【文档说明】四川省成都列五中学2024-2025学年高三上学期入学摸底测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.734 MB，由小赞的店铺上传

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高三入学摸底测试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1.命题2010pxxx++：＞，的否定为（）A.∀x＞0，x2+x+1＞0B.∀x＜0，x2+x+1＞0C.∃x＞0，

x2+x+1＞0D.∃x≤0，x2+x+1＞0【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定:改变量词,否定结论,可得结果.【详解】命题2010pxxx++:＞，的否定为2010xxx++＞，＞.故选:C.【点睛】本题考查全称命题否定的改写,要注意量词和结论的变

化,难度容易.2.设2|540Axxx=−+Z，|10Bxax=−=，若ABB=，则实数a的值的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知求出A，由已知得出BA.分B=，2B=，

3B=三种情况，求解即可得出答案.【详解】由|10Bxax=−=，可知集合B最多只有一个元素.解2540xx−+可得，14x，所以，25402,3Axxx=−+=Z∣.因为ABB=，所以BA，又集合B最

多只有一个元素，所以，B=，2B=，3B=.当B=时，有0a=，此时有BA；当2B=时，有210a−=，此时12a=；当3B=时，有310a−=，此时13a=.综上所述，0a=，或12a=，或13a=.故选：B.3.已知1nx

x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（）A.6B.15C.46xD.215x【答案】D【解析】【分析】根据二项式系数之和为64求出6n=，从而求出展开式的通项公式，求出第5项.【详解】由题意得：264n=，解得：6n=，则1nxx+展

开式的通项公式为662166CCrrrrrrTxxx−−−+==，第五项是4256215CTxx−==故选：D4.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是x，第二次取出的球的数字是y．若事件A

=“xy+为偶数”，事件B=“x，y中有偶数且xy”，则()PAB=（）A.25B.34C.14D.23【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，有放回的随机取两球，所以()36n=，因为事件B=“x，y中有偶数且xy”，

所以()3633324nB=−−=，因为事件A=“xy+为偶数”，事件B=“x，y中有偶数且xy”，所以事件AB=“x，y均为偶数且xy”，所以()23A6nAB==，所以()()()61244nABPABnB=

==.故选：C.5.设等差数列na的公差为d，则“10ad”是“{}nan为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出nan，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得

.【详解】由等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，得1naadnd=−+，则1naaddnn−=+，当10ad时，10ad−，而111nn+，则111adadnn−−+，因此11nnaann++，{}nan为递增数列；当{}nan为递增数列时，则11nnaann++，即有11

1adadnn−−+，整理得1ad，不能推出10ad，所以“10ad”是“{}nan为递增数列”的充分不必要条件.故选：A6.已知0x，0y，且24xyxy+−=，则2xy+的最小值是（）A.4B.5C.7D.9【答案】C【解析】【

分析】将式子变形为221xy=++，即可利用不等式求解，或者将式子变形为()()212xy−+=，结合不等式即可求解.【详解】方法一：因为24xyxy+−=，故()142yxy+=+，解得2222211yxyy++==+++，故4

424(1)132(1)711xyyyyy+=+++−++=++,当且仅当411yy=++，即1y=，3x=时等号成立.方法二：因为24xyxy+−=，则()()212xy−+=，且10

y+，故20x−，故22(2)(1)322(2)(1)37xyxyxy+=−+++−++=，当且仅当()221xy−=+，即1y=，3x=时等号成立.故选：C.7.过双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点F

作圆222xya+=的切线，切点为A，直线FA交直线0bxay−=于点B．若3BAAF=，则双曲线C的离心率为（）A.2B.5C.355D.263【答案】D【解析】【分析】取右焦点2F，连接AO、2BF，作2FMAB

⊥于点M，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与a、b、c有关齐次式，计算即可得.【详解】取右焦点2F，连接AO、2BF，作2FMAB⊥于点M，由FA为圆222xya+=的切线，故FAAO⊥，又2FMAB⊥，O为2FF中点，故A为MF中

