【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(14)页，582.030 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.3三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；②把点P的横坐标x叫做

的余弦函数，记作，即x=；③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数如图，设是一个任意

角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知①正弦函

数值的符号取决于纵坐标y的符号；②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角

函数的值相等.由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1】（2022·广东·高一开学

考试）已知角𝛼的终边经过点𝑀(1,√2)，则cos𝛼=（）A．√63B．√33C．√2D．√3【解题思路】利用三角函数的定义可求得cos𝛼的值.【解答过程】由三角函数的定义可得cos𝛼=1√1+2=√33.故选：B.【变式1-1】（2022

·陕西·高三阶段练习（文））设𝛼是第二象限角，𝑃(𝑥,8)为其终边上的一点，且sin𝛼=45，则𝑥=（）A．−3B．−4C．−6D．−10【解题思路】由任意角的三角函数定义即可求解【解答过程】因为𝑃(𝑥,8)为其终边上的一点，且sin𝛼=45，所以sin𝛼=8√𝑥2+82

=45，解得𝑥=±6，因为𝛼是第二象限角，所以𝑥=−6，故选：C.【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角𝛼的终边经过点𝑃(−4𝑚,3𝑚)(𝑚≠0)，则2sin𝛼+cos𝛼的值为（）A．−35B．25C．1或−25D．25或−25【解题思路】先

求得点P与原点间的距离𝑟=5|𝑚|，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分𝑚>0，𝑚<0两种情况讨论求解.【解答过程】由题意可得：点P与原点间的距离𝑟=√(−4𝑚)2+(3𝑚)2=5|𝑚|，∴sin𝛼=3𝑚5|𝑚|,cos𝛼=−4𝑚5|𝑚|.当𝑚>0

时，则sin𝛼=35,cos𝛼=−45，故2sin𝛼+cos𝛼=25；当𝑚<0时，则sin𝛼=−35,cos𝛼=45，故2sin𝛼+cos𝛼=−25.故选：D.【变式1-3】（2023·

全国·高三专题练习）已知角𝜃的顶点与原点重合，始边与𝑥轴非负半轴重合，若𝐴(−1,𝑦)是角𝜃终边上一点，且sin𝜃=−3√1010，则𝑦=（）A．3B．−3C．1D．−1【解题思路】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.【解答过程】解：因为sin𝜃=−3√1010<0，�

�(−1,𝑦)是角𝜃终边上一点，所以𝑦<0，由三角函数的定义，得𝑦√𝑦2+1=−3√1010，解得𝑦=−3（正值舍去）.故选：B.【题型2三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的

符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已

知𝛼为第二象限角，则（）A．sin𝛼<0B．tan𝛼>0C．cos𝛼<0D．sin𝛼cos𝛼>0【解题思路】根据三角函数在各象限的符号求解即可.【解答过程】因为𝛼为第二象限角，所以sin𝛼>0,cos𝛼<0,tan𝛼<0，故ABD错误，C正确.故选：C

.【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知𝛼为第二象限的角，则√1−cos2𝛼的值为（）A．sin𝛼B．−sin𝛼C．±sin𝛼D．cos𝛼【解题思路】根据𝛼所在的象限，可以定sin𝛼的符号【解答过程】因为𝛼为第二象

限角，所以sin𝛼>0所以√1−cos2𝛼=√sin2𝛼=|sin𝛼|=sin𝛼故选：A.【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若sin𝜃<0且tan𝜃<0，则角𝜃所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解题思路】根据三角函数的正负

，确定角𝜃所在的象限.【解答过程】sin𝜃<0，则角𝜃在第三，四象限，tan𝜃<0，则角𝜃在第二，四象限，所以满足sin𝜃<0且tan𝜃<0，角𝜃在第四象限.故选：D.【变式2-3】（202

2·北京高一期中）设𝛼是第一象限的角，且|cos𝛼2|=cos𝛼2，则𝛼2所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解题思路】由𝛼的范围进而得出𝛼2的范围，结合cos𝛼2≥0即可得出结果.【解答过程】因为

𝛼是第一象限的角，所以2𝑘𝜋<𝛼<𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，所以𝑘𝜋<𝛼2<𝜋4+𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，即𝛼2为第一或第三象限角，又因为|cos𝛼2|=cos𝛼2，即cos𝛼2≥0，所以

𝛼2所在的象限是第一象限，故选：A.【题型3诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名

三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：√3cos420°+tan330°+sin(−60°)．【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得；【解答过程】解：√3cos4

