【文档说明】辽宁省丹东市2020-2021学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 含答案.docx，共(13)页，855.441 KB，由小赞的店铺上传

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丹东市2020～2021学年度（下）期末教学质量监测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1．已知集合03Axx=，2Bxyx==−，则RAB=ð（）A．0xx

B．02xxC．03xxD．23xx2．命题“0xR，200250xx++”的否定（）A．xR，2250xx++B．0xR，200250xx++C．xR，2250xx++D．0xR，20

0250xx++3．已知等差数列na的公差为d，若na为递增数列，则（）A．0dB．0dC．10adD．10ad4．()tanx=（）A．1tanxB．1tanx−C．21sinxD．21cosx5．已知关于x的方程()222130xmxm−−−=的

两个实数根的倒数和等于0，则（）A．1m=−B．0m=C．1m=D．1m=6．将2封不同信投入4个不同邮箱，每个邮箱最多投一封信的概率为（）A．13B．38C．12D．347．已知三个正实数a，b，c满足22242abc+=，则2cc

ab++的最小值为（）A．2B．2C．22D．48．当0x时，()31xkkx++，则k的取值范围为（）A．2B．(0,2C．(,2−D．)2,+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知1ab，下列不等式中正确的是（）A．2abaB．2bab−−C．ccabD．1111ab−−10．设函数()()512fxx=+的导函数为()fx，则（）A．()fx展开式的第2项和第3项的二项式系数相等B．()fx展开

式共有6项C．()fx展开式中的各项系数和为810D．()fx展开式中的3x系数为32011．设数列na的前n项和为nS，下列命题正确的是（）A．若na为等差数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−仍为等差数列B．若na为等比数列，则nS，2n

nSS−，32nnSS−仍为等比数列C．若na为等差数列，则naa（a为正常数）为等比数列D．若na为等比数列，则lgna为等差数列12．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和

4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A，2A和3A表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A．()25PB=B．()1411PBA=C．事件1A与事件B相互独立D．1A，2A，

3A是两两互斥的事件三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况，从全地区高三年级男同学中随机抽取了10000同学为样本，分别测量样本中每名同学的体重X（单位：kg），已知()

260,XN～，()586207PX=.，则样本中体重不低于62kg的人数为______．14．等比数列na中，39a=−，114a=−，则7a=______．15．设a，()0,1b，随机变量X的分布列如表所示：X

02a1Pa12b则()EX=______；若14a=，则()DX=______．（本题第一空2分，第二空3分．）16．等差数列na中，17a=−，1223910111977aaaaaa+++=−，若nS为na的前n项和，则使

nnS取最小值时的n值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。17．设函数()()fxanxb=+，曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程为10xy++=．（1）求实数a，b的值；（2）求()

fx的极值．18．设等差数列na的前n项和为nS，已知61a=，100S=．（1）求数列na的通项公式na；（2）记123nnTaaaa=，数列nT是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．19．2020年10月29日

，十九届五中全会发布公报，提出“稳妥实施渐进式延迟法定退休年龄”，标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实．某研究机构以3年为一个调研周期，统计某地区的第x个调研周期内新增的退休人数y（单位：万人），得到统计数据如下表：x1234y46

911通过数据分析得到第x个周期内新增的退休人数y与x之间具有线性相关关系．（1）求y关于x的线性回归方程，并预测在第5个调研周期内该地区新增退休人数（２）该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和性别进行了统计，得到如下22列

联表：支持不支持合计男性42850女性371350合计7921100根据列联表判断，是否有90%的把握认为支持延迟退休与性别有关？附：回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆniiinii

xxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−．参考数据：()()4112iiixxyy=−−=．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，P()20Kk0.1500.1000

.0500.0250k2.0722.7063.8415.02420．记nS为数列na的前n项和，0a，q为常数，且0q，1q，证明：na是以q为公比的等比数列的充要条件为11nnaaqSq−=−．21．为了避免就餐聚集和减少排队时

间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，

如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为nP．（1）证明：25nP−为等比数列；（ⅱ）证明：当2n时，512nP．22．已知以下三个不等式都成立：①2

110xxe+−()1x；②ln220xx−+()1x；③12ln0xxx+−()01x．（1）从这三个不等式中选择一个不等式进行证明：注：如果选择多个不等式分别进行证明，按第一个证明计分．（2）若函数()1ykx=−与lnyx

=的图像有且只有一个公共点，求k的取值范围.2020～2021学年度（下）期末教学质量监测高二数学试题参考答案一、选择题1．A2．C3．A4．D5．C6．D7．B8．A二、选择题9．AD10．BCD11．AC12．BD三、填空题13．15

0014．6−15．12；1816．56．解：242344AP==．或者1423144CP=−=．7．解：222222cccccababab+=，当且仅当2ab=，等号成立．2224212444cabababababbaba+==

