【文档说明】广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，920.904 KB，由小赞的店铺上传

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肇庆市2025届高中毕业班第一次模拟考试数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答

题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.33l

og18log2−=（）A.4B.32log2C.3log2D.2【答案】D【解析】【分析】利用对数运算法则得到答案.【详解】333log18log2log92−==.故选：D2.已知集合()()140Axxx=

−−N，03Bxx=，则AB=（）A.1,2B.()1,3C.2,3D.)1,3【答案】A【解析】【分析】解不等式可得1,2,3,4A=，再由交集运算可得结果.【详解】由不等式()()140xx−−，得1

4x，所以1,2,3,4A=，又03Bxx=，可得1,2=AB.故选：A3.曲线()21yxx=−在1x=处的切线方程为（）A.1x=B.1y=C.21yx=+D.22yx=−【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即

可【详解】令()()21fxxx=−，则()231fxx=−，即()12f=，𝑓(1)=0，所以曲线()21yxx=−在1x=处的切线方程为()021yx−=−，即22yx=−，故选：D.4.已知函数()1ln,1e,1xxxfxx+

=，则不等式()1fx的解集为（）A.()1,−+B.()1,3−C.()1,+D.()()1,1e,−+【答案】D【解析】【分析】分1x和1x两种情况，结合指数函数和对数函数单调性，得到不等式解集.【详解】当1x时，ln1x，解得ex

，exx与1xx求交集得exx，当1x，1e1x+，解得1x−，1xx−与1xx求交集得11xx−，故()1fx的解集为()()1,1e,−+.故选：D5.已知复数1z，2z，则“12zz=”是“12iizz+=

+”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。【详解】因为12zz=，所以12iizz+=+，充分性显然

成立；对于必要性，只需举一个反例即可，如11z=，21z=−，此时1i1i2z+=+=，2i1i2z+=−+=，所以“12zz=”是“12iizz+=+”的充分不必要条件.故选:C6.已知定义在R上的函数()()

eexxgxfx−=−+，其中()gx是奇函数且在R上单调递减，()12log2fxf的解集为（）A.1,4−B.10,4C.1,4+D.()4,+【答案】B【解析】【分析】由()g

x是奇函数且在R上单调递减，函数()eexxy−=−−也是奇函数且在R上单调递减，得()fx在R上单调递减，利用单调性解不等式.【详解】定义在R上的函数()()eexxgxfx−=−+，因为()gx是

奇函数，eexxy−=−也是奇函数，所以()fx是奇函数.由()()fxgx=−()eexx−−.因为eexxy−=−是增函数，所以()eexxy−=−−是减函数.又因为()gx是减函数，所以()fx在R上单调递减.因为()12log2fxf，所以12log2x，解得104

x.故选：B.7.已知π3cos45x+=，5π7π124x，则sincoscossinxxxx+=−（）A.43−B.43−或43C.34−D.34−或34【答案】A【解析】【分析】先由已知和余弦函数值确定3ππ2π24x+，再由同角的三角函数关系化简计算即可

；【详解】因为5π7π124x，所以2ππ2π34x+，因为π3cos45x+=，所以3ππ2π24x+，22ππcossin144xx骣骣琪琪+++=琪琪桫桫，所以π4sin45x+=−，π4

tan43x+=−，所以sincos1tanπ4tancossin1tan43xxxxxxx++==+=−−−.故选：A.8.在ABCV中，()coscoscossin0CBAA+−=且2BC=，若BMBCxBA=+（xR）

，则BM的最小值为（）A.22B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】确定π4B=，构造平行四边形BCDA，借助图形得到BM最小值即为点B到直线CD的距离，即可求解.【详解】因为()coscosc

ossin0CBAA+−=，所以()coscoscoscossin0ABBABA−++−=，即coscossinsincoscoscossin0ABABBABA−++−=，得()sinsincos0ABB−=，因为A是ABCV的内角，所以sin0A，故sincosB

B=，即tan1B=，所以π4B=.以,BCBA为邻边作平行四边形BCDA，的由BMBCxBABCxCD=+=+，即M在直线CD上，所以BM的最小值即为点B到直线CD的距离，因为π4B=，2BC=，过B向CD作垂线，垂足为E,πcos24BEBC==，

所以BM的最小值为2，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正实数m，n满足mn，且24mn+=，则下列说法正确的是（）

A.4248mn−+−=B.22nnmm++C.mn的最大值为2D.22mn+的最小值是4【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据题意得04nm，化简后可判断；对于B，利用作差法即可判断；对于C，利用基本不等式可求

最值；对于D，由题意得42mn=−，代入22mn+得关于n的二次函数，进而可求最值.【详解】对于A选项，04nm，故()4244248mnmn−+−=−+−=，故A正确；对于B选项，因为()()()()()2222

