【文档说明】《精准解析》湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.167 MB，由小赞的店铺上传

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长郡中学2022年下学期高二期末考试数学命题人：刘小苗审题人：陈家烦得分：________本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．第I卷一、选择题（本大题共8小

题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列na中，若411a=，615a=，则na的公差为（）A.2−B.2C.3−D.3【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.【详解】设na

的公差为d，则11311,515adad+=+=，解得2d=．故选：B．2.如果直线a平面，直线b平面，且∥，则a与b（）A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D【解析】【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.【详解

】∥，说明a与b无公共点，a与b可能平行也可能是异面直线．故选：D．3.4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（）A.43种B.34种C.34A种D.2343CA种【答案

】A【解析】【分析】由分步计数原理可得答案.【详解】4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则每位同学都有3种选择，所以共有43种不同的安排方法，故选：A4.10(1)x−的展开式的第6项的系数是A.610C−B.610CC.510C−D.510C【答案】C【解析

】【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.【详解】由题得10110(1)(0,1,2,10)rrrrTCxr−+=−=，令r=5,所以5555561010TCxCx==−（-1)，所以10(1)x−的展开式

的第6项的系数是510C−.故选C【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.已知等差数列na的前n项和为nS；等比数列nb的前n项和为nT，且11441,28a

bba====，则55ST+=（）A.22B.34C.46D.50【答案】C【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，解出d和q，再求出5S和5T，即可.【详解】设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为11441,28abba====，4113

413134,8naddabqbq−+=+=====解得：d=1，q=2.则5234151234515Saaaaa=++++=++++=，52341512481631bbbbbT=++++=++++=，所以

55ST+=15+31=46.故选：C【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子

内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）A.12B.736C.1148D.16【答案】C【解析】

【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为()1,2,3iAi=，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3iBi=，再利用全概率公式求解即可.【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为()1,2,3iAi=，则有()112PA=，()()2314PAPA==，记第二次在第i号

盒内抽到3号球的事件分别为()1,2,3iBi=，而1A，2A，3A两两互斥，和为，()1114PBA=，()2214PBA=，()3316PBA=，记第二次抽到3号球的事件为B，()()()()33

111111111124444648iiiiiiiPBPABPAPBA=====++=．故选:C．7.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的中心是坐标原点O，F是椭圆E的焦点.若椭圆E

上存在点P，使OFP△是等边三角形，则椭圆E的离心率为（）A.12B.423−C.31−D.32【答案】C【解析】【分析】设点P为椭圆E上位于第一象限内的点，设1F为椭圆E的左焦点，计算出PF、1PF，利用椭

圆的定义可得出关于a、c的等式，进而可求得椭圆E的离心率.【详解】设点P为椭圆E上位于第一象限内的点，设1F为椭圆E的左焦点，因为OFP△是等边三角形，则PFOFOPc===，60POF=，1OPOFc==，所以，1130OPFOFP==，1190FPFO

PFOPF=+=，所以，22113PFFFPFc=−=，由椭圆的定义可得()1231aPFPFc=+=+，因此，椭圆E的离心率为23131cea===−+.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的

方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8

.设ln3a=，3ln2b=，2ln3c=，则a、b、c的大小关系是（）A.abcB.bcaC.cabD.cba【答案】D的【解析】【分析】利用函数()2lnxfxx=在()0,e上的单调性可得到b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，即可得出结

论.【详解】构造函数()2lnxfxx=，其中0x，则()()221lnxfxx−=，当0ex时，()0fx¢>，所以，函数()fx在()0,e上单调递增，因为023e，则()()23ff，即2ln22ln323，即3ln22ln3，所以

，bc，因为5832432562==，故5ln38ln2，即8ln3ln23ln25，即ab，因此，cba.故选：D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知曲线C：22142xymm+=−+，则（）A.2m=时，则C的焦点是()10,2F，()20,2F−B.当6m=时，则C的渐近线方程为2yx=C.当C表示双曲线时，则m的取值范围为2m−D.存在m，使C表

示圆【答案】ABD【解析】【分析】AB选项，代入m的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要想使曲线C表示双曲线要满足()()420mm−+；D选项，求出曲线C表示圆时m的值.【详解】当2m=时，曲线C：22124xy+=，是焦

点在y轴上的椭圆，且2422c=−=，所以交点坐标为()10,2F，()20,2F−，A正确；当6m=时，曲线C：22182−=yx，是焦点在在y轴上的双曲线，则C的渐近线为2yx=，B正确；当C表示双曲线时，要满足：()()42

0mm−+，解得：4m或2m−，C错误；当42mm−=+，即1m=时，223xy+=，表示圆，D正确故选：ABD10.设直线():1lykxk=+R与圆22:5Cxy+=，则下列结论正确的为（）A