20°+tan330°+sin(−60°)=√3cos(360°+60°)+tan(360°−30°)−sin60°=√3cos60°−tan30°−sin60°=√3×12−√33−√32=−√33.【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1

)tan405°−sin450°+cos750°；(2)sin25𝜋3+tan(−15𝜋4).【解题思路】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；【解答过程】(1)解：tan405°−sin450°+cos750°=tan(360°+45°)−sin(360

°+90°)+cos(2×360°+30°)=tan45°−sin90°+cos30°=1−1+√32=√32；(2)解：sin25𝜋3+tan(−15𝜋4)=sin(𝜋3+4×2𝜋)+tan(𝜋4−2×2𝜋)=sin�

�3+tan𝜋4=√32+1.【变式3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin760∘√1−cos240∘；(2)tan𝛼√1sin2𝛼−1（其中𝛼是第二象限角）.【解题思路】（1）利用诱导公式结合同角三角函

数的基本关系可求得结果；（2）利用同角三角函数的基本关系化简可得结果.【解答过程】(1)解：sin760∘√1−cos240∘=sin(2×360∘+40∘)|sin40∘|=sin40∘sin40∘=1.(2)解：∵𝛼为第二象限角，则sin𝛼>0，cos𝛼<0，则tan𝛼√1s

in2𝛼−1=tan𝛼√1−sin2𝛼sin2𝛼=sin𝛼cos𝛼⋅(−cos𝛼)sin𝛼=−1.【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)cos25𝜋3＋tan(−

15𝜋4)；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【解题思路】三角函数诱导公式的一个很大作用是把一个角的三角函数值转化为某个相关锐角的三角函数值，以便于化简或求值.【解答过程】(1)cos25𝜋3＋tan(−15𝜋4)=cos(8𝜋+�

�3)+tan(−4𝜋+𝜋4)=cos𝜋3+tan𝜋4=12+1=32；(2)sin810∘＋tan1125∘＋cos420∘=sin(2×360∘+90∘)+tan(3×360∘+45∘)+cos(360

∘+60∘)=sin90∘+tan45∘+cos60∘=1+1+12=52.【题型4根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三

角函数值.【例4】（2022·江西省高三阶段练习（理））已知tan𝛼=−2，则sin𝛼−3cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=（）A．−7B．−53C．−13D．5【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.【解答过程】解：因为tan𝛼

=−2，所以sin𝛼−3cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=tan𝛼−3tan𝛼+1==−2−3−2+1=5.故选：D.【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知sin𝛼−cos𝛼=1

2，则sin𝛼1−tan𝛼的值为（）A．−34B．34C．−316D．316【解题思路】先把已知的等式平方得到sin𝛼cos𝛼=38，再化简代入即得解.【解答过程】由sin𝛼−cos𝛼=12，所以1−2si

n𝛼cos𝛼=14，∴sin𝛼cos𝛼=38，所以sin𝛼1−tan𝛼=sin𝛼1−sin𝛼cos𝛼=sin𝛼cos𝛼cos𝛼−sin𝛼=−34.故选：A．【变式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sin𝛼+cos𝛼=15，且𝛼∈(0,π)，sin𝛼−cos

𝛼=（）A．±75B．−75C．75D．4925【解题思路】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sin𝛼cos𝛼的值，结合𝛼的范围确定sin𝛼与cos𝛼的正负，再利用完全平方公式及三角函数的基本关系可求得sin𝛼−cos𝛼的值.【解答过程】因为sin𝛼+cos𝛼=1

5，两边平方得(sin𝛼+cos𝛼)2=1+2sin𝛼cos𝛼=125，故2sin𝛼cos𝛼=−2425<0，所以sin𝛼与cos𝛼导号，又因为0<𝛼<π，所以sin𝛼>0，cos𝛼<0，所以sin𝛼−cos𝛼=√(sin𝛼−cos𝛼)2=√1−2sin𝛼c

os𝛼=√1−(−2425)=75.故选：C.【变式4-3】（2022·山东·高二阶段练习）已知tan𝜃=2,则cos𝜃−sin𝜃sin𝜃+cos𝜃的值为（）A．−13B．13C．−3D．3【解题思路】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cos𝜃,将弦化

切,代入求解即可.【解答过程】∵tan𝜃=2,∴cos𝜃−sin𝜃sin𝜃+cos𝜃=1−tan𝜃tan𝜃+1=1−21+2=−13.故选:A.【题型5三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能

