【文档说明】安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析.docx，共(22)页，3.258 MB，由小赞的店铺上传

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合肥一中2022——2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷时长：120分钟分值：150分命题人审题人：张慧、刘昱一、单项选择题（共8小题，每题5分，满分40分）．1.若复数()242izaa=−+−为纯虚数，则实数a的值为（）A.

2B.2或2−C.2−D.4−【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】因为复数()242izaa=−+−为纯虚数，则有24020aa−=−，解得2a=−，所

以实数a的值为2−.故选：C2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2coscaB=，则ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】【分析】已知条件

用正弦定理边化角，由()sinsinCAB=+展开后化简得tantanAB=，可得出等腰三角形的结论.【详解】2coscaB=，由正弦定理，得()sinsin2sincosCABAB=+=，即sincoscossin2si

ncos,ABABAB+=∴sincoscossinABAB=，可得tantanAB=，又0π,0πAB，∴AB=，则ABC的形状为等腰三角形.故选：A.3.某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为（）A.45πB.453πC.

22πD.22π3【答案】D【解析】【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，所以该扇形的弧长为120π32π180=，设圆锥的底面半径为r，则2

π2πr=，解得：1r=，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为223122h=−=，该圆锥的体积为221122ππ122π333rh==.故选：D4.ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知π4A=，2a=，3b=，则B的大小为（）A.π6B.π3C.π6或5

π6D.π3或2π3【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得23sinsin2sin3sin22aBbABB===,由于()0,πB,ba，所以B=π3或2π3,故选：D5.设点P为ABC内一点，且220PAPBPC++=，则:ABPABCSS=（）

A.15B.25C.14D.13【答案】A【解析】【分析】设AB的中点是点D，由题得14PDPC=−，所以点P是CD上靠近点D的五等分点，即得解.【详解】设AB的中点是点D，∵122PAPBPDPC+==−，∴14PDPC=−，∴点P是CD上靠近点D五等分点，∴ABP的面积为A

BC的面积的15.故选：A【点睛】本题主要考查向量运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，已知2ABBC==，15AA=，E为11BC的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（）A.510

B.3434C.1326D.1313【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解.【详解】取11CD的中点F，连接EF，CF，11BD，易知11EFBDBD∥∥，所以CEF为

异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为11122EFBD==，221125126CECFCCCE==+=+=，所以由余弦定理得22222626113cos2262226226EFECCFCEFEFEC+−+−====.故选：C的的7.在《九章算术》中，底面为矩形的棱

台被称为“刍童”．已知棱台ABCDABCD−是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中22ABAB==，223BCBC==，则该“刍童”外接球的表面积为（）A.20πB.20π3C.205π3D.55π【答案】A【解析】【分析】根据刍童

的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积．【详解】如图，连接AC、BD、AC、BD，设AC∩BD＝M，AC∩BD＝N，连接MN．∵棱台ABCDABCD−侧棱相等，∴易知其外接

球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图当球心在线段MN延长线上时，易得224124ACABBC=+=+=，MC＝2，22132ACABBC=+=+=，1NC=，MN＝1，由OCOC=得，2222NCONOMMC+=+，即()()2222141141OMMNOMO

MOMOM++=+++=+=，故OC＝22125OC=+=，∴外接球表面积为()24π520π=．如图当球心在线段MN上时，由OCOC=得，2222NCONOMMC+=+，即()()2222141141MNOMOMOMOMOM+−=++−=+=−舍去，故选：A【点睛】关键点

睛：利用刍童的几何性确定外接球的球心是解题的关键.8.如图，直角ABC的斜边BC长为2，30C=，且点,BC分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方．设OAxOByOC=+，（,xyR），记MOAOC=，N

xy=+，分别考查,MN的所有运算结果，则AM有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值C.M有最大值，N有最大值D.M有最小值，N有最小值【答案】B【解析】【分析】设OCB=，用表示出,MN，根据的取值范围，利用三角函数恒等变换化简,MN，进而求得,MN最值的情况.【详解】依题意

30,2,90BCABCA===，所以3,1ACAB==.设OCB=，则30,090ABx=+，所以()()()3sin30,sin30A++，()()2sin,0,0,2cosBC，.所以()()12cossin30sin2302MOAOC==+=

++，当23090,30+==时，M取得最大值为13122+=.OAxOByOC=+，所以()()3sin30sin30,2sin2cosxy++==，所以()()3sin30sin302sin2cosNxy

++=+=+312sin2=+，当290,45==时，N有最小值为312+.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、多项选择题：（共4小题，每题5分，满分20分

