【文档说明】四川省仁寿第一中学校北校区2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(19)页，982.716 KB，由小赞的店铺上传

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22级高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．若232CAmm=，则m=（）A．6B．5C．4D．32．函数()(3)yfxx=−的导函数()fx的图象如图所示，则下列判断中正确的是（）A．()fx在(3,0)−上单调递减B．()fx在(

1,1)−上单调递减C．()fx在(2,4)上存在极小值点D．()fx在[3,)−+上有最大值3．已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布()245,5N，其中果实横径落在40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2

,XN，则()0.6827PX−+，()220.9545PX−+）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.95454．已知3()exxfx=，则()fx（）A

．在(,)−+上单调递增B．在(,1)−上单调递减C．有极大值3e，无极小值D．有极小值3，无极大值5．现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个

景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()PBA=（）A．56B．67C．78D．896．6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作，每名研究人员必须去一个舱，且每

个舱至少去1人，由于空间限制，每个舱至多容纳3人，则不同的安排方案共有（）种.A．720B．450C．360D．1807．已知定义在(0,)+上的函数()fx满足()()0xfxfx−，且(2)2f=，则()ee0xxf−的解集为（）A．(,l

n2)−B．(0,ln2)C．(ln2,)+D．(ln2,2)8．已知ln24a=，21eb=，lnc=，则a，b，c的大小关系为（）A．acbB．bacC．abcD．cab二、多选题9．设随机变量的分布列为)4,3,2,1(,)4(===k

akkP，则（）𝐴.110=a𝐵.5.0)82.03.0(=P𝐶.43)(=E𝐷.()10.3P==10．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装

有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为

两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（）A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是15B．第二次抽到红球的概率是25C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为29D．小明获得4块月饼的概率是114011．已知函数()lnfxxax

=−有两个零点1x，2x，且12xx，则下列选项正确的是（）A．10,aeB．()yfx=在(0,)e上单调递增C．126xx+D．若221,aee，则212axxa−−三、填空题12．已知()5121axxx+−

的展开式中各项系数的和为2，则a的值为______.13．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程5ˆexay−=

，按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是万元．（结果用e表示）14．已知曲线lnyx=与()20yaxa=有公共切线，则实数a的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()320fxaxxa=−，且()11f=，求：(1)a的值；(2)曲线()

yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(3)函数()fx在区间0,2上的最大值．16．某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如右图：单位：人(1)依据20

.01=的独立性检验，能否认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择.①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.记事件

A为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件AB、是否独立，并说明理由.②若该校所有学生每分钟跳绳个数()185,169XN～.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有100

0名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）.参考公式和数据：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKx0.0250.0

100.0050x5.0246.6357.879若()2,XN～，则()0.6827PX−，()20.9545PX−，()30.9973PX−.男生女生合计同意7050120

不同意305080合计10010020017．某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为23，假设甲、乙两名学生解答每道测

试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？18．设()()211ln2fxaxaxx=−++，a

R.(1)当2a=时，求()fx的极值；(2)讨论函数()fx的单调性；(3)若0x有()0fx恒成立，求a的取值范围.19．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()fx是

()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线()yfx=在点()(),xfx处的曲率()()()3221fxKfx=+.(1)求曲线()lnfxxx=+在()1,1处的曲率1

K的平方；(2)求余弦曲线()()coshxxx=R曲率2K的最大值；(3)余弦曲线()()coshxxx=R，若()()()exgxhxxhx=+，判断()gx在区间ππ,22−上零点的个

数，并写出证明过程.22级高二下学期期末考试数学参考答案：1．D【分析】利用组合数公式和排列数公式化简即可得解.【详解】由232CAmm=得()()()1212,321mmmmmm−=−−，解得3m=.故选：D2．B【分析】结合导

数的符号与函数单调性、极值的关系，以及题图即可得解.【详解】(3,1)x−−时，()0fx，()1,0x−时，()0fx，故()fx在()3,0−上不单调，A选项错误；()1,1x−时，()0fx，故()fx在()

1,1−上单调递减，B选项正确；(2,)x4时，()0fx，故()fx在()2,4上单调递减，无极值点，C选项不正确；()4,x+时，()0fx，()fx在()4,+上单调递增，虽然确

