【文档说明】山西省太原市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.732 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年第一学期高二年级期末考试数学试卷一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列na中，13a=，公差3d=−，则8a等于（）A.21−B.18−C.24D.27【答案】B【

解析】【分析】直接根据等差数列通项即可得到817aad=+，代入计算即可.【详解】由题意得()81737318aad=+=+−=−，故选：B.2.抛物线212yx=的焦点坐标为（）A.10,2B.1,04C.10,8D.1,08

【答案】D【解析】【分析】根据抛物线方程直接求出焦点坐标作答.【详解】抛物线212yx=的焦点在x轴上，其坐标为1(,0)8.故选：D3.已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可用函数：()2ln1sttt=++

−表示，则该物体在3t=秒时的瞬时速度为（）A.214米/秒B.()62ln2+米/秒C.212米/秒D.()4ln2+米秒【答案】A【解析】【分析】直接对位移关于时间的函数求导，代入3t=即可.【详解】由题得1211stt=+−+，当3t=时，214s=，故瞬时

速度为214米/秒，故选；A.4.设na是等比数列，且12231,2aaaa+=+=，则56aa+=（）A.8B.12C.16D.24【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质求得q，再代入56aa+中即可求得5

6aa+的值.【详解】()322112aqqaaa++===,2q=()44445612121216aaaqaqaaq+=+=+==.故选：C.5.有一条渐近线为2yx=且过点()2,22的双曲线的标准方

程为（）A.22124xy−=B.22142−=yxC.22184yx−=D.22148xy−=【答案】B【解析】【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再将已知点代入计算作答.【详解】依题意，双曲线的渐近线方程为02yx=，设所求双曲线的方程为2

2(0)2yx−=，因此22(22)(2)22=−=−，即有2222yx−=−，所以所求双曲线的标准方程为22142−=yx.故选：B6.已知数列na为等比数列，且3542aaa=，设等差数列nb的前n项和为nS，若44ba=，则7

S=（）A.7B.14C.62D.72【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质求出4a，再利用等差数列性质及前n项和求解作答.【详解】等比数列na中，243542aaaa==，而40a，解得42a=，即442ba==，等差数列nb中，17747()7142bbSb+===.故选：B

7.已知曲线2:2Cyx=，直线:30,,lxyPQ−+=分别是曲线C与直线l上的动点，则PQ的最小值为（）A.1B.2C.3D.524【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出曲线C上点P到直线l距离最小值作答.

【详解】依题意，设曲线C上点21(,)2Ptt，而点Q在直线:30lxy−+=上，由2302xyyx−+==消去x得2260yy−+=，2(2)460=−−，即直线l与曲线C相离，则222221|3||(1)5|(1)5

522422221(1)ttttPQ−+−+−+==+−，当且仅当1t=，即1(,1)2P，且PQl⊥时取等号，所以PQ的最小值为524.故选：D8.已知函数()12e1,023,0xxfxxxx−+=+−，若()()1gxfxaxa=−+−有三个不等零点，则实数a的取

值范围是（）A.()4,5B.()e,3C.()e,4D.5,e2【答案】C【解析】【分析】函数()()1gxfxaxa=−+−有三个不等零点转化为方程()10fxaxa−+−=有三个不等实根.分两种情况讨论：当0x时，1(1)41axx=−−+−，令1(

)(1)41xxx=−−+−，结合()x单调性讨的论根的情况；当0x时，得1e(1)xax−=−，当0a=时，显然方程无实根；当0a时，111exxa−−=，令11(),0exxhxx−−=，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案．【详解】

由()()1gxfxaxa=−+−有三个不等零点，等价于()10fxaxa−+−=有三个不等实根，当0x时，2()23fxxx=+−，由()10fxaxa−+−=，得224(1)xxax+−−=，即2224(

1)4(1)11(1)4111xxxxaxxxx+−−+−−===−−+−−−，令1()(1)41xxx=−−+−，当0x时，()x单调递增，故()(0)4x=，故当4a时，方程1(1)41axx=−−+−无实根；当4a时，方程1(1)41

axx=−−+−在(,0)x−上有一实根．当0x时，1()e1xfx−=+，由()10fxaxa−+−=，得1e(1)xax−=−当0a=时，显然方程无实根；当0a时，111exxa−−=，令11

