【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第一讲 数与式的运算（人教版A2019）（原卷版）.docx，共(10)页，1.060 MB，由小赞的店铺上传

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第一讲：数与式的运算【教学目标】1、掌握相反数，绝对值等数的意义；2、掌握乘法公式的应用；3、掌握根式，分式及不等式的意义和应用.【基础知识】一、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍

是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa==−绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba−表示在数轴上，数a和数b之间的距离．二

、乘法公式（1）平方差公式22()()ababab+−=−；（2）完全平方公式222()2abaabb=+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab+−+=+；（2）立方差公式2233()()abaabbab−++=−；

（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33abaababb+=+++；（5）两数差立方公式33223()33abaababb−=−+−．三、二次根式一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根

式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aabb+++，22ab+等是无理式，而22212xx++，222xxyy++，2a等是有理式．二次根式2a的意义：2aa==,0,,0.aaaa−四、根式分式的意义：形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称A

B为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM=；AAMBBM=．五、不等式一般地,用符号"<"（或"≤"）、">"（或"≥"）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

。不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。【题型目录】考点一：绝对值考点二：乘法公式考点三：二次根式考点四：分式考点五：不等式【考点剖析】考点一：绝对值一个正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数

，零的绝对值仍是零．例1．若32120xyxy−−++−=，则,xy的值为（）A．1，4B．2，0C．0，2D．1，1变式训练1．12−的绝对值是（）A．12B．2−C．2D．12−变式训练2．下列说法，正确的是（）A．一个数的绝对值越大，表示它的点在

数轴上越靠右B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远D．一个数的绝对值总是大于0变式训练3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则2bcab−−−的化简结果为（）A．23abc−+−B

．2abc−−C．2ac−+D．23abc−+考点二：乘法公式平方差公式：22()()ababab+−=−；完全平方公式：222()2abaabb=+.例2．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．()()2111xxx−=+−

B．()22121xxx+=++C．()22121xxxx−+=−+D．()()2111xxx+−=−变式训练1．若()()24312xxxbx−+=+−，则b的值为（）A．1B．1−C．7−D．7变式训练2．下列各式计算正确的是（）A．()()22339ababab+−=−B．()33326

abab−=−C．224235aaa+=D．()3322aaa−=−变式训练3．观察：()()2111xxx−+=−，()()23111xxxx−++=−，()()324111xxxxx−+++=−，据此规律，当()()54321

10xxxxxx−+++++=时，代数式20221x−的值为（）A．1B．0C．1或－1D．0或－2考点三：二次根式算术平方根：2||aa=；平方根：2aa=.例3．下列算式中，错误的是（）A．0.640.8−=−B．1.961.4=C．93255=D．327382=变式训练1

．下列各数中没有平方根的数是（）A．()24−B．24−C．()21−D．()22−变式训练2．下列选项正确的是（）A．0没有算术平方根B．()233−=−C．27的立方根是33D．12不是最简二次根式变式训练3．下列各式中，正确的是（）A

．()233−=−B．233−=−C．()233=D．233=考点四：分式分式：即分母不为零；计算时，先去分母，变成整式计算.例4．下列等式成立的是（）A．2abaabbab=−−B．112abab=++C．123abab+=+D．aaabab=−−++变式

训练1．分式13x−有意义的条件是（）A．0xB．3x=C．3xD．3x−变式训练2．化简211mmmm−−的结果是（）A．mB．1mC．1m−D．11m−变式训练3．下列变形正确的是（）A．22aabb=B．22ababaa−−

=C．23322abbaaa=−−D．223362aabaabaa++=考点五：不等式不等式性质：在不等式两侧同时加或减同一个数，不等号的方向不改变；在不等式两侧同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不改变；在不等式两侧同时乘或

除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式解集：利用数轴，求解公共部分的解集.例5．已知ab，则在下列结论中，错误的是（）A．33ab++B．ab−−C．22ab−−D．2323ab−−变式训练1．若xy，则下列式子错误的是（）A．22xy−−B．22xyC．22xy−−

D．22xy++变式训练2．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（）A．()10080

10900xx+−B．()1008010900xx+−C．()1008010900xx+−D．()1008010900xx+−变式训练3．关于x的不等式组0251xaxx−−−有且仅有5个整数解，则a的

取值范围是（）A．54a−−B．54a−−C．43a−−D．43a−−【课堂小结】1．知识清单：(1)绝对值，乘法公式，二次根式，分式的计算．(2)不等式的数轴表示．2．方法归纳：数与式的计算，数形结合．3．常见误区：忽略绝对值，根式中的负

值．【课后作业】1、冠状病毒是引起病毒性肺炎的病原体的一种，可以在人群中扩散传播，某冠状病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为（）A．98.110−B．88.110−C．9

8110−D．78.110−2、．下列各组数中，两数不相等的是（）A．()23−与23−B．()23−与23C．()32−与32−D．32−与32−3、等腰三角形的两边a，b满足7260ab−+−=，则它的周长是

（）A．17B．13或17C．13D．194、古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记2abcp++=，那么三角形的面积为()()()Sppapbpc=−−

−．如图，在ABC中，A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若5a=，7b=，8c=，则ABC的面积为（）A．14B．20C．103D．1065、已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①0ab，②ab，③0

ab−，④baab−+，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．①③④6、下列说法：①a−一定是一个负数；②相反数、绝对值都等于它本身的数只有0；③一个有理数不是整数就是分数；④一个数的绝对值越大，则

表示它的点在数轴上离原点的距离越远；⑤当0a时，a总是大于0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7、下列说法不正确的是（）A．125的平方根是15B．0.2的算术平方根是0.02C．9−是81的一个平方根D．31255=8、下列计算中，正确的是（）A．3223+=B．(4)

(9)496−−=−−=C．222()−=−D．382−=−9、已知122aa−=，那么1aa+的值是（）A．23B．23C．23−D．610、下列分式变形正确的是（）A．yyaxxa+=+B．xyyxxyxy−−=++C．xyyxxyxy−−=

−++D．yyaxx−=11、下列说法错误的是（）A．若式子211xx+−有意义，则x的取值范围是1x−或1xB．分式xyx+中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变C．分式22xx+−的值不可能等于0D．若31x+表示一个整数，则整数x

可取值的个数是4个12、若ab，则下列各式中一定成立的是（）A．ab−−B．33abC．11ab−−D．acbc13、某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获

得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）A．5(20)85xx+−B．5(20)85xx+−C．5(20)85xx−−D．5(20)85xx−−14、关于x的不等式组211321xxxa+−

+有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（）A．7−B．3−C．0D．715、计算：(1)202031833−+−+−(2)计算：1(26227)32−(3)()()()23223322332+−−−(4)先化简，再求值：221

21xxxxxx−−−+，其中51x=+．16、已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：(1)普通列车的行驶路程为多少千米？(2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高

铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．17、把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：268aa++，解：原式()()22681

169124aaaaaa=+++−=++−=++②222222Maabbb=−+−+，利用配方法求M的最小值，解：()()22222222222221111aabbbaabbbbabb−+−+=−++−++=−+−+∵()20ab

−，()210b−∴当1ab==时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：223xx−+______．(2)用配方法因式分解：2243xxyy−+．(

3)若284Mxx=+−，求M的最小值．(4)已知222222450xyzxyyz++−−−+=，则xyz++的值为______．