【文档说明】安徽省皖北名校2020-2021学年高二下学期第一次联考数学（理）试题含答案.docx，共(14)页，840.799 KB，由小赞的店铺上传

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皖北名校2020~2021学年高二下第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“1x，210x−”的否定是（）A.1x，210x−B.01x，0210x−C.01

x，0210x−D.01x，0210x−2.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A.12B.10C.8D.63.已知函数()23(0)exfxxf=+，则(1)f=（）A.3e2B.32e−C

.23e−D.23e+4.已知双曲线221916xy−=的左、右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线交于点P，则12PFF△的面积为（）A.9B.16C.20D.255.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃

）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程0.25yk=+，x（次数/分钟）2030405060y（℃）2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（）A.33℃B.34℃C.35℃D.35

.5℃6.在正方体1111ABCDABCD−中，已知M是BD的中点，则1BM与平面11AADD所成角的余弦值为（）A.66B.33C.306−D.3067.下图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的

故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cn的正方形孔.若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（）A.2B.1C.12D.148.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先

进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A.6B.14C.16D.389.已知函数32()fxxaxbx=++在1x=处有极值，则(2)f等于（）A.1B.2C.3D.410.已知椭圆22221(0)x

yabab+=的右焦点为F，B为上顶点，O为坐标原点，直线byxa=交椭圆于点C（点C位于第一象限），若BFO△与BFC△的面积相等，则该椭圆的离心率为（）A.2217+B.2217−C.2213−D.21−11.“ab”是“31311loglog33abab+−”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数2()ln()2afxxxxa=−R，若对任意120xx，()()12fxfx恒成立，则a的取值范围为（）A.[1,)+B.(,1]−C.[,)e+D.[1,e]二、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分。13.函数()(21)exfxx=+的图象在点(0,(0))f处的切线方程是______.14.如图，二面角l−−为135°，A，B，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D，若1AC=，2BD

=，2CD=，则AB的长度______.15.过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F作斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若OAB△（O为坐标原点）的面积等于5，则p=______.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的

直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且32bOAa=−（O为坐标原点），则C的离心率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知:p函数2()2(1)2fxxax=+−+在区间(,3]−上

不是减函数；:qxR，240xxa−+.（1）若“p且q”为真，求实数a的最大值；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）（1）证明：e1xx+；（2）证明：ln1xx−；（3）比较1ex−与ln(1)x+的大小，无需说明理由.19.（本小

题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，2AB=，14BCBB==，125ACAB==，且160BCC=.（1）求证：平面1ABC⊥平面11BCCB；（2）设二面角1CACB−−的大小为，求sin的值.20.（本小题满分12分）一机构

随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按[1000,2000)，[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)，[5000,6000)，[6000,7000]（单位：元）分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

（2）根据题目分组情况，按分层抽样的方法在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收人在[5000,6000)的概率.21.（本小题满分12分）以抛物

线2:2(0)Cypxp=的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知42AB=，25DE=.（1）求抛物线C的方程；（2）过(1,0)−的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线4

x=−于点G（Q在PG之间），直线QF交直线1x=−于点H.是否存在这样的直线l，使得//GHPF（F为C的焦点）?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知1F，2F是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点，过2

F的直线2320xy−−=与椭圆C交于P，Q两点，R为P，Q的中点，直线OR的斜率为-1.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点2F的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆22:2Oxy+=相交于G，H两点，求2AB

GH的取值范围.皖北名校2020~2021学年高二下第一次联考·数学试卷（理科）参考答案、提示及评分细则1.D全称命题的否定是特称命题，1x改成01x，210x−改成0210x−.故选D.2.A由甲组数据的众数为1

6，得6xy==，乙组数据的平均数为226162125126+++++=.3.C()23(0)exfxf=+，所以(0)23(0)ff=+，所以(0)1f=−，所以()23exfx=−，所以

(1)23fe=−.故选C.4.B根据题意，得12PFF△为以12FF为斜边的直角三角形，所以2212100PFPF+=①，12||||||6PFPF−=②，由2−①②得1232PFPF=，所以12PFF△的面

积为1211321622PFPF==.故选B.5.B由题意，得40x=，30y=，则0.25300.254020kyx=−=−=；当56x=时，34y=.故选B.6.D以DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则1

(2,2,2)B，(1,1,0)M，1(1,1,2)BM=−−−，显然DC⊥平面11AADD，所以(0,2,0)DC=是平面11AADD的一个法向量，所以1BM与平面11AADD所成角的正弦值为1126626DCBMDCBM==，故所求

