【文档说明】安徽省皖北名校2020-2021学年高二下学期第一次联考数学（文）试题含答案.docx，共(12)页，1.070 MB，由小赞的店铺上传

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皖北名校2020～2021学年高二下第一次联考数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效。．．．．．．．．．4．

本卷命题范围：人教版必修3，选修1-1。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“1x，210x−”的否定是（）A．1x，210x−B．01x，0210x−C．01x，0210x−D．

01x，0210x−2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）A．12B．10C．8D．63．已知函数()23(0)exfxxf=+，则(1)f=（）A．3e2B．32e−C．23e−D．23e+4．已知双曲线221916xy−=

的左、右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线交于点P，则12PFF△的面积为（）A．9B．16C．20D．255．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数

据，建立了y关于x的线性回归方程ˆ0.25yxk=+，x（次数/分数）2030405060y（℃）2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（）A．34℃B．34.5℃C．35℃D．35.5℃6．已知函数32()fxxaxbx=++

在1x=处有极值，则(2)f等于（）A．1B．2C．3D．47．下图显示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔．若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落入孔中的概率是（）A．2

πB．1πC．12πD．14π8．随着我国经济持续高速的发展，科学技术也得到了长足的发展，在国内出现了一批具有国际影响的科技企业．为了解我国科技企业的发展现状，某调查机构对一些科技企业进行调查，得到科技企业从业人员的年龄构成情况和“90后”从业者的岗位分布情况的饼图：则下列结论

中不正确的是（）A．在被调查的科技企业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%B．在被调查的科技企业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%C．在被调查的科技企业中，“90后”从事市场岗位的

人数比“80前”的总人数多D．在被调查的科技企业中从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，给出了利

用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．6B．14C．16D．3810．若函数2()(2)lnfxxaxax=−++既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．(,2)(2,)−+B．(0,2)(2,)+

C．(2,)+D．211．已知椭圆22221xyab+=(0)ab的右焦点为F，B为上顶点，O为坐标原点，直线byxa=交椭圆于点C（点C位于第一象限），若BFO△与BFC△的面积相等，则

该椭圆的离心率为（）A．2217+B．2217−C．2213−D．21−12．已知函数2()ln2afxxxx=−()aR，若对任意120xx，()()12fxfx恒成立，则a的取值范围为（）A．1,eB．(,1−C．)e,+D．)

1,+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数()(21)exfxx=+的图象在点(0,(0))f处的切线方程是______．14．王安石在《游褒禅山记》中写道：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也．”请问“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常

之观”的______条件．（填“充分”“必要”“充要”中的一个）15．过抛物线C：22ypx=(0)p的焦点F作斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若OAB△（O为坐标原点）的面积等于5，则p=______．16．已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0

b）的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且32bOAa=−（O为坐标原点），则C的离心率为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知p：函

数2()2(1)2fxxax=+−+在区间(,3−上不是减函数；q：xR，240xxa−+．（1）若“p且q”为真，求实数a的最大值；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．18．（本小题

满分12分）某养殖场通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量y（kw·h）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）34567用电量（kw·h）2.5344.56（1）请利用所给数据求用电

量y与气温x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+；（2）利用线性回归方程预测气温10℃时的用电量．参考公式：()()()1122211ˆnniiiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−，ˆˆaybx=−．19

．（本小题满分12分）在直线l：23170xy++=上任取一点M，过M作以1(2,0)F−，2(2,0)F为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆的方程．20．（本小题满分12分）一机构随机调查了某小区100人的月收入情

况，将所得数据按)1000,2000，)2000,3000，)3000,4000，)4000,5000，)5000,6000，6000,7000（单位：元）分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估

计样本数据的中位数；（2）根据题目分组情况，按分层抽样的方法在)1000,2000，)5000,6000，6000,7000三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收入在)5000,6000的概率．21．（本小题满分12分

）已知抛物线C：22ypx=(0)p的准线与圆22(3)25xy−+=相切．（1）求抛物线C的方程及其焦点F的坐标；（2）如图，过点(1,0)−的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线4x=−于点G（Q在PG之间），直线QF交直线1x=−于点H，//GHPF，求直线l的方程．

22．（本小题满分12分）已知函数()exfxax=−()aR（e=2.71828…是自然对数的底数）．（1）求()fx的单调区间；（2）求函数()fx的零点的个数．皖北名校2020～2021学年高二下第一次联考·数学试卷（文科）参