+=，当且仅当2ab=时，等号成立．因此22ccab+，当且仅当2ab=时，等号成立．于是2ccab+的最小值为2．8．解法1：不等式()31xkkx+＋可化为()()()211xxxkx−+−．当01x时，2kxx+，可得2k；当1x=时，00，kR；当1x时

，2kxx+，可得2k．综上，k的取值范围为2．解法2：设()()31fxxkkx=+−+，则()0fx，()10f=所以()10f=．因为()()231fxxk=−+，所以()310k−+=，2k=．若2

k=，则()332fxxx=−+，()()231fxx=−．当01x时，()0fx，()fx单调递减，当1x时，()0fx，()fx单调递增，故()()10fxf=．综上，k的取值范围为

2．12．解：()1310PA=，()2210PA=，()3510PA=．因为()1431110PBA=，所以()()()111434111031110PBAPBAPA===．同理()2311PBA=，()3

311PBA=．因为1A，2A，3A是两两互斥的事件，由全概率公式得()()()()123PBPBAPBAPBA=++()()()()()()112233PBAPAPBAPAPBAPA=++433235311101110111010=++=因为()()1PBAPB

，所以选项C错误．综上，选项A错误，选B项正确，选D项正确．15．解：由题设112ab++=，可得12ab+=．从而()1102122EXaabab=++=+=．由14a=，可得14b=，于是()2

22111111110124222248DX=−+−+−=．16．解：设na的公差为d，则12239101223910111111111111aaaaaadaadaadaa+++=−+−

++−12923101111111daaaaaa=+++−+++110111daa=−．111119daad=−+．()9779d=−−+．由已知得()99779

77d=−−−+，解得2d=．所以()()217282nnnSnnn−=−+=−，328nnSnn=−．设()328fnnn=−，()2316fnnn=−，则()fn在160,3递减，在16,3+递增．因为*nN，比较()5f与()6f大小可知，

当5n=时，nnS取得最小值75−．四、解答题17．解：（1）()lnfxaxaab=++，由题设可得()11f=−，()12f=−，所以1,2.aabab+=−=−解得1a=，2b=−．（2）()fx定义域为()0,+

，()ln1fxx=−．当0xe时，()0fx，()fx单调递减，当xe时，()0fx，()gx单调递增，所以当xe=时，()fx取极小值()fee=−，没有极大值．18．解：（1）设na的公差为d，由题设151ad+=，110450ad+

=．解得19a=−，2d=，所以na的通项公式211nan=−．（2）由211nan=−知当5n时，0na，当6n时，0na，故当6n时，0nT．因为19a=−，27a=−，35a=−

，43a=−，51a=−，所以当4n=时，4945T=是nT的最大项．19．解：（1）由题表中的数据可得2.5x=，7.5y=，()4215iixx=−=．因为()()4112iiixxyy=−−=，所以()()()12112ˆ2.45niiiniixxyybxx==−−===−，ˆ

ˆ7.52.42.51.5aybx=−=−=．因此y关于x的线性回归方程为..ˆ1524513.5y=+=．所以预测下一个调研周期内该地区新增的退休人数约为135．万人．（2）由22列联表可得，()2210042138371.50750507921K−=．因为1

5072706．．，所以没有90%的把握认为支持延迟退休与性别有关20．证明：充分性由11nnaaqSq−=−，可知1111nnaaqSq++−=−．由11nnnSSa++−=，可得1nnaaq+=，而10a，0q，故na是以q为公比的等比数列．必要性因为123nnSaaaa

=++++．①根据等比数列定义1nnaqaq+=，于是2341nnSaaaa+=++++②①－②可得()111nnqSaa+−=−．因为1q，所以11nnaaqSq−=−．【或者】必要性根据等比数列通项公式，可得211111nnSaaqa

qaq−=++++．③③两式同时乘以q可得231111nnqSaqaqaqaq=++++．④③－④可得()1111nnnqSaaqaaq−=−=−．因为1q，所以11nnaaqSq−=−．

【注】必要性，使用()111nnaqSq−=−和11nnaaq−=进行证明，给0分．21．解：（1）设1A=“第1天选择米饭套餐”，2A=“第2天选择米饭套餐”，则1A=“第1天不选择米饭套餐”．根据题意()13

