【文档说明】四川省雅安市多校联考2023-2024学年高二上学期12月月考试题+数学+含解析.docx，共(25)页，1.466 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本

试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz

中，点(1,3,7)A−到Ozx平面的距离为（）A.1B.3C.7D.102.直线tan345yx=−+的倾斜角为（）A.34B.56C.124D.1463.已知P为圆()()22:361Mxy−+−=上的一动点，O为坐标原点，则||OP的最

大值为（）A.1B.2C.3D.44.已知椭圆222:1(03)9xyMbb+=的右顶点为A，上顶点为B，C为直线7x=与x轴的交点，若ABC为等腰三角形，则b=（）A.7B.6C.5D.25.若点(4,3)A，(3,5)B到直线:210lxay++=的距离相等，则

=a（）A.1B.1−C.1或2−D.1−或26.如图，在四面体ABCD中，,EF分别为,BCAE的中点，G为ACD的重心，则FG=（）A.1113124ABACAD−++B.1114123ABACAD−++C.1114123ABACAD−+D.1113124ABACAD+−

7.已知F是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与E的右支交于点M，3MNNF=，MFON⊥，则E的离心率为（）A.3B.2C.3D.28.已知F是抛物线2:12Cyx=的焦点

，过F的直线l与C交于,AB两点，则FAFB的最小值为（）A.36B.24C.18D.9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知

1F，2F分别是椭圆22:186yxM+=的上、下焦点，点P在椭圆M上，则（）A.M的长轴长为42B.M的短轴长为26C.1F的坐标为()2,0−D.2PF的最小值为210.圆22:4Oxy+=与圆22:(1)(2)4Mxy−+−=的公切线的方程可能为（）A.2250xy−+=B.

250xy−−=C.2250xy−−=D.2250xy−+=11.已知左、右焦点分别是1F，2F双曲线2214xy−=上有一点(,)Pmn（m，0n），且1215cos16FPF=，则（）A.1231sin16FPF=B.1216P

FPF=C.12PFF△面积为31D.12PFF△的周长为1225+12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根

指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9）.设MN的中点为,43OMN=，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字1

2.现在小王准备安装长度为3的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OABC⊥B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3

，则BC与AM所成角的余弦值为147D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(1,0,1)a=−，(2,1,1)b=−，则a在b方向上的投影

向量的坐标为__________．14.已知A为抛物线2:2(0)Cxpyp=上一点，点A到C焦点的距离为9，到x轴的距离为6，则p=__________．的的的15.已知椭圆22:153xyM+=，过点(1,)Pm，斜率为35的直线l与M交于A，B两点

，且P为AB的中点，则m=__________．16.若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足||||=PAkPB（0k且1k），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知P是圆221:4Cxy+=上的

动点，点(4,0)C，(4,9)D，则2||||PDPC−的最大值为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l经过点(2,4)A−−．（1）若l经过点(1,1)B−

，求l的斜截式方程；（2）若l在x轴上的截距为4−，求l在y轴上的截距．18.已知圆221:450Cxyx+−−=与圆2C关于直线:10lxy−+=对称．（1）求2C的标准方程；（2）记1C与2C公共点

为,AB，求四边形12ACBC的面积．19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，2AB=，1AD=，13AA=，11DEBF==.（1）证明：1EFAE⊥（2）求平面1AEF与平面ABCD的夹角的余弦值.20.已知曲线C的方程为()()22221010

2xyxy−+−++=．（1）说明C为何种圆雉曲线，并求C的标准方程；（2）已知直线4yx=−与C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于D点，且D在第四象限，O为坐标的.原点，求OAODOBOD+．21.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，平面ADE

⊥平面ABCD，且4AB=，正三角形ADE的边长为2.（1）证明：EF//平面ABCD.（2）若ABEF，且直线AE与平面BCF所成角的正弦值为217，求EF的值.22.圆2222xyab+=+称为椭圆()222210xyabab+=的蒙日圆.

