【文档说明】湖北省石首市第一中学2020届高三上学期8月月考数学试题（理科）含答案.docx，共(13)页，109.417 KB，由小赞的店铺上传

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2019年石首一中高三年级八月月考数学试题（理）考试时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数(1−𝑖)(𝑎+𝑖)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(−∞,1)B.(−∞,−1)C.(1,+∞)D

.(−1,+∞)2.已知集合𝐴={𝑥|log2𝑥>1}，𝐵={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≤0}，则𝐵∩∁𝑅𝐴=()A.{𝑥|−1≤𝑥≤2}B.{𝑥|−1<𝑥≤5}C.{𝑥|−1<𝑥≤2}D.{𝑥|2≤𝑥≤5}3.已知p：ln(𝑥−1)<0，q：𝑥(

𝑥−2)≥0，则下列说法正确的是()A.￢𝑝是q的充分不必要条件B.q是￢𝑝的充分不必要条件C.p是q的充分不必要条件D.对∀𝑥∈𝑅，￢𝑝和￢𝑞不可能同时成立4.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2

𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的两条渐近线均与圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+5=0相切，则C的离心率为()A.√63B.√62C.3√55D.√525.若tan𝛼=34，则cos2𝛼+2sin2𝛼=()A.6425B.4825C.1D.16256.已知一个简单几何体的三视图

如图所示，若该几何体的体积为24𝜋+48，则𝑟=()A.2B.4C.1D.37.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩𝑋～𝑁(100,𝜎2)(试卷满分为150分).统计结

果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为()A.80B.100C.120D.2008.运行如图程序框图，则输出框输出的是()A.12B.−1C.2D.09.已知函数𝑓(�

�)=(𝑥−2)(𝑎𝑥+𝑏)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，则𝑓(1−𝑥)>0的解集为()A.(−∞,−1)∪(3,+∞)B.(−1,3)C.(−1,1)D.(−∞,−1)∪(1+∞)10.中国剪纸是一种

用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息.现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边.若在正方形内随机取一点

，则该点取自黑色部分的概率为()A.(3−2√2)𝜋2B.𝜋16C.(3−2√2)𝜋4D.𝜋811.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<𝜋2)的最大值为2，其图象相邻两条对

称轴之间的距离为𝜋2且𝑓(𝑥)的图象关于点(−𝜋6,0)对称，则下列判断不正确的是()A.要得到函数𝑓(𝑥)的图象，只需将𝑦=2cos2𝑥的图象向右平移𝜋12个单位B.函数𝑓(𝑥)的图象关于直线

𝑥=7𝜋12对称C.𝑥∈[−𝜋12,𝜋6]时，函数𝑓(𝑥)的最小值为√3D.函数𝑓(𝑥)在[𝜋6,5𝜋12]上单调递减12.定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)=𝑓(

𝑥)，且对任意的不相等的实数𝑥1，𝑥2∈[0,+∞)有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2<0成立，若关于x的不等式𝑓(2𝑚𝑥−ln𝑥−3)≥2𝑓(3)−𝑓(−2𝑚𝑥+ln𝑥+3)在𝑥∈[1,3]上恒成立，则实数m的取值范围()A.[12𝑒,1+ln66]B.[

1𝑒,2+ln63]C.[1𝑒,2+ln33]D.[12𝑒,1+ln36]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件{𝑥+2𝑦≥0𝑥−𝑦≤0𝑥−2𝑦+2≥0，则𝑧=2𝑥−𝑦的最小值等于___

___．14.若在(𝑎+3𝑥)(1−√𝑥3)8关于x的展开式中，常数项为4，则𝑥2的系数是______15.已知数列{𝑎𝑛}的各项均为正数，前n项和为𝑆𝑛，满足𝑎𝑛2+2𝑎𝑛=4𝑆𝑛−1，则𝑎10=______．16.已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1