点，又3BAAF=，故M为FB中点，2222AFOFOAcab=−=−=，则2FMBMb==，222FMOAa==，则()()222222BFabc=+=，()222239OBabab=+=+，由直线0bxay−=为双曲线的渐近线，故有2tanbBOFa=，则2cosaB

OFc=，在2BOF中，由余弦定理可得222222294cos29acabcBOFccab++−==+，则222222993aababc+=+−，即222284acbbc+=−，即()()()222222284cbcbbc−+=−，化简得2285bc=，即222885cac−=，故8

2633cea===.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，关键点在于借助题目所给条件，从几何的角度构造辅助线，得到新的长度关系与角度关系，从而结合题意构造相应与a、b、c有关齐次式，得到离心率.8.已知函数(

)()()eln0xfxaaxaaa=−−+，若关于x的不等式()0fx恒成立，则实数a的取值范围（）A.()20,eB.()0,1C.1,1eD.()0,e【答案】A【解析】【分析】由()0fx变形得出()lneln1ln1xaxaxx−+−−+−，构造函数()exgxx=

+，其中xR，利用导数分析函数()gx的单调性，可得出()()lnln1gxagx−−，进一步得出()lnln1axx−−，利用导数求出函数()()ln1hxxx=−−的最小值，可得出关于实数a的不等式，解之即可.【详解】因为0a，由()()eln0xfxa

axaa=−−+，可得()elnln110xaxa−−−+，所以，()lneln1ln1xaxaxx−+−−+−，令()exgxx=+，其中xR，则()e10xgx=+，所以，函数()gx在R上单

调递增，由()lneln1ln1xaxaxx−+−−+−可得()()lnln1gxagx−−，所以，()lnln1xax−−，所以，()lnln1axx−−，其中1x，令()()ln1hxxx=−−，其中1x，则

()12111xhxxx−=−=−−.当12x时，()0hx，此时函数()hx单调递减，当2x时，()0hx，此时函数()hx单调递增，所以，()()min22hxh==，所以，ln2a，解得20ea.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取

值范围，解本题的关键在于将不等式变形为()lneln1ln1xaxaxx−+−−+−，通过构造函数()exgxx=+，进一步将不等式变形为()()lnln1gxagx−−，从而结合函数()gx的单调性与参变

量分离法求解.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.已知随机变量X服从正态分布()22,N，若()00.3PX=，则(4)0.

3PX=B.若甲、乙两组数据相关系数分别为0.66和0.76−，则甲组数据的线性相关性更强C.用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若()()150,50EXDX==，则23p=D.已知随机变量X的分布列为()()()1,2,3,,1001aP

Xiiii===+，则101100a=【答案】CD【解析】【分析】利用正态分布的对称性求出()4PX可判断A；根据线性相关性的性质可判断B；利用二项分布的期望、方差求出p可判断C；利用裂项相消求和、随机变量X的概率和为1求出a可判断D.【详解】对于A，因为2=，所以()(4)0=PX

PX，所以()()0.7401==−PXPX，故A错误；对于B，因为0.660.760.76−=，则乙组数据的线性相关性更强，故B错误；对于C，若()()150,50EXDX==，则()150,150=−=npnpp，解得23p

=，故C正确；对于D，因为()()11===−++aaaPXiiiii，所以()()()12100=+=++=PXPXPX的121012310111010=−+−++−=−=aaaaaaaa，解得101100a=，故

D正确.故选：CD.10.已知函数321()(R)3fxxaxxa=−+，则下列说法正确的有（）A.若()fx是R上的增函数，则[1,1]a−B.当1a时，函数()fx有两个极值C.当1a时，函数()fx有两零点D.当1a=时，()fx

在点(0,(0))f处的切线与()fx只有唯一个公共点【答案】AB【解析】【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出()fx在点(0,(0))f处的切线方程后，联立()fx，解出方程即可得.【详解】对A：2(

)21fxxax=−+，由()fx是R上的增函数，则有2210xax−+恒成立，即2440a=−，解得[1,1]a−，故A正确；对B：由2()21fxxax=−+，则当1a时，2440a=−，故()0fx=有两个不等实根，设这两个根分别为12,xx且1

