【文档说明】北京市清华大学附属中学望京学校2024-2025学年高一上学期阶段检测（10月）数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，949.672 KB，由小赞的店铺上传

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清华附中朝阳望京学校2024-2025学年度第一学期阶段检测高一数学2024年10月（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|31}Mxx=−，{|14}Nxx=−，则M

N=（）A.11xx−B.3xx−C.|34xx−D.4xx【答案】C【解析】【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得|34MxxN=−.故选：C.

2.已知命题:1px−，21x，则p是（）A.1x−，21xB.1x−，21xC.1x−，21xD.1x−，21x【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定对命题p进行否定即可.【详解】由命题:1px

−，21x，则命题p的否定p为：1x−，21x，故选：A.3.下列不等式中成立的是A.若ab，则22acbcB.若ab，则22abC.若0ab，则22aabbD.若0ab，则11ab【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中当0c=时不成立；B中

若0,1ab==−不成立；C中2,1ab=−=−不成立，所以D正确考点：不等式性质4.关于x的方程11xxxx=−−的解集为（）A.{0}B.{x|x≤0或x>1}C.{x|0≤x<1}D.{x|x≠1}【答案】B【解析】【分析】根据11xxxx=−−，利用绝对值的几何意

义得到1xx−≥0，再利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因11xxxx=−−，所以1xx−≥0，所以x≤0或x>1，所以方程11xxxx=−−的解集为{x|x≤0或x>1}．故选：B【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义以及一元二次不等式的

解法，属于基础题.5.已知集合2{|1}Mxx==，{|1}Nxax==，若NM，则实数a的取值集合为（）A.{1}B.{1,1}−C.{1,0}D.{1,1,0}−【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1

}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={1a}，由N⊆M，得11a=−或1a=1．由此能求出实数a的取值集合．为【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={1a}，∵N⊆M，∴11

a=−或1a=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

6.设xR，则“20x−”是“()211x−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求不等式的解集，由充分性和必要性的定义即可做出判断.【详解】202−xx，2(

1)102−xx据此可知，20x−是2(1)1−x的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题考查了解不等式和充分必要条件的判断，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.7.设:01px，:()[(2)]0qxaxa−−+，若p是q的充分不必

要条件，则实数a的取值范围是（）A.{|10}aa−B.{|10}aa−C.{|0aa或1}aD.{|1aa−或0}a【答案】A【解析】【分析】根据题意求出条件q的取值范围，再根据p是q的充分不必要条件列不等式组求得实数a的取值范围．【详解】解：由()[(2)]0xaxa−−+得

2axa+，所以:01px，:2qaxa+，若p是q的充分不必要条件，则021aa+，解得10a−，所以实数a的取值范围{|10}aa−．故选：A．8.对一切实数x，不等式210xax++恒成立，则实数a的取值范围是（）A

2aa−B.2aa−C.22aa−D.0aa【答案】B【解析】【分析】分离常数a，结合基本不等式求得a的取值范围.【详解】当0x=时，不等式210xax++恒成立，当0x时，221110xxa

xaxxx−−++=−−，当0x时，11122xxxxxx−−=−+−=−，当且仅当1x=时等号成立.当0x时，11122xxxxxx−−=−−+−−=−−−，当且仅当1x=−时等号成立.所以2a−.故选：B9.元旦将

近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则AB、的大小关系是．A

.ABB.ABC.AB=D.AB、的大小关系不确定【答案】A.【解析】【分析】设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出AB、的表达式，利用不等式的性质求解即可.【详解】设玫瑰与康乃馨的单价分别为,xy(单位

为：元)，则有28,2,34522xyxAyBxy+==+.所以有,23ABxy==，因此8(1)35222(2)3BABA++.(1)5(2)(1)+−可得：6A；(1)2(2)(1)+−可

得：6B，因此AB.故选：A【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.10.已知集合(),110,110,,Sxyxyxy=NN．若AS，且对任意(),abA，

(),cdA，均有()()0cadb−−，则集合A中元素个数的最大值为（）A.20B.19C.11D.10【答案】B【解析】【分析】根据()()0cadb−−，转化为集合A中元素，也即这些元素对应的点的坐标组成的图形呈不下降趋势

，集合A中元素个数的最大值也即在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，.【详解】由题知：集合(),110,110,,Sxyxyxy=NN．若AS，且对任意(),abA，(),cdA，均有()()0cadb−−，作如下等

价转化：在符合题意的这些点中怎样取，保证趋势不下降的同时取的点最多，因此集合A中元素个数最大时元素可以为：()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,8,1,9,1,10,2,10,8,10,9

