【文档说明】安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析.docx，共(22)页，3.258 MB，由小赞的店铺上传

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合肥一中2022——2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷时长：120分钟分值：150分命题人审题人：张慧、刘昱一、单项选择题（共8小题，每题5分，满分40分）．1.若复数()242izaa=−+−为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.2或2−C.2−D.4−【答

案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数()242izaa=−+−为纯虚数，则有24020aa−=−，解得2a=−，所以实数a的值为2−.故选：C2.在AB

C中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2coscaB=，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】【分析】已知条件用正弦定理边化角，由()sinsinCAB=+展开后化简得tantanAB=，可得出

等腰三角形的结论.【详解】2coscaB=，由正弦定理，得()sinsin2sincosCABAB=+=，即sincoscossin2sincos,ABABAB+=∴sincoscossinABAB=，可得tantanAB=，又0π,0πAB

，∴AB=，则ABC的形状为等腰三角形.故选：A.3.某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为（）A.45πB.453πC.22πD.22π3【答案】D【解析】【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详

解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，所以该扇形的弧长为120π32π180=，设圆锥的底面半径为r，则2π2πr=，解得：1r=，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为223122h=−=，该圆锥的体积为221122ππ122π333rh==.故选：D4.

ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知π4A=，2a=，3b=，则B的大小为（）A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定

理可得23sinsin2sin3sin22aBbABB===,由于()0,πB,ba，所以B=π3或2π3,故选：D5.设点P为ABC内一点，且220PAPBPC++=，则:ABPABCSS=（）A.15B.25C.14D.13【答案】A【解析】【分析】设AB的中点是点D，由

题得14PDPC=−，所以点P是CD上靠近点D的五等分点，即得解.【详解】设AB的中点是点D，∵122PAPBPDPC+==−，∴14PDPC=−，∴点P是CD上靠近点D五等分点，∴ABP的面积为ABC的面积的15.故选：A【点睛】本题主要考

查向量运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，已知2ABBC==，15AA=，E为11BC的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A.510B.3434C

.1326D.1313【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取11CD的中点F，连接EF，CF，11BD，易知11EFBDBD∥∥，所以CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为11122EFBD==

，221125126CECFCCCE==+=+=，所以由余弦定理得22222626113cos2262226226EFECCFCEFEFEC+−+−====.故选：C的的7.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台ABCDABCD−

是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中22ABAB==，223BCBC==，则该“刍童”外接球的表面积为（）A.20πB.20π3C.205π3D.55π【答案】A【解析】【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出

外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC、BD、AC、BD，设AC∩BD＝M，AC∩BD＝N，连接MN．∵棱台ABCDABCD−侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图当球心在线段MN延长线上时，易得224124ACABBC=+

=+=，MC＝2，22132ACABBC=+=+=，1NC=，MN＝1，由OCOC=得，2222NCONOMMC+=+，即()()2222141141OMMNOMOMOMOM++=+++=+=，故OC＝22125OC=+=，∴外接

球表面积为()24π520π=．如图当球心在线段MN上时，由OCOC=得，2222NCONOMMC+=+，即()()2222141141MNOMOMOMOMOM+−=++−=+=−舍去，故选：A

【点睛】关键点睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8.如图，直角ABC的斜边BC长为2，30C=，且点,BC分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方．设OAxOByOC=+，（,xyR），记MOAOC=，Nx

y=+，分别考查,MN的所有运算结果，则AM有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值【答案】B【解析】【分析】设OCB=，用表示出,MN，根据

的取值范围，利用三角函数恒等变换化简,MN，进而求得,MN最值的情况.【详解】依题意30,2,90BCABCA===，所以3,1ACAB==.设OCB=，则30,090ABx=+，所以()()()3sin30,sin30A

++，()()2sin,0,0,2cosBC，.所以()()12cossin30sin2302MOAOC==+=++，当23090,30+==时，M取得最大值为13122+=.OAxOByOC=+，所以()()3sin30sin30,2sin2cosxy++==，所以

