【文档说明】重庆市渝北中学2023-2024学年高三上学期10月月考质量监测+数学+含解析.docx，共(27)页，2.147 MB，由小赞的店铺上传

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渝北中学2023-2024学年高三10月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，

字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2|3100,Axxx=−−|22xBx

=，则AB=（）A.(2,1)−B.(5,1)−C.D.{0}2.已知向量(1,1)a=−，(2,)bx=，若//abrr，则=ab（）A.3B.3−C.4D.4−3.若等比数列na，前n项和nS，且2312aaa=，54为4a与72a的等差中项，则公比q=

（）A.13B.12C.12−D.13−4.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此

具有小排气量就能成就高动力输出的优点.另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段囫弧组成的曲边三角形（如图

所示）.设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）A.8π123−B.8π83−C.16π83−D.16π43−5.若111cos,cos(),(0,),(,)71422=+=−+，则为A.3−B.6C.

3D.6−6.在ABC中，2AB=，60BAC=，6=BC，D为BC上一点，AD为BAC平分线，则AD=（）．A.2B.22C.3D.327.已知定义域为R的奇函数()yfx=的导函数为()yfx=，当

0x时，()()0fxfxx+，若()1af=，3311loglog99bf=，11lnln22cf=，则（）A.acbB.b<c<aC.abcD.c<a<b8.已知函数()()elne(0)xfxaaa

=+，若对任意实数1x，不等式()()ln1fxx−总成立，则实数a的取值范围为（）A.210,eB.221,eeC21,e+D.21,e+二、选择题（本大题共

4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.向量()12,3e=−，231,2e=−

能作为平面内所有向量的一组基底B.若点G是ABC的重心，则0GAGBGC++=C.若0ab=，则0a=或0b=D.若向量()1,1a=−，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为2a的.10.（多选）函数()()sinfxAx=+（0A，0，

π2）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()yfx=的周期是2πB.函数()yfx=的图象关于直线5π12x=−对称C.函数()yfx=在5ππ,6−−上单调递减D.该函数的图象可由2

cosyx=的图象向左平行移动π6个单位长度得到11.已知数列na满足1112222nnnaaan−++++=，则（）A.14a=B.na的前10项和为150C.()1nna−的前11项和

为-14D.10na−的前16项和为16812.已知函数()fx的定义域为R，且()()11fxfx+=−，()()2fxfx−=−−，且当1,1x−时，()21fxax=+，则下列说法正确的是（）A.函数()

1yfx=−为奇函数B.当3,5x时，()2814fxxx=−+C()()()()123991ffff++++=D.若()()()9log1gxfxx=−+，则()gx恰有4个不同的零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a，b的夹角为π6，且2=a，3

b=，则ab−等于______．14.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinbaCcaAB−=++，则角B的大小为________．15.已知0a，0b，且21abab+=−，则2+ab的最小值为________..16.已知

函数()()cosfxx=+，+N，0,π，在2ππ,33x−内恰有两个极值点，且2ππ033ff−+=，则的所有可能取值构成的集合是__________．四、解答题（本

大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数2π()sin22sin6fxxx=++．（1）求函数()fx的对称中心和单调递减区间；（2）若将()fx的图象向右平移π12个单位，得到函数()gx的图象，求函数()g

x在区间π0,2上的最大值和最小值．18.在各项均不相等的等差数列na中，11a=，且1a，2a，5a成等比数列，数列nb的前n项和122nnS+=−．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）设22lognanncb=

+，求数列nc的前n项和nT．19.第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国第三次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，杭州市某社区决定举办一次亚运会知识竞赛，要求每组参赛

队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下：①每组队伍先从A，B两类问题中选择一类，并由两位选手从中各随机抽取一个问题回答，答错选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束；

②若在本轮竞赛中每组队伍两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛．市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8．（

1）若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列及数学期望；（2）为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由．20.如图，四边形ABCD中，已知1BC=，221ACABAB=++.的的（1）若ABC的面积为

