【文档说明】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测（月考）数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.274 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d681ca8be0efd113792964c3901b37aa.html

以下为本文档部分文字说明：

长沙市第一中学2023-2024学年度高一第二学期第二次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．1.若复数3i2ia++是纯虚数，则实数a=（）A.32−B.32C.6−D.6【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则，再结合纯虚数概念的理解就可以得解.【详解】因为()()()()()3i2i236i3i236i2i2i2i555aaaa

aa+−++−++−===+++−，且3i2ia++为纯虚数，所以2305a+=，解得32a=−，经检验符合题意故选：A.2.某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：班级12345678得分28343430262828

32则下列说法正确是（）A.得分的众数为34B.得分的中位数为28C.得分的75%分位数为33D.得分的极差为6【答案】C【解析】【分析】将数据从小到大重新排列，由众数、中位数、百分位数的定义计算即可得C正确，再根据极差的概念可得D

错误.【详解】根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误；将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34，的所以中位数为2830292+=，可知B错误；易知75%86=为整数，所以第

75%分位数为第6个和第7个数的平均值3234332+=，即C正确；得分的极差为34268−=，即D错误.故选：C3.已知平面,，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A.若//,//m，则//lmB.若

//,m⊥，则lm⊥C.若//,//lm，则//mD.若,//lmm⊥，则⊥【答案】B【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【详解】因为l，对于A，若//,//m，则

l与m有可能异面，故A错误；对于B，若//,m⊥，则m⊥，又l，则lm⊥，故B正确；对于C，若//,//lm，则有可能m，故C错误；对于D，若,//lmm⊥，则与有可能相交，故D错误．故选：B．4.已知0a，0b，则“1ab+”是“14ab”（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式可知当14ab时，1ab+；反之不成立，即可得出结论.【详解】若“1ab+”，可知当11,6ab==时，14ab不成立，即可知充分性不成立；若14ab，可得12214

abab+=，即可得1ab+，即必要性成立，因此可得“1ab+”是“14ab”的必要不充分条件；故选：B5.已知正六棱柱ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E₁D与BC₁所成的角的余弦

值为（）A.12B.64C.14D.0【答案】C【解析】【分析】通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角余弦值即可.【详解】由图可得，在正六棱柱中，11BCFE，连接1,EFFD，则1FED即

为异面直线1BC与1DE所成角或其补角；11,1CCBCBCCC⊥==，222211112BCBCCC=+=+=,同理可得，12DE=，在1FDE中，112DEFE==,120FED=，222cos120

3FDEFEDEFED=+−=的,由余弦定理可得：222111112231cos24222FEDEDFFEDFEDE+−+−===.故选：C6.已知π3πcos2cos088++−=，则πtan24α+=（

）A.12B.43C.1−D.43−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系结合二倍角公式计算即可.【详解】因为π3πcos2cos088++−=，所以ππcos2sin088+++=，可得πsinπ18tanπ8

2cos8++==−+，所以2π2tanπ48tan2π431tan2++==−−+．故选：D7.已知mR，若函数1()3(10)1fxmxmxx=−−−−+„在定义域内有

且仅有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A.9,24−−B.（92]4−，-C.11(,2)4−−D.1124−，-【答案】B【解析】【分析】通过参变分离、换元法，把函数()fx的零点个数转化成直线ym=与抛物线的交点个数.【详解】10,011

xx−+，函数()fx在10−x有两个不同零点方程213()11mxx=−++在10−x有两个不同的根，设1(1)1ttx=+，23mtt=−在1t有且仅有两个不同的根ym=与抛物线23(1)yttt=−有且仅有两个不同的交点，92.4m−−【点睛

】通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.8.已知集合(),,,RIaaxyxy=|，若对于任意,mnI，以及任意0,1，满足()1mnI+−，则称集合I为“类圆集”．下列说法正确的是（）A.集合()3,,A

aaxyyx==|为“类圆集”B.集合(),,lnBaaxyyx==|为“类圆集”C.集合()2,,Caaxyyx==|不为“类圆集”D.若,AB都是“类圆集”，则AB也一定是“类圆集”【答案】B

