【文档说明】四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，6.317 MB，由小赞的店铺上传

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高2025届第四期6月半月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一项符号题目要求.1.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（）①某食堂在中午半小时内进的人数1Z；②某元件的测

量误差2Z；③小明在一天中浏览网页的时间3Z；④高一2班参加运动会的人数4Z；A①②B.③④C.①③D.①④【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数1

Z可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差2Z不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，小明在一天中浏览网页的时间3Z不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数4Z可以一一列举出来，

故④是离散型随机变量；故选：D.2.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.10.4q0.20.2若离散型随机变量Y满足21YX=−，则下列结论错误的是（）A.0.1q=B.()2EX=，()1.4DX=C.()2EX=，()1.8DX=D.()3EY=，()7.2DY=【答

案】B【解析】【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.【详解】对于选项A，因为0.10.40.20.21q++++=，解得0.1q=，所以选项A正确，又()00.110.420.130.240.2

2EX=++++=，.()22222(02)0.1(12)0.4(22)0.1(32)0.2(42)0.21.8DX=−+−+−+−+−=，所以选项B错误，选项C正确，对于选项D，因为21YX=−，所以()(21)2()12213EY

EXEX=−=−=−=，()(21)4()41.87.2DYDXDX=−===，所以选项D正确，故选：B.3.某公司收集了某商品销售收入y（万元）与相应的广告支出x（万元）共10组数据(),iixy（1,2,3,,10i=），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.若

将图中10个点中去掉A点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.决定系数2R变小B.残差平方和变小C.相关系数r的值变小D.解释变量x与预报变量y相关性变弱【答案】B【解析】【分析】从图中分析得到去掉A点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，

相关系数和相关性的概念和性质作出判断.【详解】从图中可以看出A点较其他点，偏离直线远，故去掉A点后，回归效果更好，故决定系数2R会变大，更接近于1，残差平方和变小，相关系数r的绝对值，即r会更接近于1，由图可得x与y正相关，故r会更接近于1，即相关系数r的值变大，解释变量x与预报变量y

相关性变强，故A、C、D错误，B正确.故选：B.4.我们将某商场某区域的行走路线图抽象为一个223的长方体框架如图所示，小红欲从A处行走到H最后再到B处，则小红行走路程最近的路线共有（）条.A.10B.12C.13D.14【答案】B【解析】

【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】首先：从A到H最近路线需向前1步，向上3步，故有14C种方法，其次：从H到B最近路线需向右2步，向前1步，故有23C种方法，故共有1243CC12=条路线.故选：B5.已知函数(

)fx的导函数为()fx，且对任意xR，()()0fxfx−，()22fe=，若()tfte，则t的取值范围为（）A.()0,2B.()2,+C.()20,eD.()2e,+【答案】B【解析】【分析】构造函数

()()1etftgt=−，得出函数()gt单调递减，原不等式等价于()()2gtg，进而可得结果.【详解】构造函数()()1etftgt=−，则()()22210efg=−=.∵()()()0etftftgt−=，∴函数

()gt在R上单调递减，∴()()()e2tftgtg，∴2t.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造新的函数()gt，将原不等式等价转化为()()2gtg.6.中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变

量()~,Bnp，则当5np且()15np−时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（）附：若：()2~,N

，则()0.6827P−+，()220.9545P−+，()330.9973P−+．A.0.0027B.0.5C.0.8414D.0.9773【答案】D【解析】【分析】先得到1~2500,2B，满足

5np且()15np−，从而计算出期望和方差，得到()21250,25N，利用正态分布的对称性求解.【详解】骰子向上的点数为偶数的概率12p=，故1~2500,2B，显然()11250052npnp=−=，其中1250np=，()1625n

pp−=，故()21250,25N，则21250501300+=+=，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为10.50.95450.97732+.故选：D7.在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从

图1中可以归纳出等式：111121231CCCCCnn+++++=､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆

6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（）A.320232C2−B.320242C2−C.42024C2−D.42023C2−【答案】B【解析】【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果.【详解】由杨辉三角中观察得可得1361020+++=.推广，得到22

22323412CCCCCnn++++++=即()321122334C2222nnn++++++=由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为23344520222023S=++++()320242C1=−故选:B8.已知函数()()12e,xfxgxax−==，

