【文档说明】2023年高考数学必刷压轴题（新高考版）专题22 双曲线（解答题压轴题） Word版含解析.docx，共(54)页，3.141 MB，由小赞的店铺上传

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专题22双曲线（解答题压轴题）双曲线（解答题压轴题）①双曲线的中点弦问题②双曲线中的最值问题③双曲线中定点、定值、定直线问题④双曲线中向量问题⑤双曲线综合问题①双曲线的中点弦问题1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线C：22xp

y=（0p）的焦点为F，P为C上的动点，Q为P在动直线yt=（0t）上的投影.当PQF△为等边三角形时，其面积为43.(1)求C的方程；(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆22142xy+=交于A，B两点，直线OQ与AB交于点M.

试问：是否存在t，使得M为AB的中点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24xy=；(2)存在，1−，理由见解析.（1）设()00,Pxy，0,2pF，因为PQF△为等边三角形时，其面积为43，所以21siπn4323

PQ=，解得4PQ=，即4PQPFFQ===，由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，由题意可知60OFQPQF==，所以12cos60422pOFFQ====，所以C的方程24xy=；（2）设200,4xPx，则P在动直线yt=上的投影()0,Q

xt，当00x时，0OQtkx=，由214yx=可得12yx=，所以切线l的斜率为012lkx=，设()11,Axy，()22,Bxy，线段AB的中点1212,22xxyyM++，由22112222142142xyxy+=+=，可得222212120

42xxyy−−+=，所以()()()()12121212042xxxxyyyy+−+−+=，整理可得：1212121212yyyyxxxx−+=−−+，即12lOMkk=−，所以01122OMxk

=−，可得01OMkx=−，又因为0OQOMtkkx==，所以当1t=−时，01OQOMkkx==−，此时,,OMQ三点共线，满足M为AB的中点，综上，存在t，使得点M为AB的中点恒成立，1t=−.2．

（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=与椭圆2211814xy+=有共同的焦点，点()3,7A在双曲线C上．（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；（2）以(1,2)P为中点作双曲线C的

一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．【答案】（1）22122xy−=，0xy=；（2）230xy−+=.【详解】（1）因为椭圆2211814xy+=的焦点坐标为()2,0，所以双曲线的焦点坐标为()2,0，又因为()3,7A在双曲线上，所以2222297

12abccab−===+，所以222ab==，所以双曲线的方程为：22122xy−=，渐近线方程为0xy=；（2）设()()1122,,,AxyBxy，所以2211222222xyxy−=−=，所以22

221212xxyy−=−，所以12121212xxyyyyxx+−=+−，又因为121222,24PPxxxyyy+==+==，所以121212AByykxx−==−，所以弦AB所在直线的方程为：()1212yx−=−，即230xy−+=.【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲

线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设()00,Mxy为双曲线22221xyab−=的一条弦AB的中点（AB不平行于坐标轴），则22ABOMbkka=.3．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为()0,3−、()0,3，实轴长为22.（1）求双曲线

C的标准方程；（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，求直线l的方程.【答案】（1）2212yx−=（2）210xy−−=.【详解】（1）根据题意，焦点在y轴上，且3,2ca==，所以1b=，双曲线

的标准方程为C：2212yx−=.（2）过点()1,1Q的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为1x=，则由双曲线对称性可知线段MN的中点在x轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为()11ykx=−+，设()()1122,,,MxyNxy

，则()221112ykxyx=−+−=，化简可得()()2222222210kxkkxkk−−−+−−=，因为有两个交点，所以()()22222242210kkkkk=−−−−−化简可得22210kk−−恒成立，所以2122222kkxxk−+=−，因

为()1,1Q恰好为线段MN的中点，则222222kkk−=−，化简可得2k=，所以直线方程为()211yx=−+，即210xy−−=.4．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线M与椭圆22:15xNy+=有相同的焦点，且M与圆22:1Cxy+=相切．(1)求M的虚轴长．(2)是

否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为()4,6P？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)23(2)存在，2(1)因为椭圆22:15xNy+=的焦点坐标为()2,0所以可设M的方程为()2222104xyaaa−=−．因为M与圆22:1Cxy+=相切

，所以1a=，则2243ba=−=，故M的虚轴长223b=．(2)由（1）知，M的方程为2213yx−=．设A，B两点的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，则221122221,31,3yxyx−=−=两式相减得()()()()1212121203yyyyx

xxx−+−+−=，假设存在直线l满足题意．则12128,12,xxyy+=+=所以12122AByykxx−==−，因此l的方程为220xy−−=，代入M的方程，整理得2870xx−+=，0，l与M相交，故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．②双曲线中的最值问题1．（202

2·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆22:(23)36Cxy++=，定点()23,0M，折叠纸片C上的某一点1M恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕KQ，设折痕KQ与直线1MC的交点T.(1)证明：||

TCTM−为定值，并求出点T的轨迹C的轨迹方程；(2)若曲线C上一点P，点,AB分别为13:3lyx=在第一象限上的点与23:3lyx=−在第四象限上的点，若1,,23APPB=uuuruur，求AOB面积的取值范围.【答案】(1)证明见解析，22193xy

−=(2)33,43（1）证明：如图，由点1M与M关于PQ对称，则111,6MTTMTCTMTCMTCM=−=−==∣，且||643||TCTMCM−==‖‖由双曲线定义知，点T的轨迹C为以,CM为焦点，实轴长为

6的双曲线，设双曲线C方程为：22221(0,0)xyabab−=22226,3,23,3aacbca====−=所以双曲线方程为22:193xyC−=（2）由题意知，12,ll分别为双曲线22:193xyC−=的渐近线设()1

1221233,,,,033AxxBxxxx−，由APPB=，设(),ppPxy.()121233,33ppppxxxxyxxy−=−−=−−12

123,131ppxxxxxy+−==++，由于P点在双曲线上()()221212212221,49(1),9(1)9(1)xxxxxx+−−==+++2129(1)4xx+=又2211112333OAxxx=+=，同理2233OBx=，设OA的倾斜

角为6，则π3sinsin32AOB==.121211433331sin2223234AOBSOAOBAOBxxxx====++由对勾函数的性质可知函数11,,23yxxx=+在1,13上单调递减，在(1,

2上单调递增，当1=时，()min331123341AOBS=++=；当13=时，()max331324343AOBS=++=；33,43.AOBS2．（2022·全国·高二

期中）已知双曲线C：22221xyab−=(0,0)ab的渐近线方程为3yx=，O为坐标原点，点()5,3M在双曲线上．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且0OPOQ=，求22OPOQ+的最小值．【答

案】(1)221412xy−=(2)24（1）双曲线C的渐近线方程为3yx=，所以223ba=，双曲线的方程可设为22233xya−=．因为点(5,3)M在双曲线上，可解得24a=，所以双曲线C的方程为2214

12xy−=；（2）当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点()11,Pxy、()22,Qxy，将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为()22232120kxkmxm−−−−=，所以()()(

)222230,Δ243120,kkmkm−=−−−−−①则12223kmxxk+=−，2122123mxxk−−=−．由121200OPOQxxyy=+=即()()22121210kxxkmxxm++++=，所以()222221221

033mkmkkmmkk−−+++=−−化简得2266mk=+，()()()222222121222384||||14243kOPOQPQkxxxxk+==++−=+−．则()2222384||24243k

PQk=+−（当k=0时等号成立）且满足①，又因为当直线PQ垂直x轴时，224PQ=，所以22OPOQ+的最小值是24．3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长

为2，焦距为23，且点P（0，-1）到渐近线的距离为33.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记ODE和OAB的面积分别为1S、2S，求12SS的取值范围.【答案】（1）2212

yx−=；（2）123[,1)3SS.【详解】（1）由22a=，223c=知21a=，23c=，22b=，故双曲线C的方程为2212yx−=或2212xy−=.由点(0,1)P−到渐近线的距离为33，知双曲线方程为2212yx−=.（2）设l：1ykx=−，11(,)Axy，22(,)Bx

y.由12ykxyx=−=可得12Dxk=−；由12ykxyx=−=−可得12Exk=+.22211221+1222kDEkkkk=+−=−−+由22122ykxxy=−−=

