【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练52 圆的方程.docx，共(9)页，37.003 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十二圆的方程(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·南京模拟)方程x2+

y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D,E,F的值分别为()A.4,-6,3B.-4,6,3C.-4,6,-3D.4,-6,-3【解析】选D.以(-2,3)为圆心,4为半径的圆的标准方程为(x+2)2+(y-3)2=16,即x2+y2+4x-

6y-3=0,所以D=4,E=-6,F=-3.2.(5分)(2024·青岛模拟)点P(a,10)与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是()A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.与a的值有关【解析】选A.圆C:(x

-1)2+(y-1)2=2的圆心C(1,1),半径r=√2,因为|𝑃𝐶|=√(𝑎-1)2+(10-1)2=√(𝑎-1)2+81>√2,所以点P(a,10)在圆外.3.(5分)圆心坐标为(-2,1),并经过点A(2,-2),则圆的标准方程为()A.(x-

2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x+2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=25【解析】选D.由题意可设圆的标准方程为:(x+2)2+(y-1)2=r2,因为点A(2,-2)在圆上,所以r2=(2+2)2+(-2-1)2=25,所以圆的标准方

程为(x+2)2+(y-1)2=25.4.(5分)若直线l:ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y=0的周长,则ab的取值范围是()A.[18,+∞)B.(0,18]C.(0,14]D.[14,+∞)【解

析】选B.由题意得,直线ax+by-1=0过圆心(1,2),所以a+2b=1,所以ab=12×2ab≤12(𝑎+2𝑏2)2=18(当且仅当a=2b,即a=12,b=14时,取“=”),又a>0,b>0,所以ab∈(0,18].【加练备选】若直线ax+2by-2=0(a

>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则1𝑎+2𝑏的最小值为3+2√2.【解析】由圆的性质可知,直线ax+2by-2=0是圆的直径所在的直线方程.因为圆x2+y2-4x-2y-8=0的标准方程为(x-2)2+

(y-1)2=13,所以圆心(2,1)在直线ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,即a+b=1,因为1𝑎+2𝑏=(1𝑎+2𝑏)(a+b)=3+𝑏𝑎+2𝑎𝑏≥3+2√2,当且仅当a=√2-

1,b=2-√2时等号成立,所以1𝑎+2𝑏的最小值为3+2√2.5.(5分)(多选题)(2024·南昌模拟)已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A.圆M的圆心坐标为(1,3)B.圆M的半径

为√5C.圆M关于直线x+y=0对称D.点(2,3)在圆M内【解析】选ABD.设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则{1+4-𝐷+2𝐸+𝐹=04+1+2𝐷+𝐸+𝐹=09+16+3𝐷+4𝐸+𝐹=0,解得{𝐷=-2𝐸

=-6𝐹=5,所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为√5,故A,B正确;因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),所以圆M不关于直线x+y=0对称,故C错误;因为(2-1)2+(3-3)

2=1<5,故点(2,3)在圆M内,故D正确.6.(5分)(多选题)设圆的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,其中a>0,b>0,下列说法正确的是()A.该圆的圆心为(a,b)B.该圆过原点C.该圆与x轴相交于两个不同点D.该圆的半径为a2+b2【解析】选BC.因为圆的

方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),所以圆心坐标为(a,-b),半径r=√𝑎2+𝑏2,故A,D错误;把原点坐标(0,0)代入圆的方程得方程左边=(0-a)2+(0+b)2=a2+b2=方程

右边,所以该圆过原点,故B正确;令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以该圆与x轴有两个交点,故C正确.7.(5分)(2024·唐山模拟)若圆C:x2+y2+Dx+2y=0的圆心在直线

x-2y+1=0上,则C的半径为√10.【解析】由圆的一般方程,得圆心C的坐标为(-𝐷2,-1),代入直线x-2y+1=0中,得(-𝐷2)-2×(-1)+1=0,解得D=6,则半径r=12√62+22=√10.8.

(5分)(2024·南京模拟)已知△ABC中,A(-3,0),B(3,0),点C在直线y=x+3上,△ABC的外接圆圆心为E(0,4),则直线EC的方程为y=34x+4.【解析】因为△ABC的外接圆圆心为E(0,4),所以△ABC

的外接圆半径为√32+42=5,即△ABC的外接圆方程为x2+(y-4)2=25.联立{𝑦=𝑥+3,𝑥2+(𝑦-4)2=25,解得{𝑥=4,𝑦=7或{𝑥=-3,𝑦=0,所以C(4,7)或C(-3,0)(与A点重合舍去),所以直线EC的方程为𝑦-74-7=�

�-40-4,即y=34x+4.9.(10分)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上.线段PQ的端点P的坐标是(5,0),端点Q在圆C上运动,求线段PQ的中点M的轨迹方程.【解析】设点D为线段AB的中点,

直线m为线段AB的垂直平分线,则D(32,-12).又kAB=-3,所以km=13,所以直线m的方程为x-3y-3=0.由{𝑥-3𝑦-3=0,𝑥-𝑦+1=0,得圆心C(-3,-2),则半径r=|CA|=√

(-3-1)2+(-2-1)2=5,所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25.设点M(x,y),Q(x0,y0),因为点P的坐标为(5,0),所以{𝑥=𝑥0+52,𝑦=𝑦0+02,即{𝑥0=2𝑥-5,𝑦0=2𝑦.又点Q(x0,y0)在圆C:(x+3)2+(y+2