,10,10,10共19个，也可以是()()()()()()()()()()1,1,2,1,3,1,8,1,9,1,10,1,10,2,10,8,10,9,10,10共19个，（还有其他取法只要保证这些点的趋势不下降即可）.故选

：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()112fxxx=+−+的定义域为______．【答案】()(,22,1−−−【解析】【分析】根据求定义域的法则求解.【详解】要使函数()112fxxx=+−+

有意义，需满足2010xx+−，即21xx−，则函数()112fxxx=+−+定义域为()(,22,1−−−，故答案为：()(,22,1−−−.12.已知,mn为正实数且满足22mn

+=，则1mn的最小值是______，22mn+的最大值为______．【答案】①.2②.22的【解析】【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件.【详解】由0,0mn，22mn+=，则2212mnmn+=，当且仅

当112mn==，取等号，故12mn，即1mn的最小值为2；由0,0mn，22mn+=，则()()2222242448mnmnmn+=+++=,所以2222mn+，所以22mn+的最大值为22，当且仅当11,2mn==取等号.故答案为：2；22

.13.已知关于x的方程()21420mxxm−−+−=有两个实根，且一个实根小于1，一个实根大于1，请写出一个满足条件的实数m的值______．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次方程根的分布知识进行求解即可得到m的取值范围，写出符合

题意的一个即可．【详解】令()()2142fxmxxm=−−+−易知有10(1)0mf−，或10(1)0mf−，即：10320mm−−，或10320mm−−，解得23m，或1m，m的取值范围为()2,1,3−+，故答

案为：2（答案不唯一）.14.已知集合2{|60},{|}AxxxBxxc=−−=，其中Rc．①集合RA=ð_______________；②若Rx，都有xA或xB，则c的取值范围是____________．

【答案】①.{|23}xx−②.(,2]−−【解析】【分析】先求出集合A，再利用补集的定义求出RAð；由题设知AB=R，从而求c的取值范围．【详解】由2{|60}{|2Axxxxx=−−=−或3}x，则R{|23}Axx=−ð；由Rx

，都有xA或xB，则AB=R，而{|2Axx=−或3}x，{|}Bxxc=，所以2c−，即c的取值范围是(,2]−−.故答案为：{|23}xx−；(,2]−−15.已知曲线2:57Cyxx=−−，直线:lykxb=+，给出下面四个结论：①

曲线C关于直线52x=对称；②当0b=时，存在实数k，使得l与C恰有一个公共点；③对于任意的0b，存在实数k，使得l与C恰有三个不同的公共点；④存在实数,kb，使得l与C共有四个不同的公共点,,,ABCD，且ABBCCD==．其中，正确结论的序号为___

___．【答案】①④【解析】【分析】画出曲线C的图象，数形结合，即可判断各项内容的正确性.【详解】函数257yxx=−−的草图如下：对于①，易知函数图象关于直线52x=对称，故①正确；对于②，当0b=时，可知直线ykx=与曲线C必定有两个不同交点，故②不正确；对于③，如上图所示，当0b时，

过点N作抛物线257yxx=−+−的切线BN交y轴于()00,Bb，则当0bb时，过点()0,b的直线与曲线C必有且只有两个交点（k存在），故③错误；对于④，如下图，设直线l与曲线C的交点距离在水平方向上等

距即ABBCCD==，则0k=，设直线yb=与257yxx=−−交于𝐴(𝑥1,𝑦1)、()33,Bxy、()44,Cxy、()22,Dxy，由257xxb−−=121257xxxxb+==−−；由257xxb−++=3

43457xxxxb+==−.当ABBCCD==时，有21433xxxx−=−()()2212123434494xxxxxxxx+−=+−()()225479547bb−−−=−−10.6b=.所以0k=，6512b=时，l与

C共有四个不同的公共点,,,ABCD，且ABBCCD==，即存在实数,kb，使得l与C共有四个不同的公共点,,,ABCD，且ABBCCD==，故④正确.故答案为：①④.【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(

1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求

解．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知集合2230Axxx=−−，0Bxx=或𝑥>2}，22Cxmxm=−+．（1）求AB，()ABRð；（2）若()ACRð，求实数m的取值范围．【答案】（1）10ABxx=

−或23x；()AB=Rð（2）3mm−或5m【解析】【分析】（1）解不等式可得集合A，根据集合间运算的定义直接可得解；（2）由补集的定义可得()CRð，再根据集合间的关系列不等式，解不等式

