【文档说明】湖南省五市十校教研教改共同体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.073 MB，由小赞的店铺上传

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五市十校教研教改共同体·2023年下学期高二期中联考数学命题单位：主命题：雷锋学校副命题：宁乡一中审题单位：天壹名校联盟审题组南方中学东山学校本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．2．回答

选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．1.已知集合()(){|260}Mxxx=−−，{|15}Nxx=，则MN=（）A.{|25}xxB.|15xxC.{|26}xxD.{|16}xx【答案】A【解析】【分析】根据已知条件中所给的两个集合，

结合集合的交集运算求解即可．【详解】因为()(){|260}{|26}Mxxxxx=−−=，{|15}Nxx=，所以{|25}MNxx=.故选：A.2.已知复数z满足()1i35iz+=+，则z=（）A.2B.3

C.4D.17【答案】D【解析】【分析】先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可．【详解】复数()()()()35i1i3+5i82i4i1+i1i1i2z+−+====++−，有17z=．故选：D3.国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩(单位：环)7：，6，9，7

，4，8，9，10，7，5，则这组数据第70百分位数为（）A.7B.8C.8.5D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位数的概念和计算公式可直接求解.【详解】将10次射击成绩按照从小到大顺序排序为：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因为1070%7=，所以第70百分位数为898.52+=

，故选：C.4.过点()40，的直线l与圆2248160xyxy+−−+=相切，则直线l的方程为（）A.34120xy+−=或0y=B.34120xy+−=或4x=C.43120xy+−=或0y=D.43120xy+−=或4x=【答案】

B【解析】【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为4x=，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为()4ykx=−，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可．【详解】圆2248

160xyxy+−−+=化为标准方程为22(2)(4)4xy−+−=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l的斜率不存在时，直线4lx=：，此时直线l与圆2248160xyxy+−−+=相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()4ykx=−，即40kxyk−−

=，圆心()2,4到直线l的距离为222442411kkkdkk−−+==++，由相切得2dr==，所以22421kk+=+，平方化简得34k=−，求得直线方程为34120xy+−=，综上，直线l的方程为3

4120xy+−=或4x=．故选：B5.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥PABCD−是阳马，PA⊥平面ABCD，且2PMMC=，若ABa=，ADb=

，APc=，则BM=（）A.121333abc+−B.221332abc+−C.121332abc−+−D.121333abc−++【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则计算即可．【详解】2PMMC=，23PMPC=，

23BMBPPMBPPC=+=+()212333APACAPAPABABAC=−−+−+=()1233APABADAB+−=+113332AADAPB=−+121333abc=−++．故选：D6.已知圆锥侧面积是1

6π，其侧面展开图是顶角为π2的扇形，则该圆锥的体积为（）A.215π3B.415π3C.815π3D.1615π3【答案】C的【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式以及弧长公式可得2r=，8a=，即可由体

积公式求解.【详解】设圆锥母线长为a，底面半径为r，侧面积是16π，则π16πra=，有16ar=．侧面展开图顶角为π2π2ra=，有4ar=，解得2r=，8a=，则圆锥的高222282215har=−=−=，故22111815πππ22153333VShrh

====，故选：C7.已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab+=：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为34的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP=，则C的离心率为（）A.23B.1

2C.13D.34【答案】B【解析】【分析】由已知2122PFFFc==与21120PFF=构造补角三角形2RtPFE，可得()23Pcc，，再由斜率可得出,ac的关系即可求解离心率．【详解】依题意(),

0Aa−，212121202PFFPFFFc===，，过P作PEx⊥轴，由几何关系知260PFE=，所以()2,3,2,3FEcPEcPcc==因3342PAckca==+，化简得12ca=，即C的离心率为12.故选：B.为8.如图，在正方体1111ABCDABC

D−中，O是AC中点，点P在线段11AC上，若直线OP与平面11ABC所成的角为，则sin的取值范围是（）．A.23,33B.11,32C.33,43D.11,43【答案】A【解析】【分析】先设棱

