【文档说明】湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.922 MB，由小赞的店铺上传

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明德中学高三数学入学考试试卷（2023学年上期）考试时间：120分钟；总分：150注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题4个选项中只有

一个正确答案.1.复数11iz=+（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据题意可得11i22z=−，利用复数的几

何意义可得对应的点在第四象限.【详解】因为复数()()11i1i11i1i1i1i222z−−====−++−，则z在复平面内对应点为11,22−，所在象限为第四象限，故选：D.2.已知集合，1420xxAx+=−，()lg1Bxyx=

=+，则()RAB=ð（）A.(,1−−B.(),1−C.()1,1−D.()0,1【答案】A【解析】【分析】先利用指数函数的性质与对数函数的定义域化简集合,AB，再利用集合的运算即可得解.【详解】因为()1024222xxxx+=−−，所以022x，则1x

，所以1Axx=，而()lg11Bxyxxx==+=−，所以R1Bxx=−ð，()(R1,1ABxx=−=−−ð.故选：A.3.在ABC中，2ADDB=，点P在CD上，且1()3

APmACABm=+R，则m=（）A.15B.14C.13D.12【答案】D【解析】【分析】将32ABAD=代入1()3APmACABm=+R，利用共线定理推论可得.【详解】因为2ADDB=，所以32ABAD=，所以1131332

2=+=+=+APmACABmACADmACAD，又P，C，D三点共线，所以112m+=，得12m=.故选：D.4.已知函数()fx同时满足性质:①()()fxfx−=;②当()12,0,1xx时,()()12120fxfxxx−−,则函数()fx可能

为()A.()2fxx=B.1()2xfx=C.()cos4fxx=D.()()ln1fxx=−【答案】D【解析】【分析】①()()fxfx−=说明()fx为偶函数，②()()121212,(0,1),0fxfxxxxx−−,说明函数在(0,1)上单调递减,

再逐项分析即可.【详解】①()()fxfx−=说明()fx为偶函数，②()()121212,(0,1),0fxfxxxxx−−,说明函数在(0,1)上单调递减.A不满足②，B不满足①，C不满足②,

因为()cos4fxx=在0,4单调递减，在,14单调递增.对于D,满足①,当(0,1),()ln(1)xfxx=−,单调递减,也满足②.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A，直线:24lyx=−．设圆C半径为

1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使2=MAMO，则圆心C的横坐标a的取值范围为（）A.120,5B.120,5C.1212,55−D.120,5【答案】D【解析】【分析】先

求得圆C的方程，再利用2=MAMO求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为(,24)aa−，则圆C的方程22()(24)1xaya−+−+=，设(,)Mxy，由2=M

AMO，可得2222(3)2xyxy+−=+，整理得()2214xy++=，则圆22()(24)1xaya−+−+=与圆()2214xy++=有公共点，则2221(0)(124)21aa−−+−−++，即2151299aa−+，解之得1205a.故选：D6.已知数列na

满足11a=，且12nnaa+=+，数列nb满足11b=，11nnnbba++−=，则8nbn+的最小值为（）．的A.133B.5C.42D.173【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式可求得公差d和na，采用累加法可求得nb，再判断8nbn+单调性即

可计算作答.【详解】由数列na满足11a=，12nnaa+−=，根据等差数列的定义知，数列na是首项为1，公差为2的等差数列，所以1(1)221nann=+−=−，11221nann+=+=+，121nnbbn+−=+

当2n时，()()()()()1122332211nnnnnnnbbbbbbbbbbbb−−−−−=−+−+−++−+−+()()()22112123312nnnnn−+=−+−+++==L，又11b=满足2nbn=，2

*,Nnbnn=，所以2888nbnnnnn++=+=.设()8fxxx=+，根据对勾函数的性质可知，当022x时，()fx单调递减；当22x时，()fx单调递增.又()82262f=+=，()8233533f=+=，所以，当3n=时，8nbn+有最小值为173.故选：D.7

.已知点P为双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线和抛物线24yx=的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（）A.2B.233C.3D.2【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义可求得点P的坐标，从而求得ab=的值，由此求得双曲线的离心率.

【详解】结合双曲线与抛物线的对称性，不妨设点()11,Pxy为第一象限内的点，则110,0xy，因为抛物线为24yx=，由抛物线的定义可得115x=+，解得14x=，所以2116y=，可得14y=，即点()4,4P，因为双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，由题意可得44

ba=，则ab=，所以222caba=+=，则所求双曲线的离心率为22caeaa===.故选：A.8.已知3πsin,,π52=，若()sin4cos+=，则()tan+=（）A.167−B.78−C.167D.23【答案】C【解析】【分析】由已知条件算

出tan,tan即可求解.【详解】因为3πsin,,π52=，所以24sin3cos1sin,tan5cos4=−−=−==−，因为()sinsincoscossin34sincostantan4coscos55++==