()()3sin30sin302sin2cosNxy++=+=+312sin2=+，当290,45==时，N有最小值为312+.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多项选择题：（共4小题

，每题5分，满分20分.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题错选0分，漏选2分）9.下列关于复数21iz=−的四个命题，其中为真命题的是（）A.z的虚部为1B.22iz=C.z的共轭复数为1i−+D.2z=【答案】AB【解析】【分析】根据

复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.【详解】()()()21i21i1i1i1iz+===+−−+,故虚部为1，共轭复数为1i−，22112z=+=，()221i2iz=+=，故AB正确，CD错误，故选：AB10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物

．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是（）A.ACAEBF−=B.32AE

ACAD+=C.AFABCBCD=D.AD在AB上的投影向量为AB【答案】BCD【解析】【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；

对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接,,,,,AEACADBFBDCE，CE与AD交于点H，如图所示，对于A：ACAEACEAEC−=+=，显然由图可得EC与BF为相反向量，故A错误；对于B：由图易得AEAC=，直线AD平分角EAC，且ACE△为正三角形，根

据平行四边形法则有2ACAEAH+=，AH与AD共线且同方向，易知EDH，AEH△均为含π6角的直角三角形，故3AHEH=uuuruuur，3EHDH=uuuruuuur，即3AHDH=uuuruuuur，所以34ADAHDHDHDHDH=+=+=，又因为26AHDH=，故

232AHAD=，故32AEACAD+=，故B正确；对于C：设正六边形ABCDEF的边长为a，则22π1cos32AFABAFABa==−，22π1cos32CBCDCBCDa==−，所以AFABCBCD=，故C正确；对于D：易知π2ABD=，则AD在AB上的投影向量为AB，故D正

确，故选：BCD．11.有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A.33B.23C.223D.233【答案】BCD【解析】【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三

棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若AB⊥平面BCD，BCD△为边长为2的正三角形，2AB=，ABD△，ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积1123222sin60323

V==；②若AB⊥平面BCD，ACD为边长为2的正三角形，2AB=,ABD△，ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积112222323V==；③若BCD△为边长为2的正三角形，ABD△，ABC都是等腰直角三角形，2ABBCCDAD====，22AC=，

满足题目条件，取AC中点E，因为BEAC⊥，而222DEBDEB+=，所以BEDE⊥，即有BE⊥平面ACD，故其体积为1122222323V==；故选：BCD12.如图，已知O的内接四边形ABCD中，2AB=，6BC=，4ADCD==，下列说法正确的是

（）A.四边形ABCD的面积为73B.该外接圆的半径为2213C.4BOCD=−D.过D作DFBC⊥交BC于F点，则10DODF=【答案】BCD【解析】【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos7D=−，1cos7B=，进而求出sin,sinBD

，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A，连接AC，在ACD中，21616cos32ACD+−

=，2436cos24ACB+−=，由于πBD+=，所以coscos0BD+=，故22324003224ACAC−−+=，解得22567AC=，所以1cos7D=−，1cos7B=，所以143sinsin1497BD==−=，故1143243sin262277ABCSA

BBCB===，1143323sin442277ADCSADDCD===，故四边形ABCD的面积为2433238377+=，故A错误；对于B，设外接圆半径为R，则25642172sin3437ACRB===，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，故B正

确；对于C，连接BD，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理得：122CGCD==，由于πAC+=，所以coscos0AC+=，即22416163601648BDBD+−+−+=，解得27BD=，所以1cos2C=，所以π3C=，且1c

os632CEBCC===，所以321EF=−=，即BO在向量CD上的投影长为1，且EG与CD反向，故4BOCDEGCD=−=−，故C正确；对于D，由C选项可知：π3C=，故3sin604232DFCD===，且30CDF=，因为ADCD=，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，

故1302ODFADC=−，由A选项可知：1cos7ADC=−，显然12ADC为锐角，故11cos21cos227ADCADC+==，1327sin1277ADC=−=，所以1coscos302ODFADC=−1157coscos30sinsin30