2xx，则当()()12,,xx−+时，()0fx，当()12,xx时，()0fx，即()fx在()()12,,,xx−+上单调递增，在()12,xx上单调递减，故函数()fx有两个极值()()12,fxfx

，故B正确；对C：令()322111033fxxaxxxxax=−+=−+=，对21103xax−+=，有243a=−，若233a，则Δ0，此时21103xax−+=有两个非零不等

实根，即()fx有三个零点，故C错误；对D：当1a=时，321()3fxxxx=−+，则2()21fxxx=−+，()01f=，由()00f=，则()fx在点(0,(0))f处的切线为yx=，令3213xxxx−+=，即有()230xx−=，解得0x=或3x=，

故()fx在点(0,(0))f处的切线与()fx有两个公共点，故D错误.故选：AB.11.在正三棱柱111ABCABC−中，11ABAA==，点P满足1BPBCBB=+，其中[0,1],[0,1]，则（）A.当1=时，1APPB+最小值为2B.当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定

值C.当11,2==时，平面1ABP⊥平面1AABD.若1AP=，则P的轨迹长度为π2【答案】BCD【解析】【分析】当1=时，点P在1CC上，把平面11ACCA与平面11BCCB展在一个平面上，可判定A

错误；当1=时，得到点P在11BC上，证得1AD⊥平面11BCCB，求得三棱柱1PABC−的体积定值，可判定B正确；当11,2==时，得到点P为1CC的中点，取1,ABAB的中点,EF，证得PE⊥平面11ABBA，得到1ABP⊥平面1AAB，可判定C正确；由点P满足1BPBCBB=+，

得到点P在矩形11BCCB内，取BC的中点H，证得AH⊥平面11BCCB，得到AHPH⊥，求得12PH=，得出以点P的轨迹，可判定D正确.【详解】对于A中，当1=时，1BPBCBB=+，可得点P在1CC

上，以1CC为轴，把平面11ACCA与平面11BCCB展在一个平面上，如图所示，连接1AB交1CC于点P，此时1APPB+最小值为2215ABBB+=，所以A错误；对于B中，当1=时，1BPBCBB=+，可得点P在11BC上，取11BC的中点D，在等边111ABC△中，可

得111ADBC⊥，且132AD=，因为1BB⊥平面111ABC，且1AD平面111ABC，所以11ADBB⊥，又因1111BCBBB=且111,BCBB平面11BCCB，所以1AD⊥平面11BCCB，即1AD为三棱锥1APBC−的高，所以三棱锥

1PABC−的体积为11111133332212PABCAPBCVVSAD−−====为定值，所以B正确；对于C中，当11,2==时，112BPBCBB=+，可得点P为1CC的中点，如图所示，取1,ABAB的中点,EF

，分别连接,,PEEFCF，可得//EFPC且EFPC=，所以EFCP为平行四边形，所以//CFPE，因为1BB⊥平面ABC，CF平面ABC，所以1BBCF⊥，又因为CFAB⊥，且1ABBBB?，1,ABBB平面11AB

BA，所以CF⊥平面11ABBA，因为//CFPE，所以PE⊥平面11ABBA，又因为PE平面1APB，所以1ABP⊥平面1AAB，所以C正确；为对于D中，由点P满足1BPBCBB=+，其中[0,1],[0,1]，可得点P在矩形11BCCB内（包含边界），取BC的中点H，连接AH和

PH，因为1BB⊥平面ABC，且AH平面ABC，所以1AHBB⊥，又因为AHBC⊥，1BCBBB=且1,BCBB平面11BCCB，所以AH⊥平面11BCCB，因为PH平面11BCCB，所以AHPH⊥，且32AH=，在

直角APHV中，可得2222311()22PHAPAH=−=−=，所以点P的轨迹是以H为圆心，半径为12的半圆，其轨迹长度为1ππ22=，所以D正确.故选：BCD【点睛】解题方法点拨：1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的

判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

.12.抛物线214yx=的准线方程是___________________.【答案】1y=−【解析】【分析】将214yx=化成抛物线的标准方程24xy=，利用抛物线的性质求解即可．【详解】由214yx=得：24xy=，所以24p=，即：12p=所以抛物线2