已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，C的蒙日圆方程为223xy+=.（1）求C的方程；（2）若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线1l，1l与C的蒙日圆交于P，Q两点，过F作直线2l

与C交于M，N两点，且12ll//，证明：282PQMN+是定值.数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分

，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,3,7)A−到Ozx平面的距离为（）A.1B.3C.7D.10【答案】B【解析】【分析】点(1,3,7)A−到Ozx平面的距离即为

y轴坐标的绝对值.【详解】在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,3,7)A−到Ozx平面的距离3dy==.故选：B2.直线tan345yx=−+的倾斜角为（）A.34B.56C.124D.146【答案】D【解析】【分析】根据斜率

的定义结合诱导公式即可求解.【详解】因为tan34tan146−=，所以直线tan345yx=−+的倾斜角为146°.故选：D3.已知P为圆()()22:361Mxy−+−=上的一动点，O为坐标

原点，则||OP的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解.【详解】()()22:361Mxy−+−=圆心为()3,6M，半径为1r=，由题意得()()223631OM

=+=，故O在圆外，所以OP的最大值为4OMr+=．故选：D4.已知椭圆222:1(03)9xyMbb+=的右顶点为A，上顶点为B，C为直线7x=与x轴的交点，若ABC为等腰三角形，则b=（）A.7B.6C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据等腰三角形的

性质列式求解即可.【详解】由题意得2229ABabb=+=+，74ACa=−=，因为ABC为等腰三角形，则ABAC=，所以294b+=，解得7b=.故选：A5.若点(4,3)A，(3,5)B到直线:210lx

ay++=的距离相等，则=a（）的A.1B.1−C.1或2−D.1−或2【答案】C【解析】【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解.【详解】若A，B在直线l的同侧，则35243a−=−−，解得1a=．若A，B分别在直线l的

两侧，则直线l经过AB的中点7,42，则7410a++=，解得2a=−．故选：C6.如图，在四面体ABCD中，,EF分别为,BCAE的中点，G为ACD的重心，则FG=（）A.1113124ABACAD−++B.1114123ABACAD−

++C.1114123ABACAD−+D.1113124ABACAD+−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，将FG用,,ABACAD表示即可.【详解】因为,EF分别为,BCAE的中点，所以()1

124AFAEABAC==+.因为G为ACD的重心，所以()13AGACAD=+，所以()()11111344123FGAGAFACADABACABACAD=−=+−+=−++.故选：B.7.已知F是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=

的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与E的右支交于点M，3MNNF=，MFON⊥，则E的离心率为（）A.3B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】取MF的中点为P，连接1MF，1PF根据题意

得到1//ONPF，求得112MFFFc==，结合17tan3MFF=，得到113cos24MFMFFFF==，结合双曲线的定义，得到2ca=，即可求解.【详解】如图所示，双曲线2222:1xyEab−=的右焦点为1F

，MF的中点为P，连接1MF，1PF因为3MNNF=，O为1FF的中点，所以1//ONPF，则1MFPF⊥，可得112MFFFc==，又因为17tan3MFF=，所以113cos24MFMFFFF==，则3MFc=，1322MFMFccca−=−==，可得2cea

==，所以E的离心率为2．故选：B.8.已知F是抛物线2:12Cyx=的焦点，过F的直线l与C交于,AB两点，则FAFB的最小值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】A【解析】【分析】由题意可设直线l的方程为3xmy=

+，()()1122,,,AxyBxy，联立方程，利用韦达定理求出1212,yyyy+，再根据抛物线得焦半径公式结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意()3,0F，由题意可设直线l的方程为3xmy=+，()()

1122,,,AxyBxy，联立2312xmyyx=+=，消x得212360ymy−−=，21441440m=+恒成立，则121212,36yymyy+==−，()()()()12123366FAFBxxmymy=++=++(

)21212636myymyy=+++2223672363636mmm=−++=+，当0m=时，FAFB取得最小值36.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.

