【文档说明】湖南省长沙市周南中学2023届高三下学期模拟（三）数学试卷（解析版）.docx，共(26)页，1.676 MB，由小赞的店铺上传

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2023届周南中学高三三模考试数学试卷时量：120分钟分量：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合155,04xAxxBxx−=−=−R

Z，则AB=（）A.14xxB.14xxC.1,2,3D.1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】化简集合B，进行交集运算.【详解】()1555,5,04xAxxBxx−=−=−==−RZ()(){140

xxx−−Z且{}40}1,2,3x-?.故AB=1,2,3.故选：C.2.4i1i−的虚部为（）A.2−B.2C.2iD.2i−【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算与复数虚部的概念即可得解.【详解】因为()()()(

)()4i1i4i1i4i2i1i22i1i1i1i2++===+=−+−−+，所以4i1i−的虚部为2.故选：B.3.“1a=”是“函数()()22lgfxxax=+−是奇函数”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既

不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】函数()()22lgfxxax=+−为奇函数，解得1a=，判断1a=与1a=的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数()()22lgfxxax=+−为奇函数，则()()()()22222lglglg0fxfxxaxxaxa+−=+−+++==，

解得1a=.所以“1a=”是“函数()()22lgfxxax=+−为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.4.已知单位向量a，b满足0ab=，若向量63cab=−，则sin,ac=（）．A.33B.63C.33−D.

63−【答案】A【解析】【分析】计算出ac及cr，利用向量余弦夹角公式计算cos,ac，再利用平方关系求出sin,ac.【详解】因为a，b是单位向量，所以1ab==，又因为0ab=，63cab=−，所以()22263621833cabaabb=−=++=，()263

636acaabaab=−=−=，所以6cos,3acacac==，因为,0,πac，所以263sin,133ac=−=.故选：A.5.马路上有编号为1，2，3，…，9九盏路灯，现要关掉其中的三

盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（）A.10B.12C.15D.20【答案】A【解析】【分析】根据题意，用插空法计算.【详解】先将亮的6盏灯排成一列，根据题意，因为关掉3盏路

灯不能是两端2盏，也不能相邻，则有5个符合条件的空位，在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有35C10=种情况，即有10种关灯方法.故选：A.6.设13a=，3ln2b=，1tan2c=，则（）A.abcB.bacC.c<a<bD.acb

【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较,ab，构造函数()()tan,0,1fxxxx=−，()()()ln1,0,gxxxx=−++，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解

】因为3327e28=，所以133e2，所以1331lnlne23=，所以ba，令()()tan,0,1fxxxx=−，则()()22221sin1tan0,0,1coscosxfxxxxx=−==，所以()fx在()0,1上单调递增，所以()1002ff

=，即11tan022−，所以11tan22，令()()()ln1,0,gxxxx=−++，则()()0,0,1xgxxx=++，所以函数()gx在()0,+上递增，所以()1002gg=，即13ln022−，即13ln22

，所以13tanln22，即cb，综上，abc.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造函数()()tan,0,1fxxxx=−，()()()ln1,0,gxxxx=−++，利用中间量12来比较,bc的大小是解决本题的关键

.7.函数()cos()6fxx=+的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（）A.724x=B.38x=C.512x=D.1124x=【答案】C【解析】【分析】由给定解析式及图象确定值的表达式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，点2(,0)3是函数(

)cos()6fxx=+的图象对称中心，且2π3在函数()fx的一个单调增区间内，则22,Z362kk+=−，即31k=−，Zk，令函数()fx周期为T，由图象知2233243TT，即有8493T，而2T=，则有3924

，因此，393124k−，解得513612k，而Zk，则1k=，2=，()cos(2)6fxx=+，由2,Z6xnn+=得函数()fx图象对称轴：,Z212nxn=−，当0n=时，12x=−，当1n=时，512x=，当2n=时，

1112=x，即选项A，B，D不满足，选项C满足.的故选：C8.在三棱锥ABCD−中，AD⊥平面BCD，π2ABDCBD+=，2BDBC==，则三棱锥ABCD−外接球表面积的最小值为（）A.()252π−B.()251π−C.()251π+D.()252

π+【答案】D【解析】【分析】设CBD=，在等腰BCD△中，求得CD，设BCD△的外心是M，外接圆半径是r，由正弦定理得1cos2r=，设外接球球心是O，可得OMDA是直角梯形，设OMh=可得2ADh=，把h（AD）也用表示，然后可表示出外接球半径2R，利

