【文档说明】《【考前抓大题】冲刺中考数学》专题19 因旋转产生的角度问题（提优）（解析版）.docx，共(32)页，443.297 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题19因旋转产生的角度问题（提优）1．如图1，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）如图1所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，

BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？（3）如图2，若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题（2），在射线AM到达AN之前．若两射线交于点C，

过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；（

2）设射线AM转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜90时，根据2t＝1•（30+t），可得t＝30；当90＜t＜150时，根据1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；（3）设射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BC

D＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×13=60°；（2）设射线AM转动t秒，两

射线互相平行，2①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，

如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，射线AM转动30或110秒，两射线互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会

变化．理由：设射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠AC

D＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，3即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．故答案为：60．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行

求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．2．（1）①如图1，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠ABE、∠BED、∠CDE之间的数量关系，并说明理由．②将图1中射线BA绕B逆时针方向旋转一定角度后，射线BA

交射线DC于F，得到图2，形成四边形BFDE，探究四边形中∠B、∠E、∠D、∠BFD之间有何数量关系，并说明理由．（2）在图3中，AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线交于点N，∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CD

N，写出∠M与∠E之间数量关系，并说明理由．【分析】（1）①过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可得到结论；②过点B作GB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；（2）由（1）①的结论即可得到结果．【解答】解：（1）①如图1，过E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°

，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，②如图2，过点B作GB∥CD，4∴∠BFD＝∠GBF，由（1）知∠GBE+∠E+∠D＝360°，∴∠B+∠E+∠D+∠BFD＝360°；（2）如图3，过M作MF∥AB，∵A

B∥CD，∴MF∥CD，∵∠ABM=23∠ABN，∠CDM=23∠CDN，∴设∠MBN＝x，∠MDN＝y，则∠MDC＝2y，∠ABM＝2x，∠EBN＝3x，∠EDN＝3y，∴∠BMF＝2x，∠DMF＝2y，∠ABE＝6x，∠CDE＝6y，∴∠BMD＝2（x+y），过E作EG∥AB，∵AB

∥CD，∴EG∥CD，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣6x，∠DEG＝180°﹣∠CDE＝180°﹣6y，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝360°﹣（6x+6y）＝360°﹣3∠BMD，∴3∠

BMD+∠BED＝360°．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．3．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图2，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转至原位置，灯B射线自B

P顺时针旋转至BQ便立即回转至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠B

AN＝45°．5（1）求a、b的值．（2）如图1，若两灯同时转动，在灯A射线第一次转到AN之前，两灯射出的光线交于点C，若∠C＝70°，求∠BAC的度数．（3）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次转到BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光线互相平行？【分析】（1）由非负数的性质

即可得出结果；（2）如图1，过点C作CE∥MN，可得CE∥PQ∥MN，设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x，∠PBC＝x，根据角的和差关系得到关于x的方程，解方程即可求解；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况：①在灯A射线到达AN之前；②在灯A射线到达AN之后；进

行讨论即可求解；【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，∴a﹣3＝0，a+b﹣4＝0，解得：a＝3，b＝1；（2）如图1，过点C作CE∥MN，∵PQ∥MN，∴CE∥PQ∥MN，设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x°，∠PB

C＝x°，∴∠CAN＝180°﹣3x°，∴∠BCE＝∠PBC＝x°，∠ECA＝∠CAN＝（180﹣3x）°，∵∠ACB＝70°，∴180﹣3x+x＝70，解得x＝55，∴∠CAN＝15°，∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣15°＝30°；（3）设A灯转

动t秒，两灯的光束互相平行，6①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20+t）×1，解得：t＝10；②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，解得：t＝85．综

上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、非负数的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．4．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN

便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b的

值；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关

系；若改变，请求出其取值范围．【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（3）由参数t表示∠BAC，∠BCD即可判断．7【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4

）2≥0．∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（30+t）×1，解得t＝15；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，解得t＝82.5；③当120＜t＜150时，3t﹣360＝t+30，解得t＝195＞

150（不合题意）综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t

+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BCD：∠BAC＝2：3．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，平行线的判定与性质，估算

无理数的大小以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解．5．如图，钱塘江入海口某处河道两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，

两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？8（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转