简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高

次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知cos𝛼+2sin𝛼=0求1−2cos2𝛼sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼的值；（2）已知sin𝛽+cos𝛽=23，且β为第四象限角，求sin𝛽−c

os𝛽的值.【解题思路】（1）先求出tan𝛼=−12，进而由1=sin2𝛼+cos2𝛼，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含tan𝛼的式子，从而得解（2）由(sin𝛽+cos𝛽)2+(sin𝛽−cos𝛽)

2=2，结合角的范围可得解.【解答过程】（1）由cos𝛼+2sin𝛼=0，得−cos𝛼=2sin𝛼，所以tan𝛼=−12，1−2cos2𝛼sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼=sin2𝛼+cos2𝛼−2c

os2𝛼sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼=sin2𝛼−cos2𝛼sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼=tan2𝛼−1tan2𝛼−tan𝛼=14−114+12=−1.（2）(sin𝛽+cos𝛽)2+(sin𝛽−cos𝛽)2=2，所

以(sin𝛽−cos𝛽)2=2−(sin𝛽+cos𝛽)2=149，又𝛽为第四象限角，所以sin𝛽<0,cos𝛽>0，所以sin𝛽−cos𝛽=−√143.【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知3sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼+1=0．(1

)求tan𝛼的值；(2)求sin𝛼cos𝛼1+cos2𝛼的值．【解题思路】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求tan𝛼=12.（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.【解答过程】（1）解法一：∵s

in2𝛼+cos2𝛼=1，3sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼+1=0，∴3sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼+1=0，分子分母同时除以cos2𝛼，得3tan2𝛼−4tan𝛼tan2𝛼+1

+1=0，即(2tan𝛼−1)2=0，解得tan𝛼=12．解法二：∵3sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼+1=0，∴4sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼=0，即(2sin𝛼−cos𝛼)2=0，∴2sin𝛼−cos𝛼=0∴tan

𝛼=12．（2）∵tan𝛼=12，∴sin𝛼cos𝛼1+cos2𝛼=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+2cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+2=29．【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tan𝛼=2，求下列各式的值.(1)1sin𝛼cos𝛼；(2)11

−sin𝛼+11+sin𝛼.【解题思路】（1）利用1=sin2𝛼+cos2𝛼和tan𝛼=sin𝛼cos𝛼将原式化简计算即可，（2）通分化简后，再利用1=sin2𝛼+cos2𝛼和tan𝛼=sin𝛼cos𝛼化简计算【解答过程】（1）因为tan𝛼=

2所以原式=sin2𝛼+cos2𝛼sin𝛼cos𝛼=tan2𝛼+1tan𝛼=52（2）因为tan𝛼=2，所以11−sin𝛼+11+sin𝛼=1+sin𝛼+1−sin𝛼(1−sin𝛼)(1+sin𝛼)=21−sin2𝛼=2cos2𝛼=2(si

n2𝛼+cos2𝛼)cos2𝛼=2tan2𝛼+2=10.【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3𝜋4<𝛼<π，tan𝛼＋1tan𝑎=−103.(1)求tan𝛼的值；(2)求sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼的值；(3

)求2sin2𝛼−sin𝛼co𝑠𝛼−3co𝑠2𝛼.的值【解题思路】（1）根据tan𝛼＋1tan𝑎=−103可得3tan2𝛼＋10tan𝑎+3=0，解方程并结合角的范围求得tan𝛼；（2）利用弦化切，将sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼化为tan𝛼+1

tan𝛼−1，可得答案；（3）利用1=sin2𝛼+cos2𝛼，将2sin2𝛼−sin𝛼co𝑠𝛼−3co𝑠2𝛼化为2sin2𝛼−sin𝛼co𝑠𝛼−3co𝑠2𝛼sin2𝛼+c

os2𝛼，继而化为2tan2𝛼−tan𝛼−3tan2𝛼+1，求得答案.【解答过程】（1）由tan𝛼＋1tan𝑎=−103得3tan2𝛼＋10tan𝑎+3=0，解得tan𝛼=−3或−13，因为3𝜋4<𝛼<π，故−1

<tan𝛼<0，则tan𝛼=−13；（2）sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼=tan𝛼+1tan𝛼−1=−13+1−13−1=−12；（3）2sin2𝛼−sin𝛼co𝑠𝛼−3co𝑠2𝛼=2sin2𝛼−sin𝛼co𝑠𝛼−3co�

�2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2tan2𝛼−tan𝛼−3tan2𝛼+1=2(−13)2+13−3(−13)2+1=−115.【题型6三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要