.l与C可能相离B.l不可能将C的周长平分C.当1k=时，l被C截得的弦长为322D.l被C截得的最短弦长为4【答案】BD【解析】【分析】求出直线l所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，直线l过定点()0,

1，且点()0,1在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C平分，则直线l过原点，此时直线l斜率不存在，B选项正确；对于C选项，当1k=时，直线l的方程为10xy−+=，圆心C到直线l的距离为22d=，所以，直线l被C截得的弦长为222532

2−=，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的距离为2111dk=+，所以，直线l被C截得的弦长为2254d−，D选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则22

2lrd=−；（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式2121ABkxx=+−.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）的A.DP∥面AB1D1B.三棱锥A﹣D1PC的体积为112

C.平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°D.异面直线1AP与1AD所成角的范围是[,]32【答案】ACD【解析】【分析】A利用面面平行的性质证//DP面11ABD；B应用等体积法，根据特殊点：P与B重合时求1ADPC−的体积；C先证明1DB⊥

面1ACD，再利用面面垂直的判定定理证面1PBD⊥面1ACD即可；D由11//ADBC，根据P在线段1BC的位置，即可确定异面直线1AP与1AD所成角的范围.【详解】A：连接DB，1DC，1AB，11DB，由于1

111//,//BCADDBDB，由面面平行的判定定理，可证明面11//ABD面1BDC，又DP面1BDC，所以//DP面11ABD，正确；B：11ADPCCADPVV−−=，因为C到面1ADP的距离不变

，且△1ADP的面积不变，所以三棱锥1CADP−的体积不变，当P与B重合时得11111111326CADBDABCVV−−===，错误；C：由三垂线定理，可证明111,DBACDBAD⊥⊥，再由线面垂直的判定定理可得1DB⊥面1ACD，又1DB面1PBD，则面1PBD⊥面1ACD，正确

；D：由11//ADBC，异面直线1AP与1AD所成角即为1AP与1BC所成角，又11ABCV为等边三角形，当P与线段1BC的两端点重合时，1AP与1AD所成角取最小值3，当P与线段1BC的中点重合

时，1AP与1AD所成角取最大值2，故1AP与1AD所成角的范围,32，正确.故选：ACD．12.已知抛物线24yx=的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）A.若O为线段PQ中点，则2PF=B.若4PF=，则25OP=C

.存在直线l，使得PFQF⊥D.PFQ△面积的最小值为2【答案】AD【解析】【分析】对于A，求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF，即可判断；对于B，根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出OP，即可判断，对于C，()2,2Paa，则21,Qa−−

，判断0FPQF=是否有解，即可判断；对于D，根据12PQPFQSOFyy=−，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24yx=的准线为=1x−，焦点()1,0F，若O为PQ中点，所以1Px=，所以12pPFx=+=，故A正确；若4PF=，则413Px=−=，所

以222421PPPPOPxyxx=+=+=，故B错误；设()2,2Paa，则21,Qa−−，所以()21,2FPaa=−，22,QFa=，所以22224220FPQFaa=−+=+，所以FP与FQ不垂直，故C错误；212112212PFQ

PQSaOFayaay=+==+−，当且仅当1aa=，即1a=时，取等号，所以PFQ△面积的最小值为2，故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.圆221:210240Cxyxy+−+−

=与圆222:2280Cxyxy+++−=的公共弦所在直线的方程为________．【答案】240xy−+=【解析】【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.【详解】联立两圆的方程得22222102402280xyxyx

yxy+−+−=+++−=，两式相减并化简，得240xy−+=，所以两圆公共弦所在直线的方程为240xy−+=．故答案为：240xy−+=.14.函数()1exfxx=+在其图象上的点()1,e1+处

的切线方程为________．【答案】()e12yx=−+【解析】【分析】对()1exfxx=+求导，求出()1e1f=−，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】()21exfxx=−，()1e1f=−，又切点为()1,e1

+，切线斜率()1e1kf==−，即切线方程为()()()e1e11yx−+=−−，即()e12yx=−+．故答案为：()e12yx=−+.15.已知()5543254321021xaxaxaxaxaxa−=++++

+，则015aaa+++=________．【答案】243【解析】【分析】利用赋值法，根据方程思想，可得答案.【详解】令1x=，得5432101aaaaaa+++++=，①令=1x−，得543210243aaaaaa−+−+−+=−，②②+①，得()4202242aaa++=−，即

420121aaa+=−+．①−②，得()5312244aaa++=，即531122aaa++=．所以015122121243aaa+++=+=．故答案：243.16.已知甲、乙两人的投篮命中率都为()01pp，丙的投篮命中率为1p−，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人