10PA=，()113PA=，()1214PAA=，()1211122PAA=−=．由全概率公式，得()()()()()21211212111134323PAPAPAAPAPAA=+=+=．（2）（i）设nA=“第

n天选择米饭套餐”，则()nnPPA=，()1nnPAP=−，根据题意()114nnPAA+=，()111122nnPAA+=−=．由全概率公式，得()()()()()()1111111114242nnn

nnnnnnnnPPAPAPAAPAPAAPPP++++==+=+−=−+．因此1212545nnPP+−=−−．因为1240515P−=，所以25nP−是以415为首项，14−为公比的等比数列．（ii）由（i）可得12415154nnP−=+−．当

n为大于1的奇数时，1224124155154515412nnP−=++=．当n为正偶数时，1241255154512nnP−=−．因此2n当时，512nP．22．解：方案一：证明不等式①．设()21

1exxfx+=−，当1x时，()2(1)0exxfx−=−，()fx单调递减．所以2()(1)10efxf=−，故不等式①成立．（2）设()()1lngxkxx=−−，则函数()1ykx=−与lnyx=的图像有且只有一个公共点等价于

()gx有且只有一个零点．当0k时，()gx在()0+，单调递减，()10g=，故()gx只有一个零点1x=．()gx定义域为()0+，，()1kxgxx−=．当0k时，若10xk，则()0gx，()gx单调递减，若1xk，则()0gx，()gx单调递增

，所以()1gxgk．若1k=，()1lnx0gxx=−−，()gx有且只有一个零点1x=．若1k，则()11ln0gkkk=−−−．当1k时，101k＜，因为()10g=，所以()gx在1,k

+存在一个零点1x=．由不等式①可得211kekk+．因此10kek−，()0kkkgee−=，()gx在10,k存在一个零点，故()gx有2个零点．当01k时，11k，因为()10g=，所以()gx在10,k存在一个零点1x=．由

不等式①可得1211e1kkk+．所以112111ee10kkgkkkkkkk=−−+−−=，()gx在10,k存在一个零点，故()gx有2个零点．综上，k的取值范围为(,01−．方案二：证明不等式②．设

()ln22fxxx=−+，当1x时，()10xfxx−=，()fx单调递减．所以()()10fxf=，故不等式②成立．（2）设()()1lngxkxx=−−，则函数()1ykx=−与lnyx=的图像

有且只有一个公共点等价于()gx有且只有一个零点．当0k时，()gx在()0+，单调递减，()10g=，故()gx只有一个零点1x=．()gx定义域为()0+，，()1kxgxx−=．当0k时，若10xk，则()0gx，

()gx单调递减，若1xk，则()0gx，()gx单调递增，所以()1gxgk．若1k=，()1ln0gxxx=−−，()gx有且只有一个零点1x=．若1k，则()11ln0gkkk=−−−．当1k时，101k，因

为()10g=，所以()gx在10,k存在一个零点1x=．由1ln0kk−−可得1kek−，11kekk+．因此01ke−，()0kkkgee−＝，()gx在10,k存在一个零点，故()gx有2个零点．当

01k时，11k，因为()10g=，所以()gx在10,k存在一个零点1x=．此时221kk−，当1x时，由不等式②可得()()()()()()1ln12112gxkx

xkxxxkxk=−−−−−=−+−．于是220kgk−，()gx在1,k+存在一个零点，故()gx有2个零点．综上，k的取值范围为(,01−．方案三：证明不等式③．设()12lnfxxxx=+−，当01x时，()()2210xfxx−

=−，()fx单调递减．所以()()10fxf=，故不等式③成立．（2）设()()1lngxkxx=−−，则函数()1ykx=−与lnyx=的图像有且只有一个公共点等价于()gx有且只有一个零点．当0k时，()gx在()0+，单调递减

，()10g=，故()gx只有一个零点1x=．()gx定义域为()0+，，()1kxgxx−=．当0k时，若10xk，则()0gx，()gx单调递减，若1xk，则()0gx，()gx单调递增，所以()1gxgk．若1k=，()1ln0gxxx=−−，()g

x有且只有一个零点1x=．若1k，则()11ln0gkkk=−−−．当1k时，101k，因为()10g=，所以()gx在1k+，存在一个零点1x=．由1ln0kk−−可得1kek−，11kekk+．因此10kek−，()e0ekkkg

−=，()gx在10k，存在一个零点，故()gx有2个零点．当01k时，2111kk，因为()10g=，所以()gx在1k+，存在一个零点1x=．由不等式③可得2112ln0gkkkk=+−，()gx在1,k+存在一个零点，故()g

x有2个零点．综上，k的取值范围为(,01−．【注】关于第二个问的解答：（1）后半部分，不等式①②③的任何一个都可以直接使用．使用其他二级结论的，需要对结论进行证明，否则不能给满分．（2）当1k时以及当0

1k时，运用“0x→时，()gx→+”和“x→+时，()gx→+”去说明，不讲明白为什么()gx→+的解答，不能给满分．（3）求出lnyx=在()1,0处的切线1yx=−后，再用图像说明当01k与1k时，函数()1ykx=−与lnyx=有两个个公共点的解答，给0

分．