【文档说明】湖南省株洲市炎陵县2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(18)页，1.028 MB，由小赞的店铺上传

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炎陵县2023年上期高二入学检测数学科试题总分150分时量120分钟一、单选题1．已知集合2,1,0,1,2A=−−，12Bxx=−，则AB=（）A．0,1B．1,0,1−C．0,1,2D．1,0,1,2−2．“=1x”是“()()120xx−−=”的

（）条件A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设2iiz−+=，则||z=（）A．2B．5C．2D．54．不等式224xx−的解集为（）A．(,1)−−B．(1,2)−C．(,1)(2,)−−+D．(,2)(1,

)−−+5．已知矩形ABCD中，E为AB边中点，线段AC和DE交于点F，则BF=（）A．1233ABAD−+B．1323ABAD−C．2133ABAD−D．2133ABAD−+6．已知实数0abc，则下列结论一定正确的是（）A．aab

cB．1122acC．11acD．22ac7．已知{na}是等差数列，且395246，aaaa+==−，则该数列的公差是（）A．3B．14C．－4D．－148．过点()0,3且与曲线321yxx=−+相切

的直线方程为（）A．30xy−−=B．30xy−+=C．30xy++=D．30xy+−=二、多选题9．下列命题正确的是（）A．垂直于同一个平面的两平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等C．一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D．一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行10．函数()()()sin0002π，，fxAxA=+的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．6=B．12T=C．π6=D．5A=11．已知圆22:280Cxyx+−−=，直线():

11lykx=++，则（）A．圆C的圆心为(1,0)B．点(1,1)−在l上C．l与圆C相交D．l被圆C截得的最短弦长为4212．函数()32fxaxbxcxd=+++()0a的图象如图所示，设()fx是函数()fx的导函数，则下列结论正确的是

（）A．()0fx¢>的解集是()2,5B．320abc++=C．2x=时，()fx取得最大值D．()()0fxfx的解集是(,1)(1,2)(3,5)−−三、填空题13．函数()223fxxx=++的定义域为______．14．已知π,π2，3sin5=，则()co

sπ−=________.15．已知事件A发生的概率为()0.3PA=，则它的对立事件A发生的概率()PA=______________．16．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使

用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：)30,40，)40,50，…，90,100，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25百分位数是______．四、解答题17．已知函数()2s

incos3sinfxxxx=+.(1)求函数()fx的最小正周期T；(2)求函数()fx的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x的值.18．已知等差数列na满足：110a=，且210a+，38a+，46a+成等比数列．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列

nb的通项公式为()()186nnnbaa=−−，求数列nb的前n项和nS．19．如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EBPA∥，4ABPA==，2EB=，F为PD的中点．(1)求证：AFPC⊥

；(2)求二面角DPCE−−的大小．20．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点分别为12,FF，椭圆C经过点(0,2)A，且直线2AF，与圆222xy+=相切．(1)求椭圆C的方程；(2)直线1(0)ykxk=+与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足0

MPPQMQPQ+=，求点M横坐标的取值范围．21．某校在2022年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示

．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优

秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人都“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前22%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？22．已知函数23()ln(3),R2f

xaxxaxa=+−+．(1)若曲线()yfx=在点(2,(2))f处的切线的斜率为4，求a的值；(2)当0a时，求()fx的单调区间；(3)已知()fx的导函数在区间(1,e)上存在零点．求证：当(1,e)x

时，()23e2fx−．参考答案：1．A【分析】根据交集的定义直接求解即可.【详解】因为2,1,0,1,2A=−−，12Bxx=−，所以AB=0,1，故选：A.2．A【分析】根据题意，由充分性必要性的定义，分别验证即可得到结果.【详解】根据题意，显然当=1x−，可得

()()120xx−−=成立，所以充分性满足；当()()120xx−−=时，可得1x=或2x=，所以必要性不满足；即“=1x−”是“()()120xx−−=”的充分不必要条件.故选:A.3．B【分析】将

复数化简后再求共轭复数的模长,【详解】解：2i12iiz−+==+，12iz=−，∴||5z=．故选：B．4．C【分析】由题意可得220xx−−，解此不等式即可.【详解】解：因为222222422220xxxx

xxxx−−−−−，所以(2)(1)0xx−+，解得2x或1x−，所以不等式的解集为：(,1)(2,)−−+.故选：C.5．D【分析】取CD中点G，可证得四边形BEDG为平行四边

