【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第一讲 数与式的运算（人教版A2019） Word版含解析.docx，共(22)页，1.401 MB，由小赞的店铺上传

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第一讲：数与式的运算【教学目标】1、掌握相反数，绝对值等数的意义；2、掌握乘法公式的应用；3、掌握根式，分式及不等式的意义和应用.【基础知识】一、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．

即,0,||0,0,,0.aaaaaa==−绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba−表示在数轴上，数a和数b之间的距离．二、乘法公式（1）平方差

公式22()()ababab+−=−；（2）完全平方公式222()2abaabb=+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab+−+=+；（2）立方差公式22

33()()abaabbab−++=−；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33abaababb+=+++；（5）两数差立方公式33223()33abaababb−=−+−．三、二次根式一般地，形如(0

)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aabb+++，22ab+等是无理式，而22212xx++，222xxyy++，2a等是有理式．二次根式2a的意义：2aa==,0,

,0.aaaa−四、根式分式的意义：形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：AAMBBM=；AAMBBM=．五、不等式一般地,用符号"<"（或"≤"）、">"（或"≥"）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫

做不等式的解。不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。【题型目录】考点一：绝对值考点二：乘法公式考点三：二次根式考点四：分式考点五：不等式【考点剖析】考点一：绝对值一个正数的绝对值是它的本身，负数的绝

对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．例1．若32120xyxy−−++−=，则,xy的值为（）A．1，4B．2，0C．0，2D．1，1【答案】D【分析】根据32120xyxy−−++−=，可得3210xy−−=①，20xy+−=②，根据加减消元法求解二元一次方程组即可．【详解】解：∵

32120xyxy−−++−=，∴3210xy−−=①，20xy+−=②，2´①+②，得550x−=，解得1x=，将1x=代入②，得120y+-=，解得1y=，∴1x=，1y=，故选：D．变式训练1．12−的绝对值是（）A．12B．2−C．2D．12−【答案】A【分析】根据负数的绝对值等于它的相反

数，即可求解．【详解】解：12−的绝对值是12．故选：A变式训练2．下列说法，正确的是（）A．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远D．一个数的绝对值总是大

于0【答案】C【分析】一个数的绝对值是指这个数到原点的距离，根据绝对值的定义即可判断．【详解】解：一个数的绝对值是指这个数到原点的距离，一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，又0的绝对值是0，∴A，B，D

不符合题意；只有C选项正确，故选：C．变式训练3．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则2bcab−−−的化简结果为（）A．23abc−+−B．2abc−−C．2ac−+D．23abc−+【答案】B【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值

符号，合并同类项即可．【详解】解：由数轴可知0cab，∴0bc−，0ab−，∴原式()2bcab=−+−22bcab=−+−2abc=−−．故选：B．考点二：乘法公式平方差公式：22()()ababab+−=−；完全平方公式：222()2abaa

bb=+.例2．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．()()2111xxx−=+−B．()22121xxx+=++C．()22121xxxx−+=−+D．()()2111xxx+−=−【答案】A【分析】直接

利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断得出答案.【详解】解：A、()()2111xxx−=+−，由左到右的变形中，因式分解正确，符合题意；B、()22121xxx+=++，是整式乘法，不合题意；C

、()22121xxxx−+=−+，不是因式分解，不合题意；D、()()2111xxx+−=−，是整式乘法，不合题意；故选：A.变式训练1．若()()24312xxxbx−+=+−，则b的值为（）A．1B．1−C．7−D．7【答案】B【分析】根据多项式乘多项式的计算法则计算出()()43xx−+，

即可求解．【详解】解：∵()()2243431212xxxxxxx−+=−+−=−−，∴221212xxxbx−−=+−，∴1b=-，故选B．变式训练2．下列各式计算正确的是（）A．()()22339ababab+−=−B．()33326abab−=−C．224235aaa+=D．()3322a

aa−=−【答案】A【分析】根据平方差公式，积的乘方，合并同类项，单项式乘单项式，计算选择即可．【详解】A、()()22339ababab+−=−，该项正确，符合题意；B、()33328abab−=−，该项错误，不符合

