【文档说明】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.482 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级､学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.

考试结束后，只需上交答题卷.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线320xy−−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】【分析】根据直线方程

，由tank=，求得倾斜角.【详解】由直线方程知，直线斜率为33，则3tan3=，故倾斜角为30，故选：A2.设i是虚数单位，复数21iz=−，则z=（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，再求z得解.【详解】由

题得()()()21i21i1i1i1iz+===+−−+，所以2z=.故选：B.3.在ABC中，已知45B=，30C=，2AC=，则AB等于（）A.1B.2C.3D.6【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理

即可求解.【详解】由正弦定理，sinsinABACCB=，即2sin30sin45AB=，解得2.AB=故选：B.4.已知圆锥的侧面积(单位：2cm)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积(单

位：3cm)是（）A.1π3B.2π3C.33πD.6π6【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及圆锥的侧面积公式，再利用弧长公式及圆的周长公式，结合圆锥的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥侧面展开图是半圆，面积为2π，如图所示设圆锥的母线长为a，则21π2π

2a=，解得2a=，所以侧面展开扇形的弧长为π2πla==，设圆锥的底面半径OCr=，则2π2πr=，解得1r=，所以这个圆锥的体积为2133π1π33V==故选：C.5.已知m和n是两条不同的直线，和是两个

不重合的平面，则下列命题正确的是（）A.mn⊥，n，则m⊥B.m，n，//，则//mnC.若//m，mn⊥，则n⊥D.若m⊥，//m，则⊥【答案】D【解析】【分析】由空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】由题意可知，在A中，若m

n⊥，n，则m与相交或平行或m，A错；在B中，若m，n，//，则//mn或m与n异面，B错；在C中，若//m，mn⊥，则n与相交或平行或m，C错；在D中，若m⊥，//m，则平面内存在一直线平行于m，该直线垂直于平面，则⊥，D正确.故选：D.

6.已知向量a，b满足(1,1)b=，2ab?，则a在b上的投影向量的坐标为（）A.22(,)22B.(1,1)C.(1,1)−−D.22(,)22−【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的计算公式，可

得答案.【详解】解：a在b上的投影向量的坐标为||cos(1,1).||||||babbabbb==故选：B.7.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）A.223B.1C.2D.22【答案】A【解析】【分析】利用向量的模，

向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.详解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），【AB→＝（1，0，0），BC→＝（﹣1，2，﹣2），∴点A到直线BC的距离为：d＝22ABBCAB1(cosAB,BC)AB1()ABBC→→→→→→→→−=−＝1×21113

−−＝223．故选：A【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.8.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（）A.518B.35C.25D.13【答案】C【解析】【分析】用

列举法列出所有可能情况，再找出符合题意的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：分别用1a，2a，1b，2b，1c，2c表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，如下所示：12(,)aa，11()ab,，12()ab,，1112(,)(

,)acac，21()ab,，22()ab,，21(,)ac，22(,)ac，12()bb,，11(,)bc，12(,)bc，21(,)bc，22(,)bc，12(,)cc，取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的事件有6种，即12()ab,，1

2(,)ac，21()ab,，21(,)ac，12(,)bc，21(,)bc，62.155P==故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数()i,Rzxyxy=+，下列说法正确

的是（）A.z的虚部是yB.222zxy=+C.若0x=，则z为纯虚数D.若z满足i1z−=，则z在复平面内的对应点(,)xy的轨迹是圆【答案】AD【解析】【分析】对A选项，由复数概念即可判断，对B选项展开即可判

断，对C选项，当0x=且0y时，z是纯虚数，对D选项由复数模的几何意义即可得到其轨迹.【详解】由复数的概念知，A正确；2222(i)2izxyxxyy=+=+−，故B不正确；当0x=且0y时，z是纯虚数，故C不正确；因为|i|1z−=，所以22+(1)1xy−=，即22(1)1y

x+−=，表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故D正确.故选：AD.10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，下列选项正确的是（）A.异面直线11AC与1BC所成的角为60B.三棱锥111DACD−的体积为16C.直

线1BD⊥平面11ACDD.二面角1BCDB−−的大小为30【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂

