【文档说明】山西省静乐县第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（理）试卷含答案.doc，共(10)页，1.001 MB，由小赞的店铺上传

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山西省忻州市静乐一中高三第二次月考数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i是虚数单位，则复数43ii−=A．34i−+B．34i

−C．34i+D．34i−−2.已知集合{4}xxa=−≤，{(3)0}xxx=−≤，{2}xx=0≤≤，则=aA.2−B．0C．2D．43.命题:pxR，2+0xx的否定为A．xR，2+0xxB．xR，2+0xxC．xR，2+0xxD．xR，

2+0xx4.右图为一个四棱锥的三视图，其体积为A．43B．83C．4D．85.若对任意的xR都有()2()3cossinfxfxxx+−=−，则函数(2)fx的对称轴为A．()4xkk=+ZB．(

)8xkk=+ZC．()24kxk=+ZD．()28kxk=+Z6.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的

尾数查出天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳。那么2013年就是癸巳年了。222222俯视图侧(左)视图正(主)视图2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生A.

甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯7.如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数.例如3.273=，0.60=.那么][][yx=是1xy−的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数()fx是定义域为R的偶函数，当0x≥时，2()=2f

xxx−，则()0xfx的解集为A．(2,0)(0,2)−B．(2,0)(2,+)−C．(,2)(0,2)−−D．(,2)(2,+)−−9.2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，

农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A.15B.60C.90D.54010.在三角形ABC△

中，3AC=，2AB=，60CAB=∠，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD=A．373B．379C．439D．43311.已知函数3()lnfxxmx=+在区间2,3上不是单调函数，则m的取值范围是A．(,8

1)−−B．(24,)−+C．(81,24)−−D．(81,)−+12.点P在双曲线22221(0,0)xyabab−=的右支上，其左、右焦点分别为1F、2F，直线1PF与以坐标原点O为圆心

、a为半径的圆相切于点A，21PFF是以1PF为底的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）A．32B．43C．54D．53二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()21lnyxx=+在()1,0处的切线方程为______.14.在

93xx+的展开式中，则3x的系数是______.15.在正项等比数列中na中，11a=，前三项的和为7，若存在m，*nN，使得14mnaaa=，则1912mn+++的最小值为______.16.已知

定义在R上的函数()fx和(1)fx+都是奇函数，（i）()fx周期T=________．（ii）当(0,1x时，21()logfxx=，若函数()()()sin=−Fxfxx在区间1,m−上有且仅有10个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题：共70分，解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（12分）已知锐角三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2coscosabBcC−=（1）求角C的大小;（2）求函数

sinsinyAB=+的值域.18.（12分）现在很多年轻人热衷提前消费，其中分期付款就是比较流行的一种消费方式.现某苹果手机直营店推出一种分期消费模式，若某顾客在店内选择任意一款手机进行购买，如果该顾客选择相应的分期消费模式，可获得相应的红包返现.分期月数及相应的红包返利如下表1：（月数）13

612返现金额50100200300顾客采用的付款月数的分布列如下表2：（月数）13612P2.03.04.01.0现该苹果手机店内有2位顾客正准备购买某型号手机，这两位顾客选择怎样的分期消费模式相互独立.设事件A为“购买该商品的2位顾客

中，至少有1位采用1个月付款”．（1）求事件A发生的概率()PA；（2）设这两位顾客返现红包总额为随机变量X，求X的分布列及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥ABCDE−中，四边形ABCD为平行四边形，⊥DE平面ABE，点F为AD中点，AEAB⊥，2

===DEABAE.（1）证明：BDEF⊥；（2）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值.20.（12分）已知函数+3()exmfxx=−,()()ln12gxx=++．（1）若曲线()yfx=在点()()00

f，处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当1m时，证明：()3()fxgxx−.21.（12分）已知F1，F2为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．(1)求椭圆E的方

程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）【选

修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，已知曲线)(sincos3:1111为参数ttytxC=+−=.曲线)(sincos3:2222为参数ttytxC=+=，且1tantan=，点P为曲线.

21的公共点与CC（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为05sin2cos=+−，求动点P到直线l距离的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()||||fx

xabxc=+++−的最小值为6，,,abcR+.（1）求abc++的值；（2）若不等式149|23|123mabc++−+++…恒成立，求实数m的取值范围.数学（理科）答案一、选择题：1-5：DAACD6-10：BACCA11-12：CD二、填空题：

13.220xy−−=14.324HEBDCAP15.2，11416.7,4217.（1）由2coscosabBcC−=，利用正弦定理可得2sincossincossincosACBCCB−=，可化为()2sincossinACsinCBA=+=，1si

n0,cos2AC=0,,23CC=.………………6分（2）sincossin3yABAsinA=+=+−−31sincossin3226AAAsinA=++=+，2,032AB

A+=，62A，23,,136362AsinA++，3,32y.………………6分18.解：（1）抽取的老年员工201407400=人，中年员工20180940

0=人，青年员工20804400=人………………3分（2）X的可取值为0,1,2………………4分23283(X=0)28CPC==，11352815(X=1)28CCPC==，25285(X=2)14CPC==………………10分所以的分布列为X012P328152851431555()01

22828144EX=++=……………12分19.（1）证明：因为E是AC的中点，PAPC=，所以ACPE⊥.…………1分因为底面ABCD是菱形，所以ACBD⊥.…………2分又PEBDE=，所以ACPDB⊥面.