若总存在两条不同的直线与函数()yfx=，()ygx=图象均相切，则实数a的取值范围是（）A.e,4+B.e,2+C.1,e+D.2,e+【答案】

A【解析】【分析】设函数𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=𝑔(𝑥)的切点坐标分别为()111,exx−，()222,xax，根据导数几何意义可得111114exxa−−=，结合题意可知方程14etta=有两个不同

的实根，则设()exxhx=，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】由题意可知：0a，设函数()1exfx−=上的切点坐标为()111,exx−，函数()2gxax=上的切点坐标为()222,xax，且()1exfx−=，()2gxax=，则公切线的斜

率112e2xax−=，可得112e2xxa−=，则公切线方程为()11111eexxyxx−−−=−，代入()222,xax得()11112221eexxaxxx−−−=−，代入112e2xxa−=可得111

1211111eeee22xxxxaxaa−−−−−=−，整理得111114exxa−−=，令11tx=−，则14etta=，若总存在两条不同的直线与函数𝑦=𝑓(𝑥)，𝑦=𝑔(𝑥)图象均相切，则方程14etta=有两个

不同的实根，设()exxhx=，则()1exxhx=−，令ℎ′(𝑥)>0，解得1x；令ℎ′(𝑥)<0，解得1x；则ℎ(𝑥)在(),1−内单调递增，在(1,+∞)单调递减，可得()()11ehxh=，且当x趋近于−时，ℎ(𝑥)趋近

于−；当x趋近于+时，ℎ(𝑥)趋近于0，可得1104ea，解得e4a，故实数a的取值范围为e,4+.故选：A.【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出

参数的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.下列说法其中正确的是（）A.对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，

说明拟合效果越好；B.以模型ekxyc=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，将其变换后得到线性方程0.34zx=+，则c，k的值分别是4e和0.3；C.已知随机变量2~(0,)XN，若()2PXa=，则()2PX的值为12a−；D.

通过回归直线ybxa=+及回归系数b，可以精确反映变量的取值和变化趋势．【答案】BC【解析】【分析】利用正态分布、回归分析等，对选项逐个分析判断即可.【详解】对于A，回归分析中，相关系数的绝对值越大，表示线性相关程度越强，所以A错误，对于B，由ek

xyc=两边取对数得lnlnykxc=+，设lnzy=，则lnzkxc=+，因为0.34zx=+，所以0.3,ln4kc==，得4ec=，所以B正确，对于C，因为随机变量2~(0,)XN，()2PXa=，所以由正态分布的性质可知

，11(02)(2)22PXPXa==，所以()112(02)22aPXPX−=−=，所以C正确，对于D，通过回归直线ybxa=+及回归系数b，不能精确反映变量的取值和变化趋势，所以D错误，故选：BC10.对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（）A.若(

)()1PAPB+=，则A与B互为对立事件B.若()0PC，则(|)()PACPACC.若AB，B是B的对立事件，则()()()PABPAPB=+D.若()0PA，()0PAB，则()()(|)(|)PABCPAP

BAPCAB=【答案】BCD【解析】【分析】利用对立事件的定义判断A；由条件概率公式判断B；由对立事件、互斥事件定义判断C；由概率乘法公式判断D.【详解】对于A：如有红黄蓝三张牌，事件A为“甲所取一张牌是红牌或黄牌”，则()23PA=，事件B为“乙抽取一张牌是黄牌”，则()13PB=，()()

1PAPB+=，但事件A和事件B不是对立事件，故A错误；对于B：若()0PC，则(()0,1PC，所以()()()()|PACPACPACPC=，故B正确；对于C：若AB，B是B的对立事件，则A与B是互斥事件，所以()()()PABPAPB=+，故C正确；

对于D，若()0,()0PAPAB，则()()()()()()|||PABCPBAPCABPAPBAPCAB==，故D正确.故选：BCD.11.已知函数()e()xfxaxa=−R，其中e为自然对数的底数，下列选项正确的有（）A.