(),0exxhxx−−=，12()exxhx−−=，当02x时，()0hx，()hx单调递增；当2x时，()0hx，()hx单调递减；即当2x=时，函数()hx取得极大值1(2)eh=(0)eh=−；(1)0h=；当01x时，()0hx；当1x时，

()0hx，作出函数()hx的图象如图，要使()10fxaxa−+−=有三个不等实根，需满足：在(,0)x−上有一实根，在[0,)x+上有两个实根．由图可知1ya=与()hx的图象有两个交点时，110ea，即ea，综上，e4a，即实数a的取

值范围是()e,4．故选：C.二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列na，满足*122,N,nnnnaaanS++=+为na的前

n项和，且31510,0aS==，则（）A.数列na为等差数列B.13nan=−+C.215nSnn=−+D.7n=或8n=时，nS取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】对A，等式移项即可判断，对B，根据等差数列下标和性质求出13a，则可求出d，则得到其通项

，对C，直接利用等差数列前n项和公式即可判断，对D，利用二次函数性质即可判断.【详解】对A，*122,Nnnnaaan++=+，*121,Nnnnnaaaan+++−=−则数列na为等差数列，故A正确，对B，31510,

0aS==，则()()()1153131315151515100222aaaaaS+++====，则1310a=−，则133101020daad=−==−，则2d=−，则()()331023216na

adnnn=+−=−−=−+，故B错误，对C，114a=，则()()12142161522nnnaannSnn+−+===−+，故C正确，对D，215nSnn=−+，开口向下，对称轴为7.5n=，Nn，故当7n=或8n=时,nS取得最大值，故D正确，故选：ACD.10.已知点P为

抛物线24yx=上一点，F为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（）A.点F的坐标为()2,0B.点P到准线最小距离为1C.若点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标是4D.若点A的坐标为()4,2，则PAPF+的最小值为5【

答案】BD【解析】【分析】根据给定的抛物线，求出焦点坐标、准线方程判断AB；利用抛物线定义求出点P的横坐标判断C；利用抛物线定义结合几何图形推理计算判断D作答.【详解】设抛物线24yx=上点00(,)Pxy

，00x，而抛物线的焦点(1,0)F，准线l的方程=1x−，A错误；对于B，点P到准线距离为00(1)11xx−−=+，当且仅当00x=时取等号，即点P到准线l的最小距离为1，B正确；对于C，点P到焦点的距离为5，即0

||15PFx=+=，解得04x=，则2016y=，解得04y=，C错误；对于D，如图，作,PNlAMl⊥⊥，垂足分别为,NM，AM交抛物线于点P，连接,PFAN，则||||||||||||||||P

APFPAPNANAMPAPMPAPF+=+=+=+，当且仅当点,PP重合时取等号，所以min()||4(1)5PAPFAM+==−−=，D正确.故选：BD11.已知函数()321313fxxxx=−−+，下列说法正确的是（）A.

()yfx=有两个极值点B.()yfx=的极大值点为1−的C.()yfx=的极小值为9−D.()yfx=的最大值为103【答案】AB【解析】【分析】求出函数()fx的导数，再利用导数求出函数的极值判断ABC，取特值判断D作答.【详解】函数()321313fx

xxx=−−+的定义域为R，求导得2()23(1)(3)fxxxxx==+−−−，由()0fx得：1x−或3x，由()0fx得：13x−，因此函数()fx(,1),(3,)−−+上单调递增

，在(1,3)−上单调递减，于是函数()fx在=1x−处取极大值8(1)3f−=，在3x=处取极小值(3)8f=−，C错误；函数()fx有两个极值点1,3−，且1−是()fx的极大值点，A正确，B正确；显然32110(6)663611933f=−−+=，D错误.故选：AB12.