𝐵1𝐶1的底面边长为2√3，D为𝐵𝐵1的中点，平面𝐴𝐷𝐶1与平面ABC所成的锐二面角的正切值是12，则四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐶1𝐵1外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△𝐴𝐵𝐶中，

内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(𝐴+𝐶)=4sin2𝐵2．(1)求cos𝐵；(2)若𝑏=2，△𝐴𝐵𝐶面积为2，求𝑎+𝑐的值．18.如图，四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑆𝐷⊥底面ABCD，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴�

�⊥𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝑆𝐷=𝐷𝐶=2，E为棱SB上的点，且𝑆𝐸=2𝐸𝐵．(1)证明：平面𝐸𝐷𝐶⊥平面SBC；(2)求二面角𝐴−𝐷𝐸−𝐶的大小．19.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口

号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2，…，6)，如表所示：试销单价𝑥(元)456789产品销量𝑦(件)q8483807568已知𝑦−=16∑𝑦𝑖6𝑖=1

=80．(Ⅰ)求出q的值；(Ⅱ)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量𝑦(件)关于试销单价𝑥(元)的线性回归方程𝑦^=𝑏^𝑥+𝑎^；(Ⅲ)用𝑦̂𝑖表示用(Ⅱ)中所求的线性回归方程得到的与�

�𝑖对应的产品销量的估计值.当销售数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)对应的残差的绝对值|𝑦̂𝑖−𝑦𝑖|≤1时，则将销售数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数�

�的分布列和数学期望𝐸(𝜉)．(参考公式：线性回归方程中𝑏^，𝑎^的最小二乘估计分别为𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2，𝑎̂=𝑦−−

𝑏̂𝑥−)20.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为2，左右焦点分别为𝐹1，𝐹2，以原点O为圆心，以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线3𝑥−4𝑦+5=0相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ

)设不过原点的直线l：𝑦=𝑘𝑥+𝑚与椭圆C交于A，B两点．若直线𝐴𝐹2与𝐵𝐹2的斜率分别为𝑘1，𝑘2，且𝑘1+𝑘2=0，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；21.已知函数𝑓(𝑥)=−𝑎ln𝑥−𝑒𝑥𝑥+𝑎𝑥,𝑎∈𝑅(Ⅰ)当

𝑎<0时，讨论函数𝑓(𝑥)的单调性(Ⅱ)当𝑎=1时，𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+(𝑥+1𝑥)𝑒𝑥−𝑏𝑥，对任意𝑥∈(0,+∞)，都有𝐹(𝑥)≥1恒成立，求实数b的取值范围．选

做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{𝑥=3cos𝛼𝑦=√3sin𝛼(𝛼为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为𝜌sin(𝜃−𝜋4)

=√22．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点𝑃(−1,0)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|的值．23.已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+2|𝑥−1|(

𝑎>0)．(1)当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)>4的解集；(2)若不等式𝑓(𝑥)>4−2𝑥对任意的𝑥∈[−3,−1]恒成立，求a的取值范围．理科试卷答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.

A6.A7.D8.A9.B10.A11.C12.D13.−5214.−5615.1916.19𝜋17.解：(1)由题设及𝐴+𝐵+𝐶=𝜋，得：sin𝐵=4sin2𝐵2，故sin𝐵=2(1−cos𝐵)．上式两边平方，整理得：5cos2𝐵−8cos𝐵+3=0，解得：

cos𝐵=1(含去)，cos𝐵=35．(2)由cos𝐵=35，得sin𝐵=45，又𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=2，则𝑎𝑐=5．由余弦定理，𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐(1+cos𝐵)=(𝑎+𝑐)2−16=4．所

以𝑎+𝑐=2√5．18.证明：(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则𝐴(1,0，0)，𝐶(0,2，0)，𝑆(0,0，2)，𝐵(1,1，0)，𝐸(23,23,23)，𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,2)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1，0)

，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(23,23,23)，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2，0)，设平面BCS的法向量𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝑛⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑥+𝑦=0𝑛⃗⋅𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑥−𝑦+2𝑧=0，取𝑥=1，得𝑛⃗⃗=

