【文档说明】北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(15)页，740.182 KB，由小赞的店铺上传

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北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题4分，共40分）1.设,1,2UAxxBxx===R，则UABð（）A.12xx

B.12xxC.1xxD.2xx【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.【详解】由U=R，{|2}Bxx=>，得{|2}UBxx=ð，而{|1}Axx

=，所以{|12}UxAxB=ð.故选：B.2.命题:2px，210x−，则命题p的否定形式是（）A.2x，210x−B.2x，210x−C.2x，210x−D.2x，210x−【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题

即可得到结论．【详解】命题:2px，210x−，为全称量词命题，则该命题的否定为：2x，210x−.故选：C．3.若31,2,aa，则a的所有可能的取值构成的集合为（）A.0B.0,1−C.0,2D.0,1,2−【答案】D【解析】【分析】讨

论参数对应的元素，结合集合元素互异性确定参数取值集合即可.【详解】当1a=，则31a=，显然集合元素不满足互异性；当2a=，则38a=，此时集合为1,2,8，满足；当3aa=，即0a=或1a=−，（其中1a=舍），若0a=，

此时集合为0,1,2，满足；若1a=−，此时集合为1,1,2−，满足；综上，a的取值集合为0,1,2−.故选：D4.已知,,abcR，且ab，则下列不等式正确的是（）A.acbcB.2

2abC.33abD.11ab【答案】C【解析】【分析】根据特值法可排除A，B，D，根据3yx=在R上单调递增，可判断C项.【详解】当0c=时，acbc=，故A错误；当1a=−，2b=−时，22ab，故B错误；因为3yx=在R上单调递增，且ab，所以33ab，故C

正确；当1a=，1b=−时，11ab，故D错误.综上，正确的为C.故选：C.5.已知函数23yxmx=−−在区间0,1上是单调函数，则实数m的取值范围是（）A.0,2B.()0,2C.(),02,−+D.()(),02,−+【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用

二次函数的单调性列式求解即可.【详解】函数23yxmx=−−的图象对称轴为2mx=，由函数23yxmx=−−在区间[0,1]上是单调函数，得02m或12m，解得0m或2m≥，所以实数m的取值范围是(),02,−+.故选：C6.函数()fx为奇函数，且当(,0)x−

时，23()1fxxx=−+−，则当(0,)x+时，()fx解析式是（）A.23()1fxxx=−−B.23()1fxxx=−+C.23()1fxxx=−−−D.23()1fxxx=−−+【答案】A【解析】

【分析】根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式即可.【详解】函数()fx为奇函数，且当(,0)x−时，23()1fxxx=−+−，则当0x时，0x−，23231()()())1[](fxxxxfxx−+−−−=−=−=−−−.故选：A7.已知集合2280,

4AxxxBxx=−−=，则“xA”是“xB”（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由集合间的包含关系即可判断.【详解】228024,Axxxxx=−−=−所以AB,所以“xA”是“xB”的

充分不必要条件.故选：C8.已知函数()()()25,1,1xaxxfxaxx−−−=是R上的增函数，则a的取值范围是（）A.30a−B.32a−−≤≤C.2a−D.3a−【答案】B【解析】的【分析】根据增函数的定义，结合二次函数、反比例函数

的单调性进行求解即可.【详解】二次函数25yxax=−−−的对称轴为：2ax=−，因为函数()()()25,1,1xaxxfxaxx−−−=是R上的增函数，所以有：21203215aaaaa−−−−−−，故

选：B9.若定义运算，,*,bababaab=则函数()()()2*gxxx=−−的值域为（）A.(,0]−B.RC.[1,)−+D.(,0)−【答案】A【解析】【分析】根据定义表示出()()()2*

gxxx=−−，然后求取分段函数的值域；【详解】()222,,xxxgxxxx−−−=−−−即()2,01,01xxgxxxx−=−或，当01,1,0xx−−,0x或1x时，()2,0x−−，函数()()()2*gxxx=−−的值域为(