已知双曲线2212:1,,3yCxFF−=为双曲线的左､右焦点，若直线l过点2F，且与双曲线的右支交于,MN两点，下列说法正确的是（）A.双曲线C的离心率为3B.若l的斜率为2，则MN的中点为()8,12C.1△MNF周长的最小值为10D.1△MNF周长的最小

值为16【答案】BD【解析】【分析】对A直接计算离心率即可判断，对B，直接得到直线方程，并联立曲线方程，利用韦达定理即可求出MN的中点坐标即可判断，对C和D，利用双曲线定义将三角形周长用弦长MN，则题目转化为求MN的最

值，设线联立方程，再利用弦长公式即可得到答案.【详解】对A，由双曲线方程得1,3ab==，故2c=，则离心率2e=，故A错误，在对B，由方程知()()122,0,2,0FF−，则直线l的方程为()22yx=−，联立双曲线方程化简得216190xx−+=，

设()()1122,,,MxyNxy,则1216xx+=，故1282xx+=，而()12121224242824yyxxxx+=−+−=+−=，则12122yy+=，故MN的中点为(8,12)，故B正确，对C和D，根据双曲线定义得12122

,2MFMFNFNF−=−=，两式相加得11224MFNFMFNF+=++，设1△MNF的周长为C，故11122MNFMFNCFMFNF+=++()224242MFNFMN=++=+，则题目求1△MNF周长的最小值转化为求弦长MN的最小值，设直线l的方程为2xmy−=，联立双曲线方程22

33xy−=得()22311290mymy−++=，根据直线l与双曲线有两个交点,MN,则2310m−，即33m，()()22212431936360mmm=−−=+，当直线l与渐近线平行时，此时13331m==，若要直线l与双曲线交点在右支上

，则2310,0,33mm，222223636113131mMNmmmm+=+=+−−()()()()2222222222111666313131mmmmmm+++===−−−，设2411,3mt+=

，则()2222212416924163119ttMNttttt===−+−−−+令13,14nt=，则2211162493164MNnnn==−+−，则当1n=，即0m=时，min6MN=，此时直线l方程为2x=，

故1△MNF的周长的最小值为16，故C错误，D正确，故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题对C,D选项的判断，首先要灵活运用双曲线定义从而得到142MNFNCM+=，然后题目即转化为经典的弦长最值问题，常用的方法是设线法，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利

用弦长公式表示出MN，设直线时因为直线所过定点在x轴上，故为了简便运算引入参数m，同时要注意双曲线较椭圆更为复杂，尤其是直线与渐近线平行时的特殊情况.三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13.抛物线24xy=的准线方程是

_______【答案】1y=−【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及24p=，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为24xy=，焦点在y轴上，所以：24p=，即2p=，所以12p=，所以准线方程为：1y=−，

故答案是：1y=−.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.14.曲线12xyx−=+在点()1,2−−处的切线方程为__________.【答案】31yx=

+【解析】【分析】求出函数12xyx−=+的导数及在=1x−处的导数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】依题意，222(1)3(2)(2)xxyxx+−−==++，123|3(12)xy=−==−+，所以曲线12xy

x−=+在点()1,2−−处的切线方程为(21)3yx+=+，即31yx=+.故答案为：31yx=+15.一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将

其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了__________个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式__________.【答案】①.73②.18nnaa−=【解析】【分析】根据图形得出图③中共挖掉了多少个，与每次挖掉的正方形个数所构成的数

列的通项，即可根据等比数列的定义得出递推公式.【详解】图③中共挖掉了89173+=个，设每次挖掉的正方形个数为na，根据图形得，0118a==，128a=，238a=，则18nna−=，则递推式为18nnaa−=

.故答案为：73；18nnaa−=.16.已知1a，若对于任意的1,3x+，不等式11ln3ln3exxxaxa−++恒成立，则a的最小值为__________.【答案】3e##13e−【解析】【分析】先利用同构法将题设不等式转化为11ln3lne

3exxxaxa++，再构造函数()()1ln1fxxxx=+，利用导数与函数单调性的关系得到3exxa，从而将问题转化为max3exxa，再次构造函数()31e3xxgxx=求得最值即可得解.【详解】因为lnlnlnelnexxaxaa+=+=，所以11l

n3ln3exxxaxa−++可化为111ln3lnlne3eexxxxaxaxaa+++=+，令()()1ln1fxxxx=+，则()221110xfxxxx−=−+=，所以()fx在)1,+上递增，因为1a，1,3x+，所以31x，103eee1x=，e1

xa，所以11ln3lne3exxxaxa++可化为()()3exfxfa，则3exxa，即3exxa在1,3x+上恒成立，即max3exxa，令()31e3xxgxx=，则()()31exxgx=−，令()0gx，则1