直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解；【详解】对于A，因为1111ABCDABCD−为正方体，所以11//ABDC,且11ABDC=，所以四边形11ABCD为平行四边形，所以11//ADBC，且11AD

BC=，所以异面直线11AC与1BC所成的角的大小即为11AC与1AD所成的角，故11(DAC或其补角)为所求.再由正方体的性质可得11DAC为等边三角形，故1160DAC=，即异面直线11AC与1BC所成的角为60，故A正确；对于B，由题意可知，V三棱锥111DACD−V=三棱锥11

111111111(11)13326DADCADCSDD−===，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，1BB⊥平面1111DCBA,11AC平面1111DCBA,所以111BBAC⊥,因为1111ABCDABCD−为正方体，所以底面1111DCBA为正方形，即

1111BDAC⊥，又1111BDBBB=,111,BDBB平面11BBD,所以11AC⊥平面11BBD又1BD平面11BBD,所以1BD11.AC⊥同理可证，1BD1.DC⊥又1111DCACC=，111,DCAC平面11ACD，所以1BD⊥平面11ACD，

故C正确；对于D，由正方体的性质可知,DC⊥平面11BCCB,1BC平面11BCCB,所以1DCBC⊥，因为1111ABCDABCD−为正方体，所以底面ABCD为正方形，即DCBC⊥，所以1BCB是二面角1BCDB−−的平面角，因为1111ABCDABCD−为正方体，所以平面11BCCB为

正方形，所以11tan1BBBCBBC==，即145BCB=，所以二面角1BCDB−−的大小为45，故D错误；,故选：ABC.11.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3

，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.事件B与事件C是互斥事件B.事件A与事件B是相互独立事件C.事件B与事件C是相

互独立事件D.1()4PABC=【答案】BCD【解析】【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得．【详解】解：对于A，事件B与事件C是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；对于B，事件A与事件B，1()2PA=，1()2PB=，1()4PAB=，事件A

与事件B是相互独立事件，故B正确；对于C，事件B与事件C，1()2PB=，1()2PC=，1()4PBC=，事件B与事件C相互独立事件，故C正确；对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数

字为偶数，故221()444PABC==，故D正确．故选：BCD.12.已知圆22:(2)2Cxy+−=，点P是圆C上的一个动点，点(2,0)A，(0,1)B，则下列选项中正确的是（）A.2||32APB.PAC的最大值为π

3C.ACAP的最大值为12D.ABAP的最大值为9【答案】AC【解析】【分析】对于A选项，根据2222rAPr−+判断；对于B选项，当CPAP⊥时，PAC取的最大值，再根据几何关系求解判断；对于CD选项，由向量的数量积的坐标运算转

化为三角函数的最值问题即可求解.是【详解】由题意知，圆心(0,2)C，半径为2r=，所以||22AC=，当点P在AC的延长线上时，||AP最大，此时||||22232APACr=+=+=，当点P在AC之间时，||AP最小，此时||||2222APACr=−=−=，所以2||32AP，即选项A正

确;当直线AP与圆C相切时，PAC取得最大值，此时||21sin||222PCPACAC===，π6PAC=，即选项B错误;设()2cos,2sin2P+，)()()0,2π,2,2,2cos2,2sin2AC

AP=−=−+，π22cos422sin44sin84ACAP=−+++=−+当3π4=时，此时点(1,3)P−，ACAP有最大值为12，即选项C正确;()()2,1,22cos42sin210sin6ABABA

P=−=−+++=−+，tan2=所以ABAP的最大值为106+，即选项D错误.故选：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,2)a=，(3,2)b=−，(1,).c=若//(2)cab−，则=__________【答案】6−【解析】【

分析】根据平面向量线性运算得2ab−的坐标，再根据向量共线坐标运算即可求的值.【详解】解：22(1,2)(3,2)(1,6)ab−=−−=−，由//(2)cab−，(1,)c=，可得60−−=，解得6.

