【文档说明】山东省滨州市沾化区、阳信县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.169 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年第二学期期中考试高一数学试题本试卷共4页，共22题，满分150分，考试时间为120分钟注意事项：1．答题前务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号填在规定位置．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米字迹的签字笔

书写，字迹工整、笔迹清楚．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数20232i12iz=+（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于

（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算及复数的几何意义即可判定【详解】()()()()2023505432i12i2i2i2i442i12i12i12i12

i555z+−−−−=====−−+++−，即z对应的点为42,55−−位于第三象限.故选：C2.设a，b是两条不同的直线，是平面，b，那么“ab”是“aP”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析

】【分析】从充分性及必要性两个角度分析.【详解】由线面平行性质定理ab，b，a，方可推出aP，“ab”不是“aP”的充分条件；aP可在平面内找到一条直线与a平行，不一定有ab，故“ab”不是“aP”的必要条件；综上，“ab”是“aP

”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知30B=，2b=，2c=，则（）A.31a=+B.15A=C.45C=D.△ABC为钝角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理求解45C=或135C=，

再分类讨论逐个判断即可【详解】由正弦定理，221sin2C=有2sin2C=，因为()0,C，故45C=或135C=，故三角形有两种解，故ABC均错误，当45C=时，1845301050A=−−=，或当13

5C=时△ABC均为钝角三角形，故D正确；故选：D4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若13CDCACB=+，则λ等于（）A.13B.23C.12D.34【答案】B【解析】【分析】利用共线向量定理求解.【详解】因为D

是AB边上的一点，所以A，B，D三点共线，所以ADkBA=，则CDCAkCAkCB−=−，因为13CDCACB=+，所以()032kCAkCB+−+=，因为A，B，C不共线，所以2030

kk+=+=，解得23=，故选：B5.ABC的三个内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2cos,coscos2caBaBbAa=+=，则ABC的形状是（）A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定

理及正弦定理进行边角互化化简，即可判断.【详解】解：2222cosacbcaBc+−==，整理得，22ab=，即ab=，coscos2aBbAa+=，由正弦定理得，sincossincos2sinABBAA+=，即()sinsin2si

nABCA+==，由正弦定理得2ca=，故222+=abc，故ABC为等腰直角三角形.故选：D.6.一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢

出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）A.536cmB.109cmC.209cmD.8096cm【答案】B【解析】【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽

中水面上升的高度.【详解】直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V＝31423R＝3160003cm；∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh．∴水槽上升的高度h＝109VS=故选：B．7.已知ABC为锐角三角形，2AC

=，π6A=，则BC的取值范围为（）A.()1,+B.()1,2C.231,3D.23,23【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角形得出角B的范围，再利用正弦定理及三角函数的性质即可求解.【详解】因为ABC为锐角三角形，所以π6π

25ππ0620BBA=−,解得ππ32B,所以3sin12B在ABC中，由正弦定理，得sinsinACBCBA=，即2sinsin1sinπsinin6sACABCBBB===,由3si

n12B，得1231sin3B，即2313BC.所以BC的取值范围为231,3.故选：C.8.如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴上移动．若2，=ADaOBOC，则a的最大值是（）A.1B.2C.2D.3【答案

】A.【解析】【分析】设DAO=，分别求出点,BC的坐标，再根据题意即可得出不等式，解出即可.【详解】设DAO=，所以点()sincos,cosBaaa+，()sin,sincosCaaa+，所以()()sinsincoscossincos

OBOCaaaaaa=+++()()222sincos1sin22aa=+=+，即2min211sin2a=+，当且仅当π4=时取等号，所以a的最大值是1.故选：A.二、多项选择题

：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知z为复数，下列说法正确的是（）A.2zzz=B.2zzz=C.2zzz+D.1z

z+【答案】BC【解析】【分析】令i(,R)zabab=+，然后逐个分析判断即可【详解】令i(,R)zabab=+，则i(,R)zabab=−，对于A，因为()()22iizzababab=+−=+，()222222i2i(i)2izabaabbabab=+=

++=−+，所以2zzz，所以A错误，对于B，因为()()22iizzababab=+−=+，()222222zabab=+=+，所以，2zzz=，所以B正确，对于C，因为22zzaa+==，22222zaba=+，所以2zzz

+，所以C正确，对于D，因为两个虚数不能比较大小，所以D错误，故选：BC10.已知平面平面c=，直线a，//ac，直线b，且b与c相交，则a和b的位置关系不正确的是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能【答案

】ABD【解析】【分析】通过空间中线面与线线位置关系，对三种不同情况进行讨论与判断，即可得到答案.【详解】若a与b平行，//ac，//bc，与b与c相交矛盾，所以A错误；若a与b相交，由直线a，直线b，平面a平面c=，可

知a与b都在同一点处与c相交，这与//ac矛盾，所以B错误；因为空间中两条直线的位置关系由平行、相交、异面这三种情况，故a与b只能异面，所以选项C正确；综上所述，选项D错误.故选：C.11.已知非零平面向量a，b，c，则（）A.存在唯一的实数对m，n，使得cmanb=+B.若