形，得到//BGDE，结合三角形中位线性质可确定F为AC上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.【详解】取CD中点G，连接BG，交AC于点H，=BEDG，BEDG=，四边形BEDG为平行四边形，//BG

DE，又E为AB中点，AFFH=，同理可得：CHFH=，()1133AFACABAD==+，()121333BFBAAFABABADABAD=+=−++=−+.故选：D.6．A【分析】由不等式的性质，逐个验证选项的结

果.【详解】A选项中，因为0abc，所以0aabc，故A选项正确；B选项中，因为函数12xy=在R上单调递减且ac，所以1122ac，故B选项错误：C选项中，因为0ac，则110ac，故C选项错误；D选项中，若1a=，2c=−，满足0ac

，但22ac，故D选项错误．故选：A．7．A【分析】设数列{an}公差为d，首项为1a，则由395246，aaaa+==−可得关于1a和d的方程组.【详解】设数列{an}公差为d，首项为1a，则由395246，aaaa+==−可得：11112104

16963adadaadd+=+=−+=−=.故选：A8．B【分析】设切点坐标，利用导数表示出切线斜率，得到切线方程，代入切线过的点，求出未知数即可得到方程.【详解】由321yxx=−+，则232yx

=−，设切点坐标为()3000,21xxx−+，则切线的斜率0232kx=−，切线方程为()()()3000022132yxxxxx−−+=−−，由切线过点()0,3，代入切线方程解得01x=−，则切线方程为21yx−=+，即30xy−+=.故选：B9．BC【

分析】AD考虑包含、相交、平行的可能即可判断；BC由性质定理判断即可.【详解】对A，垂直于同一个平面的两平面可能平行，也可能相交，A错；对B，两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等（性质推论），B对；对C，一个平面内的两条

相交直线与另一平面平行，这两平面平行（判定定理），C对；对D，一条直线与两平行平面中的一平面平行，则与另一平面也平行或在另一平面内，D错.故选：BC.10．ABCD【分析】由图像最高点可得A及T，由T可得，后由5π+2π，Zωφkk+=可得.【详解】

对于AB，由图可得，()fx周期为()11112−−=，又2120π，Tωω==，得6=，故AB正确；由图可得，5π+2π，Zωφkk+=，即π2π6k=+，又02π，得π6=，故C正确；对于D，由图可得，图像最高点对应纵坐标为

5，又0A，则5A=，故D正确.故选：ABCD11．ABC【分析】根据圆的标准方程可判断A，直线方程的点斜式表示方法判断B，根据点与圆的位置关系判断C，根据弦长公式判断D.【详解】圆()22:19Cxy−+=，所以圆心为(1,0)C，A正确；因为():11lykx=++，

所以()11ykx−=+，所以直线过点(1,1)A−，B正确；因为4153ACr=+==,所以点(1,1)A−在圆C内，所以l与圆C相交，C正确；因为圆心(1,0)C到直线():11lykx=++的距

离5dAC=，所以l被圆C截得的弦长为2222954rd−−=，D错误，故选:ABC.12．BC【分析】根据图象可得出()0fx以及()0fx的解集，根据图象的上升下降可得()0fx¢>以及()0fx的解集.由此可判断

A、D项；由图象分析可知0a，1和3是函数()fx的两个极值点，所以有()10f=以及()30f=，代入可判断B项，联立即可得到,,abc的关系，代入导函数整理可得到()()2323fxaxa=−−，即可判断C项.【详解】对于A项，由图象可得，函数()

fx在()1,3上单调递增，所以()0fx¢>的解集是()1,3，故A项错误；对于B项，因为()232fxaxbxc=++.又由图象知，函数()fx在1x=处取得极小值，所以有()1320fabc=++=，故B项正确；对于C项，由图象知，当()1,3x时，()fx单

调递增，则()0fx¢>；当(),1x−时，()fx单调递减，则()0fx；当()3,x+时，()fx单调递减，则()0fx.所以()0fx的解集为()(),13,−+，()0fx¢>的解集为()1,3.又()232fxaxbxc=++为二次函数，根据二次

函数的图象可知0a.因为函数()fx在1x=以及3x=处取得极值，所以有()()1030ff==，即3202760abcabc++=++=，所以69baca=−=，所以()()222323129