命中的概率的最小值为______．【答案】2327【解析】【分析】利用对立事件概率公式可求得()()211PApp=−−，利用导数可求得()PA的最小值.【详解】设事件A为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则()()21PApp=−，()()211PApp=−−，设()

()211fppp=−−，01p，则()()()()()2121311fpppppp=−−+−=−−−，当103p时，()0fp；当113p时，()0fp；()fp在10,3上单调递减，在1,13上单调递增，()min1142313392

7fpf==−=，为即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为2327.故答案为：2327.【点睛】思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的

相互独立事件的积事件；（3）代入概率的积、和公式求解．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）17.已知2312nxx+的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.（1）求展开式中第三项系数；（2）求出展开式中所有有理项(即x的指

数为整数的项).【答案】（1）240；（2）1264x，5160x，2x−.【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质可知n＝6，求出展开式通项1rT+，令r＝2可求第三项系数；（2）根据展开式通项，当r＝0，3，6时为有理项，代入计算即可.【小

问1详解】由题可知，6n=，则二项展开式通项为()171262633166C2C2rrrrrrrTxxx−−−−+==，展开式中第三项系数为：2626C2240−=；【小问2详解】展开式中有理项为0,3,6r=时，即060121216C264

Txx−==，3635546C2160Txx−==，6662762C2xxT−−−==.18.设数列na满足13a=，134nnaan+=−．（1）计算2a，3a，猜想na的通项公式；（2）求

数列2nna的前n项和nS．【答案】（1）25a=，37a=，21nan=+（2）()12122nnSn+=−+【解析】【分析】（1）根据递推关系计算，并结合等差数列猜想求解即可；（2）结合（1）得()2212nnnan=+，进而根据错位相减法求解即可.【

小问1详解】解：因为数列na满足13a=，134nnaan+=−，所以，2134945aa=−=−=，32381587aa=−=−=，所以，由数列na的前三项可猜想数列na是以3为首项，2为公差的等差数列，即21nan=+．【小问2详解】解：由（1）知21nan=

+，代入134nnaan+=−检验知其满足，所以，21nan=+，()2212nnnan=+，所以，()()231325272212212nnnSnn−=++++−++，①()()23412325272212212nnnSnn+=++++−++，②由①−②得，()()

23162222212nnnSn+−=++++−+()()2112126221212nnn−+−=+−+−()11222nn+=−−，所以，()12122nnSn+=−+．19.如图，直三棱柱111ABCABC-的侧面11

BCCB菱形，11BCAB⊥．（1）证明：111ACBC⊥；（2）设D为BC的中点，CACB=，记二面角1DABC−−为，求cos的值．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】(1)连接1BC,利用菱形的性质可得11BCBC⊥,利用线面垂直的判定定理可得1BC⊥平面11

ABC,即可证明结论;(2)建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,然后利用待定系数法求出平面1ABD和平面1ABC的法向量,由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】证明：如图，连接B

C1，因为侧面BCC1B1是菱形，则BC1⊥B1C，因为111111,,,BCABABBCBABBC⊥=平面11ABC,则1BC⊥平面11ABC,因为11AC平面11ABC,所以111BCAC⊥;【小问2详解】因为直三棱柱111ABCABC-中,1ACCC⊥,而11//ACAC

，由(1)可得,1BCAC⊥,又11BCCCC=,11,BCCC平面11BCCB，则AC⊥平面11BCCB,故以点C为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设2AC=,则1(1,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,0)DABC,所以11(1,2,0),(1,0,2

),(0,2,0),(2,0,2)DADBCACB=−===,设平面1ABD的法向量为(,,)nxyz=,则12020nDAxynDBxz=−+==+=，令2x=,则1,1yz==-,故(2,1

,1)n=−,设平面1ABC的法向量为(,,)mabc=,则120220mCAbmCBac===+=,令1a=,则1c=−,故(1,0,1)m=−,所以||33|cos,|||262mnmnmn===‖,因为二面角1DAB

C−−为，故cos的值为32.20.选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为12．（1）若采用3局2

胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？【答案】（1）甲、乙比赛甲获胜的概率81125，甲、丙比赛甲获

胜的概率12；（2）甲、乙比赛，甲获胜的概率0.68256，甲、丙比赛，甲获胜的概率0.5；答案见解析．【解析】【分析】（1）分甲获胜的可能分2:0、2:1两种情况分计算出两场比赛甲获胜的概率，即可得解；（2）分甲获胜的可能有3:0、3:1或3:2三种情况，分别计算出两场比赛