0==abac，则bc∥C.若a，b，c共线，则abcabc=++++D.若0ab=，则abab+=−【答案】BD【解析】【分析】根据平面向量的运算法则，逐项验证可得答案.【详解】对于选项A，若,ab共线时，不一定存在实数对m，n，使得cmanb=+，A不正确；对于选项B，因为0==ab

ac，且a，b，c，均为非零向量，所以b，c均与a垂直，所以bc∥，B正确；对于选项C，只有a，b，c同向时，才有abcabc=++++成立，C不正确；对于选项D，2222222,2abababababab+=++−=+−，因

为0ab=，所以abab+=−,D正确.故选：BD.12.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为,,,PAPDPCPB的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（）的A.平面//EFGH平面

ABCDB.直线//PA平面BDGC.直线//EF平面PBCD.直线//EF平面BDG【答案】ABC【解析】【分析】由线面平行的判定定理可得//EF平面ABCD，//EH平面ABCD，进而得出平面//EFGH平面ABCD，故A正确；由中位线可知//MGP

A，进而由线面平行的判定定理，可得//PA平面BDG，故B正确；由//EFBC，可得//EF平面PBC，故C正确；//EFBC，BCBDB=所以直线EF与平面BDG不平行，故D错误.【详解】作出立体图形如图所示.连接,,,EFGH四点构成平面EFGH.对于A，因为E,F分别是,PAPD的中点,

所以//EFAD.又EF平面ABCD，AD平面ABCD，所以//EF平面ABCD.同理,//EH平面ABCD.又EFEHE=,EF平面EFGH,EH平面EFGH，所以平面//EFGH平面ABCD，故A正确；对于B，连接,,,ACBDDGBG，设

AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以//MGPA，又MG平面BDG,PA平面BDG，所以//PA平面BDG，故B正确；对于C，由A中的分析知//EFAD，//ADBC，所以//EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线//EF平面PBC，故C正确；对于D，根

据C中的分析可知//EFBC再结合图形可得，BCBDB=，则直线EF与平面BDG不平行，故D错误.故选：ABC【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题目.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知|||

|3ab==，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为32e，则a与b的夹角为_________【答案】60##3【解析】【分析】根据向量a在向量b上投影向量为32e，由cos,32abab

abbb==求解.【详解】解：因为向量a在向量b上的投影向量为32e，所以cos,32abababbb==，即1cos,2ab=，因为,0,ab，所以,60ab=，故答案为：6014.在ABC中，若60A=，3a=，则sinsinsinabcA

BC−−=−−______．【答案】2【解析】【分析】利用正弦定理结合已知条件计算即可【详解】由正弦定理得32sinsinsinsin60abcABC====，所以2sin,2sin,2sinaAbBcC===，所以22sin2sin2sin

sinsinsinsinsinsinabcABCABCABC−−−−==−−−−，故答案为：2的15.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为2π，则该圆锥的体积为____________【答案】3π3##3π3【解析】【分析】先利用侧面积求出

底面半径，然后利用圆锥的体积公式可求答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为母线长为2，侧面积为2π，所以2π2πr=，解得1r=；所以2223hr=−=，圆锥的体积213ππ33Vrh==.故答案为：3π3.16.在△ABC中，,,abc分别是角,,AB

C的对边，若3a=，3bc+=，向量()()2cos23,2,2cos,1mAnA=+=，且//mn.则△ABC的面积是_________【答案】32##132【解析】【分析】先根据向量平行求出1cos2A=，结合余弦定理可得2bc=，利用面积公式可求答案.【详解】因为

()()2cos23,2,2cos,1mAnA=+=，//mn；所以24cos2cos234cos1AAA=+=+，解得1cos2A=；()2222221cos222bcbcabcaAbcbc+−−+−===，即312bcbc−=，解得2bc=；又1cos2A=，所以3sin2A=

，所以△ABC的面积为13sin22SbcA==.故答案为：32四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量(1,1)a=−，||2b=，且(2)4abb+=．（1）求向量a与

b的夹角；（2）求||ab+的值．【答案】（1）3；（2）6．【解析】【分析】（1）求出ab，然后由数量积的定义求得夹角；（2）计算出2()ab+后可得所求模．【详解】（1）由题意2a=，2(2)2224abbabbab+=+=

+=，∴1ab=，∴22cos,1abab==，1cos,2ab=rr，∴,3ab=；（2）2222||()22226ababaabb+=+=++=++=，∴||6ab+=．18.