角的余弦值为306.故选D.7.D铜片的面积224S==，中间方孔的面积为1S=，所求概率为14.8.C程序运行过程如下：1v=，1k=；122v==，2k=；22216v=+=，3k=；622216v=+=，4k=，跳出循环，输出v的值为16.故选C.9.B2()32fxxa

xb=++，由题意知(1)0f=，即320ab++=，所以23ab+=−，所以(2)84282(2)82(3)2fabab=++=++=+−=.故选B.10.A根据题意作出图象如下：由如图可知点(0,)Bb，(,0)Fc.联立

22221,,xyabbyxa+==解得,2,2axby==或,2,2axby=−=−所以点C的坐标为,22ab.因为(0,)Bb，(,0)Fc，所以根据直线截距式方程可得直线BF的方程为1xycb+=，即0bxcybc+−=.因为BF

O△与BFC△面积相等，所以线段OC的中点,2222ab在直线0bxcybc+−=上，所以02222abbcbc+−=，()221a=−，则该椭圆的离心率12217221cea+===−.故选A.1

1.B由31311loglog33abab+−，得3311loglog33abab−−，所以3311loglog33abab−−，令31()log3xfxx=−，则()()fafb，因为函数()fx为(

0,)+上的单调递增函数，所以0ab；反之则不然.故选B.12.A由题意知函数()fx在(0,)+上单调递增，因为()ln1fxaxx=−−，所以转化为()0fx在(0,)+上恒成立，因为(0,)x+，所以

ln1xax+在(0,)+上恒成立，即转化为maxln1xax+，令ln1()xgxx+=，则2ln()xgxx=−，所以当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以max()

(1)1gxg==，所以1a.故选A.13.310xy−+=因为()(23)exfxx=+，所以切线的斜率为(0)3f=，又(0)1f=，故所求切线方程是13(0)yx−=−，即310xy−+=.14.3因为ABACCDDB=++，ACCD⊥，CDDB⊥，所以()222221

422ABACCDDBACCDDBDBACACDB=++=+++=+++，又因为二面角l−−为135°，所以,45ACDB=，所以2721232AB=+=.15.2抛物线C的焦点,02pF，设直线l的方程为122pxy=+，代入抛物线C方程，得220ypyp

−−=.设()11,Axy，()22,Bxy，则12yyp+=，212yyp=−，所以OAB△的面积为()2212121215452244ppyyyyyyp−=+−==.解得2p=.16.132设C的右焦点为1F，不妨设直线l与渐近线byxa=−

交于点B.在直角三角形BOF中，由点到直线的距离，得BFb=，再结合OFc=，得OBa=；由OA为PFF△的中位线，得132PFba=−，再由双曲线的定义，得3PFb=，从而32bAF=，2bABAFBF=−=.在直角三角形ABO中，222322bbaa−=+，化

简，得32ba=，所以21312bea=+=.17.解：当p为真时，函数2()2(1)2fxxax=+−+在区间(,3]−上不是减函数，所以(1)3a−−，解得2a−.当q为真时，关于x的不等式240xxa−+有解，所以2440a=−

，解得4a.（1）若“p且q”为真，则2a−且4a，所以24a−.所以若“p且q”为真，实数a的最大值是4.（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假.当p真q假时，2a−且4a，解得4a；当p假q真时

，2a−且4a，解得2a−.综上，所求实数a的取值范围是(,2](4,)−−+.18.证明：（1）令()e(1)xfxx=−+，则()e1xfx=−.令()0fx得，0x，令()0fx得，0x所以()fx在(,0)−单调递减

，(0,)+上单调递增..所以0()(0)e10fxf=−=，即e(1)0xx−+.所以e1xx+.（2）令()ln(1)(0)gxxxx=−−，则1()1gxx=−.令()0gx得，1x，令()0gx得，01x所以()gx在(0,1)单调递增，

(1,)+上单调递减，所以()(1)ln1(11)0gxg=−−=，即ln(1)0xx−−，所以ln1xx−.（3）1eln(1)xx−+.由（1）得e1xx+，所以1e(1)1xxx−−+=（

当且仅当1x=时取等号）①.由（2）得ln1xx−，所以ln(1)(1)1xxx++−=（当且仅当0x=时取等号）②因为①式与②式取等号的条件不同，所以1eln(1)xx−+.19.（1）证明：在ABC△中，22220ABBCAC+==，所以

90ABC=，即ABBC⊥.因为1BCBB=，1ACAB=，ABAB=，所以1ABCABB△≌△.所以190ABBABC==，即1ABBB⊥.又1BCBBB=，所以AB⊥平面11BCCB.又AB平面1ABC，所以平面1ABC⊥平面11BC

CB.（2）解：由题意知，四边形11BCCB为菱形，且160BCC=，则1BCC△为正三角形.取1CC的中点D，连接BD，则1BDCC⊥.以B为原点，分别以BD，1BB，BA的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Bxyz−，则(0,0,0)B，1(0,4,0)B，(0,0,2)A，