已知1F，2F分别是椭圆22:186yxM+=的上、下焦点，点P在椭圆M上，则（）A.M的长轴长为42B.M的短轴长为26C.1F的坐标为()2,0−D.2PF的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由椭圆22:186y

xM+=，可得22a=，6b=，则862c=−=，所以，椭圆M的长轴长为42，M的短轴长为26，上焦点1F的坐标为()0,2，根据椭圆的几何性质，得到2PF的最小值为2ac−=．故选：ABD.10.圆22:4Ox

y+=与圆22:(1)(2)4Mxy−+−=的公切线的方程可能为（）A.2250xy−+=B.250xy−−=C.2250xy−−=D.2250xy−+=【答案】CD【解析】【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解.【详解】圆O

的圆心为()0,0O，半径为2r=，圆M的圆心为()1,2M，半径2R=，由题意得22125OM=+=，圆O与圆M的半径之和为224+=，半径之差为0，因为054，所以圆O与圆M的位置关系为相交．由题意得2OMk=，因为圆O与圆M的半径相等，所以公切线的斜率为

2．设公切线的方程为2yxb=+，即20xyb−+=，由0025b−+=，得25b=，所以公切线的方程为2250xy−+=或2250xy−−=．故选：CD11.已知左、右焦点分别是1F，2F的双曲线2214xy−=上有一点(,)Pmn（m，0n），

且1215cos16FPF=，则（）A.1231sin16FPF=B.1216PFPF=C.12PFF△的面积为31D.12PFF△的周长为1225+【答案】AD【解析】【分析】根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、

b、c值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出12PFPF+的取值即可得出D答案.【详解】由题知2a=，1b=，则225cab=+=．因为P在第一象限，所以124PFP

F−=．在12PFF△中，因为2221212121215cos216PFPFFFFPFPFPF+−==，所以2212121531sin1cos11616FPFFPF=−=−=，A正确；且()21212

116208PFPFPFPF−==−，可得1232PFPF=，B错误；所以1212121131sin32312216PFFSPFPFFPF===△，C错误；因为()()221212124144PFPFPF

PFPFPF+=−+=，所以1212PFPF+=，故12PFF△的周长为1225+，D正确．故选：AD.12.数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指

针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径MN折成了直二面角（其中M对应钟上数字3,N对应钟上数字9）.设MN的中点为,43OMN=，若长度为2的时针OA指向了钟上数字8，长度为3的分针OB指向了钟上数字12.现在小王准备安装长

度为3的秒针OC（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）的A.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则OABC⊥B.若秒针OC指向了钟上数字5，如图2，则NA//平面OBCC.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则BC与AM所成角的余弦值

为147D.若秒针OC指向了钟上数字4，如图3，则四面体OABC的外接球的表面积为1033【答案】ACD【解析】【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A，B，C，求出四面体OABC的外接球的表面积，判断D.【详解】如图，以O为坐标原点，,OMOB所在直线分别为y轴､z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，则()()()1,3,0,0,0,3,(0,23,0),0,23,0ABMN−−若秒针OC指向了钟上数字5，则()()333333,,0,1,3,0,,,3,0,0,32222COABCOB=−=−=，则0OABC=，0OAOB=，

所以OABC⊥，A正确.OAOB⊥，故OA是平面OBC的一个法向量.因为()1,3,0NA=，所以20OANA=−，所以OA与NA不垂直，从而NA与平面OBC不平行，B不正确.若秒针OC指向了钟上数字4，则333,,022C，.()

3331,33,0,,,322AMBC=−=−，1214cos,72732AMBCAMBCAMBC===，C正确.由153,,022AC=，得19AC=.因为120AOC=，所以OAC外接圆的半径1

92sin3ACrAOC==，则四面体OABC的外接球的半径294Rr=+，则210312R=，故四面体OABC的外接球的表面积为21034ππ3R=，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．13.已知向量(1,0,1)a=−，(2,1,1)b=−，则a在b方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】111,,22−【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算，结合投影向量的定义即可求解.【详解】由(1,

0,1)a=−，(2,1,1)b=−得()2222013,2116abb=++==−++=，a在b方向上的投影向量为1111,,222abbbbb==−．故答案为：111,,22−14.已知A为抛物线2:2(0)Cxpyp=上一点，点A到C的焦点的距离为9，到

x轴的距离为6，则p=__________．【答案】6【解析】【分析】根据题意，结合抛物线的定义，列出方程，即可求解.【详解】设A点的坐标为11(,)xy，其中10y，由点A到2:2Cxpy=的焦点的距离为9，根据抛物线的定义，可得192py+=，又由A到x轴的距离为6，可

得16y=，所以32p=，解得6p=．故答案为：6.15.已知椭圆22:153xyM+=，过点(1,)Pm，斜率为35的直线l与M交于A，B两点，且P为AB的中点，则m=__________．【答案】1−【解析】【分析】根据给定条件，利

