【文档说明】福建省厦门市湖滨中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(18)页，864.260 KB，由小赞的店铺上传

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厦门市湖滨中学2020---2021学年第二学期期中考高一数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z满足(12)|43|zii+=+，(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（）A．1

B．iC．2−D．2i−2．已知向量ab，满足3a=，4b=，14ab+=，则ab−=（）A．3B．5C．6D．73．平面∥平面，,ab，则直线a和b的位置关系（）A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面4．在△ABC中，若30B

=，23AB=，2AC=，则△ABC的面积为（）A．3B．23或2C．23D．23或35．已知向量()0,1a=，向量31,22b=，则ab−与a的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π66．若

圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球的表面积之比为（）A．5:2B．5:4C．1:2D．3:47．在ABC中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，APxAByAQ=+，0x，0y，则11xy+的最小值为（）A．32B．4C．322+D．322

+8．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1b=，(2sin3cos)3ccosaBCA−=点D是边BC的中点，且132AD=，则ABC的面积为（）A．3B．32C．3或23D．334或3二、多选题（本题共4

小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知i是虚数单位，复数12izi−=(z的共轭复数为z)，则下列说法中正确的是（）A．z的虚部为1B．3zz=C．5z=D．4zz+=10．设向量(1,1)a

=−，(0,2)b=，则（）A．||||ab=B．()aba−∥C．()aba−⊥D．a与b的夹角为411．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上

)，测得CDs=.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：,,,,,ACBACDBCDADBADCBDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．,,,sACBBCDBDCB．,,,sACBBCDACDC．,,,sACBACD

ADCD．,,,sACBBCDADC12．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCDABCD−内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中不正确的命题是（）A．水面EFGH所在四边形的面积为定值B．随着容器倾

斜度的不同，11AC始终与水面所在平面平行C．没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形D．当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设ABC的三个内角A，

B，C所对的边分别为a，b，c，若3,1,6acB===，则b=________.14．如图，在66的方格中，已知向量,,abc的起点和终点均在格点，且满足向量(,R)cxaybxy=+，那么xy+=______．15．若用一个平面去截球体，

所得截面圆的面积为16，球心到该截面的距离是，则这个球的表面积是____________．16．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2zz+=；乙：23zzi−=；丙：4zz=；丁：22

zzz=.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=___________.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数22(815

)(918)zmmmmi=−++−+，实数m取什么值时，（1）复数z为实数？（2）复数z为纯虚数？18．已知向量()2,0a=，()1,4b=.（1）若向量kab+与2ab+垂直，求k的值；（2）若向量kab+与2ab+的夹角为锐角，求k的取值范围

；（3）求ab+和2ab−夹角的余弦值.19．如图：在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点.（1）求证：1//BD平面AEC；（2）若F为1CC的中点，求证：平面//AEC平面1BFD.20．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①()()(

)sinsinsinabABcbC+−=−；②sinsin2BCbaB+=；③()cos23cos1ABC−+=；这三个条件中任选一个完成下列内容：（1）求A的大小；（2）若ABC的面积53S=，5b=，求sinsinBC值.注：如果选择多个条件分

别解答，按第一个解答计分.21．已知正方体1111ABCDABCD−中的棱长为2，1O是11AC中点．则一定有__________．（1）在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．．．．

.①1AO面1DBC②1AO与平面1DBC相交③1//AO面1DBC（2）设1BB的中点为M，过A、1C、M作一截面，交1DD于点G，求截面1AMCG面积．22．一经济作物示范园的平面图如图所示，半圆O的直径2AB=

，点C在AB的延长线上，1BC=，点P为半圆上异于,AB两点的一个动点，以点P为直角顶点作等腰直角PCD，且点D与圆心O分布在PC的两侧，设PAC=.（1）把线段,PAPC的长表示为的函数；（2）

现要在APC△和PCD内分别种植甲､乙两种经济作物.这两种作物单位面积的收益比为4:3，求为何值时，收益最大？参考答案1．C【分析】首先对题目所给式子进行化简运算，然后再根据虚部的概念即可得到答案.【详解】解：(12)|43|zii+=+