长为1，()11101APAC=，建立如图坐标系，根据111APAC=计算点P坐标和向量OP，再写出平面11ABC的一个法向量1DB的坐标，根据1sincos,OPDB=构建关系，求其值域即可.【详解】如图，设正方体棱长为1，()11101A

PAC=，则111APAC=，以D为原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则()()111,0,0,0,1,0,,,022ACO，故()111,1,0ACAC==−，()1,,0AP=−，又()11,0

,1A，则()1,,1P−，所以11,,122OP=−−．在正方体1111ABCDABCD−中，可知体对角线1BD⊥平面11ABC，所以()11,1,1DB=是平面11ABC的一个法向量，所以1222111122sincos,1113163222OPDB−+

−+===−+−+−+．所以当12=时，sin取得最大值33，当0=或1时，sin取得最小值23．所以23sin,33.故选：A．【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作

平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.二、多项选择题：本题共4小题，每

小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()2πsin23fxx=+，则（）A.()fx最小正周期为πB.()fx的图象关于直线7π12x=对称C.π3f

x+是偶函数D.()fx的单调递减区间为()π5ππ,πZ1212kkk−+【答案】AD【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出π3fx+的表达式即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出()fx的单调减区间

即可判断D.【详解】对于A，由三角函数的性质，可得()fx的最小正周期为2ππ2T==，所以A正确；对于B，当7π12x=时，可得7π7π2π11πsin2sin1121236f=+=

，所以()fx的图象不关于直线7π12x=对称，所以B错误；对于C，由ππ2π4πsin2sin23333fxxx+=++=+，此时函数π3fx+

为非奇非偶函数，所以C错误；对于D，令2π3π2π22π2π32kxk+++，Zk，解得π5πππ1212kxk−+，Zk，即函数的递减区间为π5ππ,π1212kk−+，Zk，所以D正确．故选：AD的10.已知三条直线

2310xy−+=，4350xy++=，10mxy−−=能构成三角形，则实数m的取值可能为（）A.2B.43−C.23−D.43【答案】AD【解析】【分析】因为三条直线2310xy−+=，4350xy++=，10mxy−−=能构成三角形，所以直线10mxy−−=与2310xy−+

=或4350xy++=都不平行，且直线10mxy−−=不过2310xy−+=与4350xy++=的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果．【详解】因为三条直线2310xy−+=，4350xy++=，10mxy−−=能构成三角形，所以直线10mxy−−=与2310xy−+=，4350xy++

=都不平行，且直线10mxy−−=不过2310xy−+=与4350xy++=的交点，直线10mxy−−=与2310xy−+=，4350xy++=都不平行时，23m，且43m−，联立23104350xyxy−+=++=，解得113

xy=−=−，即直线2310xy−+=与4350xy++=交点坐标为11,3−−，代入直线10mxy−−=中，得23m=−，故可知23m−，结合选项可知实数m的取值可以为2或43，故选：AD11.如图，两条异面直线

a，b所成的角为60，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使AOOC⊥，OCCB⊥.已知4AO=，3CB=，7AB=，则线段OC的长为（）的A.6B.8C.23D.3【答案】AC【解析】【分析】依题意，ABAOOCCB=++，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，

代入已知数据计算，即可求解．【详解】依题意，ABAOOCCB=++，平方得22()ABAOOCCB=++222222AOOCCBAOOCOCCBCBAO=+++++.因为a，b所成的角为60，06CBAO=,或120CBAO=,.当0

6CBAO=,时，AOOC⊥，OCCB⊥，代入数据可得222217432432OC=+++，所以，212OC=，所以23OC=；当120CBAO=,时，AOOC⊥，OCCB⊥，代入数据可得222217432432OC=++−，所以，2

36OC=，所以6OC=.综上所述，23OC=或6OC=，即OC的长为6或23.故选：AC12.已知双曲线22:184xyC−=的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（）A.C的渐近线方程为22yx=.B.若直线ykx=与双曲线C有交点，则22kC.