用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．【详解】设CBD=，在等腰BCD△中，2sin4sin22CDBC==，设BCD△的外心是M，外接圆半径是r，则4sin222sin2sincoscos222CDr===，∴1co

s2r=，设外接球球心是O，则OM⊥平面BCD，DM平面BCD，则OMDM⊥，同理ADBD⊥，ADDM⊥，又AD⊥平面BCD，所以//ADOM，OMDA是直角梯形，设OMh=，外接球半径为R，即ODOAR==，则222222()rhRrADhR+=+−=，所以2ADh=，在直

角ABD△中，2ABD=−，BAD=，2tanAD=，2tanAD=，∴1tanh=，22222211cos2cos2tansin1cos1cos1coscos2R=+=+=++−+22232(cos)cos22cos

211cos1cos−+−==−+−−，令3cos2t−=，则13(,)22t，2222211351()324ttRttt=−+=−+−−−+−22215111525353()3244tttt+=−+−+=−+=−−+−，当且仅当54tt=，52t=时等号成立，所以2

4R的最小值是154(225)2+=+．故选：D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设CBD=，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本

不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列na的前n项

和是nS，则下列说法正确的是（）A.若nnSa=，则na是等差数列B.若12a=，123nnaa+=+，则3na+是等比数列C.若na是等差数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等差数列D.若na是等比数列，则nS，2nnSS−，32nnSS−成等比数列【答案】ABC【解

析】【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.【详解】对于A，nnSa=，2n时，11nnnnnaSSaa−−=−=−，解得10na−=，因此Nn，0na=，na是等差数列，A正确

；对于B，12a=，123nnaa+=+，则132(3)nnaa++=+，而135a+=，3na+是等比数列，B正确；对于C，设等差数列na的公差为d，首项是112,nnaSaaa=+++，()()()2212212+nnnnnnnSSaaaandanda

ndSnd++−=+++=+++++=+，232212231222()()()()nnnnnnnnnnSSaaaandandandSSnd++++−=+++=++++++=−+，因此2322()()nnnnn

SSSSS−=+−，则nS，232,nnnnSSSS−−成等差数列，C正确；对于D，若等比数列na的公比1q=−，则242640,0,0SSSSS=−=−=不成等比数列，D错误.故选：ABC10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单

位：秒）服从正态分布()28,N，且(7)0.2P=．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在()7,9间的个数记为X，则（）A.(79)0.8P=B.()1.8EX=C.()(5)EEXD.(1)0.9PX

【答案】BD【解析】【分析】A选项，由正态分布的对称性可知(79)P，A正确；B选项，由()3,0.6XB得到()1.8EX=；C选项，求出()8E=和()()559EXEX==，得到大小关系；D选项，由二项

分布计算出(0)0.064PX==，利用对立事件概率公式求出(1)0.9PX.【详解】A选项，由正态分布的对称性可知：(7)(9)0.2PP==，故(79)10.220.6P=−=，A错误；B选项，()3,0.6XB，故()30.61.8EX==，B正确；C选项，()8E=

，()()5551.89EXEX===，故()(5)EEX，C错误；D选项，因为()3,0.6XB，所以()()0303(0)C0.60.40.064PX===，故(1)10.0640.9360.9PX=−=，D正确.故选：BD11.已知抛物线1C：2

2ypx=(0p)与2C：22xqy=(0q)都经过点(4,8)A,点M,N分别在1C,2C上,且94MANAOA+=,则()A.8p=,1q=B.点M,N的坐标分别为)1,4,)(2,2(C.O

MN的面积为3D.若直线l与1C,2C都相切,则l的方程为220xy++=【答案】ACD【解析】【分析】对A,代入A(4,8)求解即可；对B,设()211,4Mtt,,根据94MANAOA+=,列出方程得到关系式()()()12121220tttttt+−−−=,分类讨论,即可求解；对C,根据B

可得()1,4M−,()2,2N−,求解直线MN的方程,再求解O到MN的距离,进而可得OMN的面积；对D,利用导数的几何意义,求得切线l的方程2002xyxx=−,根据l为曲线12,CC的公切线,联立方程组,结合Δ0=,进而求得l的方程；【详解】对A,因为曲线12,CC都过点()4,8A,所以86