若函数()fx有两个零点，则a的取值范围是(e,)+B.当2a=时，若()()12fxfx=，则122ln2xx+C.当3a=时，若()()120fxfx==，则122xx+D.若()()()121200fxfxxx==，则21ln0xx+【答案

】ACD【解析】【分析】选项A分离参数，利用导数研究函数性质作出简图，结合零点个数可得范围；选项B先假设成立，构造对称函数，结合单调性得出矛盾；选项C通过构造对称函数，结合单调性可证成立；选项D通过等价转化结合取值情况可证成立.详解】对于A，令()=0fx可得1exxa=，令()exxg

x=，()1exxgx=−，1x时，()0gx，()gx为增函数；1x时，()0gx，()gx为减函数；()0=0g，()11=eg，且x趋近于+时，()gx趋近于0，其简图如下：由图可

知，若函数()fx有两个零点，则110ea，解得()e,a+，A正确.对于B，当2a=时，()e2xfxx=−，()e2xfx=−，ln2x时，𝑓′(𝑥)>0，()fx为增函数；ln2x时，𝑓

′(𝑥)<0，()fx为减函数；【不妨设12ln2xx，假设122ln2xx+成立，则212ln2xx−，因为12ln2xx，所以212ln2ln2xx−，所以()()212ln2fxfx−，因为()()12fxfx=，所以()()1

12ln2fxfx−，设()()()2ln2Fxfxfx=−−，ln2x，()()()2ln22ln2e2e2xxFxfxfx−=+−=−+−，因为2ln22ln22ln2ee2ee2e4xxxx−−+==

，所以()0Fx，𝐹(𝑥)为增函数；因为1ln2x，所以()()1ln20FxF=，即()()112ln2fxfx−，矛盾，B不正确.对于C，3a=时，()e3xfxx=−，令()0fx

=得13exx=，由A可知，()exxgx=的简图如下：不妨设1201xx，欲证122xx+成立，则需证212xx−，因为1201xx，所以2121xx−，且()gx在(1,+∞)为减函数，所以需证()()212gxgx−，因为()()120fxfx==，所以()()1

2gxgx=，所以只需证()()112gxgx−，设()()()2Gxgxgx=−−，01x；()()()()()()2221ee1212eeexxxxxxxGxgxgx−−−−−−−=+−==+，易知2eexxy−=−是增函数，因为01x，所以2eeee0xx−−−=，

因为01x，所以10x−，即()0Gx，()Gx为增函数；所以()()10GxG=，即()()112gxgx−成立，C正确.对于D，因为()()()121200fxfxxx==，所以1212e0e0xxaxax−=−=，所以12121eexxxx

a==，等价于1221eexxxx=，两边取自然对数可得2112lnln+xxxx+=，由选项C可知，1201xx，所以2ln0x，21ln0xx+，所以21ln0xx+，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三点：一是分离参数，作出简图，利用零点个数转化为

两个函数图象公共点的个数求解；二是利用构造对称函数，求解极值点偏移问题；三是利用等价转化把21ln0xx+转化为21ln0xx+.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量()22,XN～，且

()()1PXaPX=，则6axx−的展开式中常数项为______．【答案】1215【解析】【分析】根据正态分布的对称性，求得a的值后，利用二项式定理展开式的通项公式求解即可.【详解】()22,XN，()(1)PXaPX=，1

22a+=，3a=．63xx−展开式第1r+项：136662216663CC(3)C(3)rrrrrrrrrrrTxxxxx−−−−+=−=−=−4r=，446C(3)15811215−==．故答案为：1215.13.李老师一家要外出游玩几天，家

里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为______．【答案】81

1【解析】【分析】设出几个基本事件，按照条件概率和全概率公式直接计算即可.【详解】设事件B表示“邻居记得浇水”，B表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，由题意得，()0.5PB=，()0.5PB=，()0.8PAB=，()0.3PAB=，则()()()()()()()0.50.880.50.8

0.50.311PBPABPBAPBPABPBPAB===++．故答案为：811.14.若关于x的不等式1lnlneeexmxm−+在(),m+上恒成立，则实数m的取值范围为______【答案】1[,)e+【解析】【分析】根

据条件变形得到lnelnelnxxmxxxxmmm=在(),m+上恒成立，构造函数()e(0)xhxxx=，利用()hx的单调性，得到lnxxm在(),m+上恒成立，再构造函数()exxgx=，求出()exxgx

=的最大值，即可求解.【详解】易知0,0xm，由1lnlneeexmxm−+，得到elnlnlnxxmxmm−=，也即有lnelnelnxxmxxxxmmm=在(),m+上恒成立，令()e(0)xhxxx=，则()(1)0xhxx

e=+在区间(0,+∞)上恒成立，所以()exhxx=在区间(0,+∞)上单调递增，故lnxxm在(),m+上恒成立，也即exxm在(),m+上恒成立，令()exxgx=，则1()exxgx−=，当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x+时，()0gx，即