动几秒，两灯的光束互相平行？（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．【分析】（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；（2）根据内错角相等

，两灯的光线平行，可得结果；（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A．由题意得：2t＝30，解得：t＝15，答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A．（2）

设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行，解得：x=1609，答：A灯转动1609秒，两灯的光束互相平行．（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b，90秒时第二次平行，由

题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30，解得：a=269b=23答：a，b的值分别为269度/秒23度/秒．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：内错角相等，两直

线平行．6．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B

转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a9﹣3|+√𝑏−1=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a，b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯

A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（3）由

参数t表示∠BAC，∠BCD即可判断．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+√𝑏−1=0．又∵|a﹣3|≥0，√𝑏−1，≥0．∴a＝3，b＝1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（20

+t）×1，解得t＝10；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，解得t＝85；③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20，解得t＝190＞160，（不合题意）综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相

平行；（3）设A灯转动时间为t秒，10∵∠CAN＝180°﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，而∠ACD＝90°，∴∠BCD＝

90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．【点评】本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安

置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且

a、b满足3a＝27＝32•3b．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC＝2：3．【分析】（1）根据同底数幂乘法法则即可求a、b的值．（2）由于灯A转动速度为灯B的

3倍，故灯B射线到达BQ前，灯A已转到AN并返回转，所以两灯光束平行有两种情况：①灯A射线还没到达AN，两光束平行即两转动角度相等，设A灯转动t秒，即B灯转动（20+t）秒，可用t表示两转动角度，列方程即能求

t；②灯A射线转到AN之后，此时灯A与AN夹角为3t﹣180°，此度数与灯B转动角度互补，列方程即能求t．（3）设两灯同时转动x秒，过点C作PQ的平行线，构造内错角相等的等量关系，即可用x表示图中所11有

角的度数，进而求∠BCD：∠BAC的值．【解答】解：（1）∵a、b满足3a＝27＝32•3b，∴3a＝33＝32+b∴a＝3，2+b＝3∴b＝1（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线转到A

N之前，3t＝（20+t）×1解得t＝10②在灯A射线转到AN之后，3t﹣180°＝180°﹣（20+t）×1解得t＝85综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行（3）如图，过点C作CE∥MN，∵PQ∥MN∴CE∥PQ∥MN设两灯转动时间为x秒，则∠MAC＝3x，∠DBC＝x∴∠BCE

＝∠DBC＝x，∠CAN＝180°﹣∠MAC＝180°﹣3x∴∠ACE＝∠CAN＝180°﹣3x∵∠BAN＝45°∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45°﹣（180°﹣3x）＝3x﹣135°∵CD⊥AC∴∠ACD＝90°∴∠BCD＝∠ACD﹣∠

ACE﹣∠BCE＝90°﹣（180°﹣3x）﹣x＝2x﹣90°12∴∠BCD：∠BAC=2𝑥−90°3𝑥−135°=2(𝑥−45°)3(𝑥−45°)=23故答案为：2：3．【点评】本题考查了同底数幂乘法法则，平行

线的性质，角度计算，由动点问题引起的分类讨论．8．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照

射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）则a＝3，b＝1；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒

，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是2∠BAC＝3∠BCD（请直接写出结论）．【分析】（1）

由绝对值的性质得出{𝑎−3𝑏=0𝑏2−2𝑏+1=0，解得{𝑎=3𝑏=1，即可得出结果；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线到达AN之前，由题意得3t＝（20+t）×1，解得t＝10，②在灯A射线到达AN之后

，由题意得3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，解得t＝85；（3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180﹣3t，∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝3t﹣135，由PQ∥MN，得出∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝180﹣2t，∠BCD＝∠ACD﹣∠BCA＝2t﹣90

，即可得出结果．【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+b2﹣2b+1＝0，∴{𝑎−3𝑏=0𝑏2−2𝑏+1=0，解得：{𝑎=3𝑏=1，故答案为：3，1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①在灯A射线到达AN之前，由题意得：3t＝（20+t）×

1，13解得：t＝10，②在灯A射线到达AN之后，由题意得：3t﹣180＝180﹣（20+t）×1，解得：t＝85，综上所述，A灯转动10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A灯转动时间为t秒，则∠CAN＝180