定了()fx的单调性，但没有()fx的解析式，故无法确定()fx在)3,−+上是否有最大值，D选项不正确．故选：B．3．【答案】B【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布()245,5N，其

中45,5==，所以果实横径在40,55的概率为()2PX−+()()112222PXPX=−++−+0.477250.341350.8186+=.故选：B

．4．C【分析】根据导数判断单调性与极值【详解】33()exxfx−=，则1x时()0fx，1x时()0fx()fx在区间(,1)−上单调递增，在区间(1,)+上单调递减有极大值3(1)ef=故选：C

5．D【分析】求出事件A发生的个数和事件,AB同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为1124CC19+=,事件,AB同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124CC

8=，故()8(|)()9PABPBAPA==.故选：D.6．B【分析】考虑6人的分组情况，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，根据分类计数加法原理即可求得答案.

【详解】由题意可知，6名研究员的安排可以是按平均分组，即每2人一组分到三个研究舱，或者是按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱，每2人一组分到三个研究舱时，共有2223642333CCCA90A=（种）安排

方案，按人数为1，2，3分为3组分到三个研究舱时，共有323633CCA360=（种）安排方案，故共有90360450+=（种）安排方案，故选：B7．A【分析】由导数公式得出2()()()0fxxfxfxxx−

=，从而得出函数()fxx的单调性，将不等式()ee0xxf−可化为()e(2)e2xxff，利用单调性解不等式即可.【详解】因为2()()()0fxxfxfxxx−=，所以函数

()fxx在区间()0,+上单调递减，不等式()ee0xxf−可化为()e(2)e2xxff，即e2x，解得ln2x.故选：A8．C【分析】根据式子结构，构造函数()2lnxfxx=，利用导数判断出()fx的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.【详解

】根据式子结构，构造函数()2lnxfxx=,则()432ln12lnxxxxfxxx−=−=,令()0fx，得ex；令()0fx¢>，得0ex；因此()2lnxfxx=在()0,e上单调递增，在)e,+上单调递减,而()ln

2ln44416af===，()221lneeeebf===，()lnπππcf==，因为4eπe，所以abc.故选：C.9．ABC10．ACD【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件,iiAB分别表示第一次、第二次取到i球，1,2,3i

=，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出123(),(),()PAPAPA，11(|)PBA，12(|)PBA，13(|)PBA，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；

选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果.【详解】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件,iiAB分别表示第一次、第二次取到i球，1,2,3i=，对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是333331()120(|)1()54PA

BPBAPA===，所以选项A正确；对于选项B，因为12311(),()()24PAPAPA===，又111(|)2PBA=，122(|)5PBA=，132(|)5PBA=，由全概率公式知31111129()()(|)2224520iiiiPBPAPBA===+

=，所以选项B错误，对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为212112()220(|)9()920PABPABPB===，所以选项C正确，对于选项D，若小明获得4块月饼可能的情况

有三种：①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为131111()(|)248PAPBA==，②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为313121()(|)4510PAPBA==，③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到

黄球，其概率为222111()(|)4520PAPBA==，所以小明获得4块月饼的概率是111118102040++=，故选项D正确，故选：ACD.11．ABD【分析】A．将问题转化为lnxax=有两根，然后构造函数()lnxgxx=，根据y

a=的图象与()ygx=的图象有两个交点求解出a的取值范围；B．先求解出()fx的单调递增区间，然后判断出()0,e与()fx的单调递增区间的关系，由此可完成判断；C．考虑当1ae→时12,xx的取值情况，故12xx+的取值情况可分析出，由

此作出判断；D．根据()21,ffa与0的大小关系结合()fx的单调性判断出12,xx的取值范围，由此确定出21xx−与2aa−的大小关系.【详解】令()0fx=得lnxax=，记ln()xgxx=2

1ln()xgxx−=，令()0gx=得xe=当(0,)xe时，()0gx，()gx单调递增；当(,)xe+时，()0gx，()gx单调递减；且0x→时，()gx→−，1(e)ge=，x→+时，()0gx→据题意知ya=的图象与()ygx=的图象有两个交点，且交点的横

坐标为1x，2x，所以10,ae，故A选项正确；因为11()−=−=axfxaxx所以当10,xa时，()0fx，()fx递增，因为10,ae，所以1(0,)0,ea，故B选项正确；当1ae→时，1ea→，10fa→

