【文档说明】浙江省温州市新力量联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.097 MB，由envi的店铺上传

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2024学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二年级数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4.

考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.）1.过点()2,0且与直线10xy+−=平行的直线方程是（）A.20xy−+=B.20xy+−=C.20xy−−=D.30xy+−=【答案】B【解析】【

分析】设所求直线方程为()01xymm++=−，代入点()2,0求出m即可.【详解】设过点()2,0且与直线10xy+−=平行的直线方程为()01xymm++=−，则200m++=，解得2m=−，所以所求的直线方程为20xy+−=.故选:B.2.直线1l，2l的斜率是方程2

10xmx−−=的两个根，则（）A.12//llB.12ll⊥C.1l与2l相交但不垂直D.1l与2l的位置关系不确定【答案】B【解析】【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.【详解】设直线12,ll的斜率分别是12,kk，

依题意1212,1kkmkk+==−，所以12ll⊥.故选：B3.已知点()()2,0,6,4MN，则以MN为直径的圆的方程为（）A.()()224216xy++−=B.()()22428xy−++=C.()()224216xy−+−=D.()()22428xy−+−=【答

案】D【解析】【分析】根据中点坐标公式算出MN的中点坐标为()4,2，且42MN=，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程.【详解】因为()()2,0,6,4MN，线段MN的中点为()4,2，()()22624042MN=−+−=，所以以线段MN为直径的圆

的圆心坐标为()4,2，半径22r=，所以线段MN为直径的圆的方程为()()22428xy−+−=.故选：D.4.已知椭圆2222xy+=，则下列结论正确的是（）A.长轴长为22B.焦距为2C.短轴长为2D.离心率为22【答案】D【解析】【分析】椭圆方程整理得2

2142xy+=，求得a，b，c后即可求解．【详解】已知椭圆2222xy+=，整理得22142xy+=，得24a=，22b=，所以2222cab=−=，则2a=，2b=，2c=，故椭圆长轴长为24a=，焦距为222c=，短轴长为222b=，离心率为22ca=．

故选：D．5.已知平面内有一个点()2,1,2A−，的一个法向量为()1,2,3n=，则下列点P中，在平面内的是（）A.()1,2,1B.()3,0,1C.()1,1,1−D.()1,1,1−【答案】B【解析】【分析】由0=APn，逐个判

断即可.【详解】符合条件的P应满足0=APn，对于A，()1,3,1AP=−−，16320APn=−+−=，对于B，()1,1,1AP=−，1230APn=+−=，对于C，()1,2,3AP=−−，14960APn=−+

−=−，对于D，()1,0,1AP=−−，10340APn=−+−=−，故选：B6.已知点(3,1)M在圆22C:24240xyxyk+−+++=外，则k的取值范围为（）A.162k−B.6k−或12kC.6k−D.12k【答案】A【解析】【分析】求出圆的标准方程，结合点与圆的

位置关系建立不等式关系进行求解即可．【详解】∵圆22C:24240xyxyk+−+++=，圆的标准方程为()()221212xyk−++=−，∴圆心坐标()1,2−，半径12rk=−，若(3,1)M在圆22C:24240xyxyk+−+++=外，则满足()()22311212k−

++−，且120k−，即1312k−且12k，即162k−故选A【点睛】本题主要考查点和圆的位置关系的应用，求出圆的标准方程是解决本题的关键，属于基础题．7.下列命题正确的是（）A.在空间四边形AB

CD中，0ABCDBCADCABD++=B.abab−−是a与b不共线的充要条件C.在棱长为1正四面体ABCD中，12ABBC=D.设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若1233OPOAOBOC=++，则P，A，B，C四点共面【答案】A【解析】

【分析】根据向量数量积运算判断A,特殊值法判断B选项，根据平面向量模长及夹角计算平面向量的数量积判断C,应用四点共面性质判断D.【详解】对于A:空间四边形ABCD中，()ABCDBCADCABDABCDBCADCB

BABD++=+++()()ABCDBDBCADBD=−+−ABCBBCAB=+0ABCBCBAB=−=,A选项正确；对于B:当,ab反向共线，满足abab−−，但是a与b共线，B选项错误；对于C:在棱长为1正四面体ABCD中，11···cos60112