【解析】【分析】利用共线定理可知对于任意,OMONI，线段MN上一点D，都有ODI，则集合I为“类圆集”，结合“类圆集”定义分别对选项进行判断可得A错误，B正确，C错误，再举出反例()()|,,,|,,Aaaxy

yxBaaxyyx======−,可得D错误.【详解】设,mOMnON==，()()11ODmnOMON=+−=+−，0,1；则,0,1ODONOMON−=−，即可得,0,1NDNM=，则点D在线段MN上，由题意可得，

若对于任意,OMONI，线段MN上一点D，都有ODI，则集合I为“类圆集”，对于A,集合()3|,,Aaaxyyx==,若对于任意的()()1122,,,PxyQxy满足331122,yxyx，则,OPOQA，函数3yx=如下图，显然线段PQ上任意一点()33,Dxy，不一定

满足333yx，图中所示333yx，即ODA；故集合()3|,,Aaaxyyx==不为“类圆集”，即A错误；对于B，若()|,,lnBaaxyyx==，对于任意的()()4455,,,GxyHxy满足4455ln,lnyxyx，则

,OGOHB，函数lnyx=如下图，显然线段GH上任意一点()66,Exy，都有66lnyx，即ODB；故可得集合()|,,lnBaaxyyx==为“类圆集”，即B正确；对于C，集合()2|

,,Caaxyyx==，对于任意的()()7788,,,RxySxy满足227788,yxyx，则,OROSC，函数2yx=如下图，显然线段RS上任意一点()99,Txy，都有299yx，即OTC；

故可知集合()2|,,Caaxyyx==为“类圆集”，即C错误；对于D，若,AB都是“类圆集”，不妨取()()|,,,|,,AaaxyyxBaaxyyx======−；对于任意的()()111122,,,PxyQxy满足1122,yxyx==，则11,

OPOQA，函数yx=如下图，显然线段11PQ上任意一点()133,Dxy都有33yx=，即1ODA；故()|,,Aaaxyyx===为“类圆集”，同理可得()|,,Baaxyyx===−也为“类圆集”；而

AB的图象如下：显然11,OROSAB，但线段11RS上任意一点1T不满足yx=，也不满足yx=−，即1OTAB，即AB不一定是“类圆集”，即D错误.故选：B【点睛】方法点睛：集合新定义问题

的方法和技巧：(1)通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表述的内容，可对此信息理解更加透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律.二

、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（）A.ABCD⊥B.CD在AC方向上的投影向量为ACC.AD与

CD的夹角为30°D.()1ACABCD+=−【答案】AD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解.【详解】以点A为坐标原点，水平方向为x轴

，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系下，()0,0A，()2,1B,()1,0C，()0,2D，所以()2,1AB=,()1,2CD=−，()1,0AC=，()0,2AD=，由于()21120ABCD=−+=，所以ABCD⊥，A正确；根据投影向量的

定义，结合图象，CD在AC方向上的投影向量为AC−，B错误；425cos,525ADCDADCDADCD===，所以AD与CD的夹角不是为30°，C错误；()3,1ACAB+=，则()()31121ACABCD+=−+=−，D正确．故选：AD10.某学校为了

解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层

，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：1n，x，21s，2n，y，22s.记总的样本平均数为，样本方差为2s，则（）参考公式：()()222221122121snsxnsynn=+−++−+A.抽取

的样本里男生有60人B.每一位学生被抽中的可能性为140C.估计该学校学生身高的平均值为170D.估计该学校学生身高的方差为236【答案】ABD【解析】【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选

项.【详解】对于A项，抽取的样本里男生有3100605=人，所以A项正确；对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为1001400040=，所以B项正确；对于C项，估计该学校学生身高的平均值为3217516016955x=+=，所以C项错误；对于D，估计该学校学生身高的方

差为()()2223218417516917916016923655s=+−++−=，所以D项正确.故选：ABD11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（

化学式6SF）、金刚石等的分子结构．将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体EABCDF−−（如图），已知正方体棱长为22，则（）A.正八面体EABCDF−−的内切球表面积8π3B.正八面体EABCDF−−

的外接球体积为8π3C.若点P为棱EB上的动点，则三棱锥FADP−的体积为定值223D.若点P为棱EB上的动点（包括端点），则直线CP与平面GHMN所成角的正弦值的取值范围是26,23【答案】ACD【解析】