用点差法求解即得.【详解】设椭圆22:153xyM+=上的点1122(,),(,)AxyBxy，则2211222235153515xyxy+=+=，两式相减得121212123(5)()()(0)xxxxyyyy−++−+=，而121

22,2xxyym+=+=，即12126(100)()xxmyy−+−=，整理得1212350yymxx−+=−，又121235yyxx−=−，于是1m=−，显然点(1,1)P−在椭圆M内，符合题意，所以1m=−.故答案为：1−16.若A，B是平面

内不同的两定点，动点P满足||||=PAkPB（0k且1k），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知P是圆221:4Cxy+=上的动点，点(4,0)C，(4,9)D，

则2||||PDPC−的最大值为_______．【答案】610【解析】【分析】设2PCPE=，求出(1,0)E，然后将求2||||PDPC−的最大值问题转化为求||||PDPE−的最大值问题，数形结合即可得答案.【详解】由题意得设2

PCPE=，(),,(,)PxyEmn，所以()()2222(4)4xyxmyn−+=−+−，则222233(88)844160xymxnymn++−−++−=，由于(),Pxy是圆221:4Cxy+=上的点，所以222212(88)84416(88)84440

mxnymnmxnymn+−−++−=−−++−=，所以22880804440mnmn−=−=+−=，解得10mn==，即(1,0)E，所以()2||||2||||2||PDPCPDPEDE−=−，如图，所以2||||PDPC−的最大值为()()222||24190

610DE=−+−=，故答案为：610.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线l经过点(2,4)A−−．（1）若l经过点(1,1)B−，求l的斜截式方程；（2）若l在x轴上的截

距为4−，求l在y轴上的截距．【答案】（1）2yx=−（2）8−【解析】【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解；（2）根据截距式代入即可求解.【小问1详解】由题意得41121ABk−+==−−，则l方程

为11yx+=−，其斜截式方程为2yx=−．【小问2详解】设l的截距式方程为1xyab+=，由题意得241,4,aba−−+==−得8b=−，所以l在y轴上的截距为8−．18.已知圆221:450Cxyx+−−=与圆2C关于直线:10lxy−

+=对称．（1）求2C的标准方程；（2）记1C与2C的公共点为,AB，求四边形12ACBC的面积．【答案】（1）()()22139xy++−=（2）9【解析】【分析】（1）找到圆1C的圆心，半径，利用圆1C与圆2C关于l对称，求出圆心和半径即可;（2）求出

圆心距与1C到直线AB的距离，结合对称性即可求解.【小问1详解】将1C的方程转化为()2229xy−+=，可得1C的圆心为()2,0，半径为3．设2C的圆心为(),ab，半径为r，因为1C与2C关于直线l：10xy−+=对称，所以210,2201,23,a

bbar+−+=−=−−=解得1,3,3,abr=−==故2C的标准方程为()()22139xy++−=．【小问2详解】()()2212210332CC=++−=，的根据对称性可知1C到直线AB

的距离123222CCd==，则22932ABd=−=，则四边形12ACBC的面积12192SABCC==．19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在棱1DD，1BB上，2AB=，1AD=，13AA=，11DEBF==.（1）证明：1EFAE⊥.

（2）求平面1AEF与平面ABCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积证明垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面1AEF与平面ABCD的夹角的余弦值即可解决.【小问1详解】以1C为坐

标原点，11CD，11CB，1CC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)A，(2,0,1)E，(0,1,2)F，所以1(0,1,1)AE=−，(2,1,1)EF=−，因为()10211110AEEF=−−+=，所以1EFAE⊥.【小问2详解】由（1）

1(0,1,1)AE=−，(2,1,1)EF=−，设平面1AEF的法向量为(,,)mxyz=，则100AEmEFm==，即020yzxyz−+=−++=，不妨取1z=，则(1,1,1)m=.易得1CC⊥

平面ABCD，所以1CC是平面ABCD的一个法向量，且1(0,0,3)CC=.设平面设1AEF与平面ABCD的夹角为，所以1113coscos,3mCCmCCmCC===.故平面1AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为33.20.已知曲线C的方程为()()222210102xy

xy−+−++=．（1）说明C为何种圆雉曲线，并求C的标准方程；（2）已知直线4yx=−与C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于D点，且D在第四象限，O为坐标原点，求OAODOBOD+．【答案】（1）C是以()10,0，()10,0−为