﹣3t，∴∠BAC＝∠BAN﹣∠CAN＝45﹣（180﹣3t）＝3t﹣135，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180﹣3t＝180﹣2t，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠

BCA＝90﹣（180﹣2t）＝2t﹣90，∴2∠BAC＝3∠BCD，故答案为：2∠BAC＝3∠BCD．【点评】本题考查了平行线的性质、绝对值的性质、解方程等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．辽宁汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两

岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线白BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b

°/秒，且a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，假定这带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）请直接写出a＝3，b＝1．（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动10或85秒，两灯的光束互相平行．（请直接写出答案）【分析】（1）根

据|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，可得a﹣3b＝0，且a+b﹣4＝0，进而得出a、b的值；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；【解答

】解：（1）∵a、b满足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0，14∴a﹣3＝0，且a+b﹣4＝0，∴a＝3，b＝1；故答案为：3，1；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，3t＝（20+t）×1，解

得t＝10；②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，解得t＝85；③当120＜t＜160时，3t﹣360＝t+20，解得t＝190＞160，（不合题意）综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；故答案为：

10或85．【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．10．如图，取一副三角板按图1

拼接，固定三角板ADE（∠AED＝30°的Rt△），将三角板ABC（∠ACB＝45°的Rt△）绕点A顺时针旋转一个大小为α的角（0°＜c≤45°），试问：（1）当α＝15度时，能使图2中的AB∥DE；（2）当α＝45度时，能使图3中的AB与AE重合；（3）当0°＜a≤45°时，连接BD（如图1

2﹣4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠BAE＝∠E＝30°，再根据∠BAC＝45°，即可得出∠CAE＝45°15﹣30°＝15°

；（2）根据当旋转到AB与AE重叠时，∠α＝∠BAC即可得到结果；（3）先设BD分别交AE、AC于点M、N，依据三角形内角和定理以及三角形外角性质，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度数．【解答】解：（

1）如图2，当AB∥DE时，∠BAE＝∠E＝30°，∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝45°﹣30°＝15°，即∠α＝15°，故答案为：15；（2）如图3中，当旋转到AB与AE重叠时，∠α＝∠BAC＝45°，故答案为：45；（3）如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE＝

105°，保持不变；理由：设BD分别交AE、AC于点M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，∵∠ANM＝∠C+∠DBC，∠AMN＝∠E+∠BDE，∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，∵

∠E＝30°，∠C＝45°，∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣75°＝105°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用．解题时注意：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角

相等．11．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是∠BPD＝∠B+∠D，并说明理由．（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）中的16结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠

B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC＝30°，∠PBC＝35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．【分析】（1）过P作平行于AB的

直线，根据内错角相等可得出三个角的关系．（2）连接QP并延长至F，根据三角形的外角性质可得∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD的关系；（3）连接CP并延长至G，根据三角形的外角性质可得∠APB﹑∠B﹑∠A﹑∠ACB的关系，代入即可．【解

答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D，如图1，过P点作PE∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥PE∥AB，∴∠BPE＝∠B，∠EPD＝∠D，∵∠BPD＝∠BPE+∠EPD，∴∠BPD＝∠B+∠D．故答案为：∠BPD＝∠B+∠D；（2）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD，连接QP并延长至F

，如图2，∵∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∠FPD＝∠PDQ+∠PQD，∴∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD；（3）∠APB＝65°+∠ACB，连接CP并延长至G，如图3，∵∠APG＝∠A+∠ACP，∠BPG＝∠B+∠BCP，17∴∠APB＝∠B+∠A+∠ACB，∵∠A

＝30°，∠B＝35°，∴∠APB＝65°+∠ACB．【点评】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线后，利用平行线和三角形外角性质解答．12．已知：如图，直线MN⊥PQ于点C，△ACB是直角三角形，且∠ACB

＝90°，斜边AB交直线PQ于点D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分线交EC的延长线于点F，∠A＝36°．（1）如图1，当AB∥MN时，求∠F的度数．（2）如图2，当△ACB绕C点旋转一定的角度（即AB与MN不平行），其他条件不变，问∠F的度数是否发生改变？请说明理由．【分析】（1

