()222''AFFFAF+=即()22224233aac+=,化简可得223ca=所以221333cea===故选:C【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的标准方程与几何性质的综合应用,椭圆离心率的求法,属-7-于中档题.11.如图，正方体ABCD-A1

B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A.[2,3]B.[2,5]C.[2,6]D.[2,7]【答案】C【解析】【分析】过F作1//FGDD，交AD于点G，交11AD于H，根据线面垂直关系和勾股定理可知222E

FAEAF=+；由,//EFFG平面11BDDB可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G为AD中点，从而得到AF最小值为,FG重合，最大值为,FH重合，计算可得结果.【详解】过F作1//FGDD，交AD于点G，交11AD于H，则FG⊥底面ABCD2222222221EFEGFGAEA

GFGAEAFAF=+=++=+=+-8-//EF平面11BDDB，//FG平面11BDDB，EFFGF=平面//EFG平面11BDDB，又GEÌ平面EFG//GE平面11BDDB又平面ABCD平面11B

DDBBD=，GEÌ平面ABCD//GEBDE为AB中点G为AD中点，则H为11AD中点即F在线段GH上min1AFAG==，max145AFAH==+=min112EF=+=，max156EF=+=则线段EF长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长

度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.12.函数1()eaxfxxx−=−在()0,+上有两个零点，则实数a的取值范围是A.2,e−B.20,eC.()1,eD.12,e

e【答案】B【解析】【分析】取1()e0axfxxx−=−=化简得到2lnxax=，设2ln()xgxx=，求导确定函数图像得到答案.【详解】取212ln(0)11()e0eeaxaxaxfxxxxxxaxxx−−−=−====设2ln()xgxx=，

21ln'()2xgxx−=，()gx在(0,)e上单调递增，(,)e+上单调递减max2()()gxgee==画出函数图像：-9-根据图像知：20,ea故选B【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离

转化为图像的交点问题是解题的关键.二、填空题13.设,xy满足约束条件20220220xyxyxy+−−−−+，则3zxy=−的最小值为_______.【答案】6−【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的

斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件20220220xyxyxy+−−−−+„„…作出可行域如图，化目标函数3zxy=−为133zyx=−，由图可知，当直线133zyx=−过(0,

2)A时，z有最小值为6−．-10-故答案为：6−．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.设抛物线28yx=上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是____．【答案】6【解析】【分

析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可.【详解】抛物线28yx=的焦点为()2,0F,准线方程为2x=−,如图所示,4PA=,2AB=,由抛物线的定义可得：6PFPBPAAB==+=.故答案为:6.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题.15.记Sn为等

比数列{an}的前n项和．若214613aaa==，，则S5=____________．【答案】1213.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【

详解】设等比数列的公比为q，由已知21461,3aaa==，所以32511(),33qq=又0q，所以3,q=所以55151(13)(1)12131133aqSq−−===−−．-11-【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方

运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．16.已知ykxb=+是函数()lnfxxx=+的切线，则2kb+的最小值为______．【答案】2ln2+【解析】【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m），求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的方程，分析

可得k1m=+1，b＝lnm﹣1，代入化简得到lnm2m++1，设g（m）＝lnm2m++1，求出g′（m），利用函数的导数与单调性的关系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案．【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（

x）＝lnx+x，其导数f′（x）1x=+1，则f′（m）1m=+1，则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1m+1）（x﹣m），变形可得y＝（1m+1）x+lnm﹣1，又由切线的方程为y＝kx+b，则k1m=+1，b＝lnm

﹣1，则2k+b2m=+2+lnm﹣1＝lnm2m++1，设g（m）＝lnm2m++1，其导数g′（m）22122mmmm−=−=，在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm2m++1为减函数，在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm2m++1为增函数，则g（m

）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为ln2+2．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数的几何意义．三、解答题17.已知数列na为等差数列，

公差0d，且1427aa=，424S=.（1）求数列na的通项公式；-12-（2）令11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=+；（2）69nn+【解析】【分析】（1）利用题目所给两个已知条件求出首项和公差，由此求得数列的

通项公式.（2）由（1）求得nb的表达式，再利用裂项求和法求得数列的前n项和.【详解】（1）由题意可知，()1444242aaS+==，1412aa+=.又1427aa=，0d，13a=，49a=，2d=，21nan=+.故数

列na的通项公式为21nan=+.（2）由（1）可知，()()1112123nnnbaann+==++11122123nn=−++，1111111111235572123232369nnTnnnn=

−+−++−=−=++++.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求解，考查裂项求和法求数列的前n项和.求等差数列通项公式的题目，往往会给两个条件，将两个条件解方程组，可求得1,ad，由此可求得等差数列的通项公式.如果数列是两个等差数列乘积的倒数的形式，那么可以利用

裂项求和法求得前n项和.18.在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAD为等边三角形，122ABADCD===，ABAD⊥，//ABCD，点M是PC的中点.（1）求证：//MB平面PAD；

-13-（2）求二面角PBCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）取PD中点H，连结MH，AH，证明四边形ABMH为平行四边形得到答案.（2）证明PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，平面BCD的法向量()0,0,3OP=，面PBC的法向量(