()exxgx=在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+上单调递减，所以1()eexxgx=，故1em，故答案为：1e,+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用同构思想，将条件变形成lnelneln

xxmxxxxmmm=在(),m+上恒成立，通过构造函数()e(0)xhxxx=，利用()e(0)xhxxx=的单调性得到lnxxm在(),m+上恒成立，再构造函数()exxgx=，转化成求()exxgx=的最大值，即可求解.四、解答题：本

大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化天数x1

2345678910作物高度y/cm9101011121313141414（1）观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+

（其中ˆˆ,ab用分数表示）；（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyy

baybxxx==−−==−−.参考数据：101710iiixy==.【答案】（1）202633ˆ3yx=+；（2）0.7cm−.【解析】【分析】（1）根据表格数据利用公式求出ˆˆ,ab即可求解.（2）将22x=代入回归方程求得预测值

，然后根据残差定义求解即可.【小问1详解】依题意，123456789105.510x+++++++++==，11233444101210y−+++++++=+=，故()()()()101011101022221110710105.51220385105ˆ.53310i

iiiiiiiiixxyyxyxybxxxx====−−−−====−−−，20112612332ˆ3a=−=，故所求回归直线方程为202633ˆ3yx=+.【小问2详解】由（1）可知，当22x=时，2026222m3ˆ2c33y=+=，故所求残差为21.322

0.7cm−=−.16.已知412nxx+的展开式中前三项的系数为等差数列.（1）求二项式系数最大项；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）358x；（2）747x和527x.【解析】【分析】（1）根据

二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解n的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.【详解】（1）由题意，412nxx+的展开式是()1412rnr

rrnTCxx−+=，化简得23244122nrrnrrrrrrnnTCxxCx−−−−−+==则02211nnnTCxx==，23231144222nnnnTCxx−−−==，()3322223128nnnnnTCxx−−−−=

=因为，前三项的系数为等差数列，则有()12128nnn−=+，解得8n=或1n=（舍去）则8n=，则8412xx+的展开式是1634182rrrrTCx−−+=二项式系数是8rC，当4r=时，二项式系数最大，则1612444583528TCxx−−==（2）由（

1）得，8412xx+的展开式是1634182rrrrTCx−−+=根据组合数性质，48C最大，而2r−随着r的增大而减小，且21r−，则计算00441821TCxx==，131311442824TCxx−==，5522223827

TCxx−==，7733444827TCxx−==，44583528TCxx−==则当2r=或3r=时，系数最大，则系数最大项是747x和527x【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型

.17.已知函数()21ln2fxxxax=+−有两个极值点为()1212,xxxx，Ra.（1）当52a=时，求()()21fxfx−的值；（2）若21exx（e为自然对数的底数），求()()21fxfx−的最大值.【答案】（

1）152ln28−（2）e1122e−+【解析】【分析】（1）对函数()fx求导代入52a=，即可求出函数单调性可得121,22xx==，代入计算可求出()()21152ln28fxfx−=−；（2）利用韦达定理可得1212,1xxaxx+==，代入化简可得()()221211121ln2xx

xfxfxxxx−=−−，构造函数()11ln,e2gttttt=−−，求出其单调性即可求得其最大值.【小问1详解】易知函数()21ln2fxxxax=+−定义域为()0,+，的则()211xaxfxxaxx−+=+−=

，当52a=时可得，()()2152122xxxxfxxx−−−+==，因此可知当10,2x或𝑥∈(2,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0；当1,22x时，𝑓′(𝑥)<0

；所以()fx在10,2和()2,+上单调递增，在1,22上单调递减；可得12x=和2x=是函数()fx的两个极值点，又12xx，所以121,22xx==；所以可得()()()21111515

2ln225ln2ln222848fxfxff−=−=+−−+−=−，即当52a=时，()()21152ln28fxfx−=−；【小问2详解】易知()()()()22221212111ln2xfxfxxxaxxx−=+−−−，又()21xaxfxx