题意；C、222235aaa+=，该项错误，不符合题意；D、()3422aaa−=−，该项错误，不符合题意；故选A．变式训练3．观察：()()2111xxx−+=−，()()23111xxxx−++=−，()()324111xxxxx−+++=−，据此规律，当()()54321

10xxxxxx−+++++=时，代数式20221x−的值为（）A．1B．0C．1或－1D．0或－2【答案】B【分析】根据规律得到()()54326111xxxxxxx−+++++=−，进而得到610x−=，1x=，再分别代入20

221x−即可求解．【详解】解：根据规律得()()54326111xxxxxxx−+++++=−，∵()()5432110xxxxxx−+++++=，∴610x−=，∴1x=，当1x=时，20222022111110x−=−=−=当=1x−时，()2022202

2111110x−=−−=−=．故选：B考点三：二次根式算术平方根：2||aa=；平方根：2aa=.例3．下列算式中，错误的是（）A．0.640.8−=−B．1.961.4=C．93255=D

．327382=【答案】C【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐一计算可得．【详解】解：A．0.640.8−=−，正确；B．1.961.4=，正确；C．93255=，此选项错误；D．327382=，正确；故选：C．

变式训练1．下列各数中没有平方根的数是（）A．()24−B．24−C．()21−D．()22−【答案】B【分析】根据负数没有平方根，找出计算结果为负数即可．【详解】解：A、()2146−=，故有平方根，不合题意；B、2416−=−，故没有平

方根，符合题意；C、()211−=，故有平方根，不合题意；D、()222−=，故有平方根，不合题意；故选：B．变式训练2．下列选项正确的是（）A．0没有算术平方根B．()233−=−C．27的立方根是33D．12不是最简二次根式【答案】D【分析】根据平方根和立方根的定义，以及二次根式的性质和最

简二次根式的定义进行逐项分析即可．【详解】解：A、0的算术平方根是0本身，故A选项错误，不符合题意；B、()2333−=−=，故B选项错误，不符合题意；C、27的立方根是3，故C选项错误，不符合题意；D、12不是最简二次根

式，1222=，故D选项正确，符合题意；故选：D．变式训练3．下列各式中，正确的是（）A．()233−=−B．233−=−C．()233=D．233=【答案】B【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．【详解】A、()2333−=−=；故A错误，不符

合题意；B、2333−=−=−；故B正确，符合题意；C、()2333==；故C错误，不符合题意；D、2333==；故D错误，不符合题意．故选：B．考点四：分式分式：即分母不为零；计算时，先去分母，变成整式计算.例4．下列等式成立

的是（）A．2abaabbab=−−B．112abab=++C．123abab+=+D．aaabab=−−++【答案】A【分析】根据分式的基本性质及分式的加法法则进行即可．【详解】解：∵()2ababaabbabbab==−−−，∴

A成立，符合题意；∵212abab++，∴B不成立，不符合题意；∵221bbaaba+=+，∴C不成立，不符合题意；∵aaabab=−−+−，∴D不成立，不符合题意；故选：A．变式训练1．分式13x−有意义的条件是（）A．0xB．3x=C．3xD．3x−【答案】

C【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0解答即可.【详解】解：分式13x−有意义的条件是30x−，即3x；故选：C.变式训练2．化简211mmmm−−的结果是（）A．mB．1mC．1m−D．11m−【答案】A【分

析】根据分式的除法进行计算即可求解．【详解】解：211mmmm−−211mmmm−−=m=，故选：A．变式训练3．下列变形正确的是（）A．22aabb=B．22ababaa−−=C．23322abbaaa=−−D．223362aabaabaa++=【答案】C【分析】利用分式的基本性质逐项

计算，即可得出答案．【详解】解：当1ab=或0a=时22aabb=成立，其余情况下22aabb，故A选项错误，不合题意；2222abaababaaa−−−=，故B选项错误，不合题意；()2333222ababbaaaaa==−−−，故C选项正确，符合题意；()223