2ABBCBABCABBC=−=−=−=−,C选项错误；对于D:因为1233OPOAOBOC=++，而121233++=不是1，所以P，A，B，C四点不共面，D选项错误故选：A.8.已知椭圆E：()222210+=

xyabab的左､右焦点分别为1F，2F(如图)，过2F的直线交E于P，Q两的点，且1PFx⊥轴，2213PFFQ=，则E的离心率为（）A.33B.12C.22D.32【答案】D【解析】【分析】由1PF

x⊥轴，求出21bPFa=，再利用212QHFPFFV:V，得到线段比例关系，从而得到213bQHa=，2213cHF=，进而得到点215,1313cbQa−，代入椭圆结合222bac=−即可求得离心率.【详解】由1(,0)Fc−，1PFx⊥，将x

c=−代入椭圆方程知22221cyab+=，解得：2bya=，即21bPFa=过点Q作QHx⊥轴，则212QHFPFFV:V，又2213PFFQ=11222213PFFFPFQHHFQF===，得213bQHa=，2213cHF=所以点Q的坐标为22,1313cbc

a+−，即215,1313cbQa−又点Q在椭圆上，222221513131bcaab−+=，即222225169cba+=又222bac=−，22224168ca

=，2216832244ca==，即32ca=故选：D【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,ac，从而求出e；②

构造,ac的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知圆22:4O

xy+=和圆22:2440Mxyxy+−++=相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.公共弦AB所在直线方程为240xy−−=B.圆O上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C.取圆M上点(),Cab，

则2ab−的最大值为425+D.直线10mxym++−=被圆O所截得弦长最短为22【答案】ABD【解析】【分析】对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得O到直线l的距离，结合圆O的半径，即可判断；对C：求得,ab的参数表达形式，结合三角函数的最值，即

可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误.【详解】对A：圆22:4Oxy+=和圆22:2440Mxyxy+−++=相交于AB､两点，故直线AB的方程为：2444xy−++=−，即240xy−−=，故A正确；对B

：𝑂(0,0)到直线l的距离212d==，又圆O的半径2r=，所以直线l与圆O相交且l不过圆心，即圆O上存在3个点到直线l的距离为1，B正确；对C：圆22:2440Mxyxy+−++=，即()()22121xy−++=，因为()

,ab在圆M上，故可设)1cos,2sin,0,2ab=+=−+，则()ππ222cos2sin5sin4,tan2,,22ab−=++−=−−+=−，又())5sin4,0,2y

=−−+的最大值为45+，故2ab+的最大值为45+，C错误；对D：将直线方程10mxym++−=变形为()110mxy++−=，由1010xy+=−=，解得11xy=−=，所以，直线10mxym++−=过定点()1,1P−，所以，圆心O到直线10mxym++−=的距离

为最大值为2OP=，因此，直线10mxym++−=被圆O所截得弦长最短为()224222−=，D正确.故选：ABD.10.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若0ab，则,ab是钝角B.若1233ADACAB=+，则可知2CDDB=C.若a为直线l的方向向量，则λ(R)a

也是直线l的方向向量D.在四面体PABC−中，若0PABC=，0PCAB=，则0PBAC=【答案】BD【解析】【分析】对A，举反例,ab=即可判断；对B，根据向量的线性运算即可判断；对C，举反例0=即可判断；对D，

作出图形，证明出O为ABCV垂心即可判断.【详解】对A，若0ab，则,ab可能为，故A错误；对B，123233ADACABADACAB=+=+⇒()222ADACADABCAADDAAB−=−++=+⇒2CDDB=，所以B正确；对C，当

0=时，0a=，不是直线l的方向向量，所以C错误；对D，如图，过P作⊥PO平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，连AO交BC于N，连BO交AC于T，0PCBCPCBCANBC=⊥⊥，同理CMABO⊥为

ABCV垂心，所以BTACPBAC⊥⊥，从而0PBAC=，所以D正确；故选：BD.11.（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨

迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点(1,0)F，直线:4lx=，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A.点P的轨迹方程是

22143xy+=B.直线1:240lxy+−=是“最远距离直线”C.平面上有一点(1,1)A−，则||2||PAPF+的最小值为5D.点P的轨迹与圆22:20Cxyx+−=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【答案】ABC【解析