，又因为()fx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，所以12,xexe→→，所以1226xxe+→，所以C选项错误；因为()fx在10,a递增，在1,a+递减，且221,aee

所以110,xa，21,xa+，因为()1(1)0fafx=−=，所以11x因为()2222ln2ln20fefxaa=−−==，所以22xa所以21221ax

xaa−−−=，故D选项正确故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值

，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.12．113．【答案】285e14．1,2e+【分析】设公切线与曲线的切点为()11,lnxx，()222,xax，利用导数的几何意义分别求lnyx=和2yax=上的切线方程

，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线lnyx=和2yax=的切点分别为()11,lnxx，()222,xax，其中1>0x，对于lnyx=有1yx=，则lnyx=上的切线方程为()1111lnyxxxx

−=−，即()11ln1xyxx=+−，对于2yax=有2yax=，则2yax=上的切线方程为()22222yaxaxxx−=−，即2222yaxxax=−，所以2121212ln1axxxax=

−=−，有1211ln14xax−=−，即()2211111ln04xxxxa=−，令()22lngxxxx=−，()()2ln12lngxxxxxx=−=−，令()0gx=，得12ex=，当120,e

x时，()0gx，()gx单调递增，当12e,x+时，()0gx，()gx单调递减，所以()12max1ee2gxg==，故110e42a，即12ea.∴正实数a的取值范围是1,2e+.故答案为：1,2e+

.15．(1)1(2)10xy−−=(3)4【分析】（1）先求导，利用()11f=求出参数a；（2）根据导数的几何意义可得切线斜率，点斜式求出切线方程即可；（3）先求导，然后根据导数研究函数的单调性，即可求最值.【详解】（1）()32fxaxx=−,()232fxaxx=−()1321

fa=−=，解得：1a=（2）由（1）知()32fxxx=−，所以(1)0f=,曲线()yfx=在点()()1,1f处的斜率为(1)1kf==，所以切线方程(1)(1)yfkx−=−，即1yx=−，即10xy−−=.（3）由（1）可知：()32fxxx=−，()232fxxx=−，令(

)2320fxxx=−=，解得1220,3xx==，故当20,3x时，()0fx，所以()fx单调递减；当2,23x时，()0fx，所以()fx单调递增；所以()fx区间0,2内，当0

x=或2x=时可能取最大值，又32(0)0,(2)224ff==−=，所以()fx最大值为(2)4f=.16．【答案】(1)故有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关.(2)①相互独立；②159人.【分析】（1）根据题中数据和公式计算2，并与临界

值对比分析.（2）①根据独立事件的定义判断；②利用正态分布对称性求特殊区间概率，进而估计人数.【详解】（1）由题设列联表，有()2220070503050258.33>6.635120801001003−==，故有99%的把握认为

学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关.（2）①()1,3PA=()11321133CC2,CC3PB==()121133C2,CC9PAB==则()()(),PABPAPB=

故事件AB、独立.②训练后()2195,13XN～，1()10.68270.3173(182)()0.15865,222PXPXPX−−+−=−====故预估经过训练后该校每分钟跳1

82个以上人数为0.158651000159.答：故预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数约为159人.17．(1)115(2)答案见解析(3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙

0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案.（2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出()EX，()DX；（3）设学生乙答对题数为Y，则Y所有可能的取值为0，1

，2，3，由题意知Y～B（3，23），从而求出()EY，()DY，由()EX=()EY，()DX＜()DY，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大．【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：0322112014242333366CCC

C21211CCC33C3315P=+=．（2）设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1,2,3．()124236CC11C5PX===，()214236CC32C5PX===，()3436C13C5PX===．X123P15351

5X的分布列为：所以()1311232555EX=++=，()()()()22213121222325555DX=−+−+−=．（3）设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．则2~3,3YB．所以()2323EY==，()

22231333DY=−=．因为()()EXEY=，()()DXDY，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．18．(1)()5ln24fx=−−极大值，()2fx=−极小值(2)答案见解析(3)2,0−【分析】（1