3，求ABC的周长；（2）若3AB=，60ADB=o，120BCD=，求∠BDC的值.21.已知函数()()21exxfxax=+−．（1）当0a=时，求()fx的最大值；（2）若()fx存在极大值点，且极大值不大于12，求a的取值范围．22.已知函数()()2ln12xfxx=++.（1）

当)0,x+时，比较()fx与x的大小；（2）若函数()2cos2xgxx=+，且()()2e10,0afgbab=−，证明：()()211fbga++.渝北中学2023-2024学年高三10月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试

时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题（

本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2|3100,Axxx=−−|22xBx=，则AB=（）A.(2,1)−B.(5,1)−C.D.

{0}【答案】A【解析】【分析】先分别求得集合A与集合B,再根据交集运算即可求解.【详解】集合2|3100,Axxx=−−|22xBx=即|25,Axx=−|1Bxx=由交集运算可得|25|1|21xxxxxAxB=−=−故选:

A【点睛】本题考查了一元二次不等式与指数不等式的解法,交集的运算,属于基础题.2.已知向量(1,1)a=−，(2,)bx=，若//abrr，则=ab（）A.3B.3−C.4D.4−【答案】D【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及数量积

的坐标运算求解.【详解】因为//abrr，所以2,x-=即2x=−，所以(2,2)b=−，所以=22=4ab−−−rr，故选:D.3.若等比数列na，前n项和nS，且2312aaa=，54为4a与72a的等差中项，则公比q=（）A.13B.12C.12−

D.13−【答案】B【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据题意，求得42a=和714a=，结合374aqa=，即可求解.【详解】设等比数列na的公比为q，因为2312aaa=，可得1412

aaa=，解得42a=，又因为54为4a与72a的等差中项，可得47522aa+=，解得714a=，所以37418aqa==，可得312q=.故选：B.4.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，转子发动机的设计就是利用了莱洛三角形，转子引擎只需转一周

，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点.另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段囫弧组成的曲边三角形（如图

所示）.设“莱洛三角形”曲边上两点之间的最大距离为4，则该“莱洛三角形”的面积为（）A.8π123−B.8π83−C.16π83−D.16π43−【答案】B【解析】【分析】先根据图形特征求得4ABBCAC===，从而43ABCS=，再求出扇形A

BC的面积218ππ463S==，最后根据“莱洛三角形”面积与扇形面积之间的关系求出其面积即可.【详解】由题意可知等边三角形的边长为4，即4ABBCAC===,所以扇形ABC的面积等于以A为圆心，AB为半径的圆的面积的16，故扇形ABC的面积218ππ463S==，又1344sin60

84322ABCS===，该“莱洛三角形”的面积为328π83ABCSS−=−.故选：B.5.若111cos,cos(),(0,),(,)71422=+=−+，则为A.3−B.6C.3D.6−【答案】C【解析】【详解】∵1cos7

=，0,2，∴43sin7=.又∵()11cos14+=−，,2+，∴53sin()14+=，∴()()()1·.2coscoscoscossinsin++++＝－＝＝又∵0,,,22

+，∴()0.3，，＝故选C.点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”，“给值求角”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的等量关系，进而用两角和差的公式展开

求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负！6.在ABC中，2AB=，60BAC=，6=BC，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD=（）．A.2B.22C.3D.32【答案】A【解析】【分析】首先利用余弦定理求出13AC=+，再利用等面积法结合三角形的

面积公式可得AD的长度.【详解】已知2,6,60ABBCBAC===，所以2222461cos===2222ABACBCACBACABACAC+−+−，解得13AC=+，接下来通过等面积法进行求解：+ABCABDACDSSS=△△△，30BADC

AD==，即111sin60=sin+sin222ABACABADBADACADCAD，即()()131111213=2+13222222ADAD++，解得2AD=.故选：A.7.已知定义域

为R的奇函数()yfx=的导函数为()yfx=，当0x时，()()0fxfxx+，若()1af=，3311loglog99bf=，11lnln22cf=，则（）A.acb