】【分析】对于A，设(,)Pxy，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求||||PAPB+即可；对于D，易判断(2,0)为交点.【详解】对于A，设(,)Px

y，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，所以()32214xyx−+=−，化简可得22143xy+=，故选项A正确；对于B，联立方程组22240143xyxy+−=+=，可得2(1)0x−=，解得1x=，故存在点31,2P

，所以直线1:240lxy+−=是“最远距离直线”，故选项B正确；对于C，过点P作PB垂直直线:4lx=，垂足为B，由题意可得，2PBPF=，则2PAPFPAPB+=+，由图象可知，||||PAPB+的最小值即为点A到直线:4lx=的距离5，

故选项C正确；对于D，由22:20Cxyx+−=可得22(1)1xy−+=，即圆心为(1,0)，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点(2,0)，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分

别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.非选择题部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知焦点在x轴上的椭圆2219xym+=的离心率

为13，则m的值为____________.【答案】8【解析】【分析】由椭圆离心率的定义列方程即可解出.【详解】∵焦点在x轴上，由椭圆方程可知：229abm==，∴22221111939bmea=−=−==，即8m=.故答案为：8

13.直线cos20xy+−=的倾斜角取值范围是________.【答案】π3π0,,π44【解析】【分析】根据题设有cos[1,1]k=−−，结合直线斜率与倾斜角关系确定范围即可.【详

解】由题设cos2yx=−+，即直线斜率为cos[1,1]k=−−，若直线倾斜角，则tan1,1−，而)0,π，所以π3π0,,π44.故答案：π3π0,,π44

14.正方体1111ABCDABCD−棱长为2，若动点P在线段1BD上运动，则DCAP的取值范围是___________．【答案】0,4【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1BPBD=，即可求出DCAP，再根据

的范围，求出DCAP的取值范围．【详解】解：以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以1DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则()0,0,0D，()0,2,0C，()2,0,0A，()2,2,

0B，()10,0,2D．()0,2,0DC=，()12,2,2BD=−−，()0,2,0AB=．为的点P在线段1BD上运动，()12,2,2BPBD==−−，且01剟．()2,22,2APABBP=+=−−，44DCAP=−，∵01剟，∴0444−，即

0,4DCAP，故答案为：0,4．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线:20lkxyk−+−=.（1）证明：直线l过定点P；（2）求过点P且横截距与纵截距相等的直线m方程.

【答案】（1）证明见解析（2）20xy−=或者30xy+−=【解析】【分析】（1）通过1020xy−=−=即可求证；（2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可.【小问1详解】:20lkxyk−+−=即()120kxy−+

−=令1020xy−=−=解得12xy==直线l过定点()1,2P【小问2详解】当直线m横截距等于纵截距为0时直线m过原点()0,0O斜率20210k−==−此时直线方程2yx=即20xy−=当直线m横截距，纵截距

不为0时，可设直线m的方程为：为1xyaa+=直线m过点()1,2P，代入方程得121aa+=3a=直线m的方程为：133xy+=，即直线m的方程为：30xy+−=综上所述直线m的方程为20xy−=或者30xy+−=16.如图

，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，且AB，AD，1AA两两夹角均为60，且长度相等，设ABa=，ADb=，1AAc=.（1）试用a，b，c表示BM；（2）求直线BM与直线AD所成角的余弦值.【答案】（1）1122−++abc（

2）3510【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算可求解；（2）求得BM与BMAD可求直线BM与直线AD所成角的余弦值.【小问1详解】()()11111112222BMBBBMAAADABcbaabc=+=+−=+−=−++【小问2详解】根据题意可设设1abc===，则

22222111115224424BMabcabcabacbc=−++=++−−+=，52BM=21111322224BMADabcbabbbc=−++=−++=3354cos,1

0512BMADBMADBMAD===所以直线BM与直线AD所成角的余弦值为3510.17.已知圆C过点()0,2M−，()31N,，且圆心C在直线210xy++=上.（1）求圆C的标准方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线l：①斜率为1；②直线被圆C截得的弦为AB

，以AB为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22329xy−++=（2）存在，1yx=−或4yx=−【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程；（2）首先设