已知复数1iza=+，21iza=−，其中i是虚数单位，aR．（1）若12zz为纯虚数，求a的值；（2）若211220zz++=，求12zz的虚部．【答案】（1）0a=；（2）1.【解析】【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可；（2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、

复数虚部定义进行求解即可.【小问1详解】由题意得，()()()212i1i21izzaaaa=+−=+−因为12zz为纯虚数，所以0a=且210a−，综上，0a=．【小问2详解】因为1iza=+，所以()()2i2i20aa+++

+=，即()()2121i0aa+++=，所以1a=−，所以2121iiii1i1izz−++===++，所以12zz的虚部为1．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，CDAB∥，AB=2CD

，设平面PAD与平面PBC交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：//l平面DEF．【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD，BC交于点M，根据线面平行判定定理证明//PM平面DEF，然后根据线面平行性质

证明//l平面DEF．【详解】证明：延长AD，BC交于点M，因为CDAB∥，AB=2CD，所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以DEPM∥，因为DE平面DEF，PM平面DEF，所以//PM平面DEF，又P，M平面PAD，P，M平面

PBC，所以平面PAD平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以//l平面DEF．20.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知222sinsinsinsinsinACBCB−−=．（1）求角A；（2）若3a=，求ABC周长的取值范围．【答案】（1）2π3A=（2）(2

3,23+的【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，解得222bcabc+−=−，2221cos22bcaAbc+−==−，从而得到2π3A=．（2）由正弦定理可得2sin2sinbcBC+=+，由（1）及差角正弦公式、辅助角

公式、正弦型函数性质求bc+范围，即可求ABC周长的范围．【小问1详解】因为222sinsinsinsinsinACBCB−−=，所以222sinsinsinsinsinCBACB+−=−，由正弦定理sinsinsinabcABC==，得2

22bcabc+−=−．故2221cos22bcaAbc+−==−，因为(0,π)A，故2π3A=．【小问2详解】由正弦定理得：322πsinsinsinsin3bcaBCA====，所以，2sin2sinbcBC+=+π2sinsin3BB=+−13π2sincos2s

in223BBB=+=+．又π0,3B，则ππ2π,333B+，所以(3,2bc+，又3a=，所以ABC周长的取值范围是(23,23+．21.如图，正四棱锥P-ABCD的侧

棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA=5∶8．（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线//MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；（2）假设存在满足条件（1）的点N，求线段MN的长．【答案】（1）存在，:

5:8BNND=（2）7【解析】【分析】（1）假设存在一点N，使直线//MN平面PBC，连接AN并延长，交BC于E，连接PE．可得∥MNPE，58PMNEMANA==，再由ADBC∥，可得58ENBNNAND==，假设成立，并且此时:5:8BNND=.（2）由（1）得658BE=，然后利用余弦

定理求得918PE=，又因∥MNPE，即可求得MN的长.【小问1详解】存在，:5:8BNND=；理由如下：假设存在，连接AN并延长，交BC于E，连接PE．因为//MN平面PBC，PE平面PBC，PE平面APE，所

以∥MNPE，则58PMNEMANA==，因为正方形ABCD中，ADBC∥，所以58ENBNNAND==，假设成立.则此时:5:8BNND=.【小问2详解】由（1）得:5:8BEAD=，所以658BE=；PBE△中，2222cos60PEPB

BEPBBE=+−，所以2226565182811321388264PE=+−=所以918PE=；因为∥MNPE，所以:8:13MNPE=，所以9187813MN==．22.如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O

的直线与边AB，AC分别交于点M，N．（1）求证：11||||AMAN+的值为常数；（2）求2211||||OMON+的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）[15,18]【解析】【分析】（1）设A

M=，AN=，ABb=，ACc=分别表示出MNcb=−，1133MObc=−+，根据M，O，N三点共线，求得11||||AMAN+的值为常数；（2）在△AOM中，2333AOAD==，π6OAM=，5π6AMO=−，由正弦定理s

insinOAOMAMOOAM=，解得13sin3cosOM=+，由正弦定理得sinsinOAONANOOAN=，得到13sin3cosON=−，222221118sin6cos612sinOMON+=+=+，最后结合三角

函数及角度范围求得2211||||OMON+的取值范围.小问1详解】连接AO并延长，交BC于D，则D是BC的中点，设AM=，AN=，ABb=，ACc=【则AMAB=，ANAC=，设则11()()22ADABACbc=+=+，21()33AOAMbc==+①

，又AMABb==，ANACc==②，所以MNANAMcb=−=−，111()333MOAOAMbcbbc=−=+−=−+．因为M，O，N三点共线，故存在实数t，使MOtMN=，所以1313tt−=−=，所以113+=，即11||

||AMAN+的值为常数；【小问2详解】设=AOM，则π2π33．在△AOM中，2333AOAD==，π6OAM=，5π6AMO=−，由正弦定理得：sinsinOAOMAMOOAM=，即33π5πsinsin

66OM=−，所以13sin3cosOM=+．在OAN中，π6ANO=−，由正弦定理得：sinsinOAONANOOAN=，即33ππsinsin66ON=−，所以13sin3co

sON=−222211(3sin3cos)(3sin3cos)OMON+=++−22218sin6cos612sin=+=+，因为π2π33，所以3sin12，所以215612sin18+；所以22

11||||OMON+的取值范围是[15,18]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com