0222mnnmmnnnmmmmmm+−+−+−==+++，所以22nnmm++，故B错误；对于C选项，因为211222222mnmnmn+==≤，当且仅当2mn=，即2m=，1n=时，等号成立，故C正确；对于D选项，因为42mn=−，所以(

)2222228164251616555mnnnnnn+=−+=−+=−+，故当85n=，45m=时，22mn+有最小值165，故D错误.故选：AC.10.将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为

“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（）A.37B.58C.67D.79【答案】ACD【解析】【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解.【详解】不妨设第n（*nN）个“拐弯数”为na，不难发现12a=，2142aa==+，3273aa==+，431

14aa==+，…，所以1nnaan−−=（2n），利用累加法得()()121232nnnana+−=+++=−，因而222nnna++=，当1n=时，也符合上式，所以222nnna++=（*nN）.代入选项验算可知A，C，

D三个选项正确.故选：ACD.11.已知()()2cosfxx=+（0，π）在π5π,1212上是单调函数，对于任意的xR满足ππ66fxfx+=−−，且()5π12fxf，则下列说法正确的是（）A.π3

=B.若函数()yfx=（0）在0,π上单调递减，则50,12C.若()()124fxfx−=，则12xx−的最小值为π2D.若函数()fx在π,2a上存在两个极值点

，则17π23π1212a≤【答案】BCD【解析】【分析】根据函数()fx的单调区间以及ππ66fxfx+=−−可知()fx关于点π,06对称且πT=，可得2=，再由5π12x=

时，()fx取得最小值可得π6=，即A错误，由()π2cos26fxx=+并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得12xx−最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确.【详解】对于A选

项，因为ππ66fxfx+=−−，所以ππ066fxfx++−=，可得()fx的图象关于点π,06对称，又因为对任意xR，都有()5π12ffx≥，所以当5π12x=时，()fx取得最小值.因为

()fx在π5π,1212是单调函数，所以5πππ41264T=−=得πT=，所以2π2T==，又因为函数()fx在5π12x=时取得最小值，所以由5π5π2cos2126f=+=−，得5ππ2π6k

+=+，kZ.解得π2π6k=+，kZ.又ππ−，所以π6=，故A错误；对于B选项，易知()π2cos26fxx=+，所以()π2cos26yfxx==+，当0,πx时，πππ2,2π666x++，若函数()yfx=（0）

在0,π上单调递减，则π2π6+≤，解得50,12，故B正确；对于C选项，最小正周期为πT=，当()()124fxfx−=时，则()1fx，()2fx分别为函数()fx的最大、最小值，所以12minπ2xx−

=，故C正确；对于D选项，()fx在5π11π,1212上单调递增，在11π17π,1212上单调递减，在17π23π,1212上单调递增，要使()fx在π,2a上存在两个极值点，要满足17π23π1212a≤，故D

正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数()fx的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若

复数z满足()12i1iz−=+，则z=_________．【答案】13i55−+【解析】【分析】利用复数的除法运算即可得解.【详解】因()12i1iz−=+，所以()()()()1i12i1i13i13i12i12i12i555z+++−+====−+−−+.故答案为：13i

55−+.13.已知单位向量a，b满足abab+=−，则向量ab+在向量b上的投影向量的模为__________.【答案】1【解析】【分析】由abab+=−得到0ab=，再由投影向量计算公式代入计算即可.为的【详解】因为单位向量a，b满足aba

b+=−，可得：22abab+=−，也即222222aaabbabb−=+++则0ab=，则向量ab+在向量b上的投影向量的模为()21abbabbbb++==.故答案为：114.已知函数()()

211e12xfxbxxaxab=+−++−（0b）在R上单调递增，则eba的最大值为__________.【答案】2e−【解析】【分析】()0fx在R上恒成立，0a时，不合要求，0a时，()0fx=，解得()

1lnxa=−，2xb=−，分()lnab−−，()lnba−−和()lnba−=−三种情况，得到()lnba−=−，化简可得eba−=−，1eebbba+=−，由基本不等式求出eba的最大值为2e−.【详解】由题

意，得()()()()()e1eeexxxxfxxbaxabxbaxabaxb=++−++=+++=++，因为()fx在R上单调递增，所以()0fx在R上恒成立.当0a时，e0xa+，在(),b−−上，()0fx，不符合题意；当0

a时，令()0fx=，解得()1lnxa=−，2xb=−.当()lnab−−时，在()()ln,ab−−上，e0xa+，0+xb，()0fx，不符合题意；当()lnba−−时，在()(),lnba−

−上，e0xa+，0xb+，()0fx，不符合题意；当()lnba−=−时，在(),b−−上，e0xa+，0+xb，()0fx；在(),b−+，e0xa+，0xb+，()0fx；所以()0fx