B.b<c<aC.abcD.c<a<b【答案】D【解析】【分析】根据()()0fxfxx+构造函数()()gxxfx=，利用函数()gx的奇偶性、单调性比较大小．【详解】解：令函数()()gxxfx=，则()()()gxfxxfx+=，因

为定义域为R的()yfx=是奇函数，所以函数()gx为偶函数；当0x时，因为()()()()0fxxfxfxfxxx++=，所以()()0xfxfx+，即()0gx，所以()gx在(0,)+上为单调递增，(

)()11afg==，()()333111logloglog22999bfggg===−=，()()111lnlnlnln2ln2222cfggg===−=，因为0ln1ln2lne1==，所以ln

212，根据()gx在(0,)+上单调递增，所以()()()ln212ggg．即c<a<b．故选：D．8.已知函数()()elne(0)xfxaaa=+，若对任意实数1x，不等式()()ln1fxx−总成立，则实数a的取值范围为（）A.210,eB.221

,eeC.21,e+D.21,e+【答案】D【解析】【分析】将所求不等式变形为()()ln1lnelneln1xxaxax−++++−，构造函数()exgxx=+，可知该函数在R上

为增函数，由此可得出()lnln1axx−−，其中1x，利用导数求出()()ln1hxxx=−−的最大值，即可求得实数a的取值范围.【详解】当1x时，由()()ln1fxx−可得()lneln1ln1xaax+++−，即()()()

ln1lneln1ln1eln1xxaxaxxx−+++−+−=+−，构造函数()exgxx=+，其中xR，则()e10xgx=+，所以，函数()gx在R上为增函数，由()()ln1lnelne

ln1xxaxax−++++−可得()()lnln1gxagx+−，所以，()lnln1xax+−，即()lnln1axx−−，其中1x，令()()ln1hxxx=−−，其中1x，则()121

11xhxxx−=−=−−.当12x时，()0hx，函数()hx单调递增，当2x时，()0hx，函数()hx单调递减，所以，()()maxln22ahxh==−，21ea.故选：D.【点睛】关键点点睛：

本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.向量()12,3e=−，231,2e=−能作为平面内所有向量的一组基底B.若点G是ABC的重心，则0GAGBG

C++=C.若0ab=，则0a=或0b=D.若向量()1,1a=−，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为2a【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判断A，由三角形重心的定义即可判断B，由平面向量数量积的定义即可判断C，由

投影向量的概念即可判断D.【详解】因为向量()12,3e=−，231,2e=−，则122ee=−，即12//ee，则21,ee不能作为平面内的基底，故A错误；如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC中点，延

长AE到点D，使得GEED=，则GBGCGD+=，0GDGA+=，所以0GAGBGC++=，故B正确；因为cos,ababab=，若0ab=，则0a=或0b=或,90ab=，故C错误；因

为向量()1,1a=−，()2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为abaaa23222aa−+==，故D正确；故选：BD10.（多选）函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）的部分图象如图所示，下列说

法正确的是（）A.函数()yfx=的周期是2πB.函数()yfx=的图象关于直线5π12x=−对称C.函数()yfx=在5ππ,6−−上单调递减D.该函数的图象可由2cosyx=的图象向左平行移动π6个单位长度得到【答案】AC【解析】

【分析】观察图象可得函数()yfx=的最小值，周期，且7π26f=−，由此可求函数解析式，根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断．【详解】观察图象可得函数()()sinfxAx=+，0A，的最小值为2−，故2A=设函数()yfx=的最小正周期

为T，由图象知33π42T=，则2πT=，故1=，故A正确；由7π26f=−可得7π22sin6−=+，又π2，所以π3=，所以()π2sin3fxx=+，因()5ππππZ1232k

k−++，故B错误；由ππ32π2ππ232kxk+++，Zk可得π2π2ππ766kxk++，Zk，所以()fx的单调递减区间为()π7π2π,2πZ66kkk++，取1k=−知，函数()fx在11π