,0−.故选：A10.已知函数()yfx=是定义在R上的函数，()()11fxfx+=−，函数()1fx+的图象关于点()1,0−对称，且对任意的1212,0,1,xxxx，均有()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，则下列关于

函数()yfx=的说法中，正确的个数是（）①()()22fxfx+=−；.②132623ff−；③函数()yfx=在2,4上单调递增；④不等式()0fx的解集为()4,42

Zkkk+．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称轴结合对称中心判断①，结合函数的单调性解对称性周期性判断②③，应用函数的周期性结合单调性及函数值解不等式即可判断④.【详解】由函数()1fx+的图象关于点()

1,0−对称，得()fx的图象关于点()0,0对称，即函数()fx是奇函数，由𝑓(1+𝑥)=𝑓(1−𝑥)，得()fx的图象关于直线1x=对称，(4)[(3)1][1(3)](2)(2)[(1)1]fxfxfx

fxfxfx+=++=−+=−−=−+=−++()()[(1)1]fxfxfx=−−++=−−=，因此()fx是以4为周期的周期函数，①正确；对任意的1212,0,1,xxxx，均有()()()()11221221x

fxxfxxfxxfx++，不妨设12xx，则()()()()121122xxfxxxfx−−，即()()12fxfx，因此()fx在[0,1]上单调递增，13133182222ffff−=−+==，2626

2183332ffff=−=，②正确；由函数()fx是R上的奇函数，在[0,1]上单调递增，得函数()fx在1,1−上单调递增，在1,3上单调递减，()3,5上单调递增，③错误；由(2)

(0)0ff==，()fx在1,1−上单调递增，在1,3上单调递减，得当1,3x时，()0fx，则有𝑥∈[0,2]，又函数()fx是以4为周期的周期函数，因此不等式()0fx的解集

为()4,42Zkkk+，④正确．故选：C．【点睛】方法点睛：结合函数的单调性及对称性解不等式最后应用周期性得出不等式的解集.二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.函数1()35fxxx=++−的定义域为_____________.【答案】[3,

5)(5,)−+【解析】【分析】由函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数1()35fxxx=++−有意义，则3050xx+−，解得3x−且5x，所以函数1()35fxxx=++−的定义域为[3,5)(5,)−+.故答案为：[3,5)(5,)−+12.已知幂函数()f

x为奇函数，且在()0,+上单调递增，则()fx的解析式可以为______.（写一个即可）【答案】()3fxx=（答案不唯一）【解析】【分析】举例幂函数()3fxx=，再说明其满意题意即可.【详解】举

例()3fxx=，因为其定义域为R，且()()()33fxxxfx−=−=−=−，则()3fxx=为奇函数，且其在()0,+上单调递增.故答案为：()3fxx=（答案不唯一）.13.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（

墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为232m，则x=________时，可使所用篱笆总长最小，最小值为________．【答案】①.8②.16【解析】【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可.【详解】由题得32xy=，周长22216Lxyx

y=+=≥，当且仅当2xy=，即8x=，4y=时，等号成立，所以min16L=．故答案为：8；16.14.对于任意实数x，不等式210axax+-<恒成立，则实数a的取值范围是_________.【答案】(4,

0−【解析】【分析】分类讨论0a=与0a两种情况，将一元二次不等式恒成立问题进行等价转换即可得解.【详解】当0a=时，不等式210axax+-<为10−恒成立，满足题意；当0a时，不等式210axax+-<恒成立等价于20Δ40aaa

=+，解得40a-<<；综上，40a-<?，即实数a的取值范围是(4,0−.故答案为：(4,0−.15.已知函数()21,1,1xaxxfxaxx−++=，（1）若0a=，则()fx的最大值是______；（2）若()fx存在最大值，则a的取

值范围为______.【答案】①.1②.(,0−【解析】【分析】（1）若0a=，则()21,10,1xxfxx−+=，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a=时，由（1）知，()fx存在最大值，当0a时，若()fx存在最大值，()fxax=在(1,+∞)应单调递减