)1,1,3n=，计算夹角得到答案.【详解】（1）取PD中点H，连结MH，AH.因为M为PC中点，所以//HMCD，12HMCD=.因为//ABCD，12ABCD=.所以//ABHM且ABHM=.所以四边形ABMH为平行四边形，所以//BMAH.因为BM平面PAD，A

H平面PAD，所以//BM平面PAD.（2）取AD中点O，连结PO.因为PAPD=，所以POAD⊥.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，取BC中点K，连结OK，则//OKAB.以O为原点，如图建立空间直角坐

标系，由2AB=，则()1,0,0A，()1,2,0B，()1,4,0C−，()1,0,0D−，()0,0,3P，()2,2,0BC=−，()1,2,3PB=−.平面BCD的法向量()0,0,3OP=，-14-设平面PBC的法向量(),,nxyz=，由00BCnPBn==，得22

0230xyxyz−+=+−=.令1x=，则()1,1,3n=，15cos,5OPnOPnOPn==.由图可知，二面角PBCD−−是锐二面角，所以二面角PBCD−−的余弦值为155.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在

考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知函数()()31()13fxxaxaRfx=−+，是()fx的导函数，且()20f=.(I)求a的值;(II)求函数()fx在区间[33]−，上的最值.【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为193，最小值为133−.【解析】【分析】

(I)求出()3113()fxxaxaR=−+的导函数()fx，把()20f=代入即可求解.(II)利用导数求出函数的单调区间即可求出最值.【详解】解:(I)()3(1)13fxxaxxR=−+

Q，()2fxxa=−()240fa=−=Q,4a=-15-(II)由(I)可得:()()32141,43fxxxfxx=−+=−，令()240fxx=−=，解得2x=+，列出表格如下:x(,2)−−2−()2,2−2(2,)+()fx

+0−0+()fx极大值193极小值133−又()()191334,3233ff−==−−Q所以函数()fx在[33]−，区间上的最大值为193，最小值为133−【点睛】本题主要考查导函数求函数的最值、极值，属于

基础题.20.己知椭圆()2222:10xyMabab+=的一个顶点坐标为()2,0，离心率为32，直线yxm=+交椭圆于不同的两点,AB（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设点()1,1C，当ABC的面积为1时，求实数m

的值．【答案】（Ⅰ）：2x4+y2＝1；（Ⅱ）m102=【解析】【分析】（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和,,abc的关系可求得,,abc，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得m范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得AB，利用点到直线距离

公式求得点C到直线AB的距离，从而利用112ABCSABd==构造方程解得m，验证符合的m即为结果.-16-【详解】（Ⅰ）由题意知：2a=，32ca=，则3c=2221bac=−=椭圆M的方程为：2214xy+=（Ⅱ）设()11,Axy，()22,Bxy联立2214yxmx

y=++=得：2258440xmxm++−=()226420440mm=−−，解得：55m−1285mxx+=−，212445mxx−=()221212422455ABxxxxm=+−=−又点C到直线AB的距离为

：2md=21142512252ABCmSABdm==−=，解得：()105,52m=−102m=【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别

式大于零确定参数的取值范围.21.已知函数()ln(1)fxxax=--，Ra．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1x时，ln()1xfxx+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)若0a

，()fx在(0,)+上单调递增；若0a，()fx在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+上单调递减;(2)1[,)2+-17-【解析】【分析】（1）()fx的定义域为()0,+，()1axfxx=−，对实数a分情况讨论，得出单调性；（2）2lnln(1)()11xxxaxfxxx

−−−=++，令2()ln(1),(1)gxxxaxx=−−，所以'()ln12,gxxax=+−令()()ln12hxgxxax==+−，()12axhxx−=，再分情况讨论，求出实数a的取值范围．【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，()1axfxx=−，若0a，则

()0fx恒成立，∴()fx在()0,+上单调递增；若0a，则由()10fxxa==，当10,xa时，()0fx；当1,xa+时，()0fx，∴()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减．综上可知：若0a

，()fx在()0,+上单调递增；若0a，()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减．（2）()()2ln1ln11xxaxxfxxx−−−=++，令()()2ln1gxxxax=−−，()1x，()ln12gxx

ax+=−，令()()ln12hxgxxax==+−，()12axhxx−=①若0a，()0hx，()gx在)1,+上单调递增，()()1120gxga=−，∴()gx在)1,+上单调递

增,()()10gxg=，从而()ln01xfxx−+不符合题意．-18-②若102a，当11,2xa，()0hx，∴()gx在11,2a上单调递增，从而()()1120gxga=−，∴()gx

在)1,+上单调递增,()()10gxg=，从而()ln01xfxx−+不符合题意．③若12a，()0hx在)1,+上恒成立，∴()gx在)1,+上单调递减，()()1120gxga=−，∴()gx在)1,+上单调递减,()()10gx

g=，()ln01xfxx−+综上所述，a的取值范围是1,2+．【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应

注意导数性质的合理利用．-19-