得22(2)230kxk−+−=，∴12222kxxk+=−−，12232xxk=−−.∴2222121221223||1()4|2|kkABkxxxxk+−=++−=−.由ODE和OAB的高相等，可122||1||3SDESA

Bk==−，由222220412(2)03<02kkkk−+−−−得22<<k−，所以23(1,3]k−，123[,1)3SS.4．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2212723xy+=的右焦点为双曲线C：22221xyab

−=()0,0ab的右顶点，直线210xy++=与C的一条渐近线平行.（1）求C的方程；（2）如图，1F､2F为C的左右焦点，动点()00,Pxy()01y在C的右支上，且12FPF的平分线与x轴

､y轴分别交于点()(),055Mmm−､N，试比较m与2的大小，并说明理由；（3）在（2）的条件下，设过点1F､N的直线l与C交于D､E两点，求2FDE△的面积最大值.【答案】（1）2214xy−=；（2）2m，理由见解析；（3）最大值430.【详解】

解：（1）椭圆2212723xy+=的右焦点为(2,0)为双曲线2222:1(xyCab−=0a，0b)的右顶点，2a=，直线210xy++=与C的一条渐近线平行，12ba−=−，1b=，双曲线的方程为2214xy−=，（2）2m„，理由如下：1F、2F为C的左右焦点，1(5F−，0)

，2(5F，0)，直线1PF方程为000(5)5yyxx−=++，直线2PF方程为000(5)5yyxx−=−−，即直线1PF方程为000(5)50yxxyy−++=，直线2PF方程为000(5)50

yxxyy−−−=，由点(,0)Mm在12FPF的平分线上，得000022220000|5||5|(5)(5)ymyymyyxyx+−=+++−，由55m−，01y，以及2200114yx=−，解得022x…，22220000

055(5)254(2)42yxxxx++=++=+，0055552222mmxx+−=+−，解得04mx=，结合022x…，则0402x„2m„；（3）由（2）可知：直线PM的方程为：000004()4yyxxxx−−−−，令0x=，得0200414yyxy=−=−−，故点01(0,

)Ny−，0010()1505yky−−==−−−，由0221(5)514yxyxy=−+−=，消去x得2200(54)1010yyyy−++=，2220001004(54)80160y

yy=−−=+，设1(Dx，1)y，2(Ex，2)y，则012201054yyyy+=−−，1220154yyy=−，20212121220451||()4|54|yyyyyyyy+−=+−=−，由01y…，0122010054yyyy+=−−，

12201054yyy=−，10y，20y，△2FDE的面积12122012122045111||||252254FEFFDFySSSFFyyy+=−=−=−，设20545y−=，1t…，则△2FDE的面积22

5511114545455()1020tStttt+==+=+−，1t=时，即P为(22，1)时，△2FDE的面积最大值为430．5．（2022·湖南师大附中高二期中）已知椭圆221:14xCy+=与双曲线()22222:10,0xyC

abab−=有共同的焦点1F，2F且双曲线的实轴长为22.（1）求双曲线2C的标准方程；（2）若曲线1C与2C在第一象限的交点为P，求证：1290FPF=.（3）过右焦点2F的直线l与双曲线2C的右支相交于的A，B两点，与椭圆1C交于C，D两点.记AOB，COD△的面积分别为1S，2S，求

12SS的最小值.【答案】（1）2212xy−=；（2）证明见解析；（3）最小值为2.【详解】（1）因为椭圆221:14xCy+=与双曲线()22222:10,0xyCabab−=有共同的焦点1F，2F，且双曲线的实轴长为22，所以223222

aba+==解之得21ab==双曲线2C的标准方程为2212xy−=（2）联立方程组22221412xyxy+=−=解之得26333xy==所以点263,33P()13,0F−，()23,0F126333,33FP

+=，226333,33FP−=1224271093FPFP−=+=，∴1290FPF=（3）当直线l的斜率不存在时，2AB=，1CD=，此时122ABSSCD==当直线l的斜率存在时，设方程为()3ykx=−代入

椭圆方程得()222214831240kxkxk+−−−=，2212122283124,1414kkxxxxkk++==−++由弦长公式得()()22212122411414kkxxxxkCD+=++−=+把直线方程()3ykx=−代入双曲线方程得()22221243620

kxkxk−+−−=221212224362,1212kkxxxxkk−++==−−−由弦长公式得()()222121222211421kkxxxxkAB+=++−=−因为直线l与双曲线2C的右支相交于的A，B两点，所以22222212004310122

62012kkkkkk−−−−−−设原点到直线l的距离为d，∴()()()2122222141322,2124212121dABkABSSCDkdkCD+====++−−综上可知，12SS的最小值为2.6．（2022·全国·高二期末）已知等轴双曲

线N的顶点分别是椭圆22:162xyC+=的左、右焦点1F、2F.（1）求等轴双曲线N的方程；（2）Q为该双曲线N上异于顶点的任意一点，直线1QF和2QF与椭圆C的交点分别为E，F和G，H，求4EFGH+的最小值.【答案】（1）22144

xy−=；（2）962.【详解】（1）由椭圆22:162xyC+=可得622c=−=，所以等轴双曲线N的顶点为(20)?，设等轴双曲线N为22221xyab−=，所以2ab==，所以等轴双曲线N的方程为22144xy−=；（2）设11(,)Exy，22(,)Fxy，33(,)Gx

y,44(,)Hxy,设直线1QF的方程为2xmy=−，直线2QF的方程为2xny=+，由222162xmyxy=−+=得：22(3)420mymy+−−=，所以0显然成立，所以12122242,33

myyyymm+==−++，同理可得34342242,33nyyyynn+=−=−++，所以222221212222216826(1)(1)[()4(1)[](3)33mmEFmyyyymmmm+=++−=++=+

++，222223434222216826(1)(1)[()4(1)[](3)33nnGHnyyyynnnn+=++−=++=+++，联立直线1QF和2QF：22xmyxny=−=+，解得224mnxmnymn+=−=−，所以224(,)mnQmnmn+

−−，因为Q在双曲线上，所以222(22)1614()4()mnmnmn+−=−−，解得1mn=，所以2222222211111426(4)26(4)13333mnmmEFGHmnmm+++++=+=+++++2222222222221111131326(4)26(4)()313431311

mmmmmmmmmmmm++++++=+=++++++++，222222226133613396(54)(524)231323132mmmmmmmm++++=+++=++++.当且仅当2222133

4313mmmm++=++，即25m=时，取得最小值962.7．（2022·全国·高二课时练习）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点A的坐标为(5,0)−，B是圆22(5)1xy+−

=上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB+的最小值，并求此时M点的坐标【答案】（Ⅰ）2214yx−=；（Ⅱ）101+，【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0

)xyabab−=，设22cab=+，由准线方程为55x=得255ac=，由5e=，得5ca=解得1,5ac==从而2b=，该双曲线的方程为2214yx−=；（Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，22MAMDa−==，所以22MAMBMBMDBD+=+++，B是圆2

2(5)1xy+−=上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故1101BDCD−=+从而2101MAMBBD+++当,MB在线段CD上时取等号，此时MAMB+的最小值为101+直线CD的方程为5yx=−+，因点M在双曲线右支上，故0x

由方程组2244{5xyyx−==−+解得5424542,33xy−+−==，所以M点的坐标为5424542(,)33−+−③双曲线中定点、定值、定直线问题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆A：22650xyx+++=，直线

l（与x轴不重合）过点(3,0)B交圆A于C、D两点，过点B作直线AC的平行线交直线DA于点E.(1)证明||||||EBEA−为定值，并求点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹方程为1C，直线l与曲线1

C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得||||MNPB=，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，2218yx−=(2)存在，23=（1）()222265034x

yxxy+++=++=，得(3,0)A−，当||||BDBC时，如图1所示，因为D，C都在圆A上所以||||ADAC=，即ADCACD=又因为BEAC∥，所以ACDEBD=，所以EDBEBD=，∴|||

|EDEB=，所以||||||||||2EBEAEDEAAD−=−==当||||BDBC时，如图2所示，同理可得，||||||||||2EBEAEDEAAD−=−=−=−因此||||2||6EBEAAB−==，所以点E的轨迹是以

A，B为焦点的双曲线，故22a=，26c=，即1a=，3c=，所以222918bca=−=−=，∴||||||EBEA−为定值2，且点E的轨迹方程为2218yx−=.（2）由题知，直线l的斜率不为0，设l：