）由AB∥MN，直线MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE与∠CDF的度数，然后利用三角形外角的性质，求得∠F的度数．（2）由题意可得∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝∠ACD+12∠AC

N，∠CDF=12∠BDC=12∠A+12∠ACD，则可得∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝∠ACD+12∠ACN−12∠A−12∠ACD=12（∠ACN+∠ACD）−12∠A，继而求得答案．【解答】解：（1）∵AB∥MN，直线MN⊥PQ，∴PQ⊥AB，∴∠BDC＝∠DCN＝90°，∵∠

ACN＝∠A＝36°，CE平分∠ACN，∴∠ACE＝18°，∠ACD＝90°﹣∠A＝54°，∴∠DCE＝∠ACD+○ACE＝72°，∵DF平分∠CDB，∴∠CDF＝45°，∴∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝2

7°；18（2）不发生改变．理由：∵CE是∠ACN的平分线，∴∠ACE=12∠ACN，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝∠ACD+12∠ACN，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，∴∠CDF=12∠BDC=12∠A+12∠ACD，

∴∠F＝∠DCE﹣∠CDF＝∠ACD+12∠ACN−12∠A−12∠ACD=12（∠ACN+∠ACD）−12∠A=12×90°−12×36°＝27°．【点评】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．13．一副直角三角板叠放如图①

，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转角α（α＝∠BAD且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直．（1）如图②，α＝15°时，BC⊥AE；（2）请你在下列备用图中各

画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．【分析】（1）如图②根据条件只需证BC⊥AE即可，α＝∠DEA﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°；（2）如备用图，AC⊥AE时，α＝∠EAC﹣∠BAC＝90°﹣3

0°＝60°，AB⊥AE时，α＝105°．【解答】解：（1）如图②在△ABC中，AC⊥BC，AE与AC重合，则AE⊥BC，α＝∠DEA﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°所以，当α＝15°时，BC⊥AE．故答案

为15°．（2）如图1中，AC⊥AE时，α＝105°．19如图2中，AC⊥AD时，α＝60°．如图3中，AB⊥AE时，α＝135°．如图4中，BC⊥AD时，α＝150°．如图5中，当AB⊥DE时，α＝45°．20如图6中，当AB⊥AD时，

α＝90°【点评】本试题考查两条线段的垂直关系．两条直线相交所成的四个角中有一个90°，就说这两条直线互相垂直．14．如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P

的位置，使∠APC＝180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？并证明你的结论．【

分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠PAQ+∠PCQ＝90°，再根据三角形的内角和即可得出∠Q的度数；（2）先延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F，根据平行线的性质得出∠BAQ＝∠CFQ，∠PEC＝∠BAE，根据三角形的外角得出∠APC＝∠PCE+∠PEC＝∠

PCE+∠BAE＝2∠QCF+2∠BAE＝2（∠21QCF+∠BAE），最后根据∠AQC＝∠QCF+∠BAE即可得出∠APC＝2∠AQC．（3）连接RQ，并延长RQ，连接RP并延长RP，利用三角形的外角得出∠

AQC＝∠ARC+∠QCR+∠QAR，从而得出2∠AQC＝2∠ARC+2∠QCR+2∠QAR①，根据∠APC＝∠ARC+2∠QAR+2∠QCR②，由①﹣②即可得出2∠AQC﹣∠APC＝∠ARC．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵AQ、CQ是∠P

AB和∠PCD的平分线，∴∠Q＝90°；（2）延长AP交CD于点E，延长AQ交CD于点F∵AB∥CD，∴∠BAQ＝∠CFQ，∠PEC＝∠BAE，∴∠APC＝∠PCE+∠PEC＝∠PCE+∠BAE＝2∠QCF+2∠BAE

＝2（∠QCF+∠BAE），∵∠AQC＝∠QCF+∠BAE，∴∠APC＝2∠AQC．（3）连接RQ，并延长RQ，连接RP并延长RP，∵∠AQC＝∠3+∠4，∴∠AQC＝∠QRC+∠QCR+∠QAR+∠QRA＝∠ARC+∠QCR+∠QAR，∴2∠AQC＝2∠ARC+2∠QCR+2

