【文档说明】重庆市长寿区2021-2022学年高二下学期期末数学（B）试题 含解析.docx，共(15)页，896.078 KB，由小赞的店铺上传

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长寿区2022年春期期末学业质量监测高二数学试题（B卷）注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效.3．需要填涂的地方，一律用

2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写.4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线6210xy+−=倾

斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为3k=−，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：232yx=−+，所以直线的斜率为3k=−，所以根据直

线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120.故选：C2.在等差数列na中，31124aa+=，则678aaa++的值是（）A.36B.48C.72D.24【答案】A【解析】【分析】利用等差中项的性质

求得712a=，再由67873aaaa++=即可得结果.【详解】由题设，1137224aaa+==，则712a=，所以6787336aaaa=++=.故选：A的3.已知()1,2,1u=是直线l的方向向量，()2,,2

vy=为平面的法向量，若l⊥，则y的值为（）A.2−B.12−C.14D.4【答案】D【解析】【分析】根据l⊥得uv，计算得解.【详解】因为l⊥，所以uv，所以12122y==，计算得4y=.故选：D

.4.若直线1l：6430xy++=与2l：210mxy−+=垂直，则实数m=（）A.43m=−B.13m=−C.23m=D.43m=【答案】D【解析】【分析】根据2112210AAlBBl+=⊥，

代入运算求解．【详解】由题意可得：()6420m+−=，则43m=故选：D．5.双曲线2228xy−=的渐近线方程是（）A.12yx=B.2yx=C.2yx=D.22yx=【答案】C【解析】【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐

近线的方程求解即可【详解】由题意，22148xy−=的渐近线方程为824yxx==故选：C6.已知圆221:(1)(3)4Cxy++−=，圆222:(2)(1)9Cxy−++=，则圆1C与圆2C的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】【

分析】利用圆心距跟半径的和差关系，判断圆与圆的位置关系.详解】圆心距()()221221135CC=++−−=，12235rr+=+=所以两圆外切.故选：D7.已知等比数列{}na的前n项和为nS，若1238aaa=，5

16a=，则6S的值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C【解析】【分析】首先根据题意求出1a和q的值，再计算6S即可.【详解】设等比数列{}na的公比为q，则2123111451816aa

aaaqaqaaq====，解得112aq==，∴66612216312S−==−=−.故选：C.8.函数()65lnfxxxx=−−的单调递减区间为（）A.（0，2）B.（2，3）C.（1，3）D.（3，+∞）【答案】B【

解析】【【分析】对()fx求导，令()0fx求出x的范围，即可得出答案.【详解】()65lnfxxxx=−−的定义域为()0,+,()()()22222365561xxxxfxxxxx−−−+==+−=,令()0fx，解得：()2,3x所以函数()65lnfxxx

x=−−的单调递减区间为（2，3）.故选：B.9.如图，在斜棱柱1111ABCDABCD−中，AC与BD的交点为点M，ABa=，ADb=，1AAc=，则1MC=（）A.1122abc++B.1122−−−abcC.1122−++abcD.1

122abc−−+【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的线性运算用,,abc表示出1MC即可得．【详解】()1112CMAMACABAD=−=+-()1ABBCCC++＝1122−−−abc，111122MCCMabc=−+=+.故选：A．10.若函数()2lnfxxmx=+−在区间(

)1,2上只有一个零点，则常数m的取值范围为（）A12mB.ln22mC.11ln2m+D.1ln22m+【答案】D..【解析】【分析】利用导数探讨函数()fx在()1,2上的单调性，再结合已知列不等式，即可

求解作答.【详解】函数()2lnfxxmx=+−，求导得：()22122xfxxxx=−=−，当()1,2x时，()0fx，即函数()fx在()1,2上单调递减，而函数()2lnfxxmx=+−在区间()1,2上只有一个零点，因此(1)