甲获胜的概率，即可得出结论.【详解】（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分2:0，2:1，因为每局的比赛结果相互独立，所以甲、乙比赛甲获胜概率21123332815555125PC=+=，甲、丙比赛甲获胜

的概率21221111122222PC=+=；（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有3:0、3:1或3:2，甲、乙比赛，甲获胜的概率333222334332320.6825655555PCC=++=，甲

、丙比赛，甲获胜的概率333222434111110.522222PCC=++=，因为130.648PP=，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利，24PP=，所以甲、丙比赛，采用5局3胜制

还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，这说明比赛局数越多对实力较强者有利．【点睛】思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：（1）首先确定各事件是相互独立的；（2）再确定各事件会同时发生；（3）先求

出每个事件发生的概率，再求其积.21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，渐近线方程是255yx=，点()0,Ab，且12AFF△的面积为6．（1）求双曲线C的标准方程；（2）直

线():0,0lykxmkm=+与双曲线C交于不同的两点P，Q，若APAQ=，求实数m的取的值范围．【答案】（1）22154xy−=（2）92m−或809m．【解析】【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线,,abc的关系，列出方程，即可得

到结果；（2）根据题意，设()11,Pxy，()22,Qxy，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由APAQ=知，ADPQ⊥列出不等式即可得到结果.小问1详解】由题意得255ba=，①121262AFFSbc

==△，②222+=abc，③由①②③可得25a=，24b=，双曲线C的标准方程是22154xy−=．【小问2详解】由题意知直线l不过点A．设()11,Pxy，()22,Qxy，线段PQ的中点为()00,Dxy，连接AD将ykxm=+与22154xy−=联立，消去y，整理得()222451

05200kxkmxm−−−−=，由2450k−且0，得()22245080540kmk−−+，④【1221045kmxxk+=−，212252045mxxk+=−−，12025245xxkkxm+==−，002445mykxmk=+=−．由APA

Q=知，ADPQ⊥，又()0,2A，2002422145545ADmykkxkkkm−−−−===−，化简得21089km=−，⑤由④⑤，得92m−或0m．由210890km=−，得89m．综上，实数m

的取值范围是92m−或809m．22.已知函数()()ln10axfxxxx−+=．（1）若()0fx在()0,+上恒成立，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下证明:对任意*nN，都有()1111ln123nn+

++++；（3）设()()21exgxx=−，讨论函数()()()Fxfxgx=−的零点个数．【答案】（1）)1,+（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由题知1lnxax+在()0,+上恒成立

，进而构造函数()1lnxhxx+=并求最大值即可得答案；（2）结合（1）得当1a=时，ln1xx−在1x时恒成立，令1nxn+=得11lnnnn+，再根据对数运算即可得答案.（3）由题知()211elnxaxxx+=−−，进而构造函数()()2n11elxtxxxx+=−−，

研究其性质，进而求解即可.【小问1详解】解：由()0fx在()0,+上恒成立，可得1lnxax+在()0,+上恒成立，令()1lnxhxx+=，则()2lnxhxx=−，当()0,1x，()0hx，函数单调递增；当()1

,x+，()0hx，函数单调递减，故()hx在1x=处取得极大值，也即最大值()11h=，要使得1lnxax+，则1a，所以，a的取值范围为)1,+．【小问2详解】解：由（1）当1a=时，1ln1xx+，即ln1xx−在1x时恒成立，令1nxn+=，*nN，则111ln1n

nnnn++−=，所以23111lnlnln1122nnn+++++++，所以，()1111ln123nn+++++．【小问3详解】解：由()()fxgx=可得，()21eln1xxaxx+−=−，即()211elnxaxxx+=−−

，令()()2n11elxtxxxx+=−−，则()()22l1enxtxxxx=−−−，当()0,1x时，()0tx，函数单调递增，当()1,x+时，()0tx函数单调递减，所以，当1x=时，()tx取得最大值()11t=，因为12e111e0eet=−−

，()()()e2e201ee1eelnee1e2et=−+=−−−，且当x趋近于0时，()tx趋近于−，当x趋近于+时，()tx趋近于−，所以，当1a=时，()()fxgx=只有一个根，即()Fx只有一个零点，当1a时，方程()()fxgx=有且仅有

2个根，即()Fx有且仅有2个零点，当1a时，()()fxgx=没有根，即()Fx没有零点【点睛】方法点睛：本题第二问解题的常用方法是结合导数证明不等式，进而根据不等式，构造数列不等式，进而结合对数运算求和即可证明；第三问解题的方法为将已知问题转化为函数()()2n11elxtxxxx+=

−−与直线ya=的交点个数问题，进而研究()tx性质即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com