3363222aabaababaabaaaaa++++==，故D选项错误，不合题意；故选C．考点五：不等式不等式性质：在不等式两侧同时加或减同一个数，不等号的方向不改变；在不等式两侧同时乘或除以同一个正数，不等号的方向

不改变；在不等式两侧同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．不等式解集：利用数轴，求解公共部分的解集.例5．已知ab，则在下列结论中，错误的是（）A．33ab++B．ab−−C．22ab−−D．2323ab−−【答案】D【分析】根据不等式的基本性质进行分析判断即可．【详解

】解：由不等式性质1可知A、C的结论正确，不符合题意；由不等式性质3可知B的结论正确，不符合题意；综合不等式性质1和3，可得2323ab−−，故D的结论错误，符合题意，故选：D．变式训练1．若xy，则下列式子错误的是（）A．22xy−−B．22xyC．22xy−−D

．22xy++【答案】C【分析】根据不等式的性质即可得出答案．【详解】解：A．根据“不等式的两边同时减去一个数不等式，不等号的方向不变”，所以22xy−−，故A正确，不符合题意；B．根据“不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不

等号的方向不变”，所以22xy，故B正确，不符合题意；C．根据“不等式的两边同时乘以一个负数不等号的方向改变”，所以22xy−−，故C错误，符合题意；D．根据“不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变”，所以22xy++，故D正确，不符合题意．故选：C．变式训练2．

北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（）A．()100801

0900xx+−B．()1008010900xx+−C．()1008010900xx+−D．()1008010900xx+−【答案】D【分析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融()10x−件，再根据总共花费不超过900元即可列出不等式．【详解】解：设购买冰墩

墩礼品x件，则购买雪容融()10x−件，由题意得()1008010900xx+−，故选D．变式训练3．关于x的不等式组0251xaxx−−−有且仅有5个整数解，则a的取值范围是（）A．54a−−B．54a−−C．43a−−D．43a−−【答案】D【

分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据不等式有且仅有5个整数解得出答案即可．【详解】解：0251xaxx−−−①②，解不等式①，得xa，解不等式②，得2x，所以不等式组的解集是2ax，关于x的不等式组0251xaxx−

−−有且仅有5个整数解(是1，0，1−，2−，3)−，43a−−，故选：D．【课堂小结】1．知识清单：(1)绝对值，乘法公式，二次根式，分式的计算．(2)不等式的数轴表示．2．方法归纳：数与式的计算，数形结合．3．常见误区：忽略绝对值，根式中的负值．【课后作业

】1、冠状病毒是引起病毒性肺炎的病原体的一种，可以在人群中扩散传播，某冠状病毒的直径大约是0.000000081米，用科学记数法可表示为（）A．98.110−B．88.110−C．98110−D．78.110−【答案

】B【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na−，其中1||10a，n为整数，据此判断即可．【详解】解：80.0000000818.110−=．故选：B．2、．下列各组数中，两数不相等的是（）A．()23−与23−B．()23−与23C．()32−与32−D．32

−与32−【答案】A【分析】根据有理数的乘方运算和绝对值的意义逐一进行计算即可得到答案．【详解】解：A、()239−=，239−=−，两数不相等，符合题意，选项正确；B、()239−=，239=，两数相等，不符合题意，选项错

误；C、()328−=−，382-=-，两数相等，不符合题意，选项错误；D、33228−==，3288−=−=，两数相等，不符合题意，选项错误，故选A．3、等腰三角形的两边a，b满足7260ab−+−=，则

它的周长是（）A．17B．13或17C．13D．19【答案】A【分析】根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可；【详解】∵7260ab−+−=，∴70260ab−=−=，解得73a

b==，∵a，b是等腰三角形的两边，∴当7a=为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系，此时三角形的周长77317++=；当3b=为腰时，三边为3，3，7，由于33+＜7，故不符合三角形的三边关系；∴三角形的周

长为17．故答案选A．4、古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记2abcp++=，那么三角形的面积为()()

()Sppapbpc=−−−．如图，在ABC中，A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若5a=，7b=，8c=，则ABC的面积为（）A．14B．20C．103D．106【答案】C【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根