组即可.【小问1详解】由已知223013Axxxxx=−−=−，0Bxx=或𝑥>2}则10ABxx=−或23x，AB=R，则()AB=Rð；【小问2详解】由22Cxmxm=−+，得()2C

xxm=−Rð或2xm+，又()ACRð，则32m−或12m−+，解得5m或3m−，即实数m的取值范围是3mm−或5m.17.已知函数2()fxxxm=−+.（1）当2m=−时，求不等

式()＞0fx的解集；（2）若0m时，()0fx的解集为(,)ab，求14ab+的最小值.【答案】（1）1xx−或𝑥>2}（2）9【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）先由韦达定理得1,0

ababm+==，再由()1414ababab+=++结合基本不等式即可求解.【小问1详解】当2m=−时，220xx−−，解得1x−或2x，故不等式()＞0fx的解集为1xx−或�

�>2}；【小问2详解】若()0fx的解集为(,)ab，则,ab为20xxm−+=的两个根，则1,0ababm+==，则0,0ab，()1414445529babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=即12,33ab=

=时取等，故14ab+的最小值为9.18.十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有300户农民，且都从事中药材种植，据了解，平均每户的年收入为2.5万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府

决定动员部分农民从事中药材加工，据估计，若能动员()0xx户农民从事中药材加工，则剩下的继续从事中药材种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x，而从事中药材加工的农民平均每户收入将为()42.5075xaa−万元

．（1）若动员x户农民从事中药材加工后，要使从事中药材种植的农民的总年收入不低于动员前从事中药材种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这300户农民中从事中药材加工的农民的总收

入始终不高于从事中药材种植的农民的总收入，求a的最大值．【答案】（1）(0,275]（2）15【解析】【分析】（1）先求出动员前后，从事中药材种植的农民的总年收入，列出不等关系，求出x的取值范围；（2）分别求出300户农民中从

事中药材加工的农民的总收入和从事中药材种植的农民的总收入，结合基本不等式可得a的最大值．【小问1详解】(300)2.5(14%)2.5300,xx−+化简为22750xx−，解得0275x，故x的取值范围为(0,275].【小问2详解】由题意得()(

)42.53002.514%75xaxxx−−+，整理可得3001175xax++，因为300300247575xxxx+=，当且仅当150x=时，取到最小值4；所以15a，即a的最大值为15.19.设集合220Axxx=−=，()

22110Bxxaxa=+−−+=．关于x的不等式()()()2312101xmxmmm−+++的解集为C．（1）若2AB=，求实数a的值；（2）若ABA=，求实数a的取值范围；（3）若AC=，求实数m的取值范围．【答案】（1）3a=（2

）3,115a−−（3）(),10,1−−【解析】【分析】（1）由2AB=，则2B，代入方程()22110xaxa+−−+=求出a，再检验是否符合题意即可；（2）分B=和B时，①2B，②0B，进行分类讨论并验证即可；（

3）由AC=，利用集合的运算进行求解即可.【小问1详解】由2200,2Axxx=−==，又2AB=，则2B，即2是方程()22110xaxm+−−+=的一个实根，则()2222110aa+−−+=，

解得3a=，或1a=−，当3a=时，22804,2Bxxx=+−==−，此时2AB=，符合题意，当1a=−时，2200,2Bxxx=−==，此时0,2AB=，不符合题意，故3a=.【小问2详解】由ABA=，则BA

，当B=时，则方程()22110xaxa+−−+=的无实根，即()()22Δ1410aa=−−−+，解得315a−，当B时，①2B时，由（1）知，3a=，4,2B=−，此时BAØ，故3a=不符合题意；当1a=−时，0,2B=，此时BA，故1a=−符合题意；

②0B时，则0是方程()22110xaxa+−−+=的一个实根，即210a−+=，解得1a=，当1a=−时，已验证符合题意；当1a=时，0B=，此时BA，故1a=符合题意；综上3,115a−−.