.每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题错选0分，漏选2分）9.下列关于复数21iz=−的四个命题，其中为真命题的是（）A.z的虚部为1B.22iz=C.z的共轭复数为1i−+D.2z=【答案】AB【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项

逐一求解.【详解】()()()21i21i1i1i1iz+===+−−+,故虚部为1，共轭复数为1i−，22112z=+=，()221i2iz=+=，故AB正确，CD错误，故选：AB10.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开

口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是（）A.ACAEBF−=B.32AEACAD+=C.AFABCBCD=D.AD在AB上的投影向量为AB【答案】

BCD【解析】【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接,,,,,

AEACADBFBDCE，CE与AD交于点H，如图所示，对于A：ACAEACEAEC−=+=，显然由图可得EC与BF为相反向量，故A错误；对于B：由图易得AEAC=，直线AD平分角EAC，且ACE△为正三角形，根据平行四边形法则有2ACAEA

H+=，AH与AD共线且同方向，易知EDH，AEH△均为含π6角的直角三角形，故3AHEH=uuuruuur，3EHDH=uuuruuuur，即3AHDH=uuuruuuur，所以34ADAHDHDHDHDH=+=+=，又因为26AHDH=，故232AHAD=，故32AEACAD+=，故B正确；

对于C：设正六边形ABCDEF的边长为a，则22π1cos32AFABAFABa==−，22π1cos32CBCDCBCDa==−，所以AFABCBCD=，故C正确；对于D：易知π2ABD=，则AD在AB上的投影向量为AB，故D正确，故选：BCD．1

1.有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（）A.33B.23C.223D.233【答案】BCD【解析】【分析】分三种情况讨论，作出图形，确定三棱锥中每条棱的长度，即可求出其体积.【详解】如图所示：①若AB⊥平面BCD，BCD△为边长为2

的正三角形，2AB=，ABD△，ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积1123222sin60323V==；②若AB⊥平面BCD，ACD为边长为2的正三角形，2AB=,ABD△，ABC都是等腰直角三角形，满足题目条件，故其体积112222323

V==；③若BCD△为边长为2的正三角形，ABD△，ABC都是等腰直角三角形，2ABBCCDAD====，22AC=，满足题目条件，取AC中点E，因为BEAC⊥，而222DEBDEB+=，所以BEDE⊥，即有BE⊥平面ACD，故其体积为1122222323V=

=；故选：BCD12.如图，已知O的内接四边形ABCD中，2AB=，6BC=，4ADCD==，下列说法正确的是（）A.四边形ABCD的面积为73B.该外接圆的半径为2213C.4BOCD=−D.过D作DFBC⊥交BC于F点，则10DODF=【答案】BCD【解析】【分析】A选项，利用圆内

接四边形对角互补及余弦定理求出1cos7D=−，1cos7B=，进而求出sin,sinBD，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量

积公式进行计算.【详解】对于A，连接AC，在ACD中，21616cos32ACD+−=，2436cos24ACB+−=，由于πBD+=，所以coscos0BD+=，故22324003224ACAC−−+=，解得22567AC=，所以

1cos7D=−，1cos7B=，所以143sinsin1497BD==−=，故1143243sin262277ABCSABBCB===，1143323sin442277ADCSADDCD==

=，故四边形ABCD的面积为2433238377+=，故A错误；对于B，设外接圆半径为R，则25642172sin3437ACRB===，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，故B正确；对于C，连接BD，过点O作OG⊥CD于点F，过点B作BE⊥CD于点E，则由垂径定理

得：122CGCD==，由于πAC+=，所以coscos0AC+=，即22416163601648BDBD+−+−+=，解得27BD=，所以1cos2C=，所以π3C=，且1cos632CEBCC===

，所以321EF=−=，即BO在向量CD上的投影长为1，且EG与CD反向，故4BOCDEGCD=−=−，故C正确；对于D，由C选项可知：π3C=，故3sin604232DFCD===，且30CDF=，因

为ADCD=，由对称性可知：DO为∠ADC的平分线，故1302ODFADC=−，由A选项可知：1cos7ADC=−，显然12ADC为锐角，故11cos21cos227ADCADC+==，1327

sin1277ADC=−=，所以1coscos302ODFADC=−1157coscos30sinsin302214ADCADC=+=，所以22157cos2334101DODFDOODFDF===，故D正确.故

选：BCD三、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13.已知向量()2,4a=r，(),3bm=，若ab⊥，则m=________．【答案】6−【解析】【分析】依题意可得0ab=，根据数量积的坐