据海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积即可．【详解】解：∵5a=，7b=，8c=，∴5781022abcp++++===，∴ABC的面积()()()10532103Sppapbpc=−−−==，故选：C．5、已知a，b在数轴上的位置如图所示，

则下列结论：①0ab，②ab，③0ab−，④baab−+，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．①③④【答案】B【分析】由a，b在数轴上的位置，即可一一判定．【详解】解：由a，b在数轴上的位置，可知：0ab，ab，0ab−，baab−+，故正确的有①④，故选：B．

6、下列说法：①a−一定是一个负数；②相反数、绝对值都等于它本身的数只有0；③一个有理数不是整数就是分数；④一个数的绝对值越大，则表示它的点在数轴上离原点的距离越远；⑤当0a时，a总是大于0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据相

反数，绝对值，有理数的概念，分别判断即可．【详解】解：①a−不一定是一个负数，有可能为0或正数，故错误；②相反数、绝对值都等于它本身的数只有0，故正确；③一个有理数不是整数就是分数，故正确；④一个数的绝对值越大，则表示它

的点在数轴上离原点的距离越远，故正确；⑤当0a时，a总是大于0，故正确，∴正确的有4个，故选A．7、下列说法不正确的是（）A．125的平方根是15B．0.2的算术平方根是0.02C．9−是81的一个平方根D．31255=【答案】B【分析】根据立方根、算术平方根的定义及平方根的定义即可解答．

【详解】解：A、∵211525=，∴“125的平方根是15”正确，故A项不符合题意；B、∵250.2=５，∴“0.2的算术平方根是0.02?错误，故B项符合题意；C、∵()2981=，∴“9−是81的一个平方根”正确，故C项

不符合题意；D、∵35125=，∴31255=正确，故D项不符合题意．故选B．8、下列计算中，正确的是（）A．3223+=B．(4)(9)496−−=−−=C．222()−=−D．382−=−【答案】D【分析】对各选项

分别进行运算求解，进而可得答案．【详解】解：A中3223+，错误，故不符合要求；B中算术平方根a中0a，(4)(9)49−−−−，错误，故不符合要求；C中由算术平方根的非负性可知，2(2)22−=−，

错误，故不符合要求；D中382−=−，正确，故符合要求；故选：D．9、已知122aa−=，那么1aa+的值是（）A．23B．23C．23−D．6【答案】B【分析】根据21aa+211=+4aaaa−

，求21aa+的值，即可求得1aa+的值【详解】解：21aa+211=+4aaaa−()2224=+=12所以，123aa+=．故选B．10、下列分式变形正确的是（）A．y

yaxxa+=+B．xyyxxyxy−−=++C．xyyxxyxy−−=−++D．yyaxx−=【答案】C【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可【详解】解：A．yx与yaxa++不一定相等，故选项错误，不符合题意；B．xyyxxyxy−−=−++，故选项错误，不符合题

意；C．xyyxxyxy−−=−++，故选项正确，符合题意；D．yx与yax−不一定相等，故选项错误，不符合题意．故选：C．11、下列说法错误的是（）A．若式子211xx+−有意义，则x的取值范围是1x−或1xB．分式xyx+中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变C．分式

22xx+−的值不可能等于0D．若31x+表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个【答案】A【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．【详解】A.若式子211xx+−有意义，则x的取值范围是1x−且1x，故原选项不正确，符合题

意；B.分式xyx+中的x、y都扩大原来的2倍，()22222xyxyxyxxx+++==，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；C.分式22xx+−，当20x+=且20x−时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式22xx+−的值不可能等于0，故原选项

正确，不符合题意；D.若31x+表示一个整数，则整数x可取值是4202−−、、、，共有4个，故原选项正确，不符合题意；故选：A12、若ab，则下列各式中一定成立的是（）A．ab−−B．33abC．11ab−

−D．acbc【答案】C【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】A、不等式的两边都乘

以-1，不等号的方向改变，故A错误；B、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故B错误；C、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故C正确；D、当0c时，accb；当0c时，accb，故D错误