，4355(12)5(12)121212(12)(12)5iiiziiiii+−−=====−+++−，z的虚部是2−，故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算以及复数虚部的概念，属于基础题型；解题方法是先对题目所给式子进行化简，然后找出虚部即可；解题的关键点是要知道43

i+表示的是模长、虚部是一个实数，是i前面的系数.2．C【分析】根据向量的模即可求出．【详解】∵3,4,14abab==+=，∴2222ababab+=++，即14=9+16+2ab，∴2ab=-11．∴2

222ababab−=+−=9+16+11=36，∴6ab−=，故选C．【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．3．B【分析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据,ab，可得直线a，b没有公共点，即可得到结论．【详解】∵平面//平面，∴平

面与平面没有公共点∵a，b，∴直线a，b没有公共点∴直线a，b的位置关系是平行或异面，故选：B.4．D【详解】∵△ABC中，B=30°，AB=23，AC=2，∴232sinsin30C=∴sinC=32，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面

积为12•AB•AC•sinA=23或3．5．B【分析】计算ab−，然后根据夹角公式计算即可.【详解】因为31,22ab−=−rr，设所求角度为，则()112cos112abaaba−===−rrrrrr，又0

，，所以π3=故选:B.6．A【分析】利用圆锥体积与球的体积相等求解出圆锥高与底面半径之间的关系，进而用圆锥底面半径r分别表示出圆锥侧面积和球的表面积，从而求得结果.【详解】设圆锥底面半径为r，圆锥的高为h，则球的半径为2r3214332rrh=

2rh=圆锥母线长为：2252rhr+=圆锥侧面积211552222Srrr==，球的表面积22242rSr==1252SS=本题正确选项：A【点睛】本题考查空间几何体表面积、体积的相关

计算问题，关键是能够利用体积相等的关系得到圆锥底面半径与圆锥高之间的关系.7．C【分析】利用,,BPC三点共线可得12yx+=，由11112yyxxxy+=++，利用基本不等式即可求

解.【详解】由点Q是AC的中点，则2yAPxAByAQxABAC=+=+，又因为点P在线段BC上，则12yx+=，所以333222222212111yxyxyxxxyxxyyy+=++=+++=+，当且仅当22

x=−，222y=−时取等号，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．D【详解】由题可知2sinsin3sincos3sincosABACCA−=，2sinsin3sinABB

=，则3sin2A=，3A=或23.因为()12ADABAC=+，所以()2214ADABAC=+，即()22212cos4ADbcbcA=++，当3A=时，3c=，所以ABC的面积为133sin24bcA=；当23

A=时，4c=，所以ABC的面积为1sin32bcA=.故答案为D.【点睛】这个题考查了三角函数两角和差公式的逆用，以及向量的模长的应用，三角函数的面积公式的应用，题型比较综合.9．AC【分析】利用复数的乘法运算求出12

2izii−==−−，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解.【详解】()()()12122iiiziiii−−−===−−−，所以2zi=−+，对于A，z的虚部为1，故A正确；对于B，()

2225zzi=−−=，故B不正确；对于C，()()22215z=−+−=，故C正确；对于D，4zz+=−，故D不正确.故选：AC10．CD【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的

坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果.【详解】对于A，(1,1)a=−rQ，(0,2)b=，2,2ab==rr，abrr，故A错误；对于B，(1,1)a=−rQ，(0,2)b=，()=1,1ab

−−−rr，又(0,2)b=，则()12100−−−，()ab−与b不平行，故B错误；对于C，又()()()11110aba−=−−+−=rrr，()aba−⊥rrr，故C正确；对于D，又22cos,222ababab===rrrr

rr，又a与b的夹角范围是0,，ar与b的夹角为π4，故D正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.11．A

CD【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.分析每一个选项的条件看是否能求出塔AB的高度.【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.A.在CBD中，已知,,sBCDBDC，可以解这个三

角形得到BC，再利用ACB、BC解直角ABC得到AB的值；B.在CBD中，已知,,sBCD无法解出此三角形，在CAD中，已知,,sACD无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔AB的高度；

C.在ACD△中，已知,,sACDADC，可以解ACD△得到AC,再利用ACB、AC解直角ABC得到AB的值；D.如图，过点B作BECD⊥,连接AE.由于cos,cos,cosCBCECEACBBCDACEACBCAC===,所以coscoscosACEACBBCD=

，所以可以求出ACD的大小，在ACD△中，已知,,ACDADCs可以求出,AC再利用ACB、AC解直角ABC得到AB的值.故选：ACD【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.12．ABC

【分析】根据倾斜度的不同逐项讨论后可得正确的选项．【详解】对于A，在图（1）中，水面EFGH所在四边形的面积为棱柱底面的面积，在图（2）中，水面EFGH所在四边形的面积大于原棱柱底面的面积，故A错.对于B，在图（1）中，11AC与水面所在平面平行，在图（2），图（3）中，11AC与水面

所在平面均不平行，故B错.对于C，因为棱柱在绕AB旋转的过程中，没有水的部分始终呈棱柱形，故C错.对于D，因为在图（3），有水的部分形成一个直三棱柱，该三棱柱的底面为三角形，高为AB，根据水的体积为定值

可得底面三角形的面积为定值，故AEAH为定值，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查空间几何体的判断，本题中注意分析有水部分几何体在变化过程哪些几何量是确定的，哪些位置关系是确定的，本题属于中档题.13．1【分析】由余弦定理即可得出答案.【详解】由余弦定理可得，22232cos31

2312=+−=+−=bacacB，故1b=故答案为：1【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题目.14．3【分析】先作单位向量,ij，再用单位向量表示a，b，c，再根据平面向量的基本定理得出关于x，y的方程组，

解出x，y，即可得出+xy的值.【详解】设单位向量,ij，则2,2,4+3aijbijcij=−=+=，(2)(+2)xaybxyixyj+=++−，又∵(,R)cxaybxy=+，∴4+3(2)(+2)ijxyixyj=++−，∴423+

2xyxy=+=−，解得12xy==.∴+3xy=.故答案为：3.15．100【解析】试题分析：由题意截面半径为4r=，球半径为2222435Rrd=+=+=，所以24100SR==．考点：球的截面的性质，

球的表面积．16．1i+【分析】设()0,0zabiab=+，由此可计算出zz+，zz−，zz和zz，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能

甲丁正确，由此可求得z.【详解】设()0,0zabiab=+，则zabi=−，2zza+=，2zzbi−=，22zzab=+，222zzzab=+.4zz=与22zzz=不可能同时成立，丙丁不能同时正确；23zzi−=时，232b=，22zz

z=不成立，乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：1a=，3b=，则丙也正确，不合题意；当甲丙正确时：1a=，3b=，则乙也正确，不合题意；当乙丙正确时：3b=，1a=，则甲也正确，不合题意；甲丁陈述正确，

此时1ab==，1zi=+.故答案为：1i+.17．（1）3=m或6=m；（2）5=m.【解析】试题分析：复数z的实部为：2815mm−+，虚部为：2918mm−+，（1）复数z为实数，必须满足虚部为零，即：29180mm

−+=进而求得m的值；（2）复数z为纯虚数，需满足：实部为零且虚部不为零，即：()28150mm−+=且29180mm−+.试题解析：（1）01892=+−mm解得:3=m或6=m;（2）+−=+−0189015822mmmm所以:==6353

mmmm且或所以:5=m.考点：1.复数；2.计算.18．(1)92k=−;(2)92k−且12k;(3)725−.【分析】(1)确定向量kab+与2ab+的坐标,利用垂直的条件,即可求出k的值;(2)向量kab+与2ab+的夹角为锐角,

则数量积大于0且不共线,即可求k的取值范围.(3)确定ab+和2ab−的坐标,根据向量的夹角公式即可求得结果.【详解】(1)依题意得:(21,4)kabk+=+,2(4,8)ab+=向量kab+与2ab+垂直,()214480k++=,解得:92k=−.(2)由(1)(2

1,4)kabk+=+,2(4,8)ab+=,向量kab+与2ab+的夹角为锐角,4(21)480k++且8(21)44k+.92k−且12k.(3)依题意得(3,4)ab+=,()2=3,4ab−−(