41616pq==,解得8,1pq==,21:16Cyx=,22:2Cxy=,故A正确；对B,设()211,4Mtt,()2222,2Ntt,又()4,8A,()()()221212982,16424,

89,184MANAtttt+=−−−−==,所以212212829164218tttt−−=−−=,可得212221210210tttt++=++=,两式相减得到()()()12121220tttttt

+−−−=,当121tt==−时,()1,4M−,()2,2N−,当12tt时,122tt+=,此时211250tt−+=方程无解,(舍去),综上,可得()1,4M−,()2,2N−,故B错误；对C,由()1,4M−,()2

,2N−,则()24221MNk−−==−−−,故直线MN的方程为()222yx-=-+,即220xy++=,故O到MN的距离2222521d==+,又()()22242135MN=++−−=,则△OMN的面积11235322

5SMNd===,故C正确；对D,设直线l与曲线2C相切于点200,2xQx,令()22xfx=,可得()fxx=,则切线的斜率()00kfxx==,所以切线方程为()20002xyxxx=−+,即2002xyxx=−,由2002216xyxxyx=−=,

整理得22001680xyyx−−=,因为l为曲线12,CC的公切线,所以30Δ256320x=+=,解得02x=−,所以直线l的方程为22yx=−−,即220xy++=．故D正确；故选：ACD12.

若()()eln202xafxaax=+−+，若()0fx恒成立，则a的值不可以是（）A.eB.1C.2eD.2【答案】ABD【解析】【分析】将问题转化为()()()ln2lnelneln2xxaxax+++++

+恒成立，从而构造函数()=exgxx+，结合()gx的单调性可得()ln2ln0xxa−++恒成立，再构造函数()()ln2lnhxxxa=−++，从而得解.【详解】因为el20n2xaax−++，等价于()lnelnln220xaax++−+−，等

价于()()()()()ln2lnelnln22eln2xxaxaxxx++++++=+++，所以原题意即为()()()ln2lnelneln2xxaxax++++++恒成立，令()exgxx=+，则()()()lnln2gxxgx++，又易得()e

xgxx=+在定义域内单调递增，所以()lnln2xax++，即()ln2ln0xxa−++，故()ln2ln0xxa−++恒成立，令()()()ln2ln2hxxxax=−++−，则()()111222xhxxxx+=−=−++，所以当2<<1x−−时，()

0hx；当1x−时，()0hx；则()hx在()2,1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，故()()11ln0hxha−=−+，解得ea，所以若()0fx恒成立，则ea.故A、B、D错误，C正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：积

型：elnaabb，①lnelneabab，构建()exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnfxxx=；商型：elnabab，①lneelnabab，构建()exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnxfxx=；和型：elnaabb，①ln

eelnabab，构建()exfxx=；②elnelnaabb，构建()lnfxxx=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知多项式23401234()fxaaxaxaxax=++++满足对任意R,(cos)2cos4cos3f=+，则1234

aaaa−+−=_________（用数字作答）．【答案】1【解析】【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.【详解】解：由题意得：(cos)2cos4cos3f=+()222cos21coscos2sinsin2

=−+−22224(2cos1)2cos(2cos1)2sincos=−−+−−42324(4cos4cos1)22coscos2(1cos)cos=−+−+−−−423316cos16cos22coscos2cos2cos=−++−−+

23423cos16cos4cos16cos=−−++，由23401234()fxaaxaxaxax=++++可知：012342316416aaaaa==−=−==12343(16)4161aaaa−+

−=−−−+−=.故答案为：114.定义在R上的非常数函数()fx满足：()()fxfx−=，且()()20fxfx−+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()fx=______.【答案】πcos2yx=（答案不唯一）【解析】【分析】根据已知()

()fxfx−=，且()()20fxfx−+=得出对称轴和对称中心，确定一个具体函数即可.【详解】因为()()20fxfx−+=.得出对称中心()10，，且()()fxfx−=得出对称轴为y轴，且周期为4的函数都可以.故答案为：πcos2yx

=15.如图，在ABC中，点D是边AB上一点且2BDAD=，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是ABC的平分线，则BCBA=______.【答案】2【解析】【分析】分析可知BF与BABCBABC+共线，可知存在kR，使得BABCBFkBABC=+

，然后依据A、E、F三点共线以及C、F、D三点共线可得出BF关于,BABC的表达式，结合平面向量的基本定理可求得BCBA的值.【详解】记BABGBA=，BCBHBC=，以BG、BH为邻边作平行四边形BG