点P到C的两条渐近线的距离之积为83D.当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直

线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.【详解】双曲线22:184xyC−=，则222ab==，，对于A，C的渐近线方程为22byxxa==，A正确；对于B，由双曲线的渐近线方程为

22yx=可知，若直线ykx=与双曲线C有交点，则22k，B错误；对于C，设点(),Pxy，则222212884xyxy−=−=，点P到C的两条渐近线的距离之积为2222222228331(2)1(2)xyxyx

y+−−==++，C正确；对于D，易得()22,0A−，()22,0B，设(),Pxy，则()2241228xyx=−，所以直线PA，PB的斜率之积为222241818822222xyyyxxxx−===−−+

−，D错误．故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1，2A，()34B，，则线段AB的垂直平分线的方程是__________．【答案】50xy+−=【解析】【分析】先求出中点的坐标，利用

两直线垂直得到所求直线的斜率，点斜式写出方程，再化为一般式．【详解】线段AB的中点为()23，，42131ABk−==−，故垂直平分线的斜率11ABkk=−=−，线段AB的垂直平分线的方程是()32yx−=−−，即50xy+−=．故答案为：50xy+−=14

.已知π2cos410−=，π,π2，则cos=__________．【答案】35-##0.6−【解析】【分析】求出πsin4−，利用两角差的余弦即可求解．【详解】因为π2cos410−=，又π,π2

，所以π3ππ,444−−−，所以2ππ172sin1cos()1445010−=−−−=−=−，ππππππcoscoscoscossinsin444444=−−=−+−

2227232102105=+−=−．故答案为：35−．15.如图，棱长为1的正方体12345678AAAAAAAA−的八个顶点分别为128,,,AAA，记正方体12条棱

的中点分别为91020,,,AAA，6个面的中心为212226,,,AAA，正方体的中心为27A.记117jjmAAAA=，}7{1,22j，，，其中17AA是正方体的体对角线.则1227mmm+++=________.【答案】812##40.5【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系

，利用空间向量数量积的坐标运算，可求1227mmm+++的值.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0A，()21,0,0A，()31,1,0A，()40,1,0A，()50,0,1A，()61,0,1A，()71,1,1A，()80,1,1A，设

向量()1,,jAAxyz=，而()171,1,1AA=，故117jjmAAAAxyz==++，故1227mmm+++表示各点的坐标和的和.现各点的横坐标之和为X，纵坐标之和为Y，竖坐标之和为Z，根据对称性可得127199092

2XYZ===++=，故12272781322mmm+++==，故答案为：812.【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等价的计算方法，从而使得问题得以简化.16.已知椭圆22143x

yC+=：的左、右焦点分别为1F，2F，M为C上任意一点，N为圆22(5)(4)1Exy−+−=：上任意一点，则1MNMF−的最小值为__________．【答案】425−##542−+【解析】【分析】首先根据椭圆的定义将1MNMF−的

最小值转化为24MNMF+−，再根据1MNME−（当且仅当M、N、E共线时取等号），结合22MEMFEF+，求得1MNMF−的最小值．【详解】如图，由M为椭圆C上任意一点，则124MFMF+=，又N为圆E：22(5)(4)1xy−+−=上任

意一点，则||1MNMEENME−=−（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），()124MNMFMNMF−=−−，()2224145MNMFMEMFEF=+−−+−−，当且仅当M、N、E、2F共线且M、N在E、2F之间时等号成立．由题意知，()210F，，()5,4E，则2

22(51)(40)42EF=−+−=，1MNMF−的最小值为425−，故答案为：425−【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，

考查学生的转化与化归思想．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.为配合创建全国文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为．经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个

路口的违章车次的数量绘制如图所示的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点路口”．（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的中位数；（2）现从“重点路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来