14yx=的准线方程为：12py=−=−．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．13.由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数.（用数字作答）.【答案】156【解析】【分析】先确定四

位数的偶数的个数等于排成一列的四位数字且第四位为偶数的个数减去第一位为0且第四位数字为偶数的的个数，再利用排列组合知识求结果.【详解】由0,1,2,3,4,5这6个数字中任取四个数字排成一列，第四位数字为

偶数的共有1335180CA=种排法，第一位为0且第四位数字为偶数的共有122424CA=种排法，故由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为18024156−=.故答案为：156.14.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出

，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为nP，则3P=______；nP=______．【答案】①.14##0.2

5②.211323n−+【解析】【分析】设出事件nA，由题意得到111nnnnnAAAAA+++=+，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率nP的递推式11122nnPP+=−+

，接着构造等比数列1{}3nP−,求出其通项公式即得.【详解】设nA=“经过n次传球后，球在甲的手中”，则事件nA的概率即,1,2,3,,nPnn=，则10,P=依题意，111nnnnnAAAAA+++=+，则11111()()()nnnnnnnnnPPAAAAPAAPAA++

+++=+=+11()(|)()(|)nnnnnnPAPAAPAPAA++=+11(1)0(1)22nnnPPP=−+=−，即11122nnPP+=−+，1,2,3,,(*)因10,P=代

入解得，212P=，311112224P=−+=；由（*）可得，111111()32623nnnPPP+−=−+=−−，且11133P−=−，故数列1{}3nP−是以13−为首项，12−为公比的等比数列，于是，1

111()332nnP−−=−−，则得，1111211()()332323nnnP−=−−=−+.故答案为：14；211()323n−+.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所

示，在四棱锥VABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ABCD，90ABC=，侧面VBC⊥底面ABCD且22VBVCBCABCD=====，E为VA中点.（1）求证：EBAD⊥；（2）求二面角BVDA−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）104【解析】【分析

】（1）建立空间直角坐标系，计算对应线段的方向向量，利用向量的数量积为零，证明可得；（2）利用空间坐标计算两个面的法向量，然后利用法向量与二面角的关系计算二面角余弦值，最后计算正弦值即可.【小问1详解】取BC中点O，连接VO，由2V

BVCBC===，得VOBC⊥，又平面VBC⊥平面ABCD，平面VBC平面ABCDBC=，VO平面VBC，则VO⊥平面ABCD，过O作//OxAB，由90ABC=，得ABBC⊥，OxBC⊥，而Ox，B

C平面ABCD，则VOOx⊥，VOBC⊥，以O为原点，直线Ox，OB，OV分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：由//ABCD，22ABCD==，得()2,1,0A，()0,1,0B，()0,1,0C−，()1,1,0D−，()0,0,3V，VA中点131,,22

E，则131,,22BE=−，()1,2,0AD=−−，因此()()131120022BEAD=−+−−+=，即BEAD⊥，所以EBAD⊥【小问2详解】由（1）知，()1,2,0DB=−

，()1,1,3DV=−，()1,2,0DA=，设平面BVD的法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则·20·30nDBxynDVxyz=−+==−++=，令1z=，得()23,3,1n=，设平面AVD的法向量(),,mabc=，则·20·30nDAabnDVabc=+==−

++=，令1b=−，得()2,1,3m=−，设二面角BVDA−−大小为，则436coscos,4422mnmnmn====，的所以二面角BVDA−−的正弦值210sin1cos4=−=.16.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每

天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108（1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）；（2）请用相关系数说

明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：5552211122820,435,38999,107.411540iiiiiiixyyy======，ix的方差为2

00）；（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到22列联表（表二）.依据表中数据及小概率值0.001=的独立性检验，分析“周末在校自主

学习与成绩进步”是否有关.没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：方差：()2211niiSxxn==−相关系数：()()()(

)12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−回归方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−，()()()()22()nadbcabcdacb

d−=++++.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）0.996（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】(1)根据题意分别求出x，y，代入到相关系数：()()()()12