MH，因为1BGBH==，则平行四边形BGMH为菱形，所以，BM平分ABC，且BABCBMBGBHBABC=+=+，因为BF平分ABC，则BF、BM共线，则存在kR，使得BABCBFkBMkBABC==+

，因为A、E、F三点共线，则AF、AE共线，则存在R，使得AFAE=，即()BFBABEBA−=−，可得()1BFBABE=−+，因为E为BC的中点，所以，()112BFBABC=−+，因为C、F、D三点共线，则DF、DC共线，所

以，存在R，使得DFDC=，即()BFBDBCBD−=−，所以，()()2113BFBCBDBCBA=+−=+−，因为BA、BC不共线，则()211312−=−=，解得1214

==，故1124BFBABC=+，又因为BABCBFkBMkBABC==+，所以，1214kBAkBC==，故2BCBA=.故答案：2.16.已知双曲线方程是2213yx−=，过2F的直线与

双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为12CFF△、12DFF△的内心，则MN的范围是______.【答案】432,3【解析】【分析】根据双曲线和三角形内切圆的性质可得点M、N与双曲线右顶点A三点共线，且12MNFF⊥，线段M

NMANA=+，可分别用直线倾斜角表示出,MANA，根据倾斜角范围可求出MN的范围.为【详解】因2213yx−=，故1a=，3b=，222cab=+=，如图，过M点分别作12MAFF⊥，2MPFC⊥，1MQFC⊥，垂

足分别为,,APQ，因M为12CFF△的内心，所以12121222AFAFQFPFCFCFa−=−=−==，故A点也在双曲线上，即A为双曲线的右顶点，同理12NAFF⊥，所以,,MAN三点共线，设直线CD的倾斜角为，因双曲线的渐近线方程为3yx=，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π

π32，因2211AFca=−=−=，所以21πtantan2MAMAMFAAF−===，21tantan2NANANFANF===,所以πsinsinπ22tantanπ22cosco

s22MNMANA−−=+=+=+−cossin1222sinsincossincos2222=+==，因ππ32，所以3sin,12，所以2432,sin3，故答案为：432,3四、解答题：本题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，123nnSa+=−，且13a=.（1）求na的通项公式；（2）已知13log,,nnnanban=为奇数为偶数，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）3nna=（

2）()()2121193,884931,84nnnnnTnn++−−=−−为奇数为偶数【解析】【分析】（1）根据前n项和与通项之间的关系分析可得13nnaa+=，结合等比数列求其通项公式；（2）结合（1）求nb，分奇偶项，利

用分组求和的方法求和即可.【小问1详解】∵123nnSa+=−，则有：当1n=时，12236Sa=−=，解得29a=；当2n时，则123nnSa−=−，两式相减得12nnnaaa+=−，即13nnaa+=；注意到211,330aaa

==，故()*13nnaan+=N，∴{}na是首项为3，公比为3的等比数列，故1333nnna−==.【小问2详解】由（1）得,3,nnnnbn−=为奇数为偶数，当n为偶数时，()()12131

24nnnnTbbbbbbbbb−=+++=+++++++()()24131333nn=−+++−++++()2919112219nnn−+−=−+−()293184nn=−−；当n为奇数时()()21111193

1384nnnnnnTTb+++++=−=−−−()211193884nn++=−−；综上所述：()()2121193,884931,84nnnnnTnn++−−=−−为奇数为偶数.18.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，3coscosco

scoscosbcaaBCABC+=+.（1）求tantanBC；（2）若3bc=，求ABC面积S最小值.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sinsincoscosBCBC=，即可求得tantanB

C的值；（2）分析可知B、C均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan2A−，求出sinA的最小值，即可求得S的最小值.【小问1详解】解：3coscoscoscoscosbcaaBCABC+=+，

的()()coscoscoscoscos3cosbCcBAaBCA+=+.由正弦定理得()()sincoscossincossincoscos3cosBCBCAABCA+=+.()()sincossincoscos3cosBCAABCA+=+.因为0πA，则sin0A，πABC++=，

()sinsinBCA+=，则()coscossinsincoscosABCBCBC=−+=−，所以，coscoscos3cosABCA=+，即2coscoscos0ABC+=，所以，()2sinsincoscoscoscos0B