的路口中有且仅有一个违章车次在(40,50的概率．【答案】（1）32.5；（2）815.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，结合中位数的估计方法可求解；（2）由古典概率模型公式代入化简求值即可．【小问1详解】由(0.010.02

0.01)100.40.5(0.010.020.010.04)100.8++=+++=，所以中位数位于(30,40区间，频率分布直方图可估计中位数为：()0.130403032.50.4+−=；【小问2详解】由频率分布直方

图知：违章车次在(30,40的路口有4个，记为A，B，C，D；违章车次在(40,50的路口有2个，记为a，b，从“重点路口”中随机抽取两个路口，则,,,,,,,,,,ABACADAaAbBCBDB

aBbCD,,,,CaCbDaDbab，共15种情况，其中有且仅有一个违章车次在(40,50的情况有,,,,,,,AaAbBaBbCaCbDaDb，共8种．所求概率815P=．18.已知函数()()2log1(0aFxxa=−，且1)a.（1）判断函数()Fx

的奇偶性，并说明理由；（2）若()1122FmFm+−，求m的取值范围．【答案】（1）偶函数；理由见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判断；（2）由题意得()1122FmFm+−，对a进行分类讨论，判断出()Fx的单调性

，结合函数的单调性解不等式，即可求解．【小问1详解】()Fx为偶函数,理由如下:由210x−得11x−，即函数()Fx的定义域为()1,1−，可知()Fx的定义域关于原点中心对称．又()()()2log1

aFxxFx−=−=，故()Fx为偶函数；【小问2详解】因为()Fx为偶函数，所以不等式()1122FmFm+−即()1122FmFm+−，由复合函数的单调性可知，当1a时，logayt=在(0,)+

上单调递增，而21tx=−在()01，上单调递减，故()Fx在()01，内单调递减，则()Fx在()1,0−内单调递增；当01a时，logayt=在(0,)+上单调递减，而21tx=−在()01

，上单调递减，故()Fx在()01，内单调递增，则()Fx在()1,0−内单调递减；（i）当1a时，由已知有111112121122mmmm−+−−+−,解得1146m−−；（ii）当01a时，由已知有111112121122mmmm−+

−−+−,解得106m−，故当1a时，m的取值范围为11,46−−；当01a时，m的取值范围为1,06−.19.已知圆22:(1)(2)25Cxy++−=，直线()():210laxaya++++=.（1）求证：直线l恒过定点；（2）直线l

被圆C截得的弦长何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时a的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将直线l化为()()120axyxy++++=求解定点即可；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．当直线lCP⊥时，直线被圆截得的弦长最短，先

由CP与最短弦所在直线互相垂直，利用斜率关系求解直线的方程，最后利用几何法由222lrd=−求弦长.【小问1详解】直线()():210laxaya++++=，即()()120axyxy++++=，联立1020xyxy++=+=，，解得12xy==−，，所以不论a取

何值，直线l必过定点()1,2P−【小问2详解】由22:(1)(2)25Cxy++−=，知圆心(1,2)C−，半径为5.当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，当直线lCP⊥时，直线被圆截得的弦长最短．直线l的斜率为21aka+=−+，()2221

1CPk−−==−−−，有()2211aa+−−=−+，解得53a=−．此时直线l的方程是250xy−−=．圆心()1,2C−到直线250xy−−=的距离为145255d−−−==，所以最短弦长是2222252025rd−=−=．20.已知,,

abc分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且3cos3sin3aCcAb+=．（1）求A；（2）若2a=，且ABC为锐角三角形，求ABC周长的取值范围．【答案】（1）π3（2）(223,6+【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求得tan3A=，即可求A；（2）利用

