【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，566.738 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.3三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；②把点P的

横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数如图，

设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义

，知①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.3．诱导公式一由三

角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【方法

点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1】（2022·广东·高一开学考试）已知角𝛼的终边经过点𝑀(1,√2)，则cos𝛼=（）A．√63B．√33C．√2D．√3【变式1-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））设𝛼是第二象限角，𝑃(𝑥,8)为其终边上的一点

，且sin𝛼=45，则𝑥=（）A．−3B．−4C．−6D．−10【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角𝛼的终边经过点𝑃(−4𝑚,3𝑚)(𝑚≠0)，则2sin𝛼+cos𝛼的值为（）A．−35

B．25C．1或−25D．25或−25【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角𝜃的顶点与原点重合，始边与𝑥轴非负半轴重合，若𝐴(−1,𝑦)是角𝜃终边上一点，且sin𝜃=−3√1010，则𝑦=（）A．3B．−3C．1D．−1【题

型2三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限

来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知𝛼为第二象限角，则（）A．sin𝛼<0B．tan𝛼>0C．cos𝛼<0D．sin𝛼cos�

�>0【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知𝛼为第二象限的角，则√1−cos2𝛼的值为（）A．sin𝛼B．−sin𝛼C．±sin𝛼D．cos𝛼【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若sin𝜃<0

且tan𝜃<0，则角𝜃所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式2-3】（2022·北京高一期中）设𝛼是第一象限的角，且|cos𝛼2|=cos𝛼2，则𝛼2所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第

四象限【题型3诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：√3cos42

0°+tan330°+sin(−60°)．【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405°−sin450°+cos750°；(2)sin25𝜋3+tan(−15𝜋4).【变式

3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin760∘√1−cos240∘；(2)tan𝛼√1sin2𝛼−1（其中𝛼是第二象限角）.【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值

：(1)cos25𝜋3＋tan(−15𝜋4)；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【题型4根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的基

本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.【例4】（2022·江西省高三阶段练习（理））已知tan𝛼=−2，则sin𝛼−3cos𝛼sin𝛼+cos𝛼=（）A．−7B．−53C．−13D．5【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已

知sin𝛼−cos𝛼=12，则sin𝛼1−tan𝛼的值为（）A．−34B．34C．−316D．316【变式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sin𝛼+cos𝛼=15，且𝛼∈(0,π)，sin𝛼−c

os𝛼=（）A．±75B．−75C．75D．4925【变式4-3】（2022·山东·高二阶段练习）已知tan𝜃=2,则cos𝜃−sin𝜃sin𝜃+cos𝜃的值为（）A．−13B．13C．−

3D．3【题型5三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数

(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知c

os𝛼+2sin𝛼=0求1−2cos2𝛼sin2𝛼−sin𝛼cos𝛼的值；（2）已知sin𝛽+cos𝛽=23，且β为第四象限角，求sin𝛽−cos𝛽的值.【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已

知3sin2𝛼−4sin𝛼cos𝛼+1=0．(1)求tan𝛼的值；(2)求sin𝛼cos𝛼1+cos2𝛼的值．【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tan𝛼=2，求下列各式的值.(1)1sin𝛼cos𝛼；

(2)11−sin𝛼+11+sin𝛼.【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3𝜋4<𝛼<π，tan𝛼＋1tan𝑎=−103.(1)求tan𝛼的值；(2)求sin𝛼+cos𝛼sin𝛼−cos𝛼的值；(3)求2sin2𝛼

−sin𝛼co𝑠𝛼−3co𝑠2𝛼.的值【题型6三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设

与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)(1−cos𝛼sin𝛼+1sin𝛼)(1−tan𝛼+1cos𝛼)=2；(2)sin𝛼(1+tan𝛼)+cos𝛼(1+1tan𝛼)=1sin𝛼+1cos𝛼.【

变式6-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：(1)1−2sin𝑥cos𝑥cos2𝑥−sin𝑥2=1−tan𝑥1+tan𝑥(2)tan2𝛼−sin2𝛼=tan2𝛼⋅sin2𝛼【变式6-2

】（2021·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)sin𝛼−cos𝛼+1sin𝛼+cos𝛼−1＝1+sin𝛼

cos𝛼；(2)2(sin6𝜃+cos6𝜃)−3(sin4𝜃+cos4𝜃)+1=0