13x；令()0gx，则1x；所以()gx在1,13上单调递增，在()1,+上单调递减，所以()()max31egxg==，所以3ea，即a的最小值为3e.故答案为：3e.【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用

同构法将题设不等式转化为11ln3lne3exxxaxa++，从而构造函数()()1ln1fxxxx=+得到3exxa，由此得解.四､解答题（本题共5小题，共48分.解答应写出文字说明､证明过程或

演算步骤）17.已知函数()()2exfxx=−.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求()fx在1,2−上的值域.【答案】（1）函数()fx在()1,+上单调递增，在(),1−上单调递减；（2）e,0−【解析

】【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性；（2）根据第一问的函数单调性得出其值域.【小问1详解】函数()()2exfxx=−，则()()1exfxx−=，当1x时，()0fx¢>，当1x，()

0fx，故函数()fx在()1,+上单调递增，在(),1−上单调递减；【小问2详解】由（1）可得函数()fx在(1,2上单调递增，在)1,1−上单调递减，且()1313eef−−=−=−，()20f=，则()fx在1,2−上的最大值()()max20fxf=

=，最小值()()min1efxf==−，故()fx在1,2−上的值域为e,0−.18.已知各项为正的等比数列na满足351124aa==，设nnba的前n项和为nS，且2nSn=.（1）求数列nnab的通项公

式；（2）求数列nb的前n项和.【答案】（1）132nna−=，1(63)2nnbn−=−（2）9(69)2nnTn=+−【解析】【分析】（1）由题得21411248aqaq==，解出则可得到na通项

，降次作差可得1(63)2nnbn−=−，再检验1b值即可；（2）1(63)2nnbn−=−，利用乘公比错位相减法即可得到nT.【小问1详解】因为na为各项为正的等比数列，设公比为q,351124aa==,即21411248aqaq==，解得12,3qa

==，所以132nna−=.当2n时,2211(1)21,(63)2nnnnnnbSSnnnbna−−=−=−−=−=−,当1n=时,1111,3bba==，适合上式，所以1(63)2nnbn−=−【小问2详解】设nb的前n项和为nT,则

012213292152(69)2(63)2nnnTnn−−=++++−+−，123123292152(69)2(63)2nnnTnn−=++++−+−，两式相减，得()12136

222(63)2nnnTn−−=++++−−()()19(6212362961223)nnnnn−−=−+−=−−−则9(69)2nnTn=+−.19.已知抛物线2,yxO=为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交

抛物线于,AB两点.（1）若直线AB的斜率为1，求AB；（2）若OAF△与OBF的面积之差的绝对值为14，求直线AB的方程.【答案】（1）2（2）4810xy−−=或4810xy+−=【解析】【分析】（1）先根据题意得到直线AB的方程，再联立抛物线方程得到1212,yyyy+的值，从而

利用弦长公式即可得解；（2）假设直线AB为14xmy=+，联立抛物线方程得到1212,yyyy+的值，再分别求得OAF△与OBF的面积关于12,yy的表达式，进而得到关于m的方程，解之即可得解.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,

AxyBxy，因为抛物线2yx=的焦点为1,04F，又直线AB的斜率为1，所以直线AB方程为14yx=−，联立214yxyx==−，消去x，得2104yy−−=，则12121Δ20,1,4yyyy=+==−，所以()21212122242ABy

yyyyy=−=+−=.【小问2详解】易知直线AB斜率为0时，与抛物线2yx=只有一个交点，不合题意；设直线AB方程为14xmy=+，联立214xmyyx=+=，消去x，得2104ymy−−=