正弦定定理和三角恒等变换求得π4sin6bcB+=+，结合B的范围求出bc+的范围，即可求周长的范围．【小问1详解】由已知和正弦定理得3sincos3sinsin3sinACCAB+=，又()sinsinsi

ncossincosBACACCA=+=+，3sinsin3sincosCACA=，又sin0C，3sin3cosAA=，有tan3A=，又()0,πA，π3A=；【小问2详解】2a=，且π3A=，由正弦定理有243πsinsi

n3sin3===bcBC，从而43sin3bB=，43sin3cC=，()πsinsinsin3CABB=+=+，43πsinsin33+=++bcBB4333π

sincos4sin3226=+=+BBB，又ABC为锐角三角形，有π0,2B，且ππ,π32ABB+=+，ππ,62B，ππ2π,633B+，有π3si

n,162B+，故(23,4bc+，从而ABC周长的取值范围为(223,6+．21.如图，在正三棱柱111ABCABC-中，12AA=，1AB=．点D，E，F分别在棱1AA，1BB，1CC上，123ADCF==，1BE=．M为AC中点，

连接BM．（1）证明：//BM平面DEF；（2）点P在棱1BB上，当二面角PDFE−−为30时，求EP的长．【答案】（1）证明见解析（2）136．【解析】【分析】（1）取DF中点N，连接EN，MN，即可得到/

/MNAD，1MN=，从而得到四边形BMNE为平行四边形，则//BMNE，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，设3,0,2Pa，分别求出平面DEF的法向量为1n和平面PDF的法向量为2n，利用121232nnnn=，求出a的值，即可

求出结果．【小问1详解】取DF中点N，连接EN，MN，又M为AC中点，所以MN为梯形ADFC的中位线，所以//MNAD，12ADCFMN+==，又//BEAD，故//MNBE，且=MNBE，故四边形BMNE为平行四边形

，则//BMNE，因为NE平面DEF，BM平面DEF，故//BM平面DEF；【小问2详解】以BM所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，MN所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Mxyz−，如图所示：则140,,23D−，3,0,12E，120,,23F

，设3,0,2Pa，可得311,,223DE=−，20,1,3DF=−，314,,223DPa=−，设平面DEF的法向量为()1111,,nxyz=，平面PDF的法向量为()2222,,nxyz=，则有1100nDEnDF=

=，即111113110223203xyzyz+−=−=，取13z=，则12y=，10x=，得()10,2,3n=，又2200nDPnDF==，即222223140223203xyazyz++−=

−=，取23z=，则22y=，22323xa=−，得()22323,2,3na=−，由二面角PDFE−−为30，得121232nnnn=，即2133213122425aa=−+，解得1316a=，故136EP=．22.已知椭圆22221(0)xyCabab+=：经过点(

)2,0A，且右焦点为()3,0F．（1）求C的标准方程；（2）过点()1,0且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，直线4x=分别交直线AM，AN于点E，F，以EF为直径的圆是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2

）以EF为直径的圆过定点()43,0−,()430+,【解析】【分析】（1）根据条件求出a，b，即可得椭圆方程；（2）设直线l的方程为1xty=+，联立椭圆方程，利用韦达定理，求出E，F坐标，通过0DEDF=，求出0x，即可求得定点坐标【小问1详解】由题意，2a=，3c=，所以22431bac

=−=−=，故C的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】以EF为直径的圆过定点，理由如下：设直线l的方程为1xty=+，联立椭圆方程2214xy+=；，消去x，整理可得()224230tyty++−=，则216480t=+，且224MNtyyt+=−+，234MNyyt=−+．由直线

AM方程为()22MMyyxx=−−，令4x=，求得点24,2MMyEx−；由直线AN方程为()22NNyyxx=−−，令4x=，求得点242NNyFx−,由对称性可知，若以EF为

直径的圆过定点，则该定点一定在x轴上，设该定点为()00Dx，，则0242MMyDExx=−−，，0242NNyDFxx=−−，，可得()()()2200244(4)(4)221MNMNMNMNMNyyyyDEDFxx

xxtyytyy=−+=−+−−−++22200222344(4)(4)332144txxttttt−+=−+=−−−++++．由20(4)30DEDFx=−−=，解得043x=，故以EF为直径的圆过定点()43,0−,()430+,获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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