直线l存在，其方程为yxb=+，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据OAOB⊥解得b，得到直线方程，并需验证.【小问1详解】设圆C的方程为()2222040xyDxEyFDEF++++=+−，则有1024201030DEEFDEF−−+=−+=+++=，解得

6D=−，4E=，4F=，圆C方程为：226440xyxy+−++=，即()()22329xy−++=；【小问2详解】设直线l存在，其方程为yxb=+，它与圆C的交点设为()11,Axy、()22,Bxy，则由226440xyxyyxb+−++==+，得()22221440xbxb

b+−+++=()，122121442xxbbbxx+=−++=，AB为直径，OAOB⊥12120xxyy+=，()()()212121212121220xxyyxxxbxbxxbxxb+=+++=+

++=，即()224410bbbbb+++−+=，即2540bb++=，1b=−或4b=−，容易验证1b=−或4b=−时方程()的Δ0，故存在这样的两条直线l，其方程是1yx=−或4yx=−.1

8.如图，已知四棱锥PABCD−的底面为矩形，2AB=，22AD=，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.（1）求证：直线AC⊥平面POB；（2）若平面PAB与平面PCD的交线为l，2PD=，（i）

求证：直线lAB∥；（ii）求l与平面PAC所成角大小.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析，（ii）π4【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可知ACBO⊥，进而根据线面垂直的性质得ACPO⊥，即可由线面垂直的判定求证，（2）根据线面平行的性质即可求解（i），建立空间直角坐标系，求解平

面法向量，即可利用向量的夹角求的解（ii）.【小问1详解】证明：在RtABC△中，2tan2ACB=，在RtAOB中，2tan2ABO=，=ACBABOπ2ACBOBC+=，故ACBO⊥PO⊥平面ABCD

，AC平面ABCD，则ACPO⊥又POBOO=，PO，BO平面POB，AC⊥平面POB【小问2详解】解：（i）//ABCD，AB平面PCD，CD平面PCD，//AB平面PCD.又平面PAB平面PCDl=，AB平面PAB，//lAB.（ii）l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平

面PAC所成角的正弦值以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，以A点作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，由于222,2,2,PDODPOPDOD===−=则()0,0,0A，()0,2,2P，()2,0,0B，()2,22,0C()0,2,2A

P=，()2,22,0AC=，()2,0,0AB=设平面PAC的一个法向量为(),,nxyz=则0,0,APnACn==即2202220yzxy+=+=令1y=，则2,1xz=−=

−，得()2,1,1n=−−设l与平面PAC所成角为2sincos,2ABn==所以l与平面PAC所成角为π419.已知椭圆22143xy+=上有两个不同点A，B关于直线1:4lymx=+对称.（1）记直线l与线段AB的交点为P.（

i）求证：ABOPkk为定值；（ii）求P的坐标（用m来表示）.（2）求OAB△面积的最大值（O为坐标原点）.【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）13,4Pm−−（2）3【解析】【分析】（1）（i）通过点差法即可求证；（ii）设𝑃(𝑥0,𝑦0)，由（i）得0034

ymx=，再结合P在l上即可求解；（2）由弦长公式及点到线的距离公式表示出出三角形面积，进而可求解.【小问1详解】（i）设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑃(𝑥0,𝑦0)，得到01201222xxxyyy=+=+将𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)代入

椭圆方程得22112222143143xyxy+=+=，两式相减得：2121212134yyyyxxxx−+=−−+，即34ABOPkk=−（ii）易知0m，由题意知1ABkm=−，由（i）知34ABOPkk=−则有00134yxm−=−

，即0034ymx=（1）又P在直线l上，所以有0014ymx=+（2）有（1）（2）解得00134xmy=−=−，即13,4Pm−−【小问2详解】设直线AB的直线方程为1yxbm=−+联立221143yxbmxy=−++=

得到()2224834120bxxbmm+−+−=即()()222223484120mxmbxmbm+−+−=122834mbxxm+=+，22212241234mbmxxm−=+，4224Δ483mbm=+−4222122244

3311134mbmABkxxmm+−=+−=++又O到直线1:AByxbm=−+的距离为221111bbdmm−==++，42222244331111223411OABmbbmSdABmmm+−==+

++()422222222244333412323434mbbmmbmbmmm+−+−=++22222234223334mmbmbm+−+=+（当且仅当2222234mmbmb+−=取等号）