【文档说明】山东省济南市平阴县第一中学2021届高三下学期3月月考数学试题.docx，共(14)页，1.266 MB，由小赞的店铺上传

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2018级高三决胜高考数学试题（编号24）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。111.|,={x1},().3AyyxByxABx===−=已知集合，则A．)0,3B．)1,3C

．()1,3D．1,132.若i32iz=−+（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知α是第四象限的角，3cos5=，则tan2=（）A.247−B

.247C.2425D.2425−4.已知0x，0y，23xy+=，则23xyxy+的最小值为（）A．322−B．221+C．21−D．21+5.若11133ab，则下列各式中一定成立的是（）A.ln()0ab−B.21ba−C.11a

b−−D.loglogccab（0c且1c）6.已知a，b是平面向量，满足||2a=，||1b„，且|32|2ba−„，记a与b的夹角为，则cos的最小值是（）A.1116B.78C.158D.315167.投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶

活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳.因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭、投入壶口一次得1分、投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛（

两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢.请问乙赢得这局比赛的概率为（）A.1375B.375C.815D.8758.已知定义R在上的函数()fx，其

导函数为()fx，若()()2sinfxfxx=−−.且当0x…时，()cos0fxx+，则不等π()sincos2fxfxxx++−的解集为（）A.π,2−B.π,2+C.π,4

−−D.π,4−+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知直线

yx=与双曲线22221xyab−=（0a，0b）无公共点，则双曲线离心率可能为（）A.1B.2C.62D.310.下列说法正确的是（）A.设,xyR，则“222xy+…”是“1x…且1y…”的必要不充分条件B.π2=是“cos0=”的充要条件C.“3x

”是“||3x”成立的充分条件D.设R，则“ππ1212−”是“1sin2”的充分而不必要条件11.已知函数()|12sin2|fxx=−，下列结论正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.函数()yfx=的图象关于直线π4x=−对称C.函

数()yfx=在π5π,412上单调递增D.方程()1fx=在[π,π]−上有7个不同的实根12.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中过对角线1BD的一个平面交棱1AA于点E，交棱1CC于点F，得

四边形1BFDE，在以下结论中，正确的是（）A.四边形1BFDE有可能是梯形B.四边形1BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形C.四边形1BFDE有可能垂直于平面11BBDDD.四边形1BFDEE面积的最小值为62

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题有两空，第一空得3分，第2空得2分，共20分。13．4()(1)axx++的展开式中，若x的奇数次幂的项的系数之和为32，则a=________．14.

已知数列na的前n项和为nS，11a=，2nnSna=（*nN），则数列na的通项公式为________.15.若函数()fx称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域内的任意x值，均有()(2)fxfax+−2b=，请

写出一个2a=，2b=的“准奇函数”（填写解析式）：________________.16.已知不过原点的动直线l交抛物线C：22xpy=（0p）于A，B两点，O为坐标原点，且||OAOB+=||OAOB−，若OAB△的面积的最小值为64

，则（1）p=_________；（2）直线l过定点，该定点的坐标为________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知na为等差数列，nb为等比数列，nb的前n项和为nS，且111ab==，233aab

=−，332aSb=+.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnncab=，nT为数列nc的前n项和，求nT.18.（12分）在①3,2ABCS=sin3cos,bCcBc−=②③sinB=2sinC这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并做答.问题:已知△AB

C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,13Ac==，______,角B的平分线交AC于点D,求BD的长.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)19.（12分）2020年5月28日，十三届全国

人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习《中华人民共和

国民法典》知识竞赛，从中随机抽取100名学生的成绩（单位：分）统计得到如下表格：成绩性别)0,60)60,70)70,80)80,9090,100男51416134女31113156规定成绩在90,100内的学生获优秀奖.（1）根据以上成绩统计，判断是否有90

%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关？（2）在抽取的100名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到获优秀奖的女生人数，求X的分布列和数学期望.附：()2PKk…0.10.010.001k2.7066.63510.82822()()()()()nadbcKabcd

acbd−=++++.20.（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的菱形，π2APB=，π3ABC=，23PB=，4PC=，点M是AB的中点.（1）求证：CM⊥平面PAB；（2）线

段CD上是否存在一点N，使得直线PN与平面PMD所成角的正弦值为68，若存在，求出CNND的值，若不存在，请说明理由.21.（12分）椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率12e=，点135

,24P在C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设E，F为短轴端点，过点()0,1M作直线l交椭圆C于A、B两点（异于E，F），直线AE、BF交于点T.求证：点T恒在一定直线上.22.（12分）已知函数()2cosxfxex=−，xR．（1）求函数()fx

在0x=的切线方程；（2）是否存在正数a的值使得()()1fxax−对任意)0,x+恒成立？证明你的结论．（3）求证：()fx在)π,−+上有且仅有两个零点．2018级高三决胜高考数学试题参考答案（编号24）一、选择题

：题号12345678答案BDBBCBAD2.【解析】由i32iz=−+可得2232i3i2i3i223iii1z−+−+−−====+−.所以z的共轭复数23iz=−，根据复数的几何意义可知，z在复平面内