−+=，所以12,xx是方程210xax−+=的两个实数根，由韦达定理可得1212,1xxaxx+==，所以()()()()()()()2222222121212121211111lnln22xxfxfxxxaxxxxxxx

xxx−=+−−−=+−−+−()()222222221212111121121111lnlnln222xxxxxxxxxxxxxxxx=−−=−−=−−，设21xtx=，由21exx可得21ex

xt=，令()11ln,e2gttttt=−−，则()()22211111022tgtttt−=−+=−，所以()gt在)e,+上单调递减，可得()()11e1e1e12e22egtg=−−=−+，故可知()()21fx

fx−的最大值为e1122e−+.18.为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.年龄次数[20,30)[30,40)[40,5

0)[50,60]每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，

不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值0.01=的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60]的人数分

别为,,XYXY=−，求ξ的分布列与期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择

跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为122,,353，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：()()()()()22.nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++，附：α0.100.050.010.0050.001ax2.7063.8416.

6357.87910.828【答案】（1）有关（2）分布列见解析；期望为4156（3）715【解析】【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；（3）利用全概率公式即可得到答案.【小问1

详解】零假设：0H体育锻炼频率的高低与年龄无关，由题得22列联表如下：青年中年合计体育锻炼频率低12595220体育锻炼频率高75105180合计20020040022400(1251057595)9.0916.635200200220180−=，根

据小概率值0.01=的独立性检验推断0H不成立，即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.【小问2详解】由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[30,40),[50,60]内的人数分别为1，2

，依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，所以3115523388CCC(0)(0,0)(1,1)CC6205PPXYPXY====+===+=，212525333888CCC1(1)(0,1)(1,0)(1,2)CCC5631PPXYPXYPXY====+==+===++=

，1538C5(2)(0,2)C56PPXY======，所以的分布列：：012P20563156556所以数学期望为2031541()01256565656E=++=.【小问3详解】记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，星期天选择跑步为事件D

，则111(),(),()333PAPBPC===，122(),(),()353PDAPDBPDC===∣∣∣，所以()()()()()()()PDPAPDAPBPDBPCPDC=++∣∣∣1112127

33353315=++=所以小明星期天选择跑步的概率为715.【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.19.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()fx，(

)gx的导函数分别为()fx，()gx，且lim()lim()0xaxafxgx→→==，则()()limlim()()xaxafxfxgxgx→→=.②设0a，k是大于1的正整数，若函数(

)fx满足：对任意0,xa，均有()xfxfk成立，且()0lim0xfx→=，则称函数()fx为区间0,a上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33fxxx=−是否为区间0,3上2阶无穷递降函数；（2）计算：

10lim(1)xxx→+；（3）证明：3sincosπxxx−，3π,π2x.【答案】（1）()33fxxx=−不是区间0,3上的2阶无穷递降函数；（2）10lim(1)exxx→+=（3）证明见解析【解析】的的【分析】（1）

根据函数()fx为区间0,a上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造()()=lnhxgx，再结合()()limlim()()xaxafxfxgxgx→→=即可得到结果；（3）通过换元令令πxt−=，则原不等式等价于23πtansin,0,2tttt，再通过构

造函数()23tansinπ,0,2ttfttt=，根据题干中函数()fx为区间π0,2上的k阶无穷递降函数的定义证出()π1,0,2ftt，即可证明结论.【小问1详解】设()()373282xFxfxfxx=−=−

，由于()731082F=−，所以()2xfxf不成立，故()33fxxx=−不是区间0,3上的2阶无穷递降函数.【小问2详解】设()1(1)xgxx=+，则()()()ln11lnln1xgxxxx+=+=，

设()()ln1xhxx+=，则0001ln(1)1lim()limlim11xxxxxhxx→→→++===，所以0limln()1xgx→=，得10lim(1)exxx→+=.【小问3详解】令πxt−=，则原不等式等价于23

πtansin,0,2tttt，即证23tansinπ1,0,2tttt，记()23tansinπ,0,2ttfttt=，则238tansin222tttft=，所以()2233224costansin1218t

ansin1tan1tan22222tfttttttttttf===−−，即有对任意π0,2t，均有()2tftf，所以()22nttftff，因为00sinlimlim

cos1xxxxx→→==，所以33233sinsintansin12222limlimlimlimlim12coscos22222nnnnnnnnnnnnnnntttttfttttt→+→+→+→+→+====

，所以()π1,0,2ftt，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.