=−故答案为：6−.14.写出过点(1,2)A，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程__________.【答案】30xy+−=或20(xy−=写出1条即可)【解析】【分析】分直线过原点与不过原点两类讨论，过原点设ykx=，不过原点设xyk+=，分别代入点A，求出未知

数即可得到直线方程.【详解】当直线过原点时，方程设为ykx=代入点A得：2yx=；当直线不过原点时，设直线的方程为：xyk+=，把点(1,2)代入直线的方程可得3k=，则直线方程是30.xy+−=故答案为：30xy+−=或20(xy−=写

出1条即可).15.已知圆22:(2)2Cxy++=，以点(0,2)A为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为__________.【答案】232.r【解析】【分析】根据两圆有公共点满足121212rrOOrr−+，即可求解.【详

解】由题意知，22:(2)2Cxy++=的圆心为(2,0)−，两圆心的距离22(2)222d=−+=.因为两圆相交或相切，所以|2|222rr−+，解得232.r故答案为：232r16.已知直四棱柱1111ABC

DABCD−，底面ABCD为平行四边形，13AA=，2AB=，1AD=，60BAD=，以1D为球心，半径为2的球面与侧面11BCCB的交线的长度为__________.【答案】2【解析】【分析】由球的性质得

交线为圆的一部分，而由题数据可证11DB⊥平面11BCCB，1B即为圆心，在11BC和1BB上分别找到与球面的交点后计算弧长，【详解】如图，取11FB=，连接1DF，因为在直四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥底面AB

CD，可得直四棱柱1111ABCDABCD−的四个侧面均为矩形，所以111DCCC⊥，因为112DC=，所以以1D为球心，半径为2的球面与直线1CC相切.在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为平行四边形，13,2,1,60AAAB

ADBAD====，根据余弦定理可得，222111111111112cos604121232DBADABADAB=+−=+−=，所以113.DB=因为11111BBABCD⊥底面，11DB平面1111DCB

A，所以111BBDB⊥，所以221111132DFDBBF=+=+=，所以球面与侧面11BCCB的交点为F和1C，又1111FBBC==，11DB⊥平面11BCCB，所以点F和1C在以1B为圆心，半径为1的圆上，因为111BBCB⊥，所以弧1FC的长度为1214

2=，所以球面与侧面11BCCB的交线为弧1FC，所以球面与侧面11BCCB的交线的长度为.2故答案为：2四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线:210(R).lkxykk−++=（1）

求证：直线l过定点，并求出此定点;（2）求点(3,0)A到直线l的距离的最大值.【答案】（1）证明见解析，定点(2,1)−（2）26【解析】【分析】（1）整理方程，分离出参数，建立方程组，解得答案；（2）由（1）可知直线过定点，两点距离公式，可得答案.【小问1详解

】由直线:210lkxyk−++=，则(2)10kxy+−+=，可得2010xy+=−+=，解得21xy=−=，故直线l过定点(2,1)−.小问2详解】由（1）可知直线:210(R)lkxykk−++=过定点(2,1)Q−，2max||(3

2)126.dAQ==++=18.杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时

间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：（1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人?（2）（i）请补全频率分布直方图;（ii）求这120名学生运动时间的第80百

分位数是多少?【答案】（1）高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人（2）（i）直方图见解析；（ii）83.5【解析】【【分析】（1）由分层抽样的比例公式求解即可；（2）计算频率并补全频率分布直方图；由百分位数的定义结合频率分布直方图求解即可【小问1详解】报名的学生共有1080人

，抽取的比例为120110809=所以高一抽取1540609=人，高二抽取1360409=人，高三抽取1180209=人【小问2详解】（i）第三组频率为()10.10.150.30.250.050.15−++++=故第三组的小矩形的高度为0.015

，补全频率分布直方图得（ii）各组的频率分别为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，前四组的频率之和为0.10.150.150.30.7+++=，前五组的频率之和为0.10.150.150.30.250.95++++=，所以第80百分位

数为0.80.779.51083.50.25−+=所以第80百分位数是83.519.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从

袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，

结合古典概型的计算公式即可求解;的（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)

,(3,4)}=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B，则B包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63PB==【小问2详解】试验的样本空间{(1,1),(1,2)

,(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,

1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162PC==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.20.如图，四棱锥PABCD−的底面为正方形，