5π,66−−上单调递减，5π11π5ππ,,666−−−−，故C正确；2cosyx=的图像向左平移π6个单位后得到πππ2π2cos2sin2sin6263yxxx=+=++=+

，故D错误．故选：AC．11.已知数列na满足1112222nnnaaan−++++=，则（）A.14a=B.na的前10项和为150C.()1nna−的前11项和为-14D.10na−的前16项

和为168【答案】ACD【解析】【分析】根据递推公式得22nan=+，进而根据等差数列的求和公式即可判断AB，根据并项求和可判断C，根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.【详解】由1112222nnnaaan−++++=得：当2n时，()

21212212nnnaaan−−+++=−，两式相减得()()11122221nnnnnnnna−+=−−=+，故()222nan,n=+?，当1n=时，14a=也符合，故22nan=+，为对于A,

14a=，故A正确，对于B，na的前10项和为()422101302+=，故B错误，对于C，(1)nna−的前11项和为()12341145214aaaaa-+-+--=-+?=-，故C正确，对于D，当10280nan−=

−，解得4n，所以*10,1310,N10,4nnnananan−−=−，所以10na−的前16项和为()()()()()()1234516101010101010aaaaaa-+-+-+-+-+-(

)()()0241364202424=12+=1682+?=+++++++，故D正确，故选：ACD12.已知函数()fx的定义域为R，且()()11fxfx+=−，()()2fxfx−=−−，且当1,1x−时，()21fxax=+，则下列说法正确的是（）A.函数()1yfx=−为

奇函数B.当3,5x时，()2814fxxx=−+C.()()()()123991ffff++++=D.若()()()9log1gxfxx=−+，则()gx恰有4个不同的零点【答案】AC【解析】【分析】由对称性判断A，利用对称性求得a值后，结合已知等式求得[3,5]x时的函数表达式判

断B，由已知确定函数的周期性，然后计算函数值的和()()()()12399ffff++++判断C，作出两函数()yfx=与()9()log1hxx=+的图象，由图象确定交点个数（注意在8x=处需要结合导数的几何意义判断交点个数），判断D．【详解】因为()()2fxfx−=−

−，所以()fx的图象关于()1,0−中心对称，从而(1)fx−的图象关于原点对称，故A正确；因为()fx的图象关于()1,0−中心对称，所以()110fa−=+=，解得1a=−．所以当1,1x−时，()21fxx=−+，因为()

()2fxfx−=−−，所以()()2fxfx=−−−，因为()()11fxfx+=−，所以()()2fxfx=−，所以()()22fxfx−=−−−，即()()4fxfx=−−．当3,5x时，41,1x−+−，所以()()()22441815fxfx

xxx=−−+=−−−++=−+，故B错误；因为()()4fxfx=−−−，所以()()()()84fxfxfxfx+=−+=−−=，所以()fx的周期为8，又()1110f=−+=，()

()201ff==，()()31110ff=−=−+=，()()401ff=−=−，()()510ff=−=，()()621ff=−=−，()()730ff=−=，()()841ff=−=，所以()(

)()()()()()()()()()()()()123991212381231231ffffffffffffff++++=+++++++=++=故C正确；令()0gx=，即()()9log1fxx=+，画出()yfx=与

()9()log1hxx=+的图象，如图所示：因为()()98log81f=+，[1,1]x−时，2()1fxx=−+，()2fxx=−，(0)0f=，由周期性知(8)(0)0ff==，9()log(1)hxx=+，则1()(1)ln9hxx

=+，1(8)09ln9h=，即()()9880log1|xfx==+，8x=时，()hx的切线斜率大于()fx的切线斜率，所以两函数图象在区间(7,9)上除了有公共点(8,1)外，在区间(7,8)上还有一个公共点，因此两函数图象共有5个交点，所以()gx恰有5个不同的零点，

故D错误．故选：AC．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0fx=，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]ab上是连续不断的曲线，且()()0fafb，还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量a，b的夹角为π6，且2=a，3

b=，则ab−等于______．【答案】1【解析】【分析】根据数量积的定义求解ab，再根据数量积的应用与运算律求解ab−的值即可.【详解】因为向量a，b的夹角为π6，且2=a，3b=所以π3cos23362abab==