211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，求得结果即可；(2)知0.996r接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，根据已知条件代入求解即可()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−，最后代入1

00x=即可求得；(3)计算出2与临界值比较可得出周末在校自主学习与成绩进步是否有关.【小问1详解】3040506070505x++++==，435875y==，又()1,2,3,,5ixi=的方差为()5

2112005iixx=−=，()()()()()()52222221658778878587998710887iiyy=−=−+−+−+−+−，4848141444411154=++++=，()()()()51552211iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−()()(

)5555111155522211155228205508710700.996107410115401000iiiiiiiiiiiiiiiixyxyyxxyxyxyxxyyyy=======−−+−−===−−−.

【小问2详解】由（1）知0.996r接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合：，()()()5511521522820550871.0752001000ˆiiiiiiiixxyyxyxybxx===

−−−−====−，871.075033.5aybx=−=−=，故1.0733.5yx=+当100x=时，140.5y=，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.【小问3详解】零假设0H：周末

在校自主学习与成绩进步无关，根据数据，计算得到：()()()()222()220(251303530)11012.2216555601609nadbcabcdacbd−−===++++，因为12.2210.828，所以

依据0.001=的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.17.设数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS，且满足3nnSa+=.（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设12log3nnnaba+=−，数列{𝑏𝑛}的前n项和为nT，若对任意的*,21nnT−N

恒成立，求的取值范围.【答案】（1）32nna=（2）)5,+【解析】【分析】（1）根据nS与na之间的关系分析可知数列na是首项为32，公比为12的等比数列，进而可得通项公式；（2）由（1）可知：332nnnb+=，利

用错位相减法可得3992nnnT+=−，结合恒成立问题分析求解即可.【小问1详解】因为3nnSa+=，当1n=时，由113aa+=，解得132a=；当2n时，则113,3nnnnSaSa−−+=+=，两方程相减得120nnaa−

−=，即112nnaa−=；可知数列na是首项为32，公比为12的等比数列，所以1313222nnna−==.【小问2详解】由（1）可知：1233log32nnnnanba++=−=，则236912332222nnnT+=++++，23411691233222

22nnnT++=++++，两式相减得12311311421333333333122222212nnnnnnnT−++−++=++++−=+−−L，可得11939222nnnT++=−，即3992nnnT+=−.因为1113123936

990222nnnnnnnnTT++++++−=−−−=，可知nT是单调递增数列，且3902nn+，可得39992nnnT+=−，因为对任意的*,21nnT−N

恒成立，可得921−，解得5，所以的取值范围为)5,+.18.已知椭圆()2222:10xyCabab+=左焦点为F，离心率为12，以坐标原点O为圆心，OF为半径作圆使之与直线20xy

−+=相切.（1）求C的方程；（2）设点()4,0P，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，①证明：直线AE经过定点；②求AEF△的内切圆半径的范围.【答案】（1）22143xy+=（2）①证明见解析；②30,4【解析】【分析】（1）由题意得22221212cOFca

abc=====+，解方程组可求出,ab，从而可得椭圆的方程；（2）①设AE的方程为()0xmytm=+，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由点,,PBE三点共线且斜率一定存在，可求得1t=，即可求证直线AE过定点()

1,0Q，②再结合Q为椭圆右焦点，所求内切圆半径为r，则12124AQyyr−=，化简换元后可求出其范围.【小问1详解】依题意22221212cOFcaabc=====+，解得2a=，3b=，所以C的方程为22143xy+=.【小问2详解】①因为AE不与x轴重合，所

以设AE的方程为()0xmytm=+，设点()()111,0Axyy，()22,Exy，则()11,Bxy−联立22143xmytxy=++=，得()2223463120mymtyt+++−=，则()22Δ48340mt=−+，122634mtyym−+=+，21223123

4tyym−=+因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以2112114yyyxxx+−=−−，所以()1221124xyxyyy+=+，将11xmyt=+，22xmyt=+代入化简可得121224yymyyt+=−，故2264312mmttt−=−−，解得1t=，满足()2Δ