，则212121Δ10,,04myymyy=++==−，因为111128OAFSOFyy==，221128OBFSOFyy==，所以1212111188884OAFOBFmSSyyyy−=−=+==，解得2m=，所以直线AB的方程为124xy=+或124xy=−+，即4810

xy−−=或4810xy+−=.说明：请同学们在（A）､（B）两个小题中任选一题作答.20.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为2，()2,2P−是C上一点.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过原点，且与双曲线交于,AB两点，Q为双曲

线上一点（不同于,AB）.求直线QA与直线QB的斜率之积.【答案】（1）22122xy−=（2）1【解析】【分析】（1）先由双曲线的离心率求得22ba=，再利用点代入求得22a=，从而得解；（2）根据题意设出,,

AQB的坐标，再利用点差法即可求得1=QAQBkk，由此得解.【小问1详解】因为2e=，所以2ca=，即2ca=，所以2222bcaa=−=，所以双曲线2222:1xyCaa−=，因为()2,2P−是双曲线C上一点，所以22421aa−=，解得22a=，则22b=所以

双曲线C的方程为22122xy−=.【小问2详解】依题意，设1122(,),(,)AxyQxy，因为直线l过原点，且与双曲线交于,AB两点，所以由双曲线的对称性可得,AB关于原点对称，则11(,)Bxy−−，所以2121QAyykxx−=−

，2121QByykxx+=+，因为,AQ为双曲线上的点，所以222211221,12222xyxy−=−=，两式相减得22221212xxyy−=−，所以22212112222121121QAQByyyyyykkxxxxxx−+−===−+−.所以直线QA与直线QB的斜率之积为1.2

1.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为2，()2,2P−是C上一点.（1）求双曲线C的方程；（2）直线l过点()1,0，与双曲线的右支交于,AB两点，点D与点B关于x轴对称，求证：,AD两点

所在直线过点2F.【答案】（1）22122xy−=；（2）证明负了解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线离心率可得ab=，再将给定点代入计算作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答.【小问1详解】双曲线2222:1(0,0)xyCabab

−=的离心率2e=，则22222abea+==，即ab=，又点()2,2P−C上，即22421ab−=，解得2ab==，所以双曲线C的方程为22122xy−=.【小问2详解】显然直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为：1xmy=+，由（1）知

，双曲线渐近线yx=，而直线l与双曲线右支交于两点，则11m，即01m，由2212xmyxy=+−=消去x并整理得：22(1)210mymy−+−=，在()()222Δ4414210mmm=+−=−，则2

12m，设1122(,),(,)AxyBxy，则22(,)Dxy−，于是12122221,11myyyymm−−+==−−，则12122yymyy+=，而2(2,0)F，有211222(2,),(2,)FAxyFDxy=−=−−，因此122112211212(2)(2)(1)(1)2()0

xyxymyymyymyyyy−+−=−+−=−+=，即22//FAFD，而22,FAFD有公共点2F，从而2,,AFD三点共线，所以,AD两点所在直线过点2F.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中动直线过已知定点问题，根据条件

求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系，再借助共线向量的坐标表示推理解决.说明：请同学们在（A）､（B）两个小题中任选一题作答.22.已知函数()lnfxxxmx=+.（1）讨论函数()fx在)1,+上的单调性；（2）若()()212pxfxmx=−有两个极值点，求m的取值范围

.【答案】（1）见解析（2）0m【解析】【分析】（1）()ln1fxxm=++，分1m−和1m−讨论即可；（2）()ln1pxxmxm=+−+，题目转化为()px有两个零点，利用分离参数法得ln11

xmx+=−，设ln1()1xgxx+=−，利用导数研究()gx得图像即可得到答案.【小问1详解】()lnfxxxmx=+，()ln1fxxm=++，当)1,x+，则ln11xmm+++若1,()ln10mfxxm−=

++,则()fx在[1,)+上单调递增；若1m−,令()0fx¢>，即ln10xm++，1e1mx−−则()fx在()1e,m−−+上单调递增.令()0fx，解得1e1mx−−，则()fx在)11,em−−上单调递减，综上，当1m−时，()

fx在[1,)+上单调递增，当1m−时，()fx在()1e,m−−+上单调递增，在)11,em−−上单调递减.小问2详解】21()ln2pxxxmxmx=+−，()ln1pxxmxm=+−+，因为()px有两个极值点,所以()px有两个零点,显然,1不