3xmy=+，联立22388xmyxy=+−=消去x得，()228148640mymy−++=，于是()()222(48)4648125610mmm=−−=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，则有1224881myym−+=−，1

226481yym=−，故()22121212224848663368181mmxxmymymyymm−+−+=+++=++==−−，所以线段MN的中点为22324,8181mmm−−−−，从而线段

MN的中垂线的方程为222438181mymxmm+=−+−−令0y=得，22781xm−=−，∴()22222412727||33818181mPBmmm+−=−=+=−−−又()()2222

2121222216148464||141818181mmMNmyyyymmmm+−=++−=+−=−−−故()()222216181||2||381241mmMNPBmm+−==−+，于是23=即存在23=使得||||MNPB=.2．（2022·湖南·

高三阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为62，点()6,4A在C上.(1)求双曲线C的方程.(2)设过点()10B,的直线l与双曲线C交于,DE两点，问在x轴上是否存

在定点P，使得PDPE为常数？若存在，求出点P的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22142xy−=；(2)存在，常数为10516．（1）因为双曲线C的离心率为62，所以222

612ba=+，化简得222ab=.将点()6,4A的坐标代入222221xybb−=，可得2218161bb−=，解得22b=，所以C的方程为22142xy−=.（2）设()()1122,,,DxyExy，直线l的方程为(1)ykx=−

，联立方程组()221,1,42ykxxy=−−=消去y得（1-222)kx224240kxk+−−=，由题可知2120−k且Δ0，即223k且212k，所以22121222424,1212kkxxxxkk++=−=−−−.设存在符合条件的定点(),0Pt，则()()1122,,

,PDxtyPExty=−=−，所以()()()()()2222211212121PDPExtxtyykxxtkxxtk=−−+=+−++++.所以()()()()()2222222212441212kkktktkkPDPEk+−−++++−=−，化简得()()2222245421ktttPD

PEk−+−+−=−+.因为PDPE为常数，所以22245421ttt−+−−=−，解得134t=.此时该常数的值为2105416t−=，所以，在x轴上存在点13,04P，使得PDPE为常数，该常数为10516.3．（2022·湖南永州·一模）

点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=上，离心率72e=.(1)求双曲线C的方程；(2),AB是双曲线C上的两个动点（异于点P），12,kk分别表示直线,PAPB的斜率，满足1232kk=，

求证：直线AB恒过一个定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)22143xy−=(2)证明见解析，定点4,13−（1）由题意点(4,3)P在双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=上，离心率72e=可得；2222169172ababa−=+=，解

出，2,3ab==，所以，双曲线C的方程是22143xy−=（2）①当直线AB的斜率不存在时，则可设()()00,,,AnyBny−，代入22143xy−=，得220334yn=−，则2201222003123393444(4)(4)2nyykknnynn−−−−−==

==−−−−，即2948480nn−+=，解得43n=或4n=，当4n=时，03y=，,AB其中一个与点()4,3P重合，不合题意；当43n=时，直线AB的方程为43x=，它与双曲线C不相交，故直线AB的斜率存在；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程ykxm=+代入2214

3xy−=，整理得，()2223484120kxkmxm−−−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则21212228412,3434kmmxxxxkk++==−−−，由()()22222Δ(8)4344120,

34kmkmmk=−−−−−+，所以()()()221212121212121212123(3)33334444416kxxkmxxmyykxmkxmkkxxxxxxxx+−++−−−+−+−===−−−−−++32=所以，()()()22121223261221230

0kxxkmkxxmm−+−+++−−=，即()()2222241282326122123003434mkmkkmkmmkk−−−+−++−−=−−,整理得()2231661690mkmk+−+−=，即()()343430mkmk+++−=

，所以3430mk++=或430mk+−=，若3430mk++=，则433km+=−，直线AB化为413ykx=−−，过定点4,13−；若430mk+−=，则43mk=−+，直线AB化为()43ykx=−+，它过点()4

,3P，舍去综上，直线AB恒过定点4,13−另解：设直线AB的方程为()()431mxny−+−=①，双曲线C的方程22143xy−=可化为()()22344]433]12xy−+−−+=

，即()()223(4)4(3)24430xyxy−−−+−−−=②，由①②可得()()()()223(4)4(3)2443430xyxymxny−−−+−−−−+−=，整理可得()()()()()22243(4)244(3)24430mxnynm

xy+−−+−+−−−=，两边同时除以2(4)x−，整理得()()()23324424243044yynnmmxx−−+−−−+=−−③，()()22Δ24()42442430nmnm=−+++，则12,kk是方程③的两个不同的根，所以

()1224332442mkkn−+==+，即81230mn++=④，由①④可得()()3483312xy−−=−−=，解得431xy==−，故直线AB恒过定点4,13−.4．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线()2222:10,0x

yCabab−=的离心率为2，点()3,1P−在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)点A，B在双曲线C上，直线PA，PB与y轴分别相交于,MN两点，点Q在直线AB上，若坐标原点O为线段MN的中点，PQAB⊥，证明：存在定点R，使得QR为定值.【答案】(1)22188xy−=

(2)证明见解析（1）解：由题意，双曲线2222:1xyCab−=的离心率为2，且()3,1P−在双曲线C上，可得222229112abceacab−====+，解得228,8ab==，所以双曲线的方程为22188xy−=.（2）解：由题意知，直线的AB的斜率存在，设直线A

B的方程为ykxm=+，联立方程组228ykxmxy=+−=，整理得222(1)280kxkmxm−−−−=，则22222(2)4(1)(8)4(88)0kmkmmk=−−−−−=−+且210k−，设1122(,),(,)AxyBxy，则212122228,11kmmxxxx

kk−−+==−−，直线PA的方程为1111(3)3yyxx++=−−，令0x=，可得113313yyx+=−−−，即1133(0,1)3yMx+−−−,同理可得2233(0,1)3yNx+−−−，因为O为MN的中点，所以12123333(1)

(1)033yyxx++−−+−−=−−，即12123()33()311)033kxmkxmxx++++−−−+=−−，可得1212(62)(393)()180kxxkmxxm+−+−+−=，即(8)(31)0mmk+++=，所以8m=−或310mk++=，若310mk++=，则直线方

程为31ykxk=−−，即1(3)ykx+=−，此时直线AB过点()3,1P−，不合题意；若8m=−时，则直线方程为8ykx=−，恒过定点(0,8)D−，所以223(18)58PD=+−−=为定值，又由PQD△为直角三角形，且PD为斜边，所以当R为PD的中点39(,)22

−时，582RQPD==.5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线xm=与双曲线22:(0)3−=yCxmm的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．(1)求m的值；(2)

已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．【答案】(1)1；(2)证明见解析.（1）双曲线22:(0)3−=yCx

mm的渐近线方程为3yx=，则不妨令点(,3),(,3)AmmBmm−，||23ABm=，而点O到直线AB的距离为m，因此2123332OABSmmm===，解得1m=，所以1m=．（2）由（1）知，双曲线C的方程为22:

13yCx−=，右焦点(2,0)F，因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点(,0)t，直线l的方程为()(0)ykxtk=−，设()()1122,,,MxyNxy，则()11,Mxy−，由22()13ykx

tyx=−−=消去y并整理得()()222223230kxtkxkt−+−+=，显然有230k−且()()()22222Δ24330tkkkt=+−+，化简得23k且()22130tk−+，则22212122223,33tkktxxxxkk+

+=−=−−−，1122(2,),(2,)FMxyFNxy=−−=−，而M，F，N三点共线，即//FMFN，则()()122122yxyx−−=−，因此()()()()122122kxtxkxtx−−−=−−，又0k，有()()()()1221220xt

xxtx−−+−−=，整理得()12122(2)40xxtxxt−+++=，于是得22222322()(2)()4033kttkttkk+−−+−+=−−，化简得12t=，即直线l：1()2ykx=−，0k过定点1(,0)2，

所以直线l经过x轴上的一个定点1(,0)2．6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线22:1Cxy−=和点()0,1B.(1)斜率为k且过原点的直线与双曲线C交于,EF两点，求EBF最小时k的值.(2)过点B的动直线与双曲线