)2=25上运动,所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.整理得(x-1)2+(y+1)2=254.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1

)2=254.【能力提升练】10.(5分)已知点P(1,-2)在圆C:x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外部,则k的取值范围是()A.(-2,1)B.(1,2)C.(-∞,-2)D.(-2,2)【解析】选B.由x2+y2+kx+4y+k2+1=0,得(𝑥+𝑘

2)2+(y+2)2=3-34k2,则3-34k2>0,解得-2<k<2①,又因为点P(1,-2)在圆C的外部,所以1+4+k-8+k2+1>0,即k2+k-2>0,解得k<-2或k>1②,由①②得1<k<2.11.(5分)(多选题)已知圆M与直线x+y+2=0

相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是()A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M的面积的最大值为50πC.圆M的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M的半径之积为8【解析】选AB.因为圆

M与直线x+y+2=0相切于A(0,-2),所以直线AM与直线x+y+2=0垂直,所以直线AM的斜率为1,则点M在直线y=x-2上,即x-y-2=0上,故A正确;设M(a,a-2),所以圆M的半径r=|AM|=√𝑎2+(𝑎-2+2)2=√2|a|,因为圆M被x轴截得的弦长为2,所以2√𝑟2

-(𝑎-2)2=2√𝑎2+4𝑎-4=2,解得a=-5或a=1.当a=-5时,圆M的面积最大,为πr2=50π,故B正确;当a=1时,圆M的半径最小,为√2,故C错误;满足条件的所有圆M的半径之积为5√2×√2=10,故D错误.12.(5分)(2024·郑州模拟)如果圆

(x-m)2+(y-2m)2=r2关于直线x+y-3=0对称,则圆的圆心坐标为(1,2).【解析】由题意知圆的圆心坐标为(m,2m),圆心在直线x+y-3=0上,将圆心坐标(m,2m)代入即得m+2m-3=0,解得m=1,所以圆心坐标为(1,2).13.(5分)(2024·昆明模拟)已知点A(

-3,0),B(3,0),C(-1,0),点P满足|𝑃𝐴|=2|𝑃𝐵|,则点P到点C距离的最大值为10.【解析】设P(x,y),因为|𝑃𝐴|=2|𝑃𝐵|,所以(x+3)2+y2=4[(𝑥-3)2+𝑦2

],化简得(x-5)2+y2=16.则点P的轨迹是以D(5,0)为圆心,半径等于4的圆,因为|𝐶𝐷|=6,故|𝑃𝐶|的最大值为|𝐶𝐷|+4=10.14.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知圆E经过点A(0,0),B(1,1),且圆E与y轴相切.(1)求圆E的一般

方程;(2)设P是圆E上的动点,点C的坐标为(4,0),求线段CP的中点M的轨迹方程.【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆E过点A(0,0),B(1,1),又跟y轴相切,所以圆E必在y轴右侧,且跟y轴的切点为A(0,0),所以圆心的纵坐标为0,所以{

𝐹=01+1+𝐷+𝐸+𝐹=0-𝐸2=0,解得{𝐷=-2𝐸=0𝐹=0,所以圆E的方程为x2+y2-2x=0.(2)设M(x,y),则P(2x-4,2y),将P(2x-4,2y)代入x2+y2-2x=0得(2x-4)2+(2y)2-2(2x-4)=0,整理得(𝑥-52)2+

y2=14.即线段CP的中点M的轨迹方程为(𝑥-52)2+y2=14.15.(10分)(2024·郴州模拟)已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上.(1)求圆C的方程;(2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射,

反射光线l1恰好平分圆C的圆周,求反射光线l1的一般方程.【解析】(1)由A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率为kAB=0-44-0=-1,线段AB的中点D(2,2),所以kCD=1,直线CD的方程为y-

2=x-2,即y=x,联立{𝑥+𝑦-6=0𝑦=𝑥,解得{𝑥=3𝑦=3,即C(3,3),所以半径r=|AC|=√(4-3)2+(0-3)2=√10,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10;(2)由l1恰好平分圆C的圆周,得l1经过圆心C(3,3),设点M关于直线

y=-x的对称点为N(x,y),则直线MN与直线y=-x垂直,且线段MN的中点(𝑥+42,𝑦+12)在y=-x上,则有{𝑦-1𝑥-4×(-1)=-1𝑦+12=-𝑥+42,解得{𝑥=-1𝑦

=-4,所以N(-1,-4),所以直线CN即为直线l1,且𝑘𝑙1=kCN=3-(-4)3-(-1)=74,直线l1的方程为y-3=74(x-3),即7x-4y-9=0.【素养创新练】16.(5分)阿波罗尼斯(约公元

前262-公元前190年)证明过这样一个命题:在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=√2,则△PAB面积的最大值是()A.√2B.2C.2√2D.4【解

析】选C.设以经过点A,B的直线为x轴,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴正方向,以线段AB的垂直平分线为y轴,线段AB的中点O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设P(x,

y),因为|𝑃𝐴||𝑃𝐵|=√2,所以√(𝑥+1)2+𝑦2√(𝑥-1)2+𝑦2=√2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即点P的轨迹为(x-3)2+y2=8.要使△PAB的面积最大,只需点P到AB

(x轴)的距离最大,此时面积为12×2×2√2=2√2.