PD⊥底面.ABCD设平面PAD平面.PBCl=（1）证明：//l平面ABCD，（2）若1PDAD==，求直线l与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据线面

平行判定定理以及线面平面性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量，结合线面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】四棱锥PABCD−的底面为正方形，//ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD，

//BC平面PAD，又平面PAD平面PBCl=，//BCl，又BC平面ABCD，l平面ABCD，//l平面ABCD.【小问2详解】由PD⊥底面ABCD且四棱锥PABCD−的底面为正方形，可知DA、DC、DP两两互相垂直

，以D为原点，以DA、DC、DP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：由于1PDAD==，则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)C，(0,0,1)P，设平面PAC的法向量是(,,)nxyz=，则00ACnxyAPnxz=−+==−+=

，令1x=，得(1,1,1)n=，//lAD，直线l的一个方向向量为(1,0,0)DA=，设直线l与平面PAC所成角为，则3sincos,.3DAnDAnDAn===｜｜21.已知圆C的半径为3，圆心C在射线()20yxx=−上，直线10xy+−=被圆C截得的弦长为3

2.（1）求圆C方程;（2）过点(2,0)P的直线l与圆C交于M、N两点，且OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l的方程.【答案】（1）22(2)(4)9xy−++=（2）2x=【解析】【分析】（1）由题意设圆心()(),20Caaa−，则圆的方程为()(

)2229xaya−++=，由垂径定理结合弦长即可求解；（2）分斜率存在与不存在两种情况结合三角形面积求解即可【小问1详解】设圆心()(),20Caaa−，则圆的方程为()()2229xaya−++=22132292aa−−=−，2a=或4(−舍去)圆的方

程为()()22249xy−++=【小问2详解】①当斜率不存在时，此时直线l方程为2x=，原点到直线的距离为2d=，令2x=代入圆方程得1y=−或7−，6MN=，16262OMNS==满足题意.此时方程为2.x=②当斜率存在时，设直线l的方程为()2ykx=−，圆心()2

,4C−到直线l的距离241=+dk，2222497||29211kMNkk−=−=++原点O到直线l的距离2|2|1kdk=+，222219726211OMNkkSkk−==++整理，得22590k+=，此时k无解．综上所述，所求的直线的方程为

2.x=22.如图1是直角梯形ABCD，//ABDC，90D??，2AB=，3DC=，3AD=，2.CEED=以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且1334CABEDV−=，如图2.（1）证明：1;ACBE⊥（2）求二面角

1CADB−−余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55或31313【解析】【分析】（1）根据翻折前后直线的位置关系确定垂直线段，根据线面垂直证明异面直线垂直即可；（2）根据1334CABEDV−=，设二面角1CBEA−−的平面角为，可求得π3=或2π3=，建立空间

直角坐标系，根据空间向量坐标运算求解二面角1CADB−−余弦值即可.【小问1详解】解：在直角梯形ABCD中，连接AC交BE于F，由题意知：//,CEAB且2CEAB==，四边形CEAB是平行四边形，又1,3,90DEADADE===，2AE=，

四边形CEAB是菱形故,AFBECFBE⊥⊥，即在折叠后端的图形中1CFBE⊥，又1AFCFF=，1,AFCF面1ACFBE⊥面1ACF，又1AC平面1ACF，1BEAC⊥【小问2详解】解：由1331

1(12)3432CABEDVh−==+可得32h=，又13CF=设二面角1CBEA−−的平面角为，则13sin2hCF==，π3=或2π3=过1C作1CFAF⊥于,H则1CH⊥面ABED，则可过F点作z轴1//HC如图建

系：133(,0,)22C或133(,0,)22C−，33(3,0,0),(,,0)22AD−设面1CAD的一个法向量为(,,)mxyz=，则1330022033022xymDAmACxz+===−+=

则(3,1,1)m=−或13300220333022xymDAmACxz+===−+=取(3,1,3)m=−而面ABD的一个法向量为(0,0,1)n=5cos|cos,|5==mn或31

3cos|cos,|13==mn由图可知二面角1CADB−−为锐角获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com