考答案、提示及评分细则1．B全称命题的否定是特称命题，1x改成01x，210x−改成0210x−．故选B．2．A由甲组数据的众数为16，得6xy==，乙组数据的平均数为226162125126+++++=．3．C()23(0)exfxf=+，所以(

0)23(0)ff=+，所以(0)1f=−，所以()23exfx=−，所以(1)23ef=−．故选C．4．B根据题意，得12PFF△为以12FF为斜边的直角三角形，所以2212100PFPF+=①，126PFPF−=②，由①－②2得1232PFPF=，所以12PFF

△的面积为1211321622PFPF==．故选B．5．A由题意，得40x=，30y=，则0ky=−．25300.254020x=−=；当56x=时，34y=．故选A．6．B2()32fxxaxb=++，由题意知(1)0f=，即320ab++=，所以

23ab+=−，所以(2)842fab=++82(2)82(3)2ab=++=+−=．故选B．7．D铜片的面积2π24πS==，中间方孔的面积为1S=，所求概率为14π．8．D对于A，由图易知“90后”占总人数的比例为55%，超过50%，故A正确；对于B，设被调查科技企业中，从业人员为

a人，则从事技术、设计的人数为55%(13%37%)0.275aa+=，占比为27.5%，超过25%，故B正确；对于C，“90后”从事市场岗位的人数为01455%0077aa=．．人，而“80前”从业者总数为005007aa

．．，所以C正确；对于D，从事技术岗位的人员人数为37%037aa=．人，而“80后”从事这一岗位的在图中没有明确说明，无法判断二者间的大小关系，故D错误．故选D．9．C程序运行过程如下：1v=，1k=；122v==，2k=；22216v=+

=，3k=；622216v=+=，4k=，跳出循环，输出v的值为16．故选C．10．B因为2()(2)lnfxxaxax=−++既有极大值又有极小值，且22(2)()22axaxafxxaxx−++=−−+=(2)(1)xaxx−−=(0)x，所以()0

fx=有两个不等的正实数解，所以02a，且12a，解得0a，且2a．故选B．11．A根据题意作出图象如下：由如图可知点(0,)Bb，(,0)Fc．联立22221,,xyabbyxa+==解得,2,2axby=

=或,2,2axby=−=−所以点C的坐标为,22ab．因为(0,)Bb，(,0)Fc，所以根据直线截距式方程可得直线BF的方程为1xycb+=，即0bxcybc

+−=．因为BFO△与BFC△面积相等，所以线段OC的中点,2222ab在直线0bxcybc+−=上，所以02222abbcbc+−=，()221ac=−，则该椭圆的离心率12217221cea+===−．故选A．12．D由题意知函数()

fx在()0,+上单调递增，因为()ln1fxaxx=−−，所以转化为()0fx在()0,+上恒成立，因为(0,)x+，所以ln1xax+在()0,+上恒立，即转化为ln1xax+，

令ln1()xgxx+，则2ln()xgxx=−，所以当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx，所以()gx在(0,1)上单调递增，在()1,+上单调递减，所以max()(

1)1gxg==，所以1a．故选D．13．310xy−+=因为()(23)exfxx=+，所以切线的斜率为(0)3f=，又01f=（），故所求切线方程是13(0)yx−=−，即310xy−+=．14．必要因为“非有志者不能至

”所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件．15．2抛物线C的焦点,02pF，设直线l的方程为122pxy=+，代入抛物线C方程，得220ypyp−−=．设()11,Axy，()22,Bxy，则12yyp+=，212yyp=−，

所以OAB△的面积为21212121()4224ppyyyyyy−=+−2554p==，解得2p=．16．132设C的右焦点为1F，不妨设直线l与渐近线byxa=−交于点B．在直角三角形BOF中，由点到直线的距离，得BFb=，再结合OFc=，得OBa

=；由OA为1PFF△的中位线，得132PFba=−，再由双曲线的定义，得3PFb=，从32bAF=，2bABAFBF=−=．在直角三角形ABO中，222322bbaa−=+，化简，得32ba=，所以21312bea=+=．17．解：当p为真时

，函数2()2(1)2fxxax=+−+在区间(,3−上不是减函数，所以(1)3a−−，解得2a−．当q为真时，关于x的不等式240xxa−+有解，所以2440a=−，解得4a．（1）若