C交于,PQ两点，若曲线C上存在定点A，使APAQkk+为定值，求点A的坐标及实数的值.【答案】(1)0(2)()2,1,2A=或者()2,1,2A−=−（1）由对称性可设()(),,,ExyFxy

−−，则()()22,1,11BEBFxyxyxy=−−−−=−−+，因为E点在双曲线C上，所以221xy−=，即221yx=−，且1x所以()2210BEBFx=−，当1x=时，0,BEBFEBF=为直角，当1x时，0,BEBFEBF为钝

角，所以EBF最小时，1,0xk==.（2）设(),Amn，由题意知动直线一定有斜率，设点B的动直线为1ytx=+，设()()1122,,,PxyQxy联立221,1,xyytx−==+得()221220,txtx−−−=，所以(

)22212212210,Δ4810,2,12,1ttttxxtxxt−=+−+=−=−−，解得22t且21t，APAQkk+=，即1212ynynxmxm−−+=−−，即121211txntxnxmxm+−+−+=−−，化简得()()()2121221220tx

xmtnmxxmmnm−+−+−++−+−=，()()222222122011ttmtnmmmnmtt−−+−+−+−+−=−−，化简得()()2222212220mmntmntmmnm−+−−+−+−=，由于上式

对无穷多个不同的实数t都成立，所以2220,10,2220,mmnmnmmnm−=−−=−+−=①②将①代入②得m=，从而322,1.mmnmn==+如果0m=时，那么1n=−，此

时()0,1A−不在双曲线C上，舍去，因此0m，从而22mn=，代入21mn=+，解得1,2nm==，此时()2,1A在双曲线上，综上，()2,1,2A=，或者()2,1,2A−=−.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲

线C：22221xyab−=经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．(1)求双曲线C的方程．(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率PAk、PBk均存在．求证：PAPBkk为定值．(3)若l过双曲线的右焦点1F，是否存在x

轴上的点M（m，0），使得直线l绕点1F无论怎样转动，都有0MAMB=成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213yx−=(2)证明见解析(3)存在；1m=−（1）由题意得224913abba−==，解得221,3.ab==所以双曲线C的方程

为2213yx−=．（2）证明：设点A的坐标为()00,xy，则由对称性知点B的坐标为()00,xy−−．设P（x，y），则2200022000−+−==−+−PAPByyyyyykkxxxxxx，

由2200221313yxyx−=−=得()2222003−=−yyxx，所以2202203PAPByykkxx−==−．（3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=−，与双

曲线方程联立消y得()222234430kxkxk−−++=，所以230Δ0k−，得23k且2122212243433kxxkkxxk+=−+=−，所以()()1212=−−+MAMB

xmxmyy()()()()2121222xmxmkxx=−−+−−()()()22221212124kxxkmxxmk=+−++++()()()2222222214342433kkkkmmkkk+++=−++−−()2223

453mkmk−+=+−．假设存在实数m，使得0MAMB=，则()()22231450mkmm−+−−=对任意的23k恒成立，所以2210450mmm−=−−=，解得1m=−．所以当1m=−时，0MAMB=．当直线l的斜率不存在时，

由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立．综上，存在M（－1，0），使得0MAMB=．8．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=过点(2,2)，且离心率为3．(1)求双曲线C的方程．(2)设直线l

是圆22:4Oxy+=上的动点()()0000,0Pxyxy处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以AB为直径的圆过坐标原点．【答案】(1)22124xy−=(2)证明见解析（1）由题意得：3ca=，故

22223caab==+，故222ba=.又过点(2,2)可得22441ab−=，即224412aa−=，解得222,4ab==，则双曲线C的方程为22124xy−=（2）解法1：因为点()()0000,0Pxyxy在圆224xy+=上，所以圆在点()00,Px

y处的切线方程为()0000xyyxxy−=−−，化简得004xxyy+=．则直线l的方程为004xxyy+=，代入双曲线C的方程2224xy−=，变形为()()2220042xyxxyy−=+，整理得()(

)222200004280yyxyxyxx+++−=等号两边同除以()220xx，得到()()22200004280yyyxyxxx+++−=．设()()1122,,,AxyBxy，则()2201202

21200488144OAOByyyxkkxxyy−−−====−++，故OAOB⊥，即以AB为直径的圆过坐标原点．解法2：因为点()()0000,0Pxyxy在圆224xy+=上，所以圆在点()00,Pxy处的切线方

程为()0000xyyxxy−=−−，化简得004xxxy+=由22001244xyxxyy−=+=及22004xy+=得()2220003883240xxxxx−−+−=，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且2004x，∴2

0380x−，且()()222000644383240xxx=−−−，设A、B两点的坐标分别为()()1122,,,xyxy，则200121222008324,3838xxxxxxxx−+==−−，则()()121212010220144OAOBxxyyxxxx

xxy=+=+−−，()2120120122011644xxxxxxxxx=+−++−()2222000022220000324324132163843838xxxxxxxx−−=+−+−−−−2200220

032432403838xxxx−−=−=−−，即以AB为直径的圆过坐标原点．9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:14xCy−=．(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线:lykxm=+与双曲线

C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)52e=(2)证明见解析，定点坐标为10,03−（1）由双曲线的方程可知2a=，415c=+=，∴双曲线

的离心率52cea==．（2）设()11,Axy，()22,Bxy，由2214ykxmxy=+−=，得()()222148410kxmkxm−−−+=，则()()22222140Δ64161410kmkkm−=

+−+，122814mkxxk+=−，()21224114mxxk−+=−()()()2222121212122414mkyykxmkxmkxxmkxxmk−=++=+++=−，∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点()2,0D−，∴0ADBD=，∴()121

212240yyxxxx++++=，∴()2222224141640141414mmkmkkkk−+−+++=−−−，∴22316200mmkk−+=，解得2mk=或103mk=．当2mk=时，直线l的方程为()2ykx=+，直线l过定点()2,0−，与已

知矛盾；当103mk=时，直线l的方程为103ykx=+，直线l过定点10,03−，经检验符合题意∴直线l过定点，定点坐标为10,03−．10．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，

已知双曲线22:142xyC−=的右顶点为A，P，Q是双曲线上除顶点以外的任意两点，M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为1k，2k，求12kk的值．(2)若12AMPQ=，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1)121

2kk=(2)证明见解析，直线PQ过定点()6,0（1）设()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Mxy，由题意得22112222142142xyxy−=−=，两式相减得22221212042xxyy−−−=，整理得()()()()12121212042x

xxxyyyy−+−+−=，即直线PQ的斜率()1212112122yyxxkxxyy−+==−+，又M为PQ的中点，即12012022xxxyyy+=+=，所以()0121120221242xxxkyyyk+===+，所以1212kk=；

（2）由12AMPQ=可知APQ是以A为直角顶点的直角三角形，即APAQ⊥，()2,0A且直线PQ不与双曲线的渐近线平行，即22k，①当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为ykxm=+，22k，联立直线与双曲线2

2142ykxmxy=+−=得()222124240kxkmxm−−−−=，()()()2224412240kmkm=−−−−−，即2242mk−，且22k，则122412kmxxk+=−，21222412mxxk−−=−，所以()112,APxy=−uu

ur，()222,AQxy=−，()()()()()()121212122222APAQxxyyxxkxmkxm=−−+=−−+++uuuruuur()()()221212124kxxkmxxm=++−+++()()22222244124121

2mkmkkmmkk−−=++−++−−22281212mkmkk++=−−，又APAQ⊥，所以0APAQ=，即228120mkmk++=，解得2mk=−或6mk=−，当2mk=−时，直线PQ方程为()22ykxkkx=−=−，恒过点()2,0，

不成立；当6mk=−时，直线PQ方程为()66ykxkkx=−=−，恒过点()6,0，②当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为0xx=，点()00,Pxy，()00,Qxy−，2200142xy−=，即220022xy

=−()002,APxy=−，()002,AQxy=−−uuur，22200000444602xAPAQxxyx=−+−=−+=uuuruuur，解得02x=或06x=，当02x=时，过点A，不成立；当06x=时，过()6,0，综上所述，直

线PQ恒过定点()6,0.11．（2022·广东汕尾·高二期末）已知点1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知235FA=−，且点2F到一条渐近