是()px的零点，由ln10xmxm+−+=,得ln11xmx+=−.即直线()hxm=与ln1()1xgxx+=−有两个交点，2211ln1ln()(1)(1)xxxxxgxxx−−−−−==−−，令221111()ln,()xxxxxxxx−=−−=−=,令21()0xxx−

==，解得1x=，且当()0,1x时，()0x，当(1,)x+时，()0x所以()x在(0,1)上单调递增,()x在(1,)+上单调递减,而(1)1=−,故()0x,所以()gx在(0,1),和(1,)+上单调递减，

又在(0,1)上,x趋近于0时,()gx趋近于正无穷，x趋近于1时,()gx趋近于负无穷，故函数()gx在()0,1之间存在唯一零点，在(1,)+上,x趋近于1时,()gx趋近于正无穷，x趋近于正无穷时,()gx趋近于0.作出图形

如下图所示：【所以0m.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键在于等价转化为导函数在定义域上有两零点，然后利用分离参数法，得到ln11xmx+=−，转化为直线()hxm=与ln1()1xgxx+=−有两个交点，研究()gx的图象，数形结合即可得到m的范围.23.（B）已知函数()

lnfxxxmx=+.（1）讨论函数()fx在)1,+上的单调性；（2）若()()()2112pxfxxmxm=−−+有两个极值点12,xx，且212xx，求证：312emxx.（参考数据：ln

20.69）【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对()fx求导，再分类讨论1m−与1m−，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）先将问题转化为()lnxgxx=的图像与1ym=的图像有两个交点，从而利用导数研究()gx的图像得到em

；再利用极值点偏移，构造函数证得212exx，由此得证.【小问1详解】因为()lnfxxxmx=+，所以()ln1fxxm=++，因为)1,x+，所以ln0x，当10m+时，即1m−时，()ln1

0fxxm=++，则()fx在)1,+上单调递增；当10m+，即1m−时，10m−−，10ee1m−−=，令()0fx，得1emx−−；令()0fx，得11emx−−，则()fx

在)11,em−−上单调递减，在()1e,m−−+上单调递增；综上：当1m−时，()fx在)1,+上单调递增；当1m−时，()fx在)11,em−−上单调递减，在()1e,m−−+上单调递

增.【小问2详解】因为()()()()22111ln022pxfxxmxxxxxxmm=−−+=−−，所以()ln11lnxxpxxxmm=+−−=−，因为()px有两个极值点12,xx，所以()lnxpxxm=−有两个零点12,xx

，即方程ln1xxm=有两个根12,xx，令()()ln0xgxxx=，则()gx的图像与1ym=的图像有两个交点，又()21lnxgxx−=，令()0gx，得0ex；令()0gx，得ex；所以()gx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减

，则()()max1eegxg==，又当01x时，ln0x，则()0gx；当1x时，ln0x，则()0gx；当x趋于无穷大时，lnyx=的增长速率远远小于yx=的增长速率，所以()gx趋于0，由此作出()gx的图像如下：所以1

10em，则em，又1212lnln1xxmxx==，则12121212lnlnlnln1xxxxmxxxx+−==+−，故()22112121221221111lnlnlnlnlnln1xxxxxx

xxxxxxxxxx++=+=−=−−，因为2120xx，令21xtx=，则2t，令()12()lnlnln211tqttttttt+==+−−，则()12lnxxqt=，22(1)2(1)2ln()(1)ttttqttt−+−−−=，令()2()(1)2(1)2ln1tt

tttt=−+−−，则()2(ln1)ttt−=−，令()()2(ln1)1tttt=−−，则()()211210txtt−=−=，所以()t在()1,+上单调递增，则()()1

0t=，即()0t，所以()t在()1,+上单调递增，则()()10t=，故当2t时，()0t，2(1)0tt−，则2()()0(1)tqttt=−，所以()qt在()2,+上单调递增，又3228e=，则3

2ln2lne，即3ln22，所以()(2)3ln22qtq=，故()12ln2xxqt=，即212exx，又em，所以312emxx.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分

类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com