.因此，有()lnba−=−，化简可得eba−=−，故112eeeeebbbbba+−==−−−当且仅当1bb=，即1b=时，等式成立.故eba的最大值为2e−.故答案为：2e−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.15.已知等比数列na的各项均为正数，且312aaa=，1232aaa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若123123nnnbaaaa=++++，求数列nb的通项公式.【答案】（1）12nna=（

2）()1122nnbn+=−+【解析】【分析】（1）利用等比数列定义可求得112aq==，可得其通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列前n项和公式计算可得()1122nnbn+=−+.【小问1详解】设等比数列na的公比为q，由题意得221121112a

qaqaaqaq==+，解得112aq==（1q=−舍去），所以111111222nnnnaaq−−===.即数列na的通项公式为12nna=.【小问2详解】由（1）知231231231222322nnnnbnaaaa=++++=+++

+①，所以()23412122232122nnnbnn+=++++−+②.①－②得()231121222222212nnnnnbnn++−−=++++−=−−()()111222212nnnnn++=−−−−=所以()1

122nnbn+=−+.16.已知向量()3sin,sinmxx=，()cos,sinnxx=，0，函数()fxmn=，且()fx的最小正周期为π.（1）若5π0,12x，求()fx的

值域；（2）将()fx的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m（0m）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数cosyx=的图象重合，求实数m的最小值.【答案】（1）30,2（2）π3【

解析】【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换得到()π1sin262fxx=−+，根据最小正周期得到1=，得到函数解析式，利用整体法求出值域；（2）利用伸缩和平移变换得到πsin26yxm=+−，结合πco

ssin2yxx==+，得到方程，求出ππ3mk=+，kZ，当0k=时，实数m取得最小值π3.【小问1详解】()23113sincossinsin2cos2222mnxxxxxfx==+=−+π1sin262x

=−+，因为()fx最小正周期为π，所以2π22T==，解得1=，所以()π1sin262fxx=−+，因为5π0,12x，所以ππ2π2,663x−−，

则π1sin2,162x−−，所以()π13sin20,622fxx=−+，所以当5π0,12x时，()fx的值域为30,2.【小问2详解】

向下平移12个单位长度得πsin26yx=−，向左平移m（0m）个单位长度得()ππsin2sin2266yxmxm=+−=+−，横坐标变为原来的2倍得πsin26yxm=+−.因为πcossin2yxx==+，所以要使得π

sin26yxm=+−与cosyx=的图象重合，则ππ22π62mk−=+，kZ，解得ππ3mk=+，kZ当0k=时，实数m取得最小值π3.17.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，

b，c，已知cos1bC=−，cos3cB=.（1）若sin3bC=，求ABCV的面积；（2）求A的最大值.【答案】（1）3（2）π6【解析】【分析】（1）已知cos1bC=−，cos3cB=，利用余弦定理化简得2a=，结合sin3bC=，可求A

BCV的面积；（2）解法一：已知cos1bC=−，cos3cB=，利用正弦定理得tan3tanCB=−，由()22tan2tantan113tan3tantanBABCBBB=−+==++，利用基本不等式求tanA的最大值，可得A的最大值.解

法二：过点A作AHBC⊥交BC于点H，coscos1CHbACHbACB==−=，cos3BHcB==，设AHt=，则tanAHACHtCH==，tan3AHtBBH==，得tantan2tan31tantanACHBBA

CACHBtt−==++，利用基本不等式求tanBAC的最大值，可得A的最大值.【小问1详解】由余弦定理，得222222coscos13222abcacbbCcBbcaabac+−+−+=+==−+=，所以11sin23322ABCSabC===.【小问2详解】解法一：

因为cos1bC=−，cos3cB=，所以cos3coscBbC=−，由正弦定理sinsincbCB=，可得sincos3sincosCBBC=−，则tan3tanCB=−，因为cos10bC=−，所以cos0C，C是钝角，所以B是锐角，所以()()2tantan2tantantanπtan1

tantan13tanBCBABCBCBCB+=−+=−+=−=−+22313233tantanBB==+.当且仅当13tantanBB=时等号成立，此时，3tan3B=，π6B=.又因为A为锐角，正切函数tanyx=在π0

,2上是增函数，所以π06A，故A的最大值为π6.解法二：因为cos10bC=−，则cos0C，所以C为钝角，如图，过点A作AHBC⊥交BC于点H，则coscos1CHbACHbACB==−=，cos3BHcB==，设AHt=，则tanAHACHtCH==，tan3A