=，则()222243231abababab−=−=+−=+−=故答案为：1.14.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsinsinbaCcaAB−=++，则角B的大小为________．【

答案】2π3【解析】【分析】根据正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理公式进行求解.【详解】由题意知：在ABC中，sinsinsinbaCcaAB−=++，根据正弦定理得：baccaab−=++，化简得：222baacc−=+，即2

22cabac+−=−，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==−，又因为()0,πB，所以2π3B=故答案为：2π3.15.已知0a，0b，且21abab+=−，则2+ab的最小值为________..【答案】5

26+##265+【解析】【分析】利用等式条件，变形1222babbb++=+−，再利用基本不等式求最小值.【详解】由21abab+=−，可得12bab+=−，因为0,0ab，可得2b，()1232222422bbabbbbb+−++=+=+−+−−()()332

25222552622bbbb=+−+−+=+−−，当()3222bb=−−时，即622b=+时，等号成立.所以2+ab的最小值为526+.故答案为：526+16.已知函数()()cosfxx=+，+N，0,π，在2ππ,33x−内恰有两

个极值点，且2ππ033ff−+=，则的所有可能取值构成的集合是__________．【答案】5π0,,π6【解析】【详解】()fx在2ππ,33x−内恰有两个极值点

，若()fx最小正周期为T，又2ππ33ff−=−，则π2ππ2333π2ππ233TT−−=−−=，即2π2π3T，2π2π2π3，解得：13，又+N，2=或3=；3π

22TT，2ππ033ff−+=，()fx\关于π,06−中心对称，()πππ62kk−+=+Z，解得：()πππ26kk=++Z；当2=时，()5

ππ6kk=+Z，又0,π，5π6=；当3=时，ππk=+，又0,π，0=或π=；综上所述：的所有可能取值构成的集合为5π0,,π6.故答案为：5π0,,π6.【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数性质求解参数值的问题，解题关键是能够

根据函数极值点的个数和对称性确定函数的最小正周期与区间长度之间的关系，由此可构造不等式求得的值.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数2π()sin22sin6fxxx=++．（1）求函数()fx的对称中心和单调

递减区间；（2）若将()fx的图象向右平移π12个单位，得到函数()gx的图象，求函数()gx在区间π0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）对称中心()ππ,1,Z212kk+，单调递减区间()5,ππππ,36kkkZ++（2）最小值为

312−，最大值为2.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简可得()πsin216=−+fxx，再代入正弦函数的对称中心与单调递减区间求解即可；（2）根据正弦函数在区间上的单调性与最值求解即可.【小问1详解】()π31πsin21cos2si

n2cos21sin216226fxxxxxx=++−=−+=−+，令()π2π,Z6xkk−=，则()ππ,Z212kxk=+，故()fx的对称中心为()ππ,1,Z212kk+

.令()ππ3π2π22πZ,262kxkk+−+，即()fx的单调递减区间为()5,ππππ,36kkkZ++【小问2详解】由题意()πππsin21sin211263gxxx=−−+=−+，π0,

2x，故ππ2π2,333x−−，π3sin2,132x−−，则()31,22gx−.故()gx在π0,2上最小值为312−，最大值为2

.18.在各项均不相等的等差数列na中，11a=，且1a，2a，5a成等比数列，数列nb的前n项和122nnS+=−．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）设22lognanncb=+，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−，2nnb=；（2

）2122232nnnnT+−+=+【解析】【分析】（1）设数列{}na的公差为d，由1a，2a，5a成等比数列，列式解得0d=（舍去）或2d=，进而得21nan=−；再由数列nb的前n项和122nnS

+=−，得1nnnbSS−=−=2n()2n，且12b=，进而得2nnb=；（2）由（1）得212nncn−=+，利用分组求数列nc的前n项和nT即可.【详解】（1）设数列{}na的公差为d，则21aad=+，514aad=+，∵1a，2a，5a成等比数列，2215aaa=，即()()21