方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)(1−cos𝛼sin𝛼

+1sin𝛼)(1−tan𝛼+1cos𝛼)=2；(2)sin𝛼(1+tan𝛼)+cos𝛼(1+1tan𝛼)=1sin𝛼+1cos𝛼.【解题思路】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.【解答过

程】（1）(1−cos𝛼sin𝛼+1sin𝛼)(1−tan𝛼+1cos𝛼)=(1−cos𝛼sin𝛼+1sin𝛼)(1−sin𝛼cos𝛼+1cos𝛼)=sin𝛼−cos𝛼+1sin𝛼⋅cos𝛼−sin𝛼+1cos𝛼=1−(sin𝛼−cos𝛼)

2sin𝛼⋅cos𝛼=1−1+2sin𝛼⋅cos𝛼sin𝛼⋅cos𝛼=2.所以原式成立.（2）sin𝛼(1+tan𝛼)+cos𝛼(1+1tan𝛼)=sin𝛼(1+sin𝛼cos𝛼)+co

s𝛼(1+cos𝛼sin𝛼)=sin𝛼+sin2𝛼cos𝛼+cos𝛼+cos2𝛼sin𝛼=sin𝛼+cos𝛼+1−cos2𝛼cos𝛼+1−sin2𝛼sin𝛼=sin𝛼+cos𝛼+1cos𝛼−cos𝛼+

1sin𝛼−sin𝛼=1sin𝛼+1cos𝛼.所以原式成立.【变式6-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：(1)1−2sin𝑥cos𝑥cos2𝑥−sin𝑥2=1−tan𝑥1+tan𝑥(2)tan2𝛼

−sin2𝛼=tan2𝛼⋅sin2𝛼【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．【解答过程】(1)左边=(cos𝑥−sin𝑥)2(

cos𝑥−sin𝑥)(cos𝑥+sin𝑥)=cos𝑥−sin𝑥cos𝑥+sin𝑥=1−tan𝑥1+tan𝑥=右边.即证1−2sin𝑥cos𝑥cos2𝑥−sin𝑥2=1−tan𝑥1+tan𝑥.(2)左边=sin2𝛼cos2𝛼−sin2𝛼=

sin2𝛼−sin2𝛼cos2𝛼cos2𝛼=sin2𝛼(1−cos2𝛼)cos2𝛼=tan2𝛼sin2𝛼=右边.即证：tan2𝛼−sin2𝛼=tan2𝛼⋅sin2𝛼.【变式6-2】（2021·全国·高一

专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【解题思路】利用同角三角函数平方关系进行证明，利用等式左边完全平方公式变形，计算得到结果与右边相等【解答过程】证明：左边＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αc

os2α＝右边，则sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)sin𝛼−cos𝛼+1sin𝛼+cos𝛼−1＝1+sin𝛼cos𝛼；(2)2(sin6𝜃+cos6

𝜃)−3(sin4𝜃+cos4𝜃)+1=0【解题思路】（1）将左边化为(sin𝛼−cos𝛼+1)(sin𝛼+cos𝛼+1)(sin𝛼+cos𝛼−1)(sin𝛼+cos𝛼+1)，进而结合同角三角函数的平方关系进行证明；（2）用立方和公

式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.【解答过程】（1）左边=(sin𝛼−cos𝛼+1)(sin𝛼+cos𝛼+1)(sin𝛼+cos𝛼−1)(sin𝛼+cos𝛼+1)=(sin𝛼+1)2−cos2𝛼(sin𝛼+co

s𝛼)2−1=sin2𝛼+2sin𝛼+1−cos2𝛼2sin𝛼cos𝛼=2sin2𝛼+2sin𝛼2sin𝛼cos𝛼=sin𝛼+1cos𝛼=右边.（2）左边=2(sin2𝜃+cos2𝜃)(sin4𝜃+cos4𝜃−sin2𝜃cos2𝜃)−3[(sin2𝜃+

cos2𝜃)2−2sin2𝜃cos2𝜃]+1=2(sin4𝜃+cos4𝜃−sin2𝜃cos2𝜃)−3[1−2sin2𝜃cos2𝜃]+1=2[(sin2𝜃+cos2𝜃)2−3sin2𝜃cos2𝜃]−3[1−2sin2𝜃cos2𝜃]+1=2[1−3sin2𝜃cos2𝜃

]−3[1−2sin2𝜃cos2𝜃]+1=0=右边.