【分析】对于A项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形ABCD的中心即为外接球球心，计算即得；对于C项，证明EB∥平面ADF，根据平行的性质结合转换顶点法求体积；对于D项，作辅助线，分析可知直线CP与平面GHMN所成角的为PCQ，

分析长度关系即可得取值范围.【详解】由题意可知：正八面体的棱长为2AB=，2OB=，222EOBEOB=−=，对于A项，设该正八面体内切球的半径为r，由正八面体的体积可得113182222223223r=，解得63r=，所以它的内

切球表面积为268π4π33=，故A项正确；对于选项B：由题意可知：2OAOBOCOD====，且2OE=，结合对称性可知：点O为正八面体外接球的球心，则正八面体外接球的半径2R=，所以正

八面体外接球的体积为3482ππ33R=，故B项错误；对于选项C：由题意可知：EB∥DF，且EB平面ADF，DF平面ADF，可得EB∥平面ADF，则点P到平面ADF的距离即为点B到平面ADF的距离，所以1122222323FADPPADFBADFFABDVVVV−−−

−=====三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，故C正确；对于选项D：分别过,,BPE作平面GHMN的垂线，垂足分别为,,LQK，可知BL∥PQ∥EK，且2BLPQEK===，则,LK分别为棱,MHHG的中点，且Q

在线段KL上，可得1,2CQ，则223,2PCPQCQ=+，由PQ⊥平面GHMN，可知直线CP与平面GHMN所成角的为PCQ，可得226sin,23PQPCQPCPC==，所以直线CP与平面

GHMN所成角的正弦值的取值范围是26,23，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.设a＞0，b＞0，已知224loglog3ab+=，则ab＝_______

.【答案】8【解析】【分析】根据对数的运算性质，化简24logb即可得到结果.【详解】因为0b，则22242222loglogloglog2bbbb===.则224222logloglogloglog3ababab+=+==，所以，8a

b=.故答案为：8.13.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3π4B=，6b=，2222acac+=，则ABC的面积为________．【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理，结合已知求出ac，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】在ABC中，由余弦定理，得2222cosb

acacB=+−，则222362()2acac=−+−，于是3236ac=，解得62ac=，所以ABC的面积为112sin623222SacB===.故答案为：314.定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥

，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为_________．【答案】()32π233−【解析】【分析】由等边圆锥和等边圆柱的定义可知，当等边圆柱内切于等边圆锥时体积最大

，利用三角形相似求得圆柱半径可得其体积.【详解】根据题意可知，等边圆锥的轴截面为等边三角形SAB，且2,3ABSO==，设等边圆柱轴截面是边长为2r的正方形，可知OCr=，如下图所示：当圆柱体积最大时，等边圆柱内切于等边圆锥，此时易知ACDAOS

，即ACCDAOSO=，可得1213rr−=，解得233=−r，2436CDr==−；所以该圆柱的体积的最大值为()32π2π233rCD=−.故答案为：()32π233−四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．15已知向量33cos,sin22xxa=，cos,sin22xxb=，sin,cos22xxc=−.（1）当π2x=时，求ab及ac的值；（2）若函数()3fxabac=+，其中0,πx，求()fx的值域．.【答案】（1）0ab=，

1ac=−（2）2,1−【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算直接计算；（2）根据向量数量积的坐标运算和辅助角公式得()π2sin6fxx=−−，再由三角函数的性质求值域.【小问1详解】当π2x=时，3π3π22cos,sin,4422a==−

，ππ22cos,sin,4422b==，ππ22sin,cos,4422c=−=−,则222202222ab=−+=，2222

12222ac=−−=−；【小问2详解】33coscossinsincos2222xxxxabx=+=，()33cossinsincossinsin2222xxxxacxx=−=−=−，所以()13π3cos3sin2cossin2sin226fxaba

cxxxxx=+=−=−=−−，若0,πx，则ππ5π,666x−−，π1sin,162x−−，所以()2,1fx−，即()f

x的值域为2,1−.16.某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间()50,60的人数为5．（1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x；（2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数；（3）从样本中得分在

[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？【答案】（1）25n=，0.012x=（2）71.4（3）710【解析】【分析】（1）由成绩在区间()50