)()()33447cos===2225525abababababab++−+−−+−−，.【点睛】本题考查向量知识的运用,考查向量垂直及夹角为锐角时求参数问题,考查向量的夹角公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档

题.19．（1）③，理由详见解析；（2）26.【分析】（1）连接BD，AC交于点O,易得11AOCO是平行四边形，得到11//AOOC，再利用线面平行的判定定理证明.（2）根据过A、1C、M作一截面，交1DD于点G，且M为中点，得

到G为中点，由正方体的结构特征，得到截面1AMCG是菱形，然后由112SACMG=求解.【详解】（1）③1//AO面1DBC，如图所示：连接BD，AC交于点O，连接1OC，因为1111//,AOOCAOOC=，所以11AOCO是平

行四边形，所以11//AOOC，又1AO面1DBC，1OC面1DBC，所以1//AO面1DBC.（2）如图所示：因为过A、1C、M作一截面，交1DD于点G，且M为中点，所以G为中点，由正方体知：11//,AMGCAMGC=，所以截面1AMCG是平行四边形，又AMAG=，所以截面1AMC

G是菱形，连接11,,ACMGACMG⊥，所以截面1AMCG的面积为：11123222622ACMG==.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，线面平行的判定定理以及截面问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．（1）无论选哪种，3A=（2）5sinsin7

BC=【分析】（1）选①()(sinsin)()sinabABcbC+−=−，结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解A；（2）结合（1）及三角形的面积公式可求c，进而可求a，结合正弦定理即可求解．【详解】选择①：（1）由正弦定理得()()()ababc

bc+−=−，222abcbc−=−，由余弦定理得1cos2A=，∵0A，∴3A=.（2）由面积公式1sin532SbcA==，4c=.由余弦定理得2222cosabcbcA=+−得221a=，由正弦定理得2sinaRA=，()2228R=，sin2bBR=，sin

2cCR=，25sinsin47bcBCR==.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．21．（1）2cosPA=，298cosPC=−；（2）当38=时，总收益最大.【分析】（1）由圆的性质可知APB△

为以APB为直角的直角三角形，则2cosPA=，在PAC△中，利用余弦定理可得出PC关于的表达式；（2）分别表示出PAC△和PCD的面积关于的表达式，利用这两种作物单位面积的收益比为4:3，设甲、乙单位面积的收益分别为4

k，3k，将总收益为43PACPCDykSkS=+表示出来，利用辅助角公式化简，并分析为何值时，收益最大.【详解】（1）依题设易知APB△为以APB为直角的直角三角形，又已知，2,ABPAB==，所以2co

sPA=.在PAC△中3,ACPAC==，由余弦定理得，2222222cos4cos912cos98cosPCPAACPAAC=+−=+−=−.所以298cosPC=−，定义域为π02

.（2）113sin2cos3sinsin2222APCSAPAC===22115(98cos)2cos2222PCDSPC==−=−设甲､乙单位面积的收益分别为4k，3k，总收益为y那么1515

6sin26cos262sin(2)242kkykkk=−+=−+(02)所以，当38=时，总收益最大.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度一般，解决此类问题，应先确定主变量角以及相关的常量与变量，建

立关于角的三角函数式，再结合解三角形知识、三角恒等变换公式化简求解.22．（1）3B=；（2）(0,3)．【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得结果；（2）利用锐角三角形求出62C，根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换公式可得2

23cosacC−=，根据C的范围可求得结果.【详解】（1）由正弦定理可得2sincossincossincossin()sinBBACCAACB=+=+=．因为sin0B，故1cos2B=，又(0,)B，则3B=．（2）因为ABC为锐角三角形，

所以0202CA，所以02032CC−−，得62C，因为3B=，3b=，所以由sinsinsinabcABC==，得sin3sin2sinsin32bAAaAB===，sin3sin2sinsin32

bCCcCB===，所以224sin2sin4sin2sin3acACCC−=−=−−224sincoscossin2sin23cos33CCCC=−−=因为62C，则30cos2C．所以023ac−，所以2ac−的取值范围为(0,3)．【点睛

】关键点点睛：熟练掌握正弦定理、三角恒等变换公式是解题关键.