323fxaxbxcaxaxaaxa=++=−+=−−，因为0a，所以2x=时，()fx取得最大值，故C项正确；对于D项，由()()0fxfx可得()()00fxfx或()()00fxfx.由图象知，当()(),12,5x−−U时，()0

fx.又()0fx¢>的解集为()1,3.所以由()()00fxfx可得()2,3x；由图象知，当()()1,25,x−+U时，()0fx.又()0fx的解集为()(),13,−+.所以由()()00fxfx可得()()1,15,x−+U.所

以，()()0fxfx的解集是()()()1,12,35,−+UU，故D项错误.故选：BC.13．(),21,−−−+【分析】利用根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】要使函

数()223fxxx=++有意义，只需2230xx++,即()()120xx++，解得2x−或1x−，所以函数()223fxxx=++的定义域为(),21,−−−+.故答案为：(),21,−−−+.14．45【分析】根据同角三角

函数的基本关系、诱导公式求解.【详解】因为π,π2，3sin5=，所以24cos1sin5=−−=−，又因为cos()cos−=−，所以()4cosπ5−=，故答案为:45.15．0.7【分析】根据对立事件的

知识求得正确答案.【详解】依题意，()()110.30.7PAPA=−=−=.故答案为：0.716．54【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.【详解】由已知可得，样本中满意度在区间)30,40内的样本的频率为0.005100.05=，样本中

满意度在区间)40,50内的样本的频率为0.010100.1=，样本中满意度在区间)50,60内的样本的频率为0.025100.25=，所以样本中满意度在区间)30,50内的样本的频率为0.15，满意

度在区间)30,60内的样本的频率为0.40，故用户满意度的第25百分位数在区间)50,60内，设用户满意度的第25百分位数为x，则()0.15500.0250.25x+−=，所以54x=，所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54

.故答案为：54.17．(1)πT=(2)最大值312+，5ππ,Z12xkk=+【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式2πT=可得周期.（2）利用正弦函数的性质可得()fx的最大值及取最大值时x的值.【

详解】（1）由已知()()213π3sincos3sinsin21cos2sin22232fxxxxxxx=+=+−=−+所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==；（2）由（1）()π3sin232fxx=−+得函数()fx的最大值为312+，此时有ππ22π,Z

32xkk−=+，即5ππ,Z12xkk=+.18．(1)28nan=+(2)()41nnSn=+【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可.【详解】（1）等差数列

na的首项110a=，公差设为d，由210a+，38a+，46a+成等比数列可得()()()23248106aaa+=++，即()()()2111281036adadad++=++++，即()()()218220163ddd

+=++，解得2d=，所以()1128naandn=+−=+.（2）由（1）得()111122241nbnnnn==−++，所以()11111114223141nnSnnn=−+−++−=++19．(1

)证明见解析；(2)5π6；(3),ME重合时，符合题意，25PM=.【分析】（1）以A为原点，,,ADABAP分别为xyz，，轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量法证明；（2）利用向量法求出二面角DPCE−−的余弦值，得到二面角DPCE−

−的大小；（3）利用向量法判断出当M与E重合时，符合题意，进而求出PM.【详解】（1）因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，所以以A为原点，,,ADABAP分别为xyz，，轴正方向，建立空间直角坐标系.因为4ABPA==，2EB=，F为PD

的中点，所以()0,0,0,A()0,0,4,P()4,0,0,D()4,4,0,C()0,4,0,B()0,4,2,E()2,0,2F.所以()4,4,4,PC=−()2,0,2AF=.因为()2,0,2420420PCAF==++−=，所以PCAF⊥，即A

FPC⊥.（2）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥.又AFPC⊥，AFPAA=,AF平面PAD,PA平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为AF平面PAD，所以CDAF⊥.又AFPC⊥，CDPCC=,CD平面P

CD,PC平面PCD,所以AF⊥平面PCD,即()2,0,2AF=为面PCD的一个法向量.设(),,nxyz=为面PCE的一个法向量，则44400420nPCxyznPExyz=+−==+−=,不妨设1y=，则()1,1,2n=.由图示，二面角DPCE−−为钝角，设其为

，所以2222221201223cos2112202nAFnAF++=−=−=−++++.因为0,π，所以5π6=，即二面角DPCE−−为5π6.（3）假设在棱PE上存在点M，使得直线DM与平面PCE

所成角的正弦值为69.设()0,4,2PMPE==−,()01,则()4,4,42DMDPPM=+=−−.因为直线DM与平面PCE所成角的正弦值为69，所以6cos,9DMn=，即69DMnDMn=，所以(