对应的点为()2,3−，位于第四象限.3.【解析】因为是第四象限的角，所以24sin1cos5=−=−，则sin4tancos3==−，tan2=22tan241tan7=−.5.【解析】指数函数13xy=

在(,)−+上是单调递减的.由11133ab可知，0ab，所以11ab，则11ab−−，故C正确；0ab−，但不一定有1ab−，则不一定有ln()0ab−，故A错误；函数2xy=在(,)−+上是单调

递增的，0ba−，则0221ba−=，故B错误；当01c时，函数logcyx=在(0,)+上单调递减、则loglogccab，故D错误.6.【解析】解法1：222(|32|)942324babaab−=+

−，所以23||14bab+.则23||113||4cos8||||2||2||babbabbb+==+.因为13()28xfxx=+在0,1上单调递减.又因为||1b.故当||1b=时，cos取得最小值，最小值为78.解法2：2OAa=，3OBb=，由题意知，点B在以

O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|32|2ba−，知B在以A为圆心，半径为2的圈上及圆的内部，如图.则B只能在阴影部分区域，要使cos最小、则最大，此时B点在两圆的交点处，222222min4327(cos)cos

22438OAOBABBOAOAOB+−+−====.7.【解析】若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：（1）第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，概率为1113515=；（2）第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，概率为

111853575+=；则乙赢得这局比赛的概率为：1813157575+=.8.【解析】令()()singxfxx=+，则()()sin()()singxfxxfxx−=−+−=−−，又()()2s

infxfxx=−−，所以()sin()sinfxxfxx+=−−，故()()gxgx−=，即()gx为定义在R上的偶函数：当0x，()()cos0gxfxx=+，所以()gx在[0,)+上单调递增

，又因为()gx为偶函数，故()gx在(,0]−上单调递减.由πππcossin()sin222fxxfxxfxx++=++++，即π()2gxgx+，所以π||2xx+，解得4πx−

，因此正确答案为D.二、选择题：题号9101112答案BCADABDBCD9.【解析】双曲线的一条渐近线为byxa=，因为直线yx=与双曲线无公共点，故有1ba，即221ba，2222e11caa−=−，所以2e2，所以1

e2，故选BC.10.【解析】对于A、当1x且1y时，21x且21y，所以222xy+成立，反之，当222xy+时，1xy==−满足条件，所以222xy+是1x且1y的必要不充分条件.即A正确：对

于B，由π2=可得cos0=，但由cos0=不一定得π2=，如3π2=也满足cos0=，故π2=是cos0=的充分不必要条件，所以B错误；对于C，当3x=−时，满足3x，但||3x=，反之，若||3x，则||3x且3x−，故3x是

||3x成立的必要不充分条件，所以C错误；对于D，由ππ1212−，得π06，故1sin2，由1sin2，得7ππ2π2π66kk−++，kZ，推不出“ππ1212−”，故D正确.11.【解析】112sin2,sin22()|12sin2|12sin21,

sin22xxfxxxx−=−=−，作出()fx在[π,π]−上的图象，将2sin2yx=的图象向下平移1个单位可得到2sin21yx=−的图象，将所得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，如下图所示.由图可知()fx的最小正周期为π，

故A正确；曲线()yfx=关于直线π4x=−对称，故B正确；()fx在π5π,412上单调递减，则C错误；方程()1fx=在[π,π]−上有7个不同的实根，故D正确.12.【解析】过1BD作平面与正方体1111

ABCDABCD−的面为四边形1BFDE，如图所示.因为平面11//ABBA平面11DCCD，且平面1BFDE平面11ABBABE=，平面1BFDE平面111DCCDDF=，1//BEDF.因此，同理1//DFBF.故四边形1BFDE为平行四边形，因此A

错误：对于选项B，四边形1BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确：对于选项C，当点E、F分别为1AA，1CC的中点时，EF⊥平面11BBDD，又EF平面1BFDE，则平面1BFDE⊥平面11BBDD，因此C正确：对于选项

D，当F点到线段1BD的距离最小时，此时平行四边形1BFDE的面积最小，此时点E，F分别为1AA，1CC的中点，此时最小值为162322=，因此D正确：三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。题号13141516答案32(1)nn+23()

2xfxx−=−4；()0,813.试题分析：由已知得4234(1)1464xxxxx+=++++，故4()(1)axx++的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+

6+1=32aa++，解得3a=．14.【解析】当2n时，211(1)nnSna−−=−，则2211(1)nnnnnaSSnana−−=−=−−，于是111nnanan−−=+，故123211232112321211143(1)nn

nnnnnaaaaannnaaaaaaannnnn−−−−−−−−===+−+.当1n=，11a=满足2(1)nann=+.15.【答案】答案开放（所有关于点()2,2中心对称的函数均满足题意，如23(

)2xfxx−=−满足题意.）【解析】由()(2)2fxfaxb+−=，知“准奇函数”()fx的图像关于点(),ab对称，若2a=，2b=，即()fx图像关于点()2,2对称，如231()222xfxxx−==+−−的图像就关于点()2,2对称.16.【解析】设直线与抛物线交于A、B两点，()11