线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ymxn=+与双曲线C交于两点M，N，直线OM，ON的斜率分别记为OMk，ONk，且1110OMONkkm+=，求证：直线l过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)22154xy−=(2)(2,0)−或(2,0

)(1)由题知，2(,0)Fc，其中一条渐近线为byxa=，即0bxay−=，所以22222352cabcbacab−=−=+=+，解得5,3,2acb===所以22154xy−=(2)设

1122(,),(,)MxyNxy，将ymxn=+代入22154xy−=整理得：222(54)105200mxmnxn−+++=则212122210520,5454mnnxxxxmm−++==−−由222222

1004(54)(520)80(54)0mnmnnm=−−+=−+Δ得22540nm−+因为1212211221121212()()11()()OMONxxxyxyxmxnxmxnkkyyyymxn

mxn+++++=+==++121222222122222222212222(22(50)105454(520)))10(1054545mnmnmmxxnxxmmxxmnxmmnxnmnmmnmn+−=−−+

++=−=++++++−−−所以2210105mmnm=−，得224nm=，即2nm=所以直线l的方程为(2)ymx=所以当22540nm−+，且2nm=时，直线l过定点(2,0)−；所以当22540nm−+

，且2nm=−时，直线l过定点(2,0).12．（2022·全国·高二课时练习）设12,FF是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且1122,OPOFPFF==的面积为3.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的两

顶点分别为()()12,0,,0AaAa−，过点2F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线1AM与直线2AN的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.【答案】(1)3yx=(2)存在，在

定直线方程12x=上（1）由12OPOF==得2c=，且12PFPF⊥所以12122,1.32PFPFaPFPF−==()22221212124162PFPFcPFPFPFPF+===−+即241216a+=解得1,a=又2224,3abcb+===,故双曲

线的渐近线方程为3byxxa==.（2）由（1）可知双曲线的方程为2213yx−=.（i）当直线l的斜率不存在时，()()2,3,2,3MN−，直线1AM的方程为1yx=+，直线2AN的方程为33yx=−+，联立直线1AM

与直线2AN的方程可得13,22Q，（ii）当直线l的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l的方程为()()()()112220,3,,,,ykxkkMxyNxy=−，联立(

)22213ykxyx=−−=得()222234430,kxkxk−+−−=221212224430,,33kkxxxxkk++==−−直线1AM的方程为()1111yyxx=++，直线2AN的方程为()2211yyxx=−−，联立直线1

AM与直线2AN的方程可得：()()21121111yxxxyx++=−−，两边平方得()()2222122121111yxxxyx++=−−，又()()1122,,,MxyNxy满足2213yx−=，()()()()()()()()

()()()()222221212112122222121212121231111111111311xxyxxxxxxxxxxxxxyxxx−+++++++===−−−++−−−.22222222222222434

143433394344343133kkkkkkkkkkkkkk++++++−−−===++−+−−+−−，2119,12xxx+==−，或2x=，（舍去).综上，Q在定直线上，且定直线方程为12x=.13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲

线()222:104xyEaa−=的中心为原点O，左、右焦点分别为1F、2F，离心率为355，点P是直线23ax=上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足220PFQF=.（1）求实数a的值；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）若点P的纵

坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M、N，在线段MN上去异于点M、N的点H，满足PMMHPNHN=，证明点H恒在一条定直线上.【答案】（1）5；（2）详见解析；（3）详见解析.【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出

实数a的值；（2）设点P的坐标为5,3y，点Q的坐标为()00,xy，利用条件220PFQF=确定y与0x、0y之间的关系，再结合点Q在双曲线E上这一条件，以及斜率公式来证明直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点M、N的坐

标分别为()11,xy、()22,xy，结合（2）得到()2211455yx=−，()2222455yx=−，引入参数，利用PMMHPNHN==转化为相应的条件{PMPNMHHN==，利用坐标运算得到点H的坐标所满足的关系式43120xy−−=，进而证明点H恒在定直线43120

xy−−=上；证法二是设直线l的方程为513ykx−=−，将直线l的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件PMMHPNHN=进行等价转化为12125353xxxxxx−−=−−，结合韦达定理化简为()354150xkx

−−+=，最后利用点H在直线l上得到513ykx−=−，从而消去k得到4312xy−−0=，进而证明点H恒在定直线43120xy−−=上.试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为24355aea+==，由于0a，解得5a=，故双曲线E的方程为221

54xy−=；（2）设点P的坐标为5,3y，点Q的坐标为()00,xy，易知点()23,0F，则()2543,0,,33PFyy=−=−，()()()200003,0,3,QFx

yxy=−=−−，()()()()0220004343033xPFQFxyyyy−=−+−−==，因此点P的坐标为()0435,33x−，故直线PQ的斜率()()002000000004333412553533PQxyyyyyxkxyxx−−−−+=

==−−−，直线OQ的斜率为00OQykx=，因此直线PQ与直线OQ的斜率之积为()2200000200000341234123535PQOQyxyyxkkxyxxx−+−+==−−，由于点()00,Qxy在双曲线

E上，所以2200154xy−=，所以()2020455xy−=，于是有()()20220000022200000045341212520603412535351525PQOQxxxxyxkkxxxxxx−−+−−+−+===−−−()()20000200004351220415

255355xxxxxxxx−−===−−（定值）；（3）证法一：设点(),Hxy且过点5,13P的直线l与双曲线E的右支交于不同的两点()11,Mxy、()22,Nxy，由（2）知，()2211455yx=−，()2222455yx=−，设PMMHPNHN=

=，则{PMPNMHHN==，即()()1122112255,1,133{,,xyxyxxyyxxyy−−=−−−−=−−，整理得()()()1212121251,31,{1,1,xxyyxxxyyy−=−−=−

+=++=+①②③④，由①③，②④得，()()22221222221251,3{1,xxxyyy−=−−=−⑤⑥，将()2211455yx=−，()2222455yx=−，代入⑥得221224451xxy−==−−，⑦，将⑦代入⑤得443yx=−，即点H恒在

定直线43120xy−−=上；证法二：依题意，直线l的斜率k存在，设直线l的方程为513ykx−=−，由22513{154ykxxy−=−−=，消去y得()()()22229453053255690kxkkxkk−+−−−+=，因为直线l与双曲线E的右支交于不同的

两点()11,Mxy、()22,Nxy，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053{,95425569,954kkkkkkkxxkkkxxk=−+−−+−+=−−+=−①②③，设点(),

Hxy，由PMMHPNHN=，得12125353xxxxxx−−=−−，整理得()()1212635100xxxxxx−+++=，将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954kkxkkxkk−++−−+=−−，整

理得()354150xkx−−+=，④因为点H在直线l上，所以513ykx−=−，⑤联立④⑤消去k得43120xy−−=，所以点H恒在定直线43120xy−−=.④双曲线中向量问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221(00)xyCabab−=

：，的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于PQ，两点，且当l垂直于x轴时，6PQ=；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线'l与双曲线交于MN，两点，求MPNQMQNP+的取值范围．

【答案】(1)2213yx−=(2)(,12−−（1）依题意，2ca=，当l垂直于x轴时，226bPQa==，即23ba=，即223caa−=，解得1a=，3b=，因此2213yx−=；（2）设:2PQlxmy=+，联立双曲线方程2213yx−=，得：()22311290mymy−

++=，当0m=时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1PQMN−−，12MPNQMQNP+=−，当0m时，设()()()()11223344,,,,,,,PxyQxyMxyNxy，因为直线P

Q与双曲线右支相交，因此1229031yym=−，即33,00,33m−，同理可得234293myym=−，依题意()()MPNQMFFPNFFQMFNFFPFQ=++=

+，同理可得，()()MQNPMFFQNFFPMFNFFPFQ=++=+，而()212342111FPFQMFNFmyyyym+=+++，代入122931yym=−，234293myym=−，()()()()()()222242224

222919118163633133103133mmmmmFPFQMFNFmmmmmm++−++++=+==−−−−+−−，分离参数得，2429663103mFPFQMFNFmm+=−−−+，因为33,00,33m

−，当210,3m时，由22110,3mm++，()22966,61310FPFQMFNFmm+=−−−+−，所以()()2,12MPNQMQNFPFQMFNFP=+−−+，综上可知，M