标表示得到方程，解得即可；【详解】因为()2,4a=r，(),3bm=且ab⊥，所以2430abm=+=，解得6m=−.故答案为：6−14.若复数()16zmii=++所对应复平面内的点在第二象限，则实数m的取值范围为________；【答案】60m−

【解析】【分析】先化成复数代数形式得点坐标，再根据条件列不等式解得实数m的取值范围.【详解】因为()6zmmi=++对应复平面内的点为6mm+，，又复数()16zmii=++所对应复平面内的点在第二象限，所以06060mmm−+【点睛】本题重点考查复数的概念，属于基本题

.复数(,)abiabR+的实部为a、虚部为b、模为22ab+、对应点为(,)ab、共轭为.−abi15.已知ABC，0P是边AB上一定点，满足014PBAB=，且对于AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC．若π3A=，4AC=，则ABC的面

积为________．【答案】43【解析】【分析】建立直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算公式，结合二次函数的性质、三角形面积公式进行求解即可.【详解】以AB所在的直线为横轴，以线段AB的中垂线为纵轴建立如图所

示的直角坐标系，设()40ABtt=，()2,0At−，()2,0Bt，因为014PBAB=，所以()0,0Pt，设(),Cab，()(),022Pxtxt−，()()()()002,0,,,,0,,PBtxPCaxbPBtPCatb=−=

−==−，由()()()()2200220PBPCPBPCtxaxtatxxatatt−−−−+++，设()()222fxxxatat=−++，该二次函数的对称轴为：22atx+=，当2

22atxt+=−时，即6at−，则有()()222042203ftttatattat−++++−，所以无实数解，当222atxt+=时，即2at，则有()()22204220ftttatattat−+++，所以无实数解，当2222attt+−时，即62tat−

，则有()()2222400atatta=−+−+，而20a，所以0a=，显然此时()0,Cb在纵轴，而π3A=，所以该三角形为等边三角形，故ABC的面积为13444322=，故

答案为：43【点睛】关键点睛：建立合适的直角坐标系，利用二次函数对称轴与区间的位置关系关系分类讨论是解题的关键.16.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异．意思是：夹在两

个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k．已知线段A

B长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为，平面//，且距离为h，若平面截圆柱体N所得截面面积为1S，平面截环体M所得截面面积为2S，我们可以求

出12SS的比值，进而求出环体M体积为________．【答案】28π【解析】【分析】画出示意图的截面，结合图形可得1S和2S的值，进而求出圆柱的体积，乘以2π，可得环体M的体积，得到答案.【详解】画出示意图，可得22121481Shh=

−=−，222ππSrr=−外内，其中()22241hr=+−外，()22241rh=−−内，故221161π2πShS=−=，即1212πSS=，环体M体积为22π2π4π8πV==柱.故答案为：28π四、解答题（共6小题，其中第17题10分，其余各题1

2分，满分70分）17.如图所示，在ABC中D、F分别是BC、AC的中点，23AEAD=，ABa=，ACb=．（1）用a，b表示向量AD，BF；（2）求证：B，E，F三点共线．【答案】（1）()12ADab=+，12BFba=−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由向量线性运

算法则求解；（2）用a，b表示向量BF、BE，证明它们共线即可得证．【小问1详解】∵ABa=，ACb=，D，F分别是BC，AC的中点，∴()()111222ADABBDABBCABACABab=+=+=+−=+，12BFAFABba=−=−，【小问2详解】由（1）1

233BEba=−，12BFba=−，∴1312322332BFbabaBE=−=−=∴BF与BE共线，又∵BF与BE有公共点B，故B，E，F三点共线．18.在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，

且2222abcab+=+．（1）求C；的（2）若tan2tanBacCc−=，求A．【答案】（1）45C=（2）75A=【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得6

0B=，进而可求解.【小问1详解】∵2222abcab+=+，∴222222abcab+−=，∴2cos2C=，由于C三角形内角，∴45C=．【小问2详解】由正弦定理可得tan22sinsintansinBacAC

CcC−−==，∴sincos2sinsincossinsinBCACBCC−=∴sincos2sincossincosBCABCB=−，∴sincossincos2sincosBCCBAB+=，∴()sin2sinc

osBCAB+=，∴sin(π)sin2sincosAAAB==-．∵sin0A，∴1cos2B=，由于B是三角形内角，∴60B=，则180456075A−−==．19.如图，数轴,xy的交点为O，夹角为，与x轴､y轴正向同向的单位向量分别是21,e

e.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量OP，存在唯一的有序实数对(),xy，使得12OPxeye=+，我们把(),xy叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）.（1）若90,OP=为单位向量，且OP与1e的夹角为120，求点P的坐标；（2）若45