2214ADCADC=+=，所以22157cos2334101DODFDOODFDF===，故D正确.故选：BCD三、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13.已知向量()2,4a=r，

(),3bm=，若ab⊥，则m=________．【答案】6−【解析】【分析】依题意可得0ab=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】因为()2,4a=r，(),3bm=且ab⊥，所以2430abm=+=，解

得6m=−.故答案为：6−14.若复数()16zmii=++所对应复平面内的点在第二象限，则实数m的取值范围为________；【答案】60m−【解析】【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数m的取值范围.【详解】因为()6zmmi=++对应

复平面内的点为6mm+，，又复数()16zmii=++所对应复平面内的点在第二象限，所以06060mmm−+【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题.复数(,)abiabR+的实部为a、虚部为b、模为22ab+、对应点为(,

)ab、共轭为.−abi15.已知ABC，0P是边AB上一定点，满足014PBAB=，且对于AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC．若π3A=，4AC=，则ABC的面积为________．【答案】43【解析】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公

式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以AB所在的直线为横轴，以线段AB的中垂线为纵轴建立如图所示的直角坐标系，设()40ABtt=，()2,0At−，()2,0Bt，因为014PBAB=，所以()0,0Pt，设(),Cab，(

)(),022Pxtxt−，()()()()002,0,,,,0,,PBtxPCaxbPBtPCatb=−=−==−，由()()()()2200220PBPCPBPCtxaxtatxxatatt−−−−+++，设()()222

fxxxatat=−++，该二次函数的对称轴为：22atx+=，当222atxt+=−时，即6at−，则有()()222042203ftttatattat−++++−，所以无实数解，当222atxt+=时，即2at，则有()()22

204220ftttatattat−+++，所以无实数解，当2222attt+−时，即62tat−，则有()()2222400atatta=−+−+，而20a，所以0a=，显然此时()0,Cb在纵轴，而π3A=，所以该

三角形为等边三角形，故ABC的面积为13444322=，故答案为：43【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一

个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截

得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k．已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为，平面//，且距离为h，若平面截圆柱体

N所得截面面积为1S，平面截环体M所得截面面积为2S，我们可以求出12SS的比值，进而求出环体M体积为________．【答案】28π【解析】【分析】画出示意图的截面，结合图形可得1S和2S的值，进而求出圆柱的体积，乘以2π，可得环体M的体积，得到答案.【详解】画出示意图

，可得22121481Shh=−=−，222ππSrr=−外内，其中()22241hr=+−外，()22241rh=−−内，故221161π2πShS=−=，即1212πSS=，环体M体积为22π2π4π8πV==柱.故答案为：28π四、解

答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题12分，满分70分）17.如图所示，在ABC中D、F分别是BC、AC的中点，23AEAD=，ABa=，ACb=．（1）用a，b表示向量AD，BF；（2）求证：B，E，F三点共线．【答案】（1）

()12ADab=+，12BFba=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由向量线性运算法则求解；（2）用a，b表示向量BF、BE，证明它们共线即可得证．【小问1详解】∵ABa=，ACb=，D，F分别是BC，AC的中点，∴

()()111222ADABBDABBCABACABab=+=+=+−=+，12BFAFABba=−=−，【小问2详解】由（1）1233BEba=−，12BFba=−，∴1312322332BFbabaBE=−=−=∴BF与BE共线，又∵BF与BE有公共点B，故B，E，

F三点共线．18.在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且2222abcab+=+．（1）求C；的（2）若tan2tanBacCc−=，求A．【答案】（1）45C=（2）75A=【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2

）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得60B=，进而可求解.【小问1详解】∵2222abcab+=+，∴222222abcab+−=，∴2cos2C=，由于C三角形内角，∴45C=．【小问2详解】由正弦定理可得tan22sinsi

ntansinBacACCcC−−==，∴sincos2sinsincossinsinBCACBCC−=∴sincos2sincossincosBCABCB=−，∴sincossincos2sincosBCCBAB+=，∴()sin