20(2)1ln20fmfm=−=+−，解得1ln22m+，所以常数m的取值范围为1ln22m+.故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.在第一象限的点()1,Aa到直线4310xy+−=的距离为3，则a的值为________

__．【答案】4【解析】【分析】由点到直线的距离代入即可求出答案.【详解】()1,Aa在一象限，所以0a，点()1,Aa到直线4310xy+−=的距离为3，则43135a+−=，解得：4a=或6a=−.因为0a，所以4a=.故答案为：4.12.已知数列

na的前n项和223nSn=−，则该数列na的通项公式是__________．【答案】1?142?2nnann−==−【解析】【分析】1n=时，111aS==−，利用2n时，1nnnaSS−=−可得42nan=−，最

后验证1n=是否满足上式，不满足时候，要写成分段函数的形式.【详解】当1n=时，111aS==−，当2n时，1nnnaSS−=−=22232(1)423nnn−−−+−=，又1n=时，11a=−不符合上式

，所以11422nnann−==−故答案为：11422nnann−==−.13.已知函数()()sinln1fxxxx=++，()'fx是()fx的导函数，则()'0f=__________．【答案】1【解析】【

分析】先求出函数的导数，再代入计算.【详解】()'cosln(1)1xfxxxx=++++，则()0'0cos0ln(01)101f=+++=+.故答案为：1.14.已知P为抛物线24yx=上任意一点，F为抛物线的焦点，()4,2M为平面内一定点，则PFPM+的

最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】利用抛物线的定义，将PF转化为P到准线的距离，再由三点共线求最小值.【详解】由题意，抛物线的准线为=1x−，焦点坐标为(1,0)F，过点P向准线作垂线，垂足为A，则||||PMPMAPPF=++，当,,PMA共线

时，和最小；过点P向准线作垂线，垂足为B，则||||||5PAPMPPMFMB+=+=，所以最小值为5.故答案为：5.15.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC

，且1PAABBC===，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC与平面PBC的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据

题意建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,0,1)P，(1,1,0)C，所以(1,1,0)AC=，(0,0,1)AP=，(0,1,0)BC=，(1,0,1)PB=−.设平面APC的法向量为()1111,,xnyz=1100nACnA

P==，∴11100zxy=+=不妨设11y=，则11x=−，1(1,1,0)n=−设平面PBC的法向量为()2222,,nxyz=2200nBCnPB==，∴22200yxz=−=不妨设21x=，则21z=，20y=，2(1,0,1)n=设APCB−−为

，则12121211coscos,222nnnnnn====.故答案为：12三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知等差数列na满足32a=，前4项和47S=．（1）求na的通项公式；（2）设等

比数列nb满足23ba=，415ba=，数列nb的通项公式．【答案】（1）1122nan=+（2）12nnb−=或()12nnb−=−−【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据已知条件列关于1a和d的方程组，解方程求得1a和d的值，

即可求解；（2）等比数列nb的公比为q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b和q的值，即可求解.小问1详解】设等差数列na首项为1a，公差为d．∵3427aS==∴()1122441472adad+=−+=【解得：1112ad==∴等差数

列na通项公式()11111222nann=+−=+【小问2详解】设等比数列nb首项为1b，公比为q∵2341528baba====∴13128bqbq==解得：24q=即112bq==或112bq=−=−∴等比数列nb通项公式1

2nnb−=或()12nnb−=−−17.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为()0,0A，()2,0B−，()3,3C−−．（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；（2）求△ABC的外接圆O被直线l：10xy−+=截得的弦长．【答案】（1）350xy−=（

2）23【解析】【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.【小问1详解】∵()2,0B−，()3,3C−−∴BC边的中点D的坐标为53,22−−，∴中线AD的

斜率为30325502−−=−−，∴中线AD的直线方程为：()3005yx−=−，即350xy−=【小问2详解】设△ABC的外接圆O的方程为220xyDxEyF++++=，∵A、B、C三点在圆上，∴042099330FDFDEF=−+=+−−+=解得：240DEF==