，所以0a，即可得出答案.【详解】（1）若0a=，则()21,10,1xxfxx−+=，当1x时，()fx=21x−+，所以()(,1fx−，则()fx的最大值是1.（2）当0a=时，由（1）知，()fx存最大

值，在当0a时，若()fx存在最大值，()fxax=在(1,+∞)应单调递减，所以0a，且当1x时，()0fxaxa=，无最大值，当1x时，()fx=2221124aaxaxx−++=−−++

，则()fx在,2a−上单调递增，在,12a上单调递减，所以()fx存在最大值为2124aafa=+.故a的取值范围为：(,0−.故答案为：1；(,0−.三、解答题（本题共6

道小题，共85分.要求有演算或推理步骤）16.已知集合121,13AxaxaBxx=−+=−.（1）当2a=时，求AB和()ABRð；（2）若“xA”是“xB”充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）{|15}ABxx=−，R){|35}(ABxx=ð；（2）2a−或01a.【解析】【分析】（1）把2a=代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得.（2）利用充分条件的定义，结

合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】当2a=时，{|15}Axx=，而{|13}Bxx=−，则R{|1Bxx=−ð或3}x，所以{|15}ABxx=−，R){|35}(ABxx=ð.【小问2详解】由“xA”是“xB”

的充分条件，得AB，当121aa−+，即2a−时，A=，满足AB，则2a−；当A时，由AB，得11213aa−−+，解得01a，因此2a−或01a，所以实数a的取值范围是2a−或01a.的17.已如函数()221,13,1xxfxxx+=−

（1）求()11,2fff−；（2）若()1fa=，求实数a的值；（3）作出函数𝑦=𝑓(𝑥)在)2,2−区间内的图像．【答案】（1）()111,12fff−=−=；（2）2或

0（3）图象见解析【解析】【分析】（1）代入求值即可；（2）分1a与1a两种情况，列出方程，求出实数a的值，去掉不合要求的解．（3）根据分段函数解析式即可作出函数图象.【小问1详解】易知()()2111211,212231

22fffff−=−+=−=+==−=小问2详解】当1a时，211a+=，解得0a=，满足要求，当1a时，231a−=,解得2a=或2a=−（舍）综上可得2a=或0【

小问3详解】由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：【18.设2(1)2ymxmxm=+−+−.（1）若2m=，求不等式0y的解集；（2）解关于x的不等式2(1)21mxmx

mm+−+−−（Rm）.【答案】（1）()1,0,2−+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.（2）对m进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【小问1详解】若2m=，则由()22(1)22210ymxmxmxxxx=+−+−=−=

−，解得0x或12x，所以不等式0y的解集为()1,0,2−+.【小问2详解】不等式2(1)21mxmxmm+−+−−，即()()2(1)1110mxmxmxx+−−=+−，当0m=时，10

x−，解得1x，不等式的解集为(),1−；当0m时，不等式的解集为1,1m−；当10m−时，不等式的解集为()1,1,m−−+；当1m=−时，不等式的解集为|1xx；当1m−时，不等式的解集为()1,1,m−−+.1

9.已知函数()21axbfxx+=+是定义在()1,1−上的函数，()()fxfx−=−恒成立，且1225f=.（1）确定函数()fx的解析式；（2）用定义法研究()fx在()1,1−上的单调性；

（3）解不等式()()10fxfx−+.【答案】（1）()21xfxx=+；（2）函数()fx在()1,1−上是增函数；（3）1(0,)2.【解析】【分析】（1）根据()1200,25ff==

，待定系数即可求得函数解析式；（2）利用单调性的定义，结合函数解析式即可判断和证明；（3）利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.【小问1详解】根据题意，()21axbfxx+=+是()1,1−上的奇函数，故()00fb==，又122