∠QAR①，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠APC＝2∠QAR+∠ARP+2∠QCR+∠CRP＝∠ARC+2∠QAR+2∠QCR②，∴①﹣②得，2∠AQC﹣∠APC＝∠ARC．22【点评】此题考查了平行线的性

质，用到的知识点是平行线的性质、三角形的外角、三角形的内角和定理，关键是根据题意画出图形作出辅助线．15．将一副直角三角尺（即直角三角形AOB和直角三角形COD）的直角顶点O的重合，其中，在△AOB中，∠A＝60°，∠

B＝30°，∠AOB＝90°；在△COD中，∠C＝∠D＝45°，∠COD＝90°．（1）如图1，当OA在∠COD的外部，且∠AOC＝45°时，①试说明CO平分∠AOB；②试说明OA∥CD（要求书写过程）；（2）如图2，绕点O旋转直角三角尺AO

B，使OA在∠COD的内部，且CD∥OB，试探索∠AOC＝45°是否成立，并说明理由．【分析】（1）①当∠AOC＝45°时，根据条件可求得∠COB＝45°可说明CO平分∠AOB；②设CD、OB交于点E，则可知OE＝CE，可证得OB⊥CD，结合条件可证明OA∥CD；（2）

由平行可得到∠D＝∠BOD＝45°，则可得到∠AOD＝45°，可得到结论．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝90°，∠AOC＝45°，∴∠COB＝90°﹣45°＝45°，∴∠AOC＝∠COB，即OC平分∠AOB；②如图，设CD、OB交于点E，23

∵∠C＝45°，∴∠C＝∠COB，∴∠CEO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOB+∠OEC＝180°，∴AO∥CD；（2）∠AOC＝45°，理由如下：∵CD∥OB，∴∠DOB＝∠D＝45°，∴∠AOD＝90°﹣∠DOB＝45°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOD＝45°

．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．16．将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合

在一起．（1）如图1所示，边OA与OC重合，此时，AB∥CD，则∠BOD＝15°；（2）三角板△COD的位置保持不动，将三角板△AOB绕点O顺时针方向旋转，如图2，此时OA∥CD，求出∠BOD的大小；（3）在图2中，若将三角板△AOB绕点O按顺时针方向继续旋转，

在转回到图1的过程中，还存在△AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD的大小．【分析】（1）根据三角板的度数进行计算即可得解；24（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠AOC，然后再加上∠COD即

可得解；（3）根据旋转角度的增加，分OB∥CD，AB∥CD，OB∥CD，OB∥CD四种情况，根据三角板的度数列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝45°﹣30°＝15°；（2）∵OA∥CD，∴∠AOC＝∠C＝90°，∴∠BOC＝∠A

OC﹣∠AOB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+30°＝75°；（3）如图甲，OB∥CD，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝90°+30°＝120°，如图乙，AB∥CD，∠BOD＝180°﹣∠AOB+∠COD＝180°﹣45°+30°＝165°，如图丙，O

A∥CD，∠BOD＝∠AOC﹣∠COD+∠AOB＝90°﹣30°+45°＝105°，如图丁，OB∥CD，∠BOD＝90°﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键，（3）要分情况讨论求解．17．已知∠AOC和

∠BOC是互为邻补角，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD与射线OB重合，则∠COE＝40°．（2）如图2，将三角

板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是25∠BOC的平分线．（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD=14∠AOE时，求∠BOD的度数．（4）将图1中的三角板绕点O以每

秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝

90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；（3）根据平角等于180°求出即可；（4）分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了140°；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°；依此列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵∠BO

E＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE=12∠COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，

∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝4x°，∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴5x＝40，∴x＝8，26即∠COD＝8°∴∠BOD＝58°．（4）如图，分两种情况：在一周之内，当OE与射线OC的反向延

长线重合时，三角板绕点O旋转了140°，5t＝140，t＝28；当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了320°，5t＝320，t＝64．所以当t＝28秒或64秒时，OE与直线OC重合．综上所述，t的值为28或64．故答案为：40°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已

知求出各个角的度数是解此题的关键．18．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋

转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；27②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．【分析】（1）依据∠COE＝60°，OA平分∠

COE，可得∠AOC＝30°，再根据∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°；当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t