焦点，实轴长为2的双曲线，2219yx−=（2）26【解析】【分析】（1）结合双曲线的定义即可求解；（2）应用韦达定理结合数量积的坐标运算即可求解.【小问1详解】因为()()222210102210xyxy−+−++=，所以C

是以()10,0，()10,0−为焦点，实轴长为2的双曲线．设C：22221xyab−=（0a，0b），则10c=，1a=，3b=，所以C的方程为2219yx−=．【小问2详解】由（1）可得C的渐近线方程为3yx=，由3,4,yxyx=−=−得1,3,xy=

=−即()1,3D−．设()11,Axy，()22,Bxy，由224,19yxyx=−−=得288250xx+−=，由韦达定理得12121,25,8xxxx+=−=−则()()1212121

2334426OAODOBODxxyyxxxx+=+−+=+−−+−=21.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，平面ADE⊥平面ABCD，且4AB=，正三角形ADE的边长为2.（1）证明：EF//平面ABCD.

（2）若ABEF，且直线AE与平面BCF所成角的正弦值为217，求EF的值.【答案】（1）证明见解析（2）2EF=.【解析】【分析】（1）先通过线面平行的判定定理证明AB//平面CDEF，然后根据线面平行的性质定理证明AB//EF，再结合

线面平行的判定定理完成证明；（2）建立合适空间直角坐标系，然后根据直线AE的方向向量与平面BCF的法向量夹角的余弦值求解出EF的值.【小问1详解】因为四边形ABCD为矩形，所以AB//CD，又AB平面,CDE

FCD平面CDEF，所以AB//平面CDEF，因为平面ABFE平面,CDEFEFAB=平面ABFE，所以AB//EF，又EF平面,ABCDAB平面ABCD，所以EF//平面ABCD.【小问2详解】分别取,ADBC中点,OM，连接,OEOM，因为平面ADE⊥平面,ABCDA

DE△为正三角形，以O为坐标原点，,,OAOMOE所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()1,0,0,1,4,0,1,4,0,0,0,3ABCE−，设()()0,,304Fmm

，则()()()1,0,3,2,0,0,1,4,3AEBCBFm=−=−=−−，设平面BCF的法向量为(),,mxyz=，则由00BCmBFm==得()20430xxmyz−=−+−+=

，令3z=，得30,,34mm=−−，的因为直线AE与平面BCF所成角的正弦值为217，所以()2321cos,79234AEmAEmAEmm===+−，解得2m=或6m=（舍去），故2EF=.22.圆2222xyab+=+称为椭圆()222210xy

abab+=的蒙日圆.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为22，C的蒙日圆方程为223xy+=.（1）求C的方程；（2）若F为C的左焦点，过C上的一点A作C的切线1l，1l与C的蒙日圆交于P，Q两点，过F作直线2l与C交于M，N两点，且12ll//，证明：282

PQMN+是定值.【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意，利用待定系数法即可得解；（2）分类讨论1l，2l的斜率取值情况，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得,PQMN，从而得证.【小问1

详解】依题意，得22222322abceaabc+====+，解得222211abc===，所以椭圆C的方程为2212xy+=.【小问2详解】当1l，2l的斜率等于0时，23122PQ=

−=，22MN=，所以28212PQMN+=；当1l，2l的斜率不等于0时，设1l：xmyt=+，则2l：1xmy=−，由2212xmytxy=++=，得()2222220mymtyt+++−=，令()()222Δ(2)4220mtmt=−+−=，得222tm=+.

设O到1l的距离为d，则2220011ttdmm+−==++，得()222222222332332123222111mmmtmPQdmmm+−++−+=−===+++，由22112xmyxy=−+=，得()222210mymy

+−−=，易知0，设()11,Mxy，()22,Nxy，则12122221,22myyyymm+==−++，则()()()222221212222222144141222mmMNmyyyymmmm+=++−=+

+=+++，故()()()()2222222421822433821211221mmmPQMNmmm++++=+==+++.综上，282PQMN+是定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（

2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.获得更多资源请扫码

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