PNQMQNP+的取值范围为(,12−−.2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为2，C的右焦点F与点()0,2M的连线与C的一条渐近线垂直．(1)求C的标准方程．(2)经过点M且斜率不为零的直线l与C

的两支分别交于点A，B．①若O为坐标原点，求OAOB的取值范围；②若D是点B关于y轴的对称点，证明：直线AD过定点．【答案】(1)22139xy−=(2)①1,3−−；②证明见解析（1）解：由题意得(),0Fc，其中22ca

b=+，则2ca=，所以2224aba+=，即3ba=，所以C的渐近线方程为3byxxa==．因为21MFkca=−=−，MF与C的一条渐近线垂直，所以131a−=−，解得3a=，所以3b=，所以C的标准方程为22139xy−=．（2）解：显然直线l的斜率存在，设其方程为2ykx=+，0k

，联立直线l与C的方程，消去y得()2234130kxkx−−−=，因为直线l与C的两支分别交于点A，B，所以2230Δ156360kk−=−，得203k，设()11,Axy，()22,Bxy，则()22,Dxy−，122

43kxxk+=−，122133xxk=−−．①()()()()212121212121222124OAOBxxyyxxkxkxkxxkxx=+=+++=++++uuruuur()22222221318912814933333kkkkkkk+−−=−++==

−−−−−−，所以OAOB的取值范围是1,3−−．②因为1212ADyykxx−=+，所以直线AD的方程为()121112yyyyxxxx−−=−+，由对称性可知，若直线AD过定点，则定点在y轴上，在直线AD的方程中，令

0x=，得121121111211121212yyxyxyxyxyyyxxxxxxx−+−=−=−+++122112xyxyxx+=+()()()1221121212121212222222xkxxkxkxxxxkxxxxxxxx+++++===++++22

139322423kkkk−−=+=−−，所以直线AD过定点，定点坐标为90,2−．3．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，点1F（－3，0），2F（3，0），点M满足122MFMF−=，点M

的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.【答案】(1)2212yx−=(2)

过定点(3,0)−，证明见详解（1）因为122MFMF−=，所以1222223MFMFFF−==由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中3,1ca==所以222bca=−=所以曲线C的方程为：2212yx−=（

2）若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为(1)yx=−，联立2212yx−=求解可得3x=−，直线PQ过点(3,0)−.当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为ykxm=+，1122(,),(,)PxyQx

y代入2212yx−=，整理得：()2222220kxkmxm−+++=则212122222,22kmmxxxxkk++==−−因为AP⊥AQ，所以11221212(1,)(1,)(1)(1)APAQ

xyxyxxyy=−−=−−+()()()221212111kxxkmxxm=++−+++()()222222212221022kmkmkmmkk++−=+++=−−整理得()()223230kkmmkm

km+−=−+=解得3mk=或mk=−因为点P和Q都异于点A，所以mk=−不满足题意故3mk=，代入ykxm=+，得(3)ykx=+，过定点(3,0)−.综上，直线PQ过定点(3,0)−.4．（202

2·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为3yx=，()2,0M−，()2,0N分别为双曲线的左､右焦点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且PMMA=，P

NNB=，求证：+为定值，并求出该定值.【答案】(1)2213yx−=；(2)证明见解析，定值为103−.(1)由题意可设双曲线C的标准方程为()222210,0xyabab−=，由已知得2c=，则2234baab=+=，解得1a=，3b=，故双曲线

C的标准方程为2213yx−=.(2)由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，设()00,Pxy，()11,Axy，()22,Bxy，若直线PB的斜率存在，则002PBPNykkx==−，则直线PB的方程为()0022yyxx=−−.联立()0

0222213yyxxyx=−−−=，消去x整理得()()22220000003121212290xxyyyxyy−+−+−+=，将220013yx−=代入上式整理得()()220000151212

290xyyxyy−+−+=.05120x−，0，则2200002200093315125454yyyyyyxxx===−−−，故000020453345yyxPNyyNBx−−====−，（根据向量的关系转化为坐标间的关系），同理可得0453x−−=，故103

+=−.若直线PB的斜率不存在，则()2,3P，此时PBx⊥轴，1=，直线PA的方程为()3234604yxxy=+−+=.联立22346013xyyx−+=−=，消去x整理得21348270yy−+=，解得1913y=，故01133yy

−==−，此时103+=−.综上所述，+为定值103−.一题多解：（2）由于P，N，B三点共线，设()22,Bxy，()00,Pxy，又()2,0N，所以由PMNB∥，()002,PNxy=−−，()222,NBxy=−，得()()()20

02022020222yxyxxyxyyy−=−−=−①.由于2222222020022022222220222200133133yyyxyyxyyyxxyy−=−=−=−=，将上述两式相减可得()()()()022002202020xyxyxyxyyyyy

−+=−+②.将①代入②可得2002202yyxyxy++=③.①+③得20025322yyxy−=，解得为020354yyx=−，0540x−，故000020453345yyxPNyyNBx−−====−，同理可得0453x−−=，故103

+=−.5．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的渐近线方程为3yx=，过双曲线C的右焦点()2,0F的直线1l与双曲线C分别交于左

、右两支上的A、B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)过原点O作直线2l，使得21//ll，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得MNMNAB=？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213yx−=(2)存在，2=(1)解：因为双曲线C：

()222210,0xyabab−=的渐近线方程为3yx=，所以3ba=，即3ba=．又因为右焦点F的坐标为()2,0，所以2c=，又由222244caba=+==，解得1a=，所以3b=，所以双曲线C的方程为2213yx−=．(2)解：存在定值2=，使得M

NMNAB=．因为MN与AB同向，所以2MNAB=，由题意，可设直线1:2lxty=+，联立方程组22213xtyyx=+−=，整理得()22311290tyty−++=，设()11,Axy，()22,Bxy，可得12

1222129,3131tyyyytt−+==−−，由直线1l分别交双曲线C的左、右两支于A、B两点，可得()()()222212310Δ12363136100ttttxx−=−−=+，即()()

()221223103422031tttytyt−−+++=−，可得2310t−，所以2121ABtyy=+−()22121214tyyyy=++−()2222226112361313131tttttt+

−=+−=−−−由21//ll，可设2:lxty=，由2233xtyxy=−=，整理得()22313ty−=．设00(,)Mxy，则()00,Nxy−−，所以202331yt=−，则()()()()222222000212111431tMNtyytyt+=

+−−=+=−，所以22MNAB==，故存在定值2=，使得MNMNAB=．6．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线2214xy−=的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG

的面积为1.(1)求a，b；(2)设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且2POOQ=.求证：PMN的面积为定值.【答案】(1)2,2ab==(2)证明见解析(1)椭圆()2222:10xyCabab+=的

离心率为222ac=，其中22cab=+，双曲线2214xy−=的两条渐近线的方程为2xy=，设FGt=，则2OFt=因为三角形OEG的面积为1，所以12212tt=，所以22t=，22cOFt===，22ac==故椭圆C的方程为22142

xy+=；(2)①当直线MN的斜率不存在时，因为2POOQ=，所以()1,0Q−，此时MN的方程为1x=−，或()1,0Q，此时MN的方程为1x=.将1x=−，代入椭圆方程22142xy+=得，61,2M−，61,2N−−

，所以PMN的面积为113663222MNPQ==由椭圆轴对称性得：当MN的方程为1x=时，PMN的面积也为362.②当直线MN的斜率存在时：设直线MN方程为ykxm=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，()33,Pxy，因为MN的中点为Q，且2PO

OQ=，所以PMN的重心是坐标原点O所以12312300xxxyyy++=++=，联立ykxm=+和22142xy+=，得()222214240kxkmxm+++−=，()2284xkm=+−，当0时，122421kmxxk−+=+，21222421−=+mxxk，所以32421km

xk=+，()()3121222221myyykxxmk=−+=−+−=−+，故2242,2121kmmPkk−++因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得22212km+=，满足0因而m与k满足的等式关系

为22212km+=①当0时，()2212228242121kmxxkk+−−==++因为PMN的重心是坐标原点O，所以PMN的面积为OMN的面积的3倍设直线l与y轴交于点D，则()0,Dm.那么PMN的面积为()()2221223824132221mkmODxxk+−−=+，关系式①代

入得362S=，综合①②得PMN的面积为定值362.7．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为2，右顶点D到一条渐近线的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于,AB两点，且0,OAOBO=为坐标原点，点O到直