“p且q”为真，则2a−且4a，所以24a−．所以若“p且q”为真，实数a的最大值是4．（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假．当p真q假时，2a−且4a，解得4a；当p假q真时，2a−且4a，解得2a−

．综上，所求实数a的取值范围是(,2(4,)−−+．18．解：（1）由表中数据得3456755x++++==，2.5344.5645y++++==，5132.5435464.576108.5ii

ixy==++++=，5222222134567135iix==++++=，所以12221108.5554ˆ0.8513555niiiniixynxybxnx==−−===−−，ˆˆ40.8550.25aybx=−=−

=−，所以ˆ0.850.25yx=−．（2）当10x=℃时，ˆ0.85100.258.25y=−=，当气温为10℃时，用电量为8.25kW·h．19．解：设1(2,0)F−关于l：23170xy++=的对称点(,)Fxy，则223170,2203

22xyyx−++=−=+解得6,6,xy=−=−6得(6,6)F−−．连2FF交于点M，当点M为直线l上异于M的点时，22212FMMFFFFMFMFMFM+=+=+

2a=．所以点M即为所求点．直线2FF的方程为3(2)4yx=−，即3460xy−−=，解方程组6,3460,172317063,17xxyxyy=−−−=++==−即5063,1717M−−，所以满足题意的椭圆的长轴最短时，2

222(26)610aFF==++=，所以5a=，2c=，22225421bac=−=−=．故椭圆的方程为2212521xy+=．20．解：（1）由频率分布直方图知，中位数在)3000,4000，设中位数为x，则0.000110000.000210000.00025(300

0)0.5x++−=，解得3800x=．（2）收入在)1000,2000，)5000,6000，6000,7000这三组的人数分别为10，15，5，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1．记收入在)1000,2000的2人分别为1a，2a，

收入在)5000,6000的3人分别为1b，2b，3b，收入在6000,7000的1人为c，通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有()12,aa，()11,ab，()12,ab，()13,ab，()1,ac，()21,ab，()22,ab，()23,ab，

()2,ac，()12,bb，()13,bb，()23,bb，()1,bc，()2,bc，()3,bc，共15种，其中至少有一人收入在)5000,6000的取法有()11,ab，()12,ab，()13,ab，()21,ab，()22,ab，()23,ab，()12,bb，()13,bb，()

23,bb，()1,bc，()2,bc，()3,bc，共12种，所以至少有一人收在)5000,6000概率为124155=．21．解：（1）因为抛物线22ypx=的准线2px=−与圆22(3)25xy−+=相切，所以352p+=，

解得4p=．所以抛物线C的方程是28yx=，焦点F的坐标(2,0)．（2）显然直线l与坐标轴不垂直，设直线l的方程为(1)ykx=+(0)k，()11,Pxy，()22,Qxy．联立28,(1),yxykx==+消去y得()2222280kxkxk+−+=．由()224284

0kk=−−，解得22k−．所以22k−且0k．由韦达定理得212282kxxk−+=，121xx=．因为//GHPF，所以PQGFGQQH=，所以12222241xxxxx−−=++．整理得()12128xxxx++=，所以22827kk−=，整理得289k=．解得223

k=，经检验，223k=满足0．所以所求直线l的方程为22(1)3yx=+或22(1)3yx=−+，即222233yx=+或222233yx=−−．22．解：（1）因为()exfxax=−，所以()exfxa=−，当0a时，()0fx恒成

立，所以()fx的单调递增区间为(,)−+，无单调递减区间；当0a时，令()0fx，得lnxa；令()0fx，得lnxa，所以()fx的单调递减区间为(),lna−，单调递增区间为()ln,a+．（2）显然0不是函数()fx的零点，由e0xax−=

，得exax=(0)x．令e()xgxx=，则2e(1)()xxgxx−=．0x或01x时()0gx，1x时()0gx，所以()gx在(,0)−和(0,1)上都是减函数，在(1,)+上是增函数，1x=时()gx取极小值e，又当0x时

，()0gx．所以0ea时关于x的方程exax=二无解，ea=或0a时关于x的方程exax=只有一个解，ea时关于x的方程exax=有两个不同解．因此，0ea时函数()fx没有零点，ea=或0a时函数()fx有且只有

一个零点，ea时函数()fx有两个零点．