252554afa===，故1a=，则()21xfxx=+，()1,1x−时，()()21−−==+xfxfxx，所以()fx为奇函数，故()21xfxx=+.【小问2详解】()21xfxx=+在()1,1−上是增函数，理由如下

，设1211xx−，则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)xxxxxxfxfxxxxx−−−=−=++++，因为1211xx−，所以1211xx−，且120xx−，则1

210xx−，则12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以函数()fx在()1,1−上是增函数；【小问3详解】()()10fxfx−+等价于()()()1fxfxfx−−=−，又()fx在()1,1−是单调增函数，故可得111111xxxx−−−−−，解得

102x，即不等式()()10fxfx−+的解集为10,2.20.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万

台的销售收入()Gx（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201xxGxxxxx−=+−−.（1）写出年利润()Wx（万元）关于年产量x（万台）

的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201xxxWxxxx−+−=−+−−（2）20，1

350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201xxGxxxxx−=+−−，所以()()()25090,02050908

000201950,201xxxWxGxxxxxx−+−=−−=−+−−；【小问2详解】当020x时，()()225090451975Wxxxx=−+−=−−+，由函数性质可知当45x时单调递增，所以当20x=时，(

)max1350Wx=，当20x时，()()()8000400201950201193011Wxxxxx=−+−=−−++−−，由不等式性质可知()()()40040020119302021193011

3011Wxxxxx=−−++−−+=−−，当且仅当40011xx−=−，即21x=时，等号成立，所以()max1130Wx=，综上当20x=时，()max1350Wx=.21.对于集合M，定义函数()1,,1,.MxM

fxxM−=对于两个集合,MN，定义集合()()Δ·1MNMNxfxfx==−.已知2,4,6,8,10,1,2,4,8,16AB==（1）写出()1Af和()1Bf的值，并用列举法写出

集合AB；（2）用()CardM表示有限集合M所含元素的个数，求()()ΔΔCardXACardXB+的最小值；（3）有多少个集合对(),PQ，满足P，QAB腿，且()()ΔΔΔΔPAQBAB=？【答案】（1）()11Af=,()11Bf=

−,Δ1,6,10,16AB=，（2）4（3）128【解析】【分析】（1）依据定义直接得到答案；（2）根据题意可知：对于集合,CX，①aC且aXÏ，则()()(ΔΔ1CardCXaCardCX=−；②若aCÏ且aXÏ，则()()(ΔΔ1

CardCXaCardCX=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCardXACardXB+的最小值．（3）由,PQ⊆AB，且（P△A）△（Q△B）=A△B求出集合,PQ所满足的条件，进而确定集合对（P，Q）的个数．试题解析：【小问1详解】()11Af=，()11Bf

=−，Δ1,6,10,16AB=.【小问2详解】根据题意可知：对于集合,CX，①aC且aXÏ，则()()(ΔΔ1CardCXaCardCX=−；②若aCÏ且aXÏ，则()()(ΔΔ1CardCXaCardCX=+.所以要使()()ΔΔCardXACardXB+的值最小

，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，16是否属于X不影响()()ΔΔCardXACardXB+的值；集合X不能含有AB之外的元素.所以当X为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，()()ΔΔCardXACardXB+取到最

小值4.【小问3详解】因为()()Δ{|1}ABABxfxfx==−，所以ΔΔABBA=.由定义可知：()()()ΔABABfxfxfx=.所以对任意元素x，()()()()()()()ΔΔΔABCABCABCfxfxfxfxfxf

x==，()()()()()()()ΔΔΔABCABCABCfxfxfxfxfxfx==.所以()()()()ΔΔΔΔABCABCfxfx=.所以()()ΔΔΔΔABCABC=.由()()ΔΔΔΔPAQBAB=知：()()ΔΔΔΔPQA

BAB=.所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔPQABABABAB=.所以ΔΔPQ=.所以ΔPQ=，即PQ=.因为,PQAB，所以满足题意的集合对(),PQ的个数为72128=.【点睛】本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推

理能力.理解新定义是解题关键.