,60的频率为0.2，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得x；（2）根据频率分布直方图估计平均数；（3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率．【小问1详解】成绩在区间()50,60的频率为0.2，5250.2n==，由频率分布直方图可得第4组的频率为10.2

0.240.360.080.12−−−−=，故0.012x=.【小问2详解】先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为(550.02650.024950.008)1071.4750.036850.012++=++（分），估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4；【

小问3详解】得分成绩在)80,90有0.01210253=（人），这组的3名学生分别为a，b，c，得分在区间[90，100]有0.00810252=（人），这组的2名学生分别为d，e，随机抽取两人，所以可能结果为()()()()()()()()()(),,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede共10种，所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,adaebdbecdcede共7种

，的故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是710P=.17.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sincos12AA+=，sin4sin4sinacACcA+=．（1）求边长a和角A；（2）若ABC的面积为32，求中线A

D的长度；（3）若1bc=，求角平分线AE的长度．【答案】（1）2a=，π3A=（2）2AD=（3）217AE=【解析】【分析】（1）根据sin4sin4sinacACcA+=，利用正弦定理得到244a

ccac+=，求得a，再由sincos12AA+=求得角A；（2）由余弦定理和三角形面积公式求得226bc+=和2bc=，再由()12ADABAC=+，两边平方求中线AD的长度；（3）由余弦定理得7bc+=，再由ABCABEA

CESSS=+△△△，可得角平分线AE的长度.【小问1详解】sin4sin4sinacACcA+=，由正弦定理得244accac+=．220,44,(2)0,caaa+=−=可得2a=．由sincos12AA+=，得2sin12sin

122AA+−=，得sin2sin1022AA−=，得1sin22A=或sin02A=，故π3A=或0（舍去）．【小问2详解】由133sin242ABCSbcAbc===，得2bc=，由余弦定理可知，222abc=+−2cosbcA，由（1

）可得2242bc=+−，所以226bc+=，又()12ADABAC=+，所以()()()22222211122cos444ADABACABACABACcbbcA=+=++=++11622242=+

=，即2AD=，所以中线AD的长度为2；【小问3详解】若1bc=，由余弦定理，2222cosabcbcA=+−，可知225bc+=，所以()22227bcbcbc+=+=+，即7bc+=，因为AE为角平分线，所以ABCABEACESSS=+△△△，即1π1π1πsinsi

nsin232626bcbAEcAE=+，则()3bcAE=+，所以217AE=.18.在多面体ABCDEF中，////ADBCEF，且4,2ADCDDEBCEF=====，π3BCDFED==.（1）证明：ADCE⊥；（2）若平

面ADEF⊥平面ABCD，求二面角ABFD−−的余弦值；（3）在（2）的条件下，求该多面体ABCDEF的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3311（3）16【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得23BD=，再利用勾股定理可得BDBC⊥，同理可得D

FAD⊥，由线面垂直判定定理可证明AD⊥平面BDF，再由线面垂直性质可得ADCE⊥；（2）根据线段长度作出二面角ABFD−−的平面角，再由余弦定理即可求得结果；（3）将多面体ABCDEF分割成四棱锥FABC

D−和三棱锥CDEF−两部分，再利用体积公式求出两部分体积相加即可.【小问1详解】在BCD△中，4,2CDBC==，π3BCD=，由余弦定理可得222π2cos123BDCDBCCDBC=+−=，即

23BD=；满足222BDBCCD+=，即BDBC⊥；又//ADBC，所以BDAD⊥；同理可得DFAD⊥，因为,BDADDFAD⊥⊥，,BDDF平面BDF，BDDFD=I，所以AD⊥平面BDF,又BF平面BDF，所以ADBF⊥；又因为//BCEF，2B

CEF==，所以四边形BCEF是平行四边形；因此//BFCE，所以ADCE⊥.【小问2详解】若平面ADEF⊥平面ABCD,由（1）知,BDADDFAD⊥⊥，所以可得BD⊥平面ADEF，DF平面ADEF，所以

BDDF⊥，且23BDDF==，26BF=，由勾股定理可知27ABAF==，取BF的中点为G，连接,AGDG，如下图所示：易知,AGBFDGBF⊥⊥，即可得AGD即为二面角ABFD−−的平面角，显然2222AGABBG=−=，6DG=，又4=AD，在ADG△中，