…………3分EBDCAPxyz又因为PBPDB面，所以ACPB⊥.…………4分（2）方法一：由（1）知CEPDB⊥面，PDPDB面，所以CEPD⊥.（5分）过E作EHPD⊥于H，连接CH，则PDCEH⊥面，又CH面CEH，则PDCH⊥，…………6分

所以CHE是二面角EPDC−−的平面角．…………7分由（1）知PEB是二面角PACB−−的平面角，所以60PEB=．…………8分设ABa=，在RtPBD中，1322PEBDBEa===，PBE是等边三角形，32PB

a=，EH是PBD的中位线，则1324EHPBa==，…………10分2aCE=，2274CHCECHa=+=，…………11分21cos7EHPEBCH==，即二面角EPDC−−的正弦值为277.…………12分方法二：由（1）知ACPDB⊥面.如图，分别以E

D，EC方向为x轴，y轴正半轴建立空间直角坐标系.设ABa=，则3,0,02Da，0,,02aC.…………5分由（1）知PEB是二面角PACB−−的平面角，所以60PEB=．…………6分在RtPBD中，1322PEBDBEa

===，PBE是等边三角形，所以33,0,44Paa−，…………7分333,0,44PDaa=−，3,,022aDCa=−…………8分设1(,,)nxyz=是平面PDC的

一个法向量，则110,0.nDCnPD==即30,223330.44aaxyaxaz−+=−=…………9分令1x=，则3yz==，所以1(1,3,3)n=是平面PDC的一个法向量.…………10分平面EDP的一

个法向量为2(0,1,0)n=.…………11分设二面角EPDC−−的平面角为，则1212321cos7||||1331nnnn===++，所以二面角EPDC−−的正弦值为277.…………12分20.解：(1)∵|PF1|＋|PF2|

＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：x24＋y2b2＝1.将P(1，32)代入可得b2＝3，∴椭圆E的方程为x24＋y23＝1.………………4分(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|＋1|BD|＝13＋14＝712；②当AC的斜率k存在且k≠0时，A

C的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程x24＋y23＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2.|AC|＝1＋k2|

x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝12(1＋k2)3＋4k2.∵直线BD的斜率为－1k，∴|BD|＝12[1＋(－1k)2]3＋4(－1k)2＝12(1＋k2)3k2＋4.∴1|AC|＋1|BD|＝3＋

4k212(1＋k2)＋3k2＋412(1＋k2)＝712.综上，2λ＝1|AC|＋1|BD|＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列．………………12分21.（1）解：因为+3()exmfxx=−

，所以+2()e3xmfxx=−.………………………1分因为曲线()yfx=在点()()00f，处的切线斜率为1，所以()0e1mf==，解得0m=.…………………………………………………2分（2）证法一：因为+3()exmfxx=−,()()ln12

gxx=++，所以()3()fxgxx−等价于()+eln120xmx−+−．当1m时，()()+1eln12eln12xmxxx+−+−−+−．要证()+eln120xmx−+−，只需证明1eln(1)20xx+−+−

.………………4分以下给出三种思路证明1eln(1)20xx+−+−．思路1：设()()1eln12xhxx+=−+−，则()11e1xhxx+=−+.设()11e1xpxx+=−+，则()()121e01xpxx+=++．所以函数()px=()11e1

xhxx+=−+在()1+−，上单调递增．…………………6分因为121e202h−=−，()0e10h=−，所以函数()11e1xhxx+=−+在()1+−，上有唯一零点0x，且01,02x−.

8分因为()00hx=，所以0+101e1xx=+，即()()00ln11xx+=−+.………………9分当()01,xx−时，()0hx；当()0,xx+时，()0hx，所以当0xx=时，(

)hx取得最小值()0hx.………………………………………10分所以()()()0100=eln12xhxhxx+−+−()0011201xx=++−+.综上可知，当1m时，()3()fxgxx−.……………………………………12分思路2：先证明1e2xx++()

xR．……………………………………………5分设()1e2xhxx+=−−，则()+1e1xhx=−．因为当1x−时，()0hx，当1x−时，()0hx，所以当1x−时，函数()hx单调递减，当1

x−时，函数()hx单调递增．所以()()10hxh−=．所以1e2xx++（当且仅当1x=−时取等号）．…………………………………7分所以要证明1eln(1)20xx+−+−，只需证明()2ln(1)20xx+−+−．………………………………………………8分下面证明(

)ln10xx−+．设()()ln1pxxx=−+，则()1111xpxxx=−=++．当10x−时，()0px，当0x时，()0px，所以当10x−时，函数()px单调递减，当0x时，函数()px单调递增．所以()()00pxp=．所以()ln10xx−+（当且仅

当0x=时取等号）．……………………………10分由于取等号的条件不同，所以1eln(1)20xx+−+−．综上可知，当1m时，()3()fxgxx−.……………………………………12分22.解：（1）设动点(,)pxy由题意知()ta

n3+3yxx=−，()tan33yxx=−由tantan1=−，所以1+33yyxx=−−所以点p的轨迹方程为22+=9(3)xyx………………5分由已知，直线l的方程为250xy−+=，圆心O到直线l的距离为555d==，所以动点p到直线l的距

离最大值为5+3.23.（1）()|||||()()|||fxxabxcxabxcabcabc=+++−++−−=++=++…，当且仅当()abxc−+等号成立∴6abc++=；………………5分（2）由柯西不等式得2149[(1)(2)(3)](123)36123abcabc+++++++

++=+++…，∴1493123abc+++++…，当且仅当1,2,3abc===时等号成立，∴|23|3m−„，即3233m−−剟，解得03m剟.故m的取值范围是[0,3].………………10

分