的值；②分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD；当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值．【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，∴∠AOC＝30°，又∵

∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；（2）①分两种情况：①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，即9°t+30°﹣3°t＝45°，解得t＝2.5；②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°

，即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，解得t＝32.5；综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；28②t的值为12s或36s．分两种情况：①当OE平分∠BOD时，∠BOE=12∠BOD，即9°t﹣60°﹣3°t=12（60°﹣3°t），解得t＝12；②

当OF平分∠BOD时，∠DOF=12∠BOD，即9°t﹣300°=12（3°t﹣60°），解得t＝36；综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的

速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．19．将一副三角板的直角重合放置，如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为165°（2）三角板△AOB的位置保持不动，将三

角板△COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角板△COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写

出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．29【分析】（1）由已知可求出∠CAE＝180°﹣60°＝120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC的度数．（2）①由OD∥AB可得∠BOD＝∠B＝30°

，再由∠BOD+∠BOC＝90°和∠AOC+∠BOC＝90°求出∠AOC．②将三角板△COD继续绕O旋转，OC边能与AB平行，由平行可得∠COB＝∠B＝30°，从而求出∠AOC．【解答】解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝∠

C+∠CAE＝45°+120°＝165°，故答案为：165°．（2）①∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠B＝30°，又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．②存在，如图1，∠AOC＝120°；如图

2，∠AOC＝165°；如图3，∠AOC＝30°；30如图4，∠AOC＝150°；如图5，∠AOC＝60°；如图6，∠AOC＝15°．【点评】此题考查的知识点是平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是根据三角形外

角性质平行线的性质求解．20．取一副三角尺按图1拼接，固定三角尺ADC．（1）在图1中，连接BD，计算∠DBC+∠BDC＝105°；（2）将三角尺ABC绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC1，试问：①当α＝15°时，

能使AB∥CD；②当α＝45°时，∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝105°；③当0°＜α≤45°时，如图2所示，连结BD，探寻∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小变化情况，并给出你的证明．31【分析】（1）如图1，易得∠BCD＝75°，然后在△BDC

中运用三角形内角和定理就可解决问题；（2）①如图2，当α＝15°时，可得∠BAC＝∠ACD＝30°，从而可得AB∥CD；②当α＝45°时，可求出∠CEC1，然后利用三角形的内角和定理可求出∠EOC1，然后利用三角形外角的性质可求出∠DBC1+∠BDC，就

可求出∠DBC1+∠BDC+∠CAC1；③当0°＜α≤45°时，在△ACC1中，利用三角形内角和定理可得∠CAC1+30°+∠OCC1+45°+∠OC1C＝180°，根据三角形外角的性质可得∠DBC1+∠BDC＝∠DOC＝∠OCC1+∠OC1C，从而可得∠DBC

1+∠CAC1+∠BDC＝105°．【解答】解：（1）如图1，在△BDC中，∠BCD＝45°+30°＝75°，∴∠DBC+∠BDC＝180°﹣∠BCD＝105°．故答案为105°；（2）①如图2，当α＝15°时，∠BAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，∴AB∥CD．故

答案为15°；②当α＝45°时，∠CEC1＝∠EAC+∠ACE＝45°+30°＝75°，∴∠EOC1＝180°﹣∠CEC1﹣∠BC1A＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴∠DBC1+∠BDC＝∠EOC1＝60°；∴∠DBC1+∠BDC+∠CAC1＝60°+45°＝105°．故

答案为105°；③当0°＜α≤45°时，∠DBC1+CAC1+∠BDC的值的大小不变，等于105°．证明：在△ACC1中，∵∠CAC1+∠ACC1+∠AC1C＝∠CAC1+∠ACO+∠OCC1+∠AC1B+∠OC1C＝∠CAC1+30°+∠OCC1+45°+∠OC1C＝180

°，∠DBC1+∠BDC＝∠DOC1＝∠OCC1+∠OC1C，32∴∠CAC1+75°+∠DBC1+∠BDC＝180°，∴∠DBC1+∠CAC1+∠BDC＝105°．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的判定等知识，构造8字型将∠DBC1

+∠BDC转化为∠OCC1+∠OC1C，是解决最后一小题的关键．