(1,1，1)，设平面EDC的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则，取𝑥=2，得𝑚⃗⃗⃗=(2,0，−1)，{𝑚⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=23𝑥+23𝑦+23𝑧=0𝑚⃗⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦=0，取𝑥=1，得𝑚⃗⃗⃗=(1,0，−1)，∴𝑚⃗⃗⃗⋅

𝑛⃗⃗=0，∴平面𝐶𝐷𝐸⊥平面SBC．解：(2)取DE中点F，连结AF，由题意得𝐴𝐹⊥𝐷𝐸，𝐸𝐶⊥𝐷𝐸，∴向量𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与向量𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的夹角是二面角𝐴−𝐷𝐸−𝐶的平面角

，𝐹(13,13,13)，𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(23,−13,−13)，𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−23,43,−23)，cos<𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐸

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=−12，∴二面角𝐴−𝐷𝐸−𝐶的大小为120∘．19.解：(Ⅰ)𝑦−=16∑𝑦𝑖6𝑖=1=80，可求得𝑞=90．(Ⅱ)𝑏̂=∑𝑥𝑖6𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−𝑦−∑�

�𝑖26𝑖=1−𝑛(𝑥−)2=3050−6×6.5×80271−253.5=−7017.5=−4，𝑎̂=𝑦−−𝑏̂𝑥−=80+4×6.5=106，所以所求的线性回归方程为𝑦̂=−4𝑥+106．(Ⅲ)

利用(Ⅱ)中所求的线性回归方程𝑦̂=−4𝑥+106可得，当𝑥1=4时，𝑦̂1=90；当𝑥2=5时，𝑦̂2=86；当𝑥3=6时，𝑦̂3=82；当𝑥4=7时，𝑦̂4=78；当𝑥5=8时，𝑦̂5=74；当𝑥6=9时，𝑦̂6=7

0．与销售数据对比可知满足|𝑦̂𝑖−𝑦𝑖|≤1(𝑖=1,2，…，6)的共有3个“好数据”：(4,90)、(6,83)、(8,75)．于是𝜉的所有可能取值为0，1，2，3．𝑃(𝜉=0)=𝐶33𝐶63=120；�

�(𝜉=1)=𝐶31𝐶32𝐶63=920；𝑃(𝜉=2)=𝐶32𝐶31𝐶63=920；𝑃(𝜉=3)=𝐶33𝐶63=120，∴𝜉的分布列为：𝜉0123P120920920120于是𝐸(𝜉)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．20.解：(

Ⅰ)由题意可得𝑐=1，即𝑎2−𝑏2=1，由直线3𝑥−4𝑦+5=0与圆𝑥2+𝑦2=𝑏2相切，可得𝑏=|0−0+5|√9+16=1，解得𝑎=√2，即有椭圆的方程为𝑥22+𝑦2=1；(Ⅱ)(𝑖)证明：设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，将直线�

�=𝑘𝑥+𝑚(𝑚≠0)代入椭圆𝑥2+2𝑦2=2，可得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2𝑚2−2=0，即有△=16𝑘2𝑚2−8(1+2𝑘2)(𝑚2−1)>0，𝑥1+𝑥2=−4𝑘𝑚1+2𝑘2，𝑥1𝑥2=2𝑚2−21+2𝑘2，由𝑘1

+𝑘2=𝑦1𝑥1−1+𝑦2𝑥2−1=𝑘𝑥1+𝑚𝑥1−1+𝑘𝑥2+𝑚𝑥2−1=0，即有2𝑘𝑥1𝑥2−2𝑚+(𝑚−𝑘)(𝑥1+𝑥2)=0，代入韦达定理，可得2𝑘⋅2𝑚2−21+2𝑘2−2