48330m=+所以直线AE过定点()1,0Q，且Q椭圆右焦点②设所求内切圆半径为r，因为1442AEFSarr==，所以()22121212214312444434FQAFQEAEFAQyyyyyySSSmrn−+−++=====+令21(1)umu=+，则221mu=−，所以

2331313uruuu==++，因为1u，对勾函数13yuu=+在(1,+∞)上单调递增，所以134uu+，则304r.所以内切圆半径r的范围为30,4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法

解决直线与圆锥曲线相交问题的基本为步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1

2xx+、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是()0fx=的根，首先选取0x作为r的初始近似值，若()fx在点0

0(,())xfx处的切线与x轴相交于点1(,0)x，称1x是r的一次近似值；用1x替代0x重复上面的过程，得到2x，称2x是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：012,,,,,nxxxx．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当()*

1,Nnnxxn−近似值相等时，该值即作为函数()fx的一个零点r．（1）若32()33fxxxx=++−，当00x=时，求方程()0fx=的二次近似值（保留到小数点后两位）；（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数()e3xgx=−在点(2,(

2))g处的切线，并证明：23ln31e+；（3）若()(1ln)hxxx=−，若关于x的方程()hxa=的两个根分别为1212,()xxxx，证明：21eexxa−−．【答案】（1）1.83（2）22ee30xy−−−=，证明见解析（3）

证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别计算出12,xx，取2x得近似值即为方程()0fx=的二次近似值；（2）分别求出(2)g，(2)g，即可写出函数()gx在点(2,(2))g处的切线方程；设2()ln1,1e

xmxxx=−−，证明出2()(e)mxm，得出2(3)(e)mm，即可证明；（3）先判断出1201exx，然后辅助证明两个不等式()()()1e1e1ehxxx−−和()(01)hxxx即

可．【小问1详解】2()361fxxx=++，当00x=时，(0)1f=，()fx在点(0,3)−处的切线方程为3yx+=，与x轴的交点横坐标为(3,0)，所以13x=，(3)46f=，()fx在点(3,54)处的切线方程为5446

(3)yx−=−，与x轴的交点为42(,0)23，所以方程()0fx=的二次近似值为1.83．【小问2详解】由题可知，2(2)e3g=−，()exgx=，2(2)eg=，所以()gx在(2,(2))g处的切线为22(e3)e(2)yx−−=−，即22ee30xy−−−=；设2()ln1

,1exmxxx=−−，则211()emxx=−，显然()mx单调递减，令()0mx=，解得2ex=，所以当2(1,e)x时，()0mx，则()mx在2(1,e)单调递增，当2(e,)x+时，()0mx，则()mx

在2(e,)+单调递减，所以2222e()(e)lne10emxm=−−=，所以2(3)(e)mm，即2233ln310ln31ee−−+．【小问3详解】由()lnhxxxx=−，得()lnhxx=−，当01x时，ℎ′(𝑥)

>0；当1x时，ℎ′(𝑥)<0，所以ℎ(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以1x=是ℎ(𝑥)的极大值点，也是ℎ(𝑥)的最大值点，即()max()11hxh==，又0ex时，()0hx，ex时，()0hx，所以当方程()hxa=有两个根

时，必满足1201exx；曲线()yhx=过点()1,1和点()e,0的割线方程为1(e)1eyx=−−，下面证明()()()1:e1e1ehxxx−−，设()()()()1e1e1euxhxxx=−−−，则()1e11lnlnlnee1uxxx−=−+=−−−，所

以当1e11ex−时，()0ux；当1e1eex−时，()0ux，所以()ux在1e11,e−上单调递增，()()10uxu=；在1e1e,e−上()ux单调递减，()()e0uxu=，所以当1ex时，()0ux，即()1

()e(1e)1efxxx−−（当且仅当1x=或ex=时取等号），由于21ex，所以()()221e1eafxx=−−，解得2eexaa−+；①下面证明当01x时，()hxx，设()()ln,01nxhxxxxx=−−=，因为ln0x，所以当01x

时，()fxx（当且仅当1x=时取等号），由于101x所以()11ahxx=，解得1xa−−，②①+②，得21eexxa−−．【点睛】关键点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计21xx−的范围．