2222261633cos2112226AGDGADAGDAGDG+−+−===，即可得二面角ABFD−−的余弦值为3311.【小问3详解】连接FC，如下图所示：易知多面体ABCDEF的体积等于四棱锥FABCD−的体积加

上三棱锥CDEF−的体积；由（2）可知DF和DB分别是四棱锥FABCD−和三棱锥CDEF−的高，易知()11124232312332FABCDABCDVSDF−==+=，111223234332CDEFDEFVSBD−==

=，可得多面体ABCDEF的体积12416ABCDEFV=+=.19.对于函数()fx，若存在实数m，使得()()()hxfxmfm=+−为R上的奇函数，则称()fx是位差值为m的“位差奇函数”.（1）若

()()sinfxx=+是位差值为π3的位差奇函数，求的值；（2）已知()22xxfxt−=−，()44xxgxt−+=，若存在)0,m+，使得()fx是位差值为m的“位差奇函数”.①求实数t的取值范围；②设直线12,xxxx==与函数()(

)()hxfxmfm=+−的图象分别交于A、B两点，直线12,xxxx==与函数()gx的图象分别交于C、D两点，若存在12xx，且12,0,1xx，使得ABCD∥，求实数m的取值范围．【答案】（1）ππ,3kk=−Z（2）①)1,+；②2

1,log33−【解析】【分析】（1）根据题意分析可得πππcossinsincossin333yxx=+++−+为R上的奇函数，结合三角函数的奇偶性分析求解即

可；（2）①分析可知()()0hxhx+−=对任意的xR，均存在)0,m+成立，整理可得22mt=，即可得结果；②根据向量平行分析可得()()()()1122gxhxgxhx−=−，构建()()()Fxgxhx=−，可知()Fx在0,1内不单调，结合复合

函数单调性分析求解即可.【小问1详解】因为ππππsinsin3333yfxfx=+−=++−+πππcossinsincossin333xx=+++−+

，若()()sinfxx=+是位差值为π3的位差奇函数，则πππcossinsincossin333yxx=+++−+为R上的奇函数，注意到πcossin3yx=+为R上的奇函数，ππsincossin3

3yx=+−+为R上的偶函数，可知πsin03+=，则ππ,3kk+=Z，解得ππ,3kk=−Z.【小问2详解】①因为()()()()()22(22)221221xmxmmmmxmxhxfxmfmtt

t+−−−−−=+−=−−−=−−−，由题意可知：()()0hxhx+−=对任意的xR，均存在)0,m+成立，因为()()()()()()2212212212210mxmxmxmxhxhxtt−−−−+−=−−−+−−−=整理可得()()222220mmxxt−−−+−=，又因

为22222220xxxx−−+−−=，当且仅当22−=xx，即0x=时，等号成立，则220mmt−−=，即212mt=，所以实数t的取值范围为)1,+；②由①可知：22mt=，则()()()()221221222mxmxmxxhx−−

=−−−=−，()2442xxmgx−+=，设()()()()()()()()11221122,,,,,,,AxhxBxhxCxgxBxgx，则()()()()()()21212121,,,ABxxhxhxCDxxgxg

x=−−=−−，若ABCD∥，则()()()()()()()()21212121xxgxgxxxhxhx−−=−−，且12xx，即210xx−，则()()()()2121gxgxhxhx−=−，即()()()()1122gxh

xgxhx−=−，构建()()()()2442222xxmxxmFxgxhx−−+=−=−−，则()()12FxFx=，且12,0,1xx，12xx，结合()Fx在R上连续不断，可知()Fx在0,1内不单调，令22xxn−=−，则2442xxn−

+=+，且2,2xxyy−==−在0,1内单调递增，可知22xxn−=−在0,1内单调递增，当0x=时，0n=；当1x=，32n=；即3220,2xxn−=−，可得22222121122222mmmmmnynnn−+=−=−+在30,2内不单调，且

222121122mmmynn−=−+的图象开口向上，对称轴31221222mmmn−−=−=，则313022m−，解得21log33m，所以实数m的取值范围为21,log33−.