)22448469161642114−++−=++−++，解得：1=.所以当M与E重合时，直线DM与平面PCE所成角的正弦值为69.此时，()()2220,4,204225PMPE==−=

++−=.20．(1)22184xy+=(2)2[,0)4−【分析】(1)根据椭圆过点(0,2)A可得2b=，然后再利用直线2AF与圆222xy+=相切得到c，进而求解方程；(2)由已知条件可得：MNPQ⊥，进而得到1M

Nkk=−，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式得到点N横坐标的表达式，根据直线MN的方程和基本不等式即可求出点M横坐标的取值范围.【详解】（1）∵椭圆C经过点(0,2)A，∴2b=，由题意得直线2AF的方程为12xyc+=，即220xcyc+−=，∵直线2AF与圆222xy+=

相切，∴2224cdc==+，∴2c=，∴2228abc=+=，∴椭圆C的方程为22184xy+=；（2）设()()1122,,,PxyQxy，点()00,Nxy是PQ的中点，由221,184ykxxy=++=得()2212460kxkx++−=，∴122412kxxk−+=+，∴022

12kxk=−+，∵()20MPPQMQPQMPMQPQMNPQ+=+==，∴MNPQ⊥，∴1MNkk=−，∴直线MN的方程为()001yyxxk−=−−，∴点M的横坐标为()20002111122kxkyxkxkkkk=+=+

+=−=−++，∵0k，∴1222kk+，∴2[,0)4x−．∴“点M的横坐标的取值范围为2[,0)4−．21．(1)82.5(2)310(3)92分【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人

中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再列出样本空间，确定事件这两人都“优秀”所包含的基本事件数，根据古典概型的公式即可求解；（3）由条件列方程组求出m，n，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，列方程即可求解.【详解】（1）根据样本频

率分布直方图估计样本的众数为：1(8085)82.52+=（2）“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+=，“优秀”学生频率为10.40.6−=；由分层抽样可得“良好”的学生有50.42=人，“优秀”的学生有3人，将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，则

这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,ABACBCAaAbBaBbCaCbab共10种，其中事件这两人都“优秀”包含的基本事件有：,,ABACBC共3种，所以事件这两人都“优秀”的概率310P=（3

）由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)54025400.022nmnm+=+=，①又由（2）知(0.02)50.6nm++=，②由①②可得0.04,0.06mn==第五组人数频率为0.0250.110%

==，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%+==故初试时笔试成绩得分从高到低排名在22%的学生分数在第四组，设至少得x分能进入面试，则()950.040.0250.22x−+=，解得92x=，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到92分才能直接进入复试22．

(1)2a=−(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）对a进行分类讨论，根据导数的符号判断函数()fx的单调性；（3）由题可得1e3a，进而可得函数()fx的最小值为2ln336=−−aaafaa，再构造函数()2ln,(3,3e)36xx

gxxxx=−−，通过导数证明()23e2gx−即可得证.【详解】（1）函数()fx的定义域为()0,x+，由()()23ln32=+−+fxaxxax，可得()()33=+−+afxxax，∴()4

223=−+=af，所以2a=−.（2）由（1）得()()()31−−=xaxfxx，()0,x+，①当0<<3a时，令()0fx¢>，解得03ax或1x，令()0fx，解得13ax.所以，函数()fx的单调递增区间为0,3a

和()1,+，单调递减区间为,13a.②当3a=时，()0fx，所以，函数()fx的单调递增区间为()0,+，③当3a时，令()0fx¢>，解得01x或3ax，令()0fx，解得

13ax，所以，函数()fx的单调递增区间为()0,1和,3a+，单调递减区间为1,3a.（3）因为导函数()fx在区间()1,e上存在零点，则1e3a，由（2）可知(

)fx在1,3a上单调递减，在,e3a单调递增，所以()fx在()1,e上的最小值为2ln336=−−aaafaa，设()2ln36=−−xxgxxx，()3,3ex，()ln33=−xxgx，令()()ln33xx

xgx==−，因为()1103xx=−，所以，()gx在()3,3e上单调递减，又()310=−g，所以()gx在()3,3e上单调递减，又因为()23e3e2g=−，所以()23e2gx−，即23e32af−，所以当()1,ex时，()23e2fx−.【点睛

】关键点点睛：本题的关键是构造函数()2ln36=−−xxgxxx，()3,3ex，把问题转化为证明()23e2gx−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com