()23,2,0C−，()123,2,0C，设平面11ACCA的法向量为(,,)nxyz=，且()23,2,2AC=−−，()10,4,0CC=，由10,0,ACnCCn==得23220,40,xyzy−−=

=取1x=，则()1,0,3n=.由四边形11BCCB为菱形，得11BCBC⊥；又AB⊥平面11BCCB，所以1ABBC⊥.又1ABBCB=，所以1BC⊥平面1ABC，所以平面1ABC的法向量为()123,6,0BC=−.所以111231cos,4432||nBCnBCnBC==

=.故15sin4=.20.解：（1）由频率分布直方图知，中位数在[3000,4000)，设中位数为x，则0.000110000.000210000.00025(3000)0.5x++−=，解得3800x=.（2）收入在[1000,2000)，[500

0,6000)，[6000,7000]这三组的人数分别为10，15，5，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1.记收入在[1000,2000)的2人分别为1a，2a，收入在[5000,6000)的3人分别为1b，2b，3

b，收入在[6000,7000]的1人为c，通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有()12,aa，()11,ab，()12,ab，()13,ab，()1,ac，()21,ab，()22,ab，()23,ab，()2,ac，()12,bb，()1

3,bb，()23,bb，()1,bc，()2,bc，()3,bc，共15种，其中至少有一人收入在[5000,6000)的取法有()11,ab，()12,ab，()13,ab，()21,ab，()22,ab，()23,ab，

()12,bb，()13,bb，()23,bb，()1,bc，()2,bc，()3,bc，共12种，所以至少有一人收入在[5000,6000)的概率为124155=.21.解：（1）设圆的方程为222xyr+=，42AB=，可设()0,22Ax，代入22ypx=得04xp

=，4,22Ap，代入222xyr+=，得()222422rp+=.①25DE=，抛物线的准线方程为2px=−，可设,52pD−，代入222xyr+=，得()22252pr−+=.②解①②得4p=（4p=−舍去）.抛物线C的方程是28yx

=.（2）C的焦点F的坐标(2,0)，显然直线l与坐标轴不垂直，设直线l的方程为(1)(0)ykxk=+，()11,Pxy，()22,Qxy.联立28,(1),yxykx==+消去y得()2222280kxkxk+

−+=.由()2242840kk=−−，解得22k−，22k−且0k.由韦达定理得212282kxxk−+=，121xx=.方法一：直线QF的方程为22(2)2yyxx=−−，又1Hx=−，所以2232Hyyx−=−，所以2

231,2yHx−−−，//GHPF，直线GH与直线PF的斜率相等.又(4,3)Gk−−，221133232ykxyx−+−=−−.整理得121222yykxx=+−−，即()()12121122kxkxkxx++=+−−

，化简得121211122xxxx++=+−−，()()1212121224124xxxxxxxx−+−=−++，即127xx+=.22827kk−=，整理得289k=，解得223k=，经检验，223k=符合题意.这样的直线l存在，且直线l的方程为22(1)3yx=+或2

2(1)3yx=−+，即222233yx=+或222233yx=−−.方法二：//GHPF，||||||||PQQFGQQH=，12222241xxxxx−−=++.整理得()12128xxxx++=，22827kk−=，整理得289k=.解得223k

=，经检验，223k=符合题意.这样的直线l存在，且直线l的方程为22(1)3yx=+或22(1)3yx=−+，即222233yx=+或222233yx=−−.22.解：（1）在2320xy−−=中，令0y=，得右焦点2F的坐标是(1,0)，所以221ab−

=.①设()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Rxy，则2211221xyab+=，2222221xyab+=，两式相减得22221212220xxyyab−−+=，()()()()1212121222xxxxyyyyab+

−+−=−，()()0120122222xxxyyyab−−=−，又OR的斜率为-1，所以001yx=−，所以212212yybxxa−=−，所以2223ba=.②解①②得223,2,ab==所以椭圆C的方程为22132xy+=.（

2）①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x=，易求A，B的坐标为231,3，231,3−，G，H的坐标为(1,1)，(1,1)−，所以433AB=，24GH=，21633ABGH=.②若直线l的斜率存在，设直线

l的方程为(1)ykx=−，()11,Axy，()22,Bxy.联立221,32(1),xyykx+==−消去y整理得()2222236360kxkxk+−+−=，则2122623kxxk+=+，21

223623kxxk−=+，所以()()()()2222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−()()()2222222243643161232323kkkkkkk−+=+−=+++.因为圆心(0,0)O到直线l

的距离2||1kdk=+，所以()2222242||4211kkGHkk+=−=++，所以()()()2222222222443142163216321633||||122231233333kkkkABGHkkkkk++++====++++++.因为2[

0,)k+，所以2163||||,1633ABGH.综上，2||||ABGH的取值范围是163,1633.