,Axy，()22,Bxy，易知OAOB⊥.可得12120xxyy+=，所以221212022xxxxpp+=，得到2124xxp=−，又令l：ykxm=+代入抛物线22xpy=中，可得方程2220xpkxpm−−=.由韦达定理得12

2xxpk+=，122xxpm=−所以2mp=.所以面积2221211||||48422Smxxmpkpmp=−=+.即2464p=，可得4p=，同时求得定点为()0,8.四、解答题：17.【解答】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公

比为q，所以233aab=−，332aSb=+，22121211ddqdqqq+=+−+=+++解得42dq==或00dq==（舍去）则43nan=−，12nnb−=.·······································

···················································5分（2）因为12(43)nnnncabn−==−所以2211125292(47)2(43)nnnTnn−−=++++−+−①2①得，23122125292(47)2(4

3)nnnTnn−=++++−+−②−①②得，()2311422222(43)knnTn−−=+++++−−()1212142(43)2(47)712nnnn−−=+−−=−−−−故2(47)7nnTn=−+.···················

··········································································10分19.【解答】（1）依题意得，列联表如下：是否

获奖性别获优秀奖未获优秀奖合计男44852女64248合计1090100假设0H：“该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关”当0H成立时，()22.7060.1PK.将列联表中的数据代入公式，计算得22100(442486)0.641

52481090K−=.因为0.6412.706，所以小概率事件未发生，从而接受假设0H.所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下可以推断该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关，即没有90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关.···············

··········································5分（2）依题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，343101(0)30CPXC===，12643103(1)10CCPXC===，21643101

(2)2CCPXC===，363101(3)6CPXC===.所以X的分布列为X0123P1303101216X的数学期望为13119()01233010265EX=+++=.················································

···12分20.【解答】（Ⅰ）在PAB△中，因为π2APB=，23PB=，4AB=，所以2PA=.因为点M是AB的中点，所以2BMPM==.在BMC△中，π3MBC=，2BM=，4BC=，由余弦定理，有23CM=，所以222BMCMBC+=，所以ABCM⊥.

在PMC△中，2PM=，23CM=，4PC=，满足222PCCMPM=+，所以PMCM⊥.又ABPMM=，所以CM⊥平面PAB.——5分（2）如图，以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)M，(0,23,0)C，(4,23,0)D−.设(),0,

ppPxz，(,23,0)N−（[0,4]）在PAB△中，3PPAPBzAB==，而2PM=，得1Px=−，所以(1,0,3)P−.平面PMD的一个法向量为()111,,mxyz=，直线PN与平面PMD所成角为.因为(1,0,3)MP=−，(4,23,0)MD=−，

00mMPmMD==，所以(3,2,1)m=.因为(1,23,3)PN=−−，所以2||433|6sin|cos,|8||||22216mPNmPNmPN−====−+∣，得210160

−+=，所以2=或8=（舍），所以1CNND=.············································12分21.【解答】（1）因为点135,24P在C上，所以222351441ab+=

又1e2ca==，222abc=+，所以24a=，23b=故所求椭圆C的方程为22143xy+=.——5分（2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为1ykx=+.设()11,Axy，()22,Bxy，（10x，20x）.()222214388034120ykxkxkxxy=+++−

=+−=，122843kxxk−+=+，122843xxk−=+，且有1212xxkxx+=.11223:33:3AEBFylyxxylyxx−−−++−（10x，20x）12121221122121313(13)33313(13)yx

kxxkxxxyxxyykxkxxx−+−+−−===++++++，12212(13)323(13)(13)kxxxyxx+−−=+−−，故1221222(13)31(13)(13)kxxxyxx+−=++−−

()()12121212233(13)(13)kxxxxxxxx+++−=+−−()()()()121212123333xxxxxxxx++−=++−3=故点T恒在一定直线3y=上.····················································

···································12分22．（1）因为()2sinxexfx+=，所以()01kf==，又切点为()0,1−，所以函数()fx在0x=处的切线方程为1yx=−．（2）存在，1a=，可证1xex+，又2cos2x−−

，2cos121xexxx−+−=−．（3）当π2x时，()π22cos20xexefx=−−，所以()2cosxfexx=−在π,2+上无零点．当ππ22x−时，()2sinxexfx

+=，且单调递增．因为π2π202fe−−=−，π2π202fe=+，由()2sin0xxfex=+=得1ππ,22xx=−，所以()fx在1π,2x−单调递减，1π,2x单调递增；当ππ2x−−时

，()2sinxexfx+=，所以()2cosxfxex=+在ππ,2−−上单调递增，又()ππ20fe−−=−，π2π02fe−−=，()0fx=得2ππ,2xx

=−−，所以()2sinxfxex=+在()2π,x−上单调递减，在2π,2x−上单调递增．()ππ0fe−−=，π2π202fe−−=−．所以()20fx

．所以()fx在()3π,x−单调递增，3π,2x−单调递减，1π,2x−单调递减，1π,2x单调递增，因为()ππ20fe−−=+，π2π02fe−−=，()010f=−，π2π02fe

=，所以()fx在)π,−+上有且仅有两个零点．