CBCBC−+=，2sinsincoscosBCBC=，即1tantan2BC=.【小问2详解】解：由（1）得1tantan2BC=.若tan0tan0BC，则B、C均为钝角，则πBC+，矛盾，所以，tan0B，tan0C，

此时B、C均为锐角，合乎题意，()()tantantantan2tantan4tantan22tantan1BCABCBCBCBC+=−+==−+−=−−，当且仅当2tantan2BC==时，等号成立

，且A为钝角.tan22A−，则()tanπ22A−，且πA−为锐角，由()()()()()()()22sinπtanπ22cosπsinπcosπ1cosπ0sinπ0AAAAAAA−−=−−+−=−−，

解得()22sinπ3A−，即22sin3A，当且仅当2tantan2BC==时，等号成立，3bc=，13322sinsin22223SbcAA===.因此，ABC面积的最小值为2.19.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面A

BC，BE⊥平面ABC，ABC和ACD均为正三角形，4AC=，3BE=，点F在AC上.（1）若//BF平面CDE，求CF；（2）若F是AC的中点，求二面角FDEC−−的正弦值.【答案】（1）1CF=（2）8517【解析】【分析】（1）

记AC中点为M，连接DM、BM，依题意可得DMAC⊥，根据面面垂直的性质得到DM⊥平面ABC，如图建立空间直角坐标系，求出平面CDE的法向量，设(),0,0Fa，2,2a−，依题意可得0=BFn求出a的值，即可得解；（2）依题意点F与点M重合，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】

记AC中点为M，连接DM、BM，ACD为正三角形，4AC=，则DMAC⊥，且23DM=.因为平面ACD⊥平面ABC，平面ACD平面ABCAC=，DM平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又ABC为正三角形，所以BMAC⊥，所以23BM=，如图建立空间直角坐标系，则()0,23,0B，

()2,0,0C−，()0,0,23D，()0,23,3E，所以()2,0,23CD=，()2,23,3CE=，设平面CDE的法向量为(),,nxyz=，则223022330nCDxznCExyz=+==++=

，令3x=，则3z=−，32y=−，则33,,32n=−−，设(),0,0Fa，2,2a−，则(),23,0BFa=−，因为//BF平面CDE，所以()()33230302BFna=+−−+−=，解得1a=−，所以F为CM的中点，

此时1CF=.【小问2详解】若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为()1,0,0m=，设二面角FDEC−−为，显然二面角为锐角，则()22236cos513332mnmn===+−+−

，所以22685sin1cos11751=−=−=，所以二面角FDEC−−的正弦值为8517.20.有一种水果，在成熟以后进行装箱，每一箱10个．根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为45，320，120．（1）现随机取三箱该水果，求三箱水果中坏果

总数恰有2个的概率；（2）现随机打开一箱该水果，并从中任取2个，设X为坏水果的个数，求X的分布列及期望．【答案】（1）0.15（2）X的分布列为：X012P856900439001900期望为()856431101290090090

020EX=++=【解析】【分析】（1）根据两种情况以及概率乘法公式即可求解，（2）分别求解X为0,1,2的概率，即可求解分布列以及期望【小问1详解】三箱水果中坏果总数恰有2个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，其他两箱没有坏果，或者有两箱各有一个坏果，另一箱没有坏果，三箱水果中坏果总

数恰有2个坏果的概率为221233()C0.80.05C0.150.80.15PA=+=，【小问2详解】由题意可知：X可取0,1,2则2298221010CC428856(0)0.80.150.050.80.150.05CC5459

00PX==++=++=,111928221010CCC11643(1)0.800.150.050.150.05CC545900PX==++=+=,22210C11(2)0.800.1500.050.05C45900PX==++==,所以X的分布列为：X01

2P856900439001900期望为()856431101290090090020EX=++=21.已知椭圆E：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为12,FF,焦距与短轴长均为4.设过F2的直线l交E于M,N,过M,N分别作E在点M,N上的两条切

线,记它们的交点为P,MN的中点为Q.（1）证明：O,P,Q三点共线；（2）过F1作平行于l的直线分别交PM,PN于A,B,求OAOBOP+的取值范围.参考结论：点T(0x,0y)为椭圆22221xyab+=(0ab)上一点,则过点T(0x,0y)的