；故选择：C．13、某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（）A．5(20)85xx+−B．5(20)85xx+−C．5(20)85xx−−D．

5(20)85xx−−【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得5(20)85xx−−；故选C．14、关于x的不等式组211321xxxa+−+有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为（

）A．7−B．3−C．0D．7【答案】D【分析】分别表示出不等式组两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个整数解确定出a的范围，进而求出整数a的值，求出和即可．【详解】解：211321xxxa+

−+①②，解不等式①，得4x，解不等式②，得12ax+，所以不等式组的解集为：142ax+，∵关于x的不等式组211321xxxa+−+有且只有2个整数解，∴1232a+，解得35a，∵a为整数，∴a为3，4，∴和为

347+=，故选：D．15、计算：(1)202031833−+−+−(2)计算：1(26227)32−(3)()()()23223322332+−−−(4)先化简，再求值：22121xxxxxx−−−+，其中51x=+．【答案】(1)3−；(2)

2；(3)126+；(4)11x−，55【分析】（1）先算乘方，开方，化简绝对值，再算加减法；（2）先算乘法并化简括号内的，再合并，将除法转化为乘法，再约分计算；（3）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可；（4）先通分

，计算括号内的，再将除法转化为乘法，并因式分解，最后约分计算．【详解】（1）解：202031833−+−+−1233=−−+−3=−；（2）1(26227)32−2(4333)3=−233=2=；（3）()()()232

23322332+−−−18123226=−−−+126=+；（4）22121xxxxxx−−−+()()()211211xxxxxxx+−−+=+()()()()21111xxxxxx+−=+−11x=−当51x=+

时，原式155511==+−．16、已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：(1)普通列车的行驶路程为多少千米？(2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时

）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．【答案】(1)520千米(2)普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍

，两数相乘即可得出答案；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．【详解】（1）解：4001.3520=（千米），答：普通列车的行驶路程是520千米；（2）设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千

米/时，根据题意得：52040032.5xx−=,解得120x=，经检验120x=是原方程的根，且符合题意，∴普通列车的平均速度是120千米/时．∴高铁的平均速度是1202.5300=千米/时．答：高铁的平均速度是300千米/时．17、把代数式通过配凑等手段，得到局部

完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：268aa++，解：原式()()22681169124aaaaaa=+++−=++−=++②222222Maabbb=−+−+，利用配方法求M的最小值，解：()()2

2222222222221111aabbbaabbbbabb−+−+=−++−++=−+−+∵()20ab−，()210b−∴当1ab==时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：223xx−+______．(2)用配方法因式分

解：2243xxyy−+．(3)若284Mxx=+−，求M的最小值．(4)已知222222450xyzxyyz++−−−+=，则xyz++的值为______．【答案】(1)19；(2)()()3xyxy−−

；(3)20−；(4)4【分析】（1）根据题意，由完全平方公式222()2abaabb+=++，可以知道横线上是19，（2）按照题干上的示例可以将2243xxyy−+分为222(44)xxyyy−+−，再利用完全平方公式即可求解，（3）根据题意的方法，先将M因式分解为完全平方的形式即()2420x

+−，即可求出最小值，（4）根据题意先将222222450xyzxyyz++−−−+=因式分解，变成完全平方的形式即222()(1)(2)0xyyz−+−+−=，然后得出x，y，z的值，代入xyz++即

可求出结果．【详解】（1）解：22211393xxx−+=−，故答案为：19；（2）解：2243xxyy−+22244xxyyy=−+−()222xyy=−−()()22xyyxyy=−+−−()()3xyxy=−−；（3）解：284Mxx=+−2816

164xx=++−−()2420x=+−，∵2(4)0x+，∴当4x=−时，M有最小值为20−；（4）解：222222450xyzxyyz++−−−+=，2222221440xxyyyyzz−++−++−+=，()()()222120xyyz−+−+−=，∵()20xy−，()

10y−2，()220z−，∴01020xyyz−=−=−=，∴1x=，1y=，2z=，∴1124xyz++=++=，故答案为：4．