𝑚+(𝑚−𝑘)(−4𝑘𝑚1+2𝑘2)=0，化简可得𝑚=−2𝑘，则直线的方程为𝑦=𝑘𝑥−2𝑘，即𝑦=𝑘(𝑥−2)，故直线l恒过定点(2,0)；(𝑖𝑖)由直线l的斜率是直线OA，OB斜率的

等比中项，即有𝑘2=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2，即为𝑘2𝑥1𝑥2=(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑘𝑥2+𝑚)=𝑘2𝑥1𝑥2+𝑘𝑚(𝑥1+𝑥2)+𝑚2，可得𝑚2+𝑘𝑚(−4𝑘𝑚1+2𝑘2)=0，解得𝑘2=12，代入△=16𝑘2𝑚2−8(1+2𝑘2)(𝑚2−1

)>0，可得−√2<𝑚<√2，且𝑚≠0．由O到直线的距离为𝑑=|𝑚|√1+𝑘2，弦长AB为√1+𝑘2⋅√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=2√2√1+𝑘2⋅√1+2𝑘2−𝑚21+2𝑘2，则△

𝑂𝐴𝐵面积为𝑆=12𝑑|𝐴𝐵|=√2⋅√𝑚2(2−𝑚2)2≤√22⋅𝑚2+2−𝑚22=√22，当且仅当𝑚2=2−𝑚2，即𝑚=±1时，取得最大值．则△𝑂𝐴𝐵面积的取值范围为(0,√22].21.解：(Ⅰ)𝑓′(𝑥)=−𝑎𝑥−𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥𝑥2

+𝑎=(𝑎𝑥−𝑒𝑥)(𝑥−1)𝑥2，当𝑎<0时，𝑎𝑥−𝑒𝑥<0，∴当𝑥>1时，𝑓′(𝑥)<0，当0<𝑥<1时，𝑓′(𝑥)>0，∴函数𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，(Ⅱ)由𝐹(𝑥

)≥1恒成立可得，𝑥𝑒𝑥−ln𝑥+(1−𝑏)𝑥≥1恒成立，即𝑏−1≤𝑒𝑥−ln𝑥𝑥−1𝑥，设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−ln𝑥𝑥−1𝑥，∴𝑔′(𝑥)=𝑥2𝑒𝑥+ln𝑥𝑥2，再设ℎ(𝑥)=𝑥2𝑒𝑥+ln𝑥，

∴ℎ′(𝑥)=(𝑥2+2𝑥)𝑒𝑥+1𝑥，∴当𝑥>0时，ℎ′(𝑥)>0，∴ℎ(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(1)=𝑒>0，ℎ(12)=√𝑒4−ln2<0，∴函数ℎ(𝑥)有唯一的零点𝑥0，且12<𝑥0<1，当𝑥∈(0,𝑥0)，ℎ(𝑥

)<0，𝑔′(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减，当𝑥∈(𝑥0,+∞)，ℎ(𝑥)>0，𝑔′(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增，∴𝑔(𝑥0)是𝑔(𝑥)在定义域的最小值，∴𝑏−1≤𝑒𝑥0−ln𝑥0𝑥0−1𝑥0，∵ℎ(𝑥0)=0可得𝑥0

𝑒𝑥0=−ln𝑥0𝑥0，12<𝑥0<1，(∗)令𝑘(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，12<𝑥<1，方程(∗)等价于𝑘(𝑥)=𝑘(−ln𝑥)，12<𝑥<1，而𝑘(𝑥)=𝑘(−ln𝑥)等价于𝑥=−ln�

�，12<𝑥<1，设函数𝑚(𝑥)=𝑥+ln𝑥，12<𝑥<1，易知函数𝑚(𝑥)单调递增，又𝑚(12)=12−ln2<0，𝑚(1)=1>0，故𝑥0是函数的唯一零点，∴ln𝑥0=𝑥0，𝑒𝑥0

=1𝑥0，故函数𝑔(𝑥)的最小值为𝑔(𝑥0)=1，故实数b的取值范围是(−∞,2]．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com