=，点P的坐标为()1,2，求向量OP与1e的夹角的余弦值.是【答案】（1）13,22−（2）255【解析】【分析】（1）90=时，坐标系xOy为平面直角坐标系，设点(),Pxy利用112=−OPe求出x，再利用模长公式计算可得答案；（

2）根据向量的模长公式()2121222=+=+OPeeee、数量积公式1OPe计算可得答案.，【小问1详解】当90=时，坐标系xOy为平面直角坐标系，设点(),Pxy，则有(),OPxy=uuur，而()111,0,

eOPex==，又111cos1202OPeOPe==−，所以12x=−，又因221OPxy=+=，解得32y=，故点P的坐标是13,22−；【小问2详解】依题意21,ee夹角为121212245,cos45,22===+eeeeOPee，()2121211222

22225OPeeeeeeee=+=+=++=，()2111121121cos5cos,222OPeOPeOPeeeeeee===+=+=，所以255cos2,cos5==.20.如图所示，在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，12B

CAD=，E是PD的中点．（1）求证：//BCAD；（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）取AD中点N，连接C

N，EN，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．【详解】证明：（1）在四棱锥PABCD−中，//BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD=，∴//BCAD，（2）线段AD存在点N，使得//MN平面P

AB，理由如下：取AD中点N，连接CN，EN，∵E，N分别为PD，AD的中点，∴//ENPA，∵EN平面PAB，PA平面PAB，∴//EN平面PAB，取AP中点F,连结EF,BF，//EFAN，且=EFAN，因为//BCAD，12BCAD=，所以

//BCEF，且=BCEF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以//CEBF.又CE面PAB，BF面PAB，所以//CE平面PAB；又CEENE=，∴平面//CEN平面PAB，∵M是CE上的动点，

MN平面CEN，∴//MN平面PAB，∴线段AD存在点N，使得MN∥平面PAB．21.合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于图中ABC的三个顶点，已知202mABAC==,40mBC=．为了解决三个苗

圃的灌溉问题，现要在ABC区域内（不包括边界）且与B,C等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道OA、OB、OC．（1）设OBC=，记铺设的管道总长度为my，请将y表示为的函数；（2）当管道总长取最小值时，求

的值．【答案】（1）()202sinπ200cos4y−=+（2）π6=【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数即可表示20cosBO=，20sincosOD=，进而可求解，（2）利用2sincosk−=，结合三角函数的最值可得3k，即可利用辅助角公式求解

.【小问1详解】由于202mABAC==,,OBOCO=在BC的垂直平分线AD上，若设OBC=，则20cosBO=,20sincosOD=∴20sin20cosOA=−则()202sin202020ta

n2200coscos4y−=−+=+；【小问2详解】令2sincosk−=得22cossin1kk=++故23k，又0k，故3k则min20203y=+此时

：2sin3cos−=，即π3cossin2sin23+=+=得πsin13+=又π0,4，故ππ32+=,故π6=22.数学史上著名的波尔约-格维也纳定理：任意两个

面积相等的多边形，它们可以通过相互拼接得到．它由法卡斯·波尔约（FarksBolyai）和保罗·格维也纳（PaulGerwien）两位数学家分别在1833年和1835年给出证明．现在我们来尝试用平面图形拼接空间图形，使它们的全面积都与原平面图形的面积相等：

（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），其中图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥；图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形（阴影部分），其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪

出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（1）试比较图1与图2剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（2）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等．请仿照图2设计剪拼方案，用虚线标示在图3中，并作简要说明．

【答案】（1）柱锥VV（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题中的操作过程，结合棱锥、棱锥的体积进行求解比较即可；（2）根据题中操作过程，结合三角形内心的性质、直三棱柱的定义进行操作即可.【小问

1详解】依上面剪拼方法，有柱锥VV．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为34．现在计算它们的高：如图所示：在正四面体中，高2222216111323DOBDBO=−=−−=，

在图2一顶处的四边形中，如图所示：直三棱柱高()π1313tantan2162326PNPMNMN==−==，1336334694VVhh−=−=−柱锥柱锥322024−=，∴柱锥VV．【小问2详解】如图，分别连接三角形的内

心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，再将三个四边形拼成上底即

可得到直三棱柱．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com