114adaad+=+，整理得212dad=，解得0d=（舍去）或122da==，()1121naandn=+−=−.当1n=时，12b=，当2n时，()112222nnnnnbSS+−=−=−−−1222222nnnnn+=−=−=．验：当1n=时，12b=满足上

式，∴数列{}nb的通项公式为2nnb=．（2）由（1）得，2122log2nannncbn−==++，()()()3521(21)22232nnTn−=++++++++()35212222(123)nn−=+++++++++()214(1)

142nnn−+=+−2122232nnn+−+=+.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.第22届亚运会于2023年9月23

日至10月8日在我国杭州举行，这是我国第三次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，杭州市某社区决定举办一次亚运会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下：①每组队伍先从A，B两类问题中选择一类，并由两位选手从中各随机抽取一个问题回答，答错的选

手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，本轮竞赛结束；②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛．市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲

答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8．（1）若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列及数学期望；（2）为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦

幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由．【答案】（1）分布列见解析，期望为1.77（2）应选择先回答B类问题，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列

，结合期望的计算公式，即可求解；（2）由（1）求得先回答A类问题，“梦幻”队能进入决赛的概率为10.252P=，再求得先回答B类问题，“梦幻”队能进人决赛的概率为20.328P=，结合21PP，即可得到答案.【小问1详解

】解：根据题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，则()()()010.710.40.18PX==−−=，()()()()()10.710.510.410.70.410.80.234PX==−−+−−=，()()()()()20.70.510.410.70.

40.80.70.410.510.80.334PX==−+−+−−=，()()()30.70.40.510.80.70.410.50.80.14PX==−+−=，()40.70.40.50.80

.112PX===，所以X的分布列为X01234P0.180.23403340.140.112则()00.1810.23420.33430.1440.1121.77EX=++++=．【小

问2详解】解：由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：()()1340.140.1120.252PPXPX==+==+=；若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y，则()()()30.50

.80.710.40.50.810.70.40.216PY==−+−=，()40.50.80.70.40.112PY===，则“梦幻”队能进人决赛的概率为()()2340.2160.1120.328PPYPY==+==+=，所

以21PP，所以为使“梦幻”队进人决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题．20.如图，四边形ABCD中，已知1BC=，221ACABAB=++.（1）若ABC的面积为3，求ABC的周长；.（2）若3AB=，60ADB=o，120BCD=，求∠BDC的值.【答案】（1）52

1+（2）o30BDC=【解析】【分析】（1）由1BC=，221ACABAB=++结合余弦定理可得ABC，由ABC的面积为3可得4AB=，后由余弦定理可得AC即可得周长；（2）由（1）结合60ADB=o，120BCD=，可设()060oo

BDCθθ=，则60oBADθ=−，后由正弦定理可得()1604osinsinθθ−=，即可得答案.【小问1详解】由余弦定理，在ABC中，2222cosACABBCABBCABC=+−.又1BC=，221ACABAB=++，则11211202ocoscosABA

BCABABCABC−=+=−=.又ABC的面积为3，则1120342osinABBCAB==.则2222cos2121ACABBCABBCABCAC=+−==，则ABC的周长为521ABBCAC++=+.【小问2详解】由（1）可知o120ABC=，又60

ADB=o，120BCD=，四边形内角和为o360，则60oBADBDC+=.设()060ooBDCθθ=，则60oBADθ=−.在ABD△中，由正弦定理，()36032osinsinsinABBDBDADBBADθ==−.在

CBD△中，由正弦定理，132sinsinsinBCBDBDBDCBCDθ==.消去BD，得()1311604224osinsincossinsinθθθθθ−=−=()()3111122230230144222oosincossinsinθθθθ+=+=+=.因06

0ooθ，则30230150oooθ+，则2309030oooθθ+==.则o30BDC=.21.已知函数()()21exxfxax=+−．（1）当0a=时，求()fx的最大值；（2）若()fx存在极大值