2sincosBCAB+=，∴sin(π)sin2sincosAAAB==-．∵sin0A，∴1cos2B=，由于B是三角形内角，∴60B=，则180456075A−−==．19.如图，数轴,xy的交

点为O，夹角为，与x轴､y轴正向同向的单位向量分别是21,ee.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对(),xy，使得12OPxeye=+，我们把(),xy叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）.（

1）若90,OP=为单位向量，且OP与1e的夹角为120，求点P的坐标；（2）若45=，点P的坐标为()1,2，求向量OP与1e的夹角的余弦值.是【答案】（1）13,22−（2）255【解析】【分析】（1）90=时，坐标系xOy为平面直角坐标系，设点(),Pxy利

用112=−OPe求出x，再利用模长公式计算可得答案；（2）根据向量的模长公式()2121222=+=+OPeeee、数量积公式1OPe计算可得答案.，【小问1详解】当90=时，坐标系xOy为平面直角坐标系，设点(),Pxy，则有(),OPxy=uuur，而()111,0,eOPe

x==，又111cos1202OPeOPe==−，所以12x=−，又因221OPxy=+=，解得32y=，故点P的坐标是13,22−；【小问2详解】依题意21,ee夹角为121212245,cos45,2

2===+eeeeOPee，()212121122222225OPeeeeeeee=+=+=++=，()2111121121cos5cos,222OPeOPeOPeeeeeee===+=+=，所以255cos2,cos5==.20.如

图所示，在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，12BCAD=，E是PD的中点．（1）求证：//BCAD；（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由．【答案】（1

）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取AD中点N，连接CN，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【详解】证明：（1）在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABC

D平面PADAD=，∴//BCAD，（2）线段AD存在点N，使得//MN平面PAB，理由如下：取AD中点N，连接CN，EN，∵E，N分别为PD，AD的中点，∴//ENPA，∵EN平面PAB，PA平面PAB，

∴//EN平面PAB，取AP中点F,连结EF,BF，//EFAN，且=EFAN，因为//BCAD，12BCAD=，所以//BCEF，且=BCEF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以//CEBF.又CE面PAB，BF

面PAB，所以//CE平面PAB；又CEENE=，∴平面//CEN平面PAB，∵M是CE上的动点，MN平面CEN，∴//MN平面PAB，∴线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB．21.合肥一中云上农舍有三处苗圃，分

别位于图中ABC的三个顶点，已知202mABAC==,40mBC=．为了解决三个苗圃的灌溉问题，现要在ABC区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道OA、OB、OC．（1）设OBC=，记铺设的管道总长度为my，请将y表示为的函数；（2

）当管道总长取最小值时，求的值．【答案】（1）()202sinπ200cos4y−=+（2）π6=【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示20cosBO=，20sincosOD=，进而可求解，（2）利用2sincosk−=，结合三角函数的最值可得3k

，即可利用辅助角公式求解.【小问1详解】由于202mABAC==,,OBOCO=在BC的垂直平分线AD上，若设OBC=，则20cosBO=,20sincosOD=∴20sin20cosOA=−则()202sin2020

20tan2200coscos4y−=−+=+；【小问2详解】令2sincosk−=得22cossin1kk=++故23k，又0k，故3k则min20203y=+此时：2sin3cos−=，即π3cossin2sin2

3+=+=得πsin13+=又π0,4，故ππ32+=,故π6=22.数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（Fark

sBolyai）和保罗·格维也纳（PaulGerwien）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个

正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（1）试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（2）如

果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【答案】（1）柱锥VV（2）答案见解析【解析】

【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【小问1详解】依上面剪拼方法，有柱锥VV．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为34．

现在计算它们的高：如图所示：在正四面体中，高2222216111323DOBDBO=−=−−=，在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高()π1313tantan2162326PNPMNMN==−==，1336334694VVhh−

=−=−柱锥柱锥322024−=，∴柱锥VV．【小问2详解】如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三

棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即可得到直三棱柱．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com