线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213yx−=(2)是定值，定值62(1)由题意，得双曲线C的渐近线方程为byxa=，右顶点为(),0Da.又222+=abc，且222223,221bbabcecababaa=====++，所以12a

c=，故3b=.又2234aa+=，解得21a=，所以双曲线C的方程为2213yx−=.(2)设()()1122,,,AxyBxy.当直线l和轴线平行时，1122,xyxy==，解得112262xyxy====，所以点O到直线l的距离

为62.当直线l和轴线不平行时，设直线l的方程为xmyt=+，由221,3yxxmyt−==+得()222316330mymtyt−++−=，()()()22222Δ(6)4313312310mtmtmt=−−−=+−，所以212

1222633,3131mttyyyymm−−+==−−.又1122,xmytxmyt=+=+，所以()()()()2212121212121210OAOBxxyymytmytyymyymtyyt=+=+++=++++=，得()()()

2222222133631031mtmttmm+−−+−=−，解得22233tm=+.又点O到直线l的距离为21tdm=+，则222312tdm==+，故62d=，所以点O到直线l的距离为定值62.8．（2022·山东·高三开学考试）已知点P是一个

动点，(22,0)A−，()22,0B，4PAPB−=．动点P的轨迹记为．(1)求的方程．(2)设T为直线1x=上一点，过T的直线l与交于C，D两点，试问是否存在点T，使得2TCTDOT=？若存在，求T的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1

)221(2)44xyx−=…；(2)不存在；理由见解析.(1)因为||424AB=，且||||4PAPB−=，所以P的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．由24a=，242c=，得2a=，22c=，2224bca=−=，所以的方程为221(2)44xyx−=

…．(2)设(1,)Tt，()11,Cxy，()22,Dxy，设直线CD的方程为(1)−=−ytkx，即ykxtk=+−，联立22,4,ykxtkxy=+−−=得()22212()()40kxktkxtk−+−+−+=，则()22224()41()40ktkktk=−−−−+

，且21222201kktxxk−+=−，2122()401tkxxk−+=−，所以()()()()()2222121212231||||111111tkTCTDTCTDkxxkxxxxk++==+−−=+−++

=−．假设存在点T满足2TCTDOT=，则()()22223111tktk++=+−，整理得2220tk++=，但22220tk++…，所以假设不成立，故不存在满足题意的点T．⑤双曲线综合问题1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））设,A

B为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于,MN两点，当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰直角三角形.(1)求双曲线C的离心率；(2)已知4AB=，若直线,AMAN分别交直线2ax=于,PQ两点，

当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)2(2)以PQ为直径的圆过定点()4,0或()2,0−（1）由已知得：(),0Fc，将xc=代入2222:1(0

,0)xyCabab−=中，2bya=，当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰直角三角形，此时AFFM=，即2baca+=，整理得：220aacb+−=，因为222bca=−，所以2220aacc+−=，方程两边同除以2a得：

220ee+−=，解得：2e=或1−（舍去），所以双曲线C的离心率为2（2）因为4AB=，所以24a=，解得：2a=，故24ca==，22216412bca=−=−=，所以双曲线方程为22:1412xyC−=，当直线l的斜率存在时，设直线l的

方程为：()4ykx=−，与双曲线联立得：()22223816120kxkxk−+−−=，设()()1122,,,MxyNxy，则212283kxxk+=−，212216123kxxk+=−，因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于,MN两点，所以12120,0xxxx+，解得：23k

，直线()11:22yAMyxx=++，则1131,2yPx+，同理可求得：2231,2yQx+，则()()()()()1221121212123423423312222224kxxk

xxyyxxxxxx−++−++=+++++()()22221212221212221612832216322163331612824824833kkkkxxxxkkkkxxxxkkk+−−−+

−−−===++++++−−，()()()()()()1221121212342342332222kxxkxxyyPQxxxx−+−−+=−=++++()()()()()121212211212121212324832481824

24kxxxxkxxxxkxxxxxxxxxx+−−−+−−−==++++++其中()222221212122228161212144333kkkxxxxxxkkk++−=+−=−=−−−，所以()()222122212122212118

1861316128242433kkkxxkkPQkkxxxxkkk+−+−===++++++−−则以PQ为直径的圆的圆心坐标为31,k，半径为231kk+，所以以PQ为直径的圆的方程为：()()22229131kxykk+−+−=，整理得：()22619yxyk−+

−=，所以以PQ为直径的圆过定点()4,0，()2,0−，当直线l的斜率不存在时，此时不妨设()()4,6,4,6MN−，此时直线:2AMyx=+，点P坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q−，.以PQ为直径的圆的方程为()2219xy−+=，点()4,0，()2,0−在此圆上，综上：以PQ为直

径的圆过定点()4,0，()2,0−.2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线2222:100xyCabab−=（，），1F、2F分别是它的左、右焦点，(1,0)A−是其左顶点，且双曲线的离心率为2e=．设过右焦点2F的直线l与双曲线C的右支交于PQ、两点，其中点P

位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线APAQ、分别与直线12x=交于MN、两点，证明22MFNF为定值；(3)是否存在常数，使得22PFAPAF=恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213yx−=(2)证明见解析(3)存在，2(1)解：由题可知

：1a=∵2cea==，∴c＝2∵222+=abc，∴3b=，∴双曲线C的方程为：2213yx−=(2)证明：设直线l的方程为：2xty=+，另设：()11,Pxy，()22,Qxy，∴()2222131129032yxtytyxty−=−++=

=+，∴121222129,3131tyyyytt−+==−−，又直线AP的方程为()1111yyxx=++，代入()11311,2221yxMx=+,同理，直线AQ的方程为()2211yyxx=++，代入()22311,2221yxNx=+

,∴()()1222123333,,,221221yyMFNFxx=−=−++，∴()()()()()12121222212121212999999441144334439yyyyyyMFNFxxt

ytytyytyy=+=+=++++++++2222999993109124444393131tttttt−=+=−=−++−−,故22MFNF为定值.(3)解：当直线l的方程为2x=时，解得(2,3)P，易知此

时2AFP△为等腰直角三角形，其中22,24AFPPAF==，即222AFPPAF=，也即：=2，下证：222AFPPAF=对直线l存在斜率的情形也成立，121112222212112122tan212(1)tan21tan1(1)1()1PAPAyPA

FkxyxPAFyPAFkxyx++====−−+−−+，∵()222211111313yxyx−==−，∴()()()()()()11111222121112121tan22122131yxyxyPAFxxxxx++===−−+−−+−−，∴21221tantan22P

FyAFPkPAFx=−=−=−，∴结合正切函数在0,,22上的图像可知，222AFPPAF=，3．（2022·全国·高三专题练习）已知F1（－6，0），F2（6，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直

线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若OM＋=0ON，PQAB＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．【答案】(1)22133yx−=(2)证明见解析（1）设双曲线C的方程为22221xyab−=，()0,0ab由题意知22226341136c

aabbab==−==+=，解之得，∴双曲线C的方程为22133yx−=（2）设直线AB的方程为ykxm=+，A（1x、1y），B（2x，2y），P（2，－1）()2222212303y

kxmkxkmxmxy=+−−−−=−=，整理得，则210k−，0，21212222=311kmmxxxxkk−−+−−=，∴直线PA方程为()111212yyxx+=−−−，令0x=，则11120,2xyMx+−，同理N（0，22222xyx+−），由0OMON+

=，可得21221222022xyxyxx+++=−−∴()()11221222022xkxmxkxmxx+++++=−−()()()()1221212221220kxmxkxmx++−+++−=∴(

)()()12124224280kmxxkxxm+−+−++=∴()()22223422428011kmmkmkmkk−−−+−++=−−∴()()()()22212213410kmkmkmmk−+++++−=∴22222422263440kmkmkmkmkmmmk−++++++

−=∴()224630mkmk++++=，()()3210mmk+++=当210mk++=时，21mk=−−，此时直线AB方程为()21ykx=−−恒过定点P（2，－1），显然不可能∴3m=−，直线AB方程为3ykx=−恒过定点E（0，－3）∵0P

QAB=，∴PQAB⊥，取PE中点T，∴T（1，－2）∴122QTPE==为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值2．4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:100xyabab−=，过