点，且极大值不大于12，求a的取值范围．【答案】（1）最大值为1e（2）111,,2e2e2a−【解析】【分析】（1）利用函数的导数与单调性、最值的关系求解；（2）利用导数与极值的关系，结合参

数a不同的取值范围求解.【小问1详解】当0a=时，()exxfx=，定义域为R，()1exxfx−=，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx¢>，∴()fx在(),1−上单调递增；在()1,+上单调递减

，故()fx的最大值为()11ef=．【小问2详解】2()(1)exxfxax=+−，()(1)2e11()2(1)eexxxxaxfxax−−−=+−=，①当0a时，2e10xa−，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx，∴()fx在(

),1−上单调递增；在()1,+上单调递减，所以()fx的极大值为()111e2f=，符合题意．②当12ea=时()()()11e1exxxfx−−=−，当1x时，()0fx¢>；当1x时，()0fx¢>，∴()fxR上单调递增，此时，()fx无极值点．③当12ea

时，令()()()11e10exxxfx−−−==，解得121,ln(2)xxa==−，且ln(2)1a−，当1x时，()0fx¢>；当ln(2)1ax−时，()0fx，当ln(2)xa−时，()0,fx∴()fx在(,ln(2))a−−上单调递增，在

(ln(2),1)a−上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()fx的极大值()()()()()()22ln2ln2ln2ln21ln2eaafaaaaaa−−−=+−−=+，令ln21ta=−，则()()()21ln2e12tfat−=+，设

()()21e12tgtt=+，则()()21e102tgtt=+，所以()gt在()1,−+上单调递增，由题意知()211()(ln(2))e122tfxfat=−=+极大，即1()(0)2gtg=，所以0t，即12a

，故11.2e2a④当102ea时，()()()12e10exxxafx−−==，解得11x=或2ln(2)xa=−，且满足ln(2)1a−，当ln(2)xa−时，()0fx；当1ln(2)xa−时，()0fx，当1x时，()0fx

，∴()fx在(),1−上单调递增，在(1,ln(2))a−上单调递减，在(ln(2),)a−+上单调递增，所以()fx的极大值为()111e2f=，符合题意．综上111,,2e2e2a−．22.已知函数()()2ln12xfxx=++

.（1）当)0,x+时，比较()fx与x的大小；在（2）若函数()2cos2xgxx=+，且()()2e10,0afgbab=−，证明：()()211fbga++.【答案】（1）()fxx（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造()()()2ln12xx

fxxxx=−=++−，利用导数可得()0x，即()fxx；（2）构造函数()()()1hxfxgx=+−，从而推得()2eagbg，再利用导数得到()gx的单调性，从而得到2e

ab，进而将问题转化为证21ba+，再利用导数证得e1aa+，由此得证.【小问1详解】设函数()()()2ln12xxfxxxx=−=++−，则()21111xxxxx=+−=++，当)0,x+时，(

)0x，则()x在)0,+上单调递增，所以()()00x=，从而()0fxx−，即()fxx；【小问2详解】设函数()()()()1ln11coshxfxgxxx=+−=++−，当0x时，1cos0x−，()l

n10x+，则()0hx恒成立，则由2e0ah，得22e1eaafg+，()()221fbgb+又()2e1afgb+=，所以()2eagbg,因为()2cos2xgxx=+，所以()singxxx=−

，令()sinuxxx=−，则()1cos0uxx=−恒成立，所以()()uxgx=在()0,+上单调递增，则()()00gxg=，所以()gx在()0,+上单调递增，又0b，2e0a

，所以2eab,要证()()211fbga++，只需证()()21gbga+，即证21ba+．因为2eab，所以2eab．设函数()()e10xmxxx=−−，则()e10xmx=−，所以()mx在()0,+上单调递增，因0a，所以()()00

mam=，所以e1aa+，所以21ba+，所以()()21gbga+，从而()()211fbga++得证．【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用

的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．为获得更多资源请

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