=∴外接圆O的方程为22240xyxy+++=，即22(1)(2)5xy+++=，其中圆心O为()1,2−−，半径5r=,又圆心O到直线l的距离为()()22121211d−−−+==+−,∴被截得的弦长的一半为223rd−=,∴被截得的弦长为23.18.设函数()

233fxxx=−−（1）求曲线()yfx=在4x=处的切线方程；（2）设()()exgxfx=，求函数()gx的极值．【答案】（1）5190xy−−=（2）极大值为27e−；极小值为33e−．【解析】【分析】（1）对()fx求导，求出()fx在4x=处的斜率，代入点斜式计算可得；

（2）对()gx求导，根据导函数的正负判断单调性和极值.【小问1详解】∵()233fxxx=−−∴()23fxx=−∴切线的斜率()42435f=−=又切点的坐标为()()4,4f，即()4,1∴切线的方程()154yx−=−，即5190x

y−−=【小问2详解】∵()()()2ee33xxgxfxxx==−−∴()()()()2223e33e6exxxgxxxxxx=−+−−=−−令()0gx=，则260xx−−=，2x=−或3x=列表：x(),2−−2−()2,3−3()3,+()gx正0负0正()g

x单调递增27e−单调递减33e−单调递增∴当2x=−时，()gx取得极大值为27e−；当3x=时，()gx取得极小值为33e−．19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，2PDAB==，E、F分别是P

C、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．【答案】（1）105；（2）63.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.（2）由（1）求出平面PBF的法

向量，利用空间向量即可求出点E到平面PBF的距离.【小问1详解】因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标

系D-xyz，则()()()()()0,0,0,000,1,1,1,0,0,2,2,2,0EFBDP,,，则直线DE的方向向量()0,1,1DE=，直线PF的方向向量()1,0,2PF=−，210cos,5||||25DEPFDEPFDEPF−

===−，所以直线DE和PF夹角的余弦值为105.【小问2详解】由（1）知，()2,2,2PB=−，()1,2,0FB=，()0,1,1EP=−，设平面PBF的法向量(),,nxyz=，则222020PBnxyzFBnxy=+−==+=，令1y=−，得()2,1,1n=

−，所以点E到平面PBF的距离为||263||6EPndn===.20.中心都在坐标原点的椭圆与双曲线，它们有共同的在x轴上的焦点1F、2F，且1242FF=，其中椭圆与双曲线的离心率之比为1:4，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6．（1）求

椭圆和双曲线的标准方程；（2）若点N是椭圆和双曲线的一个交点，求12cosFNF．【答案】（1）2216456xy+=和22144xy−=；（2）1315.【解析】【分析】（1）设椭圆长半轴长为a，利用给定条件列式计算出a，

再结合半焦距即可求解作答.（2）由椭圆、双曲线对称性确定点N位置，再由椭圆、双曲线定义结合余弦定理计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆与双曲线的半焦距22c=，设椭圆长半轴长为a，则双曲线实半轴长为6a−，则椭圆的离心率为22a，双曲线的离心

率为226a−，于是得2214226aa=−，解得8a=，因此，椭圆长半轴长为8，短半轴长为22214ac−=，双曲线实半轴长为2，虚半轴长为2222c−=，所以椭圆和双曲线的方程分别为：2216456xy+=和22144

xy−=.【小问2详解】由椭圆、双曲线的对称性，不妨设点N在第一象限，12,FF分别为左右焦点，由椭圆的定义得：12||16||NFNF+=，由双曲线的定义得：12|||4|NFNF−=，解得1|10|NF

=，2||6NF=，而12||42FF=，在12FNF△中，利用余弦定理可得：22212121212222||||||cos2||106(42)13210615||NFNFFFFNFNFNF+−=+−==,所以1213cos15FNF=.