【小问3详解】由()()()2312101xmxmmm−+++，即()()210xmxm−−+，又1m，则212mm+，21Cxmxm=+，又AC=，则10+m，或2012mm+

，解得1m−，或01m，故实数m的取值范围为(),10,1−−.20.设函数()21fxaxax=−+．（1）若不等式()0fx的解集为，求a的取值范围；（2）当Ra时，求关于x的不等式()2fxx−的解集；（3）对于任意的

1x，不等式()14fxxa+−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）0,4（2）答案见解析（3）13a【解析】【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解

不等式可得参数范围；（2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况；（3）分离参数可得141axx+−，结合基本不等式求最值可得参数范围.【小问1详解】当0a=时，()1fx=，此时()0fx的解集为，成立；当0a时，不等式()210fxaxax=−+的解集

为，则()2040aaa−−，解得04a，综上所述01a，即0,4a；【小问2详解】()2fxx−，即为()2110axax+−−，当0a=时，10x−，解得1x

，即)1,x+；当0a时，()2110axax+−−即为()110axxa−+，对应方程()110axxa−+=的解为11x=，21xa=−，当0a时，不等式为()110xxa−+，且12xx

，不等式的解集为1xa−或1x，即)1,1,xa−−+；当10a−时，不等式为()110xxa−+，且12xx，不等式的解集为11xa−，即11,xa−；当1a=−时，12xx=，不等式为()210x−

，解得1x=，即1x；当1a−时，不等式为()110xxa−+，且21xx，不等式的解集为11xa−，即1,1xa−，综上所述：当0a=时，不等式的解集为)1,+

；当0a时，不等式解集为)1,1,xa−−+；当10a−时，不等式解集为11,a−；当1a=−时，不等式的解集为1；当1a−时，不等式的解集为1,1a−；

【小问3详解】由已知对任意的1x，不等式()14fxxa+−恒成立，即2114axaxxa−++−恒成立，即()24axxx−+，又1x是，240xx−+恒成立，则21441xaxxxx=−++−，又4424xxxx+=，则114

31xx+−，当且仅当2x=时等号成立，综上所述13a.21.给定正整数3n，设集合12,,,nAaaa=．若对任意i，{1,2,,}jn，ijaa+，ijaa−两数中至少有一个属于A，则称集合A

具有性质P．（1）分别判断集合1,2,3与1,0,1,2−是否具有性质P；（2）若集合{1,,}Aab=具有性质P，求ab+的值；（3）若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1B，求集合B．【答案】（1）集合

1,2,3不具有性质P，集合1,0,1,2−具有性质P的的（2）1−（3）1132,1,0,1,2,3,1,,0,,1,222−−−−，2112,,0,,,13333−−，3,2,1,0,1,2−−−或311,

1,,0,,1222−−−【解析】【分析】（1）根据性质P的定义，即可判断两个集合是否满足；（2）根据性质P的定义，首先确定01,,ab，再讨论1b+是否属于集合1,0,b，即可确定b的取值，即可求解；（3）首先确定集合B中有0，并且有正数

和负数，然后根据性质P讨论集合中元素的关系，即可求解.【小问1详解】集合1,2,3中的3361,2,3+=，3301,2,3−=，所以集合1,2,3不具有性质P，集合1,0,1,

2−中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合1,0,1,2−，所以集合1,0,1,2−具有性质P；【小问2详解】若集合{1,,}Aab=具有性质P，记max1,,mab=，则1m，令ijaam=

=，则21,,mab，从而必有01,,ab，不妨设0a=，则1,0,Ab=，0b且1b，令1ia=，jab=，则1,11,0,bbb+−，且1,11,0,bbb+−，0b且1b，以下分类讨论：1）当11,0,bb+

时，若101bb+==−，此时，1,0,1A=−满足性质P；若110bb+==，舍；若1bb+=，无解；2）当11,0,bb+时，则1,11,0,bbb−−，注意0b且1b，可知b无解；经检验1,0

,1A=−符合题意，综上1ab+=−；【小问3详解】首先容易知道集合B中有0，有正数也有负数，不妨设1112,,...,,0,,,...,kklBbbbaaa−=−−−，其中5kl+=，110...,0...lkaabb，根据题意1111,...,,,..

.,lllkkaaaabbb−−−−−−−，且1112112,,...,,,...kklbbbbbbaaa−−−−，从而()(),2,3kl=或()3,2，1）当()(),3,2kl=时，313212,,bbbbaa−−=，并且

313212312,,bbbbbbbbb−+−+=−−=+，211221,2aaaaaa−=，由上可得()()()()2131322111,,,2,bbbbbbaaaa=−−==，并且31213bbba=+=，综

上可知111113,2,,0,,2Baaaaa=−−−；2）当()(),2,3kl=时，同理可得111112,,0,,2,3Baaaaa=−−，据此，当B中有包含6个元素，且1B时，符合条件的集合B有5个，

分别是1132,1,0,1,2,3,1,,0,,1,222−−−−，2112,,0,,,13333−−，3,2,1,0,1,2−−−或311,1,,0,,1222−−−.【点睛】关键点点睛：本题的关键是

确定满足性质P的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.