）利用导数求出极值即可；（2）求出()fx，分0a=、a<0、1a、1a=、01a讨论，可得答案；（3）欲使()0fx恒成立，只需()max0fx，根据（2）的结论，分0a、0a、1a、1a=

、01a讨论可得答案.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，因为()23lnfxxxx=−+，∴()()()211123xxfxxxx−−=−+=，∴10,2x时，()0fx¢>，()fx单调递增，()1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，1

,12x时，()0fx，()fx单调递减，∴()15ln224fxf==−−极大值，()()12fxf==−极小值；（2）由题：()()()()1111axxfxaxaxx−−=−++=，1°当0a=时：

()()1xfxx−−=，()1,x+时，()0fx，()fx单调递减，()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；2°当a<0时：∵10ax-<，∴()1,x+时，()0fx，()fx单调递减，()0,1x时，()0fx¢>，()fx

单调递增；3°当0a时：①若11a即1a，所以10,xa时，()0fx¢>，()fx单调递增，1,1xa时，()0fx，()fx单调递减；()1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，②若11a=即1a=，(

)()()110−−=xxfxx，则()fx在()0,+单调递增；③若11a即01a，所以()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增，11,xa时，()0fx，()fx单

调递减；1,xa+时，()0fx¢>，()fx单调递增；（3）欲使()0fx恒成立，只需()max0fx，根据(2)的结论，1°，当0a时：()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增；()1,x+时，()0fx，(

)fx单调递减，∴令()()max11102fxfa==−−，得2a−，此时，20a−；2°当0a时：①若11a即1a，所以10,xa时，()0fx¢>，()fx单调递增，1,1xa时，()0fx，()fx单调递减；(

)1,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；②若11a=即1a=，()0,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；③若11a即01a，所以()0,1x时，()0fx¢>，()fx单调递增，11,xa时，()0fx，()fx

单调递减；1,xa+时，()0fx¢>，()fx单调递增；不论上述哪种情况，均有x→+时y→+，因此，不可能有()0fx恒成立，舍去.综上：a的取值范围为2,0−.【点睛】关键点点睛：本题解题的关

键点是利用分类讨论思想解题．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路.19．(1)1125(2)1(3)2，证明见解析【分析】（1）求出()fx，()fx，再根据所给定义计算()21K即可；（2）根据所给定义表示出2K，即可得到()22232cos2cosxKx=−，再令22co

stx=−，设()32tptt−=，1,2t，利用导数求出函数的最大值，即可得解；（3）首先得到()ecossinxgxxxx=−，求出函数的导函数，分π,02x−、π0,4x、,42x三种情况讨论

，结合零点存在性定理判断函数的零点个数.【详解】（1）因为()lnfxxx=+，所以()11fxx=+，()21fxx=−，所以()()()()13332222211112511fKf===++，∴()221

33211151255K===.（2）因为()()coshxxx=R，()sinhxx=−，()coshxx=−，所()()()()2332222cos1sin1hxxKxhx−==+

+，()()22223322coscos1sin2cosxxKxx==+−，令22costx=−，则1,2t，2232tKt−=，设()32tptt−=，1,2t，则()()32643226ttttpttt−

−−−==，显然当1,2t时，()0pt，()pt在1,2上单调递减，所以()()max11ptp==，所以22K最大值为1，所以2K的最大值为1.（3）()gx在区间ππ,22−上有且仅有2个零点.证明：()ecossinxgxxxx=−，所以()()()ecossi

ncossinxgxxxxxx=−−+，①当π,02x−时，因为cos0x，sin0x，则cossin0xx−，()cossin0xxx−+，∴()0gx，()gx在π,02−上单调递增，又()010g=，ππ022g−=−.∴()g

x在π,02−上有一个零点，②设()exxx=−，则()e1xx=−，当π0,4x时，()0x，()x单调递增，()()e01xxx=−=，又cossin0xx

，∴()()ecossinesinsinsine0xxxgxxxxxxxxx=−−=−恒成立，∴()gx在π0,4上无零点.③当,42x时，0cossinxx，()()()ecossincossin0xgxxxx

xx=−−+，∴()gx在ππ,42上单调递减，又ππ022g=−，π4π2πe0424g=−.∴()gx在ππ,42上必存在一个零点，综上，()gx在区间ππ,22−上有且仅有2

个零点.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．