点()36P，，且的渐近线方程为3yx=．(1)求的方程；(2)如图，过原点O作互相垂直的直线1l，2l分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在x轴同侧．①求四边形ACBD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，

是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213yx−=(2)①)6+，；②不存在，理由见解析(1)解：由题意有3ba=，则3ba=①，将点()36P，

代入双曲线方程得22361ab−=②，联立①②解得2213ab==，故的方程为2213yx−=；(2)解：①，易知直线1l，2l的斜率均存在且不为0，设11233442(,),(),(,),(,)AxyBxyCxyDxy，1l

的方程为ykx=，则2l的方程为1=−yxk，联立2213ykxyx=−=，消y整理得()22330kx−−=，直线1l与双曲线交于两点，故230k−且()21230k=−，则23k，则1212230,3xxxxk+=

=−−，则()()2212122431123kABkxxxxk+=++=−−，联立22113yxkyx=−−=，消y整理得()2223130kxk−−=，直线2l与双曲线交于两点，故2310k−且()2212310kk

=−，解得213k，则23434230,31kxxxxk+==−−，则()()223432243111()2341kCDxxxxkk−+=+−+=−，根据对称性可知四边形ACBD为菱形，其面积1

2ACBDSABCD=()()222231312331kkkk++=−−()()2222(1)6331kkk+=−−22222(1)6163(1)kkk+=−+22216163(1)kk=−+，2133k，∴22116243kk++

，，∴(222221616341(1)2kkkk=+++，，∴(22216301(1)kk−+，，)6ACBDS+，；②，假设满足题意的直线AD存在，易知直线AD斜率存在，设直线AD的方程为ytxm=+，5566(,),(,)AxyDxy，联立

2213ytxmyx=+−=，整理得()2223230txtmxm−−−−=，则()230t−且()()222244330tmmt=++−，解得23t且223tm+，由韦达定理有56225622333kmxxkmxxk+=−−−=−，则()

22222212122224341()41(3)3mtmADtxxxxttt−−=++−=+−−−()()222221121236(3)tmtt+−+=−，不妨设M为直线AD与渐近线3yx=的交点，联立3ytxmyx=+=，解得333mxtmyt=−

=−，333mmMtt−−，，同理可得N点的坐标为333mmtt−++，，则2233()()3333mmmmMNtttt−=−+−−+−+()2222121(3)tmt+=−，因为M，N为线段AD的三等分点

，3ADMN=，即()()()22222222211212361213(3)(3)tmttmtt+−++=−−，整理得22830tm+−=，①ABCD⊥，AODO⊥，则0AODO=，即56560xxyy+=，()()56565

656xxyyxxtxmtxm+=+++()()()222225656223211033mtmtxxtmxxmttmmtt−−=++++=+++=−−，整理得223230tm−+−=,②联立①②得2913t=−，

无解，故没有满足条件的直线AD．5．（2022·杭州求是高级中学高二期末）已知双曲线C的离心率3e=，左焦点()1,0Fc−到其渐近线的距离为6．(1)求双曲线C的方程；(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线

C的左支于P、Q两点和A、B两点，若TATPTBTQ=，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．【答案】(1)22136xy−=(2)0（1）依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长

分别为a，b，则渐近线为byxa=，左焦点()1,0Fc−到其渐近线的距离()()261bcadbba−===+，∵3ca=，∴22223caab==+，解得23a=，所以双曲线方程是22136xy−=．（2）设()0,Tm，直线AB：1ykxm=+，()1

1,Axy，()22,Bxy，直线PQ：2ykxm=+，()33,Pxy，()44,Qxy，联立()122222112260136ykxmkxmkxmxy=+−−−−=−=，依题意，()()21222211112212122120Δ44260202602

kmkkmmkxxkmxxk−=+−++=−+=−()()()2221212122122114226xxxxmkxxxxkm+=++=−+同理可得，()()2234222432

4226xxmkxxkm++=−+，∵TATPTBTQ=，∴3124xxxx=，∴()()()()222212222212442626mkmkkmkm=−+−+，化简得2212kk=，∵12kk，∴120kk+=．∵211ONkke=−，221

OMkke=−，∴0OMONkk+=．6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为3yx=，F到渐近线的距离为3．(1)求C的方程；(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的

两个顶点），直线xt=与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得FMFNFMFN+=−？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2213yx−=(2)存在，12t=−(1)

双曲线()2222:10,0xyCabab−=一条渐近线方程为byxa=，焦点(,0)Fc−，则焦点到准线的距离22||bcdbab==+，由F到渐近线的距离为3可知：3b=，由渐近线方程为3yx=知：3ba=，故1a=，所以双曲线方程为：2213yx−=；(2)设直线l的方程为2xmy

=−，联立22213xmyyx=−−=，整理得：2231)1290mymy−−+=（，设1122(,),(,)PxyQxy，而(1,0),(2,0)AF−,则121222129,3131myyyymm+==−−，所以121224()431xxmyym+=+−=−，221212

122342()431mxxmyymyym−−=−++=−，假设存在实数t，使得FMFNFMFN+=−，则0FMFN=,故由AP方程：11(1)1yyxx=−−,令xt=得11(,(1))1yMttx−−，同理AQ方程：22(1)1yyxx=−−,令xt=得22(,(1))1yNttx−−，所

以1212(2,(1))(2,(1))011yyFMFNttttxx=+−+−=−−，即221212(2)(1)0(1)(1)yyttxx++−=−−，则222222931(2)(1)034413131mttmmm−++−=−−−+−−

，即22(2)(1)0tt+−−=，解得12t=−，故存在实数12t=−，使得FMFNFMFN+=−.7．（2022·全国·高三专题练习）设直线MN与双曲线22:(0)3yCxmm−=交于M，N两个不同的点，F为右焦点.(1)求双曲线

C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；(2)当1m=时，设直线1:2lxky=+与C交于M，N，三角形FMN面积为S，判断：是否存在k使得938S=成立？若存在求出k的值，否则说明理由.【答案】(1)双曲线的渐近线方程为3yx=，

它们所夹的锐角为3(2)存在，1k=或219k=(1)由题意，令22033yxyx−==，所以双曲线的渐近线方程为3yx=，易得它们所夹的锐角为3.(2)右焦点F的坐标为1(2,0),,02P，设()()1122,,,Mxy

Nxy，联立221,21,3xkyyx=+−=得()22931304kyky−+−=，()222310,(3)9310,kkk−+−化简得12k−或12k且33k，所以()12122

239,13413kyyyykk+==−−，又3||2PF=，所以三角形FMN面积()22212121222||4||334194122431431PFyyyyPFyykkSkk+−−−−====−−，即229419318431kkk−==−或219k=，满足题意，所以存在1k=或

219k=使得938S=成立.8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一个焦点为(2,0)F，且经过点51(,)22T（1）求双曲线C的标准力程；（2）已知点A是C上一定点，过点(0,1)B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若APAQkk+为定

值，求点A的坐标及实数的值．【答案】（1）221xy−=；（2）(2,1)A，2=，或者(2,1)A−，2=−．【详解】（1）由题意2222abc+==．且2251441ab−=．联立解得1ab==，所以双曲线C的标准方程为221xy−=．（2）设(,

)Amn，过点B的动直线为：1ytx=+．设11(,)Pxy，22(,)Qxy，联立2211xyytx−==+得22(1)220txtx−−−=，-所以2221221221048(1)02121ttttxxtxxt−=+−+=−=−−

，由210t−且0，解得22t且21t，APAQkk+=，即1212ynynxmxm−−+=−−，即121211txntxnxmxm+−+−+=−−，．化简得21212(2)(1)()220txxmtnmxxmmnm−+−+−++−+−=，所以22222(2)(1)

22011ttmtnmmmnmtt−−+−+−+−+−=−−，．化简得22(2)2(1)2220mmntmntmmnm−+−−+−+−=，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以2(2)0102220mmnmnmmnm−=

−−=−+−=如果0m=，那么1n=−，此时(0,1)A−不在双曲线C上，舍去．因此0m，从而21mnn==+，所以1n=，代入22220mmnm−+−=得22m=，解得2m=，此时(2,1)A在双

曲线C上．综上，(2,1)A，2=，或者(2,1)A−，2=−．