HtBBH==，所以()2tantan22233tantan31tantan333123ttACHBtBACACHBtACHBtttttt−−=−=====++++，当且仅当3tt=，即3

t=时，等号成立，又因为角A为锐角，正切函数tanyx=在π0,2上是增函数，所以π06BAC≤，故BAC的最大值为π6.18.已知函数()ln1xaxxxfx=++.（1）当0a=时，求()fx的最大值；（2）若()fx存在极大值，求a的取值

范围.【答案】（1）1（2）1,2e−【解析】【分析】（1）利用函数的导数与单调性、最值的关系求解；（2）利用导数与极值关系，结合参数0a和0a讨论函数单调性，从而解决问题.【小问1详解】由题可知()fx的定义域为(0,+∞)，当0a=时，()ln

1xfxxx=+，()2lnxfxx−=.令()0fx=，解得1x=.当01x时，()0fx，()fx单调递增；的当1x时，()0fx，()fx单调递减.所以当1x=时，()fx取极大值，也是最大值，故()fx的最大值为()11f=.【小问2详解】()22221ln1l

nxaxxfxaxxx−−=+−=.令()2lngxaxx=−，则()21212axgxaxxx=−=−当0a时，()0gx，()gx在(0,+∞)上单调递减，当0x→时，()gx→+；()24ln20ga=−，根据零点存在定理，得()g

x在(0,2)内存在唯一的零点0x，在()00,x上，𝑔(𝑥)>0，()0fx，()fx单调递增；在()0,2x上，𝑔(𝑥)<0，()0fx，()fx单调递减，()fx存在极大值.当0a时，令()0gx

=，解得112xa=，212xa=−（舍去），在10,2a上，()0gx，()gx单调递减；在1,2a+上，()0gx，()gx单调递增.所以当12xa=时，()gx取极小值，也是最小值，故()min111ln222gxgaa

==−.当11ln022a−，即102ea时，由于当0x→时，()gx→+，此时，在10,2a上，()gx必定存在唯一的零点1x.在()10,x上，𝑔(𝑥)>0，()0

fx，()fx单调递增；在11,2xa，𝑔(𝑥)<0，()0fx，()fx单调递减，()fx存在极大值，当12ea时在(0,+∞)上()0gx，()0fx，()fx单调递增不存在极大值.综上所述，a的取值范围是1,2e−..【点睛】

利用导函数研究函数极值：通常利用导数研究含参函数的单调性，借助零点存在定理，同时注意分类讨论.19.对于一个给定的数列na，令1nnnbaa+=+，则数列nb称为数列na的一阶和数列，再令1nnncbb+=+，则数列nc是数列n

a的二阶和数列，以此类推，可得数列na的p阶和数列.（1）若na的二阶和数列是等比数列，且10a=，21a=，30a=，43a=，求7a；（2）若nan=，求na的二阶和数列的前n项和；（3）若na是首项为1的等差数列，

nb是na的一阶和数列，且1132kkab−−≤，121000kaaa+++=，求正整数k的最大值，以及k取最大值时na的公差.【答案】（1）12（2）226nn+（3）k的最大值是1999，此时公差为11999−【解析】

【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及10a=，21a=，30a=，43a=的值可计算出1b，2b，3b的值，再根据二阶和数列的定义计算出1c，2c的值，由na的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得3c，4c，5c的值，再由定义可求出7a的值；

（2）根据定义1nnnbaa+=+和1nnncbb+=+以及nan=可得nc的通项公式，进而求得nc的前n项和公式；（3）由1132kkab−−≤和一阶和数列的定义可得112kkaa−≤，从而可得公差11dk−−≥≥，结合121000kaaa+++=可得正整数k的最大值.【小问1详解

】由题意，得1121baa=+=，2231baa=+=，3343baa=+=，所以1122cbb=+=，2234cbb=+=，因为nc是等比数列，所以公比为212cc=，由此得38c=，416c=，532c=，所以433835bcb=−=−=，54416511bcb=−=−=，655321

121bcb=−=−=，所以544532aba=−=−=，6551129aba=−=−=，76621912aba=−=−=.【小问2详解】设na的二阶和数列的前n项和为nS，由题意，得1121nnnbaannn+=+=++=+，()1212114

4nnncbbnnn+=+=++++=+，所以()21284481244262nnnnScccnnn++=+++=++++==+.【小问3详解】因为1132kkab−−≤，所以()112kkkaaa−−+≤，解得112kkaa−≤.设数列na的公差为d，则()()112112k

dkd+−+−≤，得11dk−−≥≥，又因为121000kaaa+++=，所以()()111100022kkkkkadkd−−=+=+()11122kkkkk−++−=≥，得1999k，所以k的最大值是1999，此时公差为()20002111999kdkk

−==−−.【点睛】关键点点睛：此题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，逻辑推理能力，解题时充分理解新定义，运用新定义，再结合所学知识是解题的关键.