椭圆的切线方程为00221xxyyab+=.【答案】（1）证明见解析（2）(0,1【解析】【分析】（1）先求得椭圆方程,再设l的方程为2xty=+,联立椭圆的方程,并化简切线方程组可得()4,2Pt−.再设MN的中点为(),QQQxy,证明OQ

OPkk=即可；（2）取AB中点R,根据三角形的性质有,,,ROQP四点共线,再结合椭圆的对称性有2212OAOBtOP+=+即可.【小问1详解】由题意,2224ab−=,24b=,解得24b=,28a=,故椭圆的方程为2218

4xy+=.又()22,0F,显然l斜率不为0,故设l的方程为2xty=+,()()1122,,,MxyNxy,则221842xyxty+==+,即()222440tyty++−=,故12242tyyt+=−+,12242yyt=−+.联立过,MN的切线方程1122184184x

xyyxxyy+=+=,即12122211212828xyxyyyyxyxyyyy+=+=,相减可得()()1221218xyxyxyy−=−,即()()()122121228tyytyyxyy+−+=−,化简可得4x=.的代入11184xxyy+=可得()11

11422422tyxytyy−+−===−,故()4,2Pt−.设MN的中点为(),QQQxy,则122222Qyytyt+==−+,22224222Qtxtt=−+=++,故2242,22tQtt−++.因为2222422OQtttkt−+

==−+,242OPttk−==−,故OQOPkk=,所以,,OQP三点共线.【小问2详解】由1F作平行于l的直线分别交,PMPN于,AB,易得PMNPAB,取AB中点R,根据三角形的性质有,,,ROQP四点共

线,结合椭圆的对称性有22OAOBOROQOPOPOP+==22212QPxxt==+,当且仅当0=t时取等号.故(0,1OAOBOP+.【点睛】方法点睛：根据直线与椭圆的位置关系,结合向量的性质,联立方程利用韦达定理证明三点共线与求取值范围的问题.需要根据题意联立直线与椭圆的方

程,利用韦达定理得到P,Q的坐标,再根据三角形与向量的性质转化所求的量从而进行简化求解范围.属于难题.22.已知函数()cosfxaxx=+.（1）若函数()fx在0,上有极值，求()fx在0,上所有极值的和；（2）若()21e2xfxax+对任意xR恒成立，求正实数a的取值

集合.【答案】（1）答案见解析（2）1【解析】【小问1详解】()sinfxax=−，0,x当1a时，()sin0fxax=−，()fx在0,上单调递增，()fx无极值.当0a时，()sin0fxax=−，()fx在0,上单

调递减，()fx无极值.当01a时，()0fx=在0,上有2个实根，设其为12,xx，且12xx.当()()120,,xxx时，()0fx¢>；当()12,xxx时，()0fx.所以()fx在()10,x单调递增，在()12,xx单调递减，在()2,x单

调递增.所以()1fx为()fx的极大值，()2fx为()fx的极小值.由正弦函数的对称性可知12xx+=，所以()fx在0,上的所有极值的和为()()()()12121211coscoscoscosfxfxaxxxxaxxa+=+++=++−

=.【小问2详解】()21e2xfxax+即21ecos02xaxaxx−+−.设()21ecos2xgxaxaxx=−+−，xR，则()esinxgxaxax=−++，设()esinxhxaxax=−++()ecosxhxax=++.当1a

时，()ecos0xhxax=++，所以()gx在R上单调递增.又()010ga=−，()1esin10g=+，所以()00,1x，使得()00gx=，所以，当()00,xx时，()0gx，()gx单调递减：

当()0,xx+时，()0gx，()gx单调递增.所以，()()000gxg=，不合题意当a=1时，()1ecos0xhxx=++，所以()gx在R上单调递增.又()00g=，所以，当(),0x−时，()0gx，()gx单调递减；.当()0,x+时

，()0gx，()gx单调递增.所以，()()00gxg=，符合题意.当01a时，因为函数e,cosxyyx==在(1,0)−上都为增函数，所以()ecosxhxax=++在()1,0−上单调递增.又()11cos10eha−=++，所以()()10hxh−，所以()

esinxgxaxax=−++在()1,0−上单调递增.又()010ag=−，()111212sin12sin20ee4e2gaaa−=−+−−+−=−+−，所以()1,0m−，使得()0gm=

，所以，当(),0xm时，()0gx，()gx单调递增.所以，()()00gmg=，不合题意.综上，正实数a的取值集合是1.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数

学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解

题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com