+=−=，所以17tan4=−，所以()317tantan1644tan3171tantan7144−−++===−−−−.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题4个选项中有多项符合要求.9.下列说法中正确的有（）A.随机变量

服从正态分布()21,N，()40.79P=，则()20.21P−=B.随机变量服从(),XBnp，若()30EX=，()20DX=，则90n=C.将一组数据的每个数据都乘以一个数a，再加上一个数b后，这组数据的方差变为原来的a倍D

.样本相关系数r的绝对值越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算可得A正确；根据二项分布的均值和方差公式计算可得B正确；根据方差的性质可知C错误；根据样本相

关系数的性质可得D正确.【详解】对于A，因为1=，所以(2)(4)1(4)PPP−==−10.790.21=−=，故A正确；对于B，因为()30EX=，()20DX=，所以30(1)20npnpp=−=，解得1390pn==，故B正确；对于C，将一组数据的每个数据

都乘以一个数a，再加上一个数b后，这组数据的方差变为原来的2a倍，故C错误；对于D，样本相关系数r的绝对值越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确.故选：ABD10.已知直线ya=与曲线exxy=相交于,AB两点，与lnxyx=相交于,BC两点，

,,ABC的横坐标分别为123,,xxx，则（）A.22exxa=B.21lnxx=C.23exx=D.2132xxx=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，利用导数分别求得函数exxy=和lnxyx=的单调性和最大值，作出两

个函数的图象，利用图象结合对数的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数exxy=，可得1exxy−=，令0y=，可得1x=，当(),1x−时，0y，exxy=单调递增；当()1,x+时，0y，exx

y=单调递减，所以当1x=时，函数取得最大值，最大值为1e，又由函数lnxyx=，可得21lnxyx−=，令0y=，可得ex=，当当()0,ex时，0y，lnxyx=单调递增；当()e,x+时，0

y，lnxyx=单调递减，所以当ex=时，函数取得最大值，最大值为1e，作出两个函数exxy=和lnxyx=的图象，如图所示，由22exxa=，可得22exxa=，所以A正确；因为12212222lnlneeexxxxxxxax====且exxy=在(0,1)上单调递

增，又因为1201,1exx，所以20ln1x，所以12lnxx=，所以B错误；因为222323lnlneeexxxxxax===且lnxyx=在()e,x+上单调递减，又因为2ee(e,e)x，ex，所以23exx=，

所以C正确；由22213222elnxxxxxaxxa===，所以D正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于

参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与ex和lnx

相关的常见同构模型①elnelnelnaaaabbbb，构造函数()lnfxxx=（或lnelneelnaababbab，构造函数()exgxx=）；②eelnlnelnaaabbabb，构造函数()lnxfxx=（或lneeelnlnaabbabab，构造函数()ex

gxx=）；③elnelnelnaaaabbbb，构造函数()lnfxxx=（或lnelneelnaababbab，构造函数()exgxx=）.11.已知函数()sin2xfxx=，则（）A.()2ππf=B.()fx是周期函数C.()fx在π0,4

单调递减D.()2fx【答案】ACD【解析】【分析】求出()fx，分析得到()πf和()fx的周期性，然后利用导数法得到()fx在π0,4单调性，最后通过证明sin22(0)xxx

得出()2fx.【详解】()fx定义域为(,0)(0,)−+，22cos2sin2()xxxfxx−=，对于A，22πcos2π-sin2π2(π)ππf==，A正确；对于B，由于2yx=不是周期函数，()fx不具备周期性，B错误

；对于C，令()2cos2sin2gxxxx=−，则()2cos24sin22cos24sin2gxxxxxxx=−−=−，当π(0,)4x时，π2(0,)2x，()4sin20gxxx=−，()gx在π0,4单调递减，()(0)0gxg=，()0fx，()f

x在π0,4单调递减.C正确；对于D，要证()2fx，即证sin22(0)xxx.令2xt=，即证sin(0)ttt.当π(0,)2t时，令()sinhttt=−，()cos10htt=−，所以()

sinhttt=−在π(0,)2上单调递减，所以()sin(0)0httth=−=，即sinsintttt==，当π(,0)2t−时，sinsinsin()ttttt=−=−−=，当π2t时，πsin12tt，所以si

n(0)ttt，即sin22(0)xxx，()2fx.D正确故选：ACD.12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别是11,ADBD的中点，则（）A.四点A，M，N，C共面B.MN∥CDC.1AD与平面1BCD相交D.

若1MN=，则正方体1111ABCDABCD−外接球的表面积为12π【答案】BCD【解析】【分析】对于A，连接1AD和1BC，可得点A，M，N在平面11ABCD中，再判断点C是否在平面11ABCD内即可，对于B，利用三角形中位线定理和正方体的性质判断，对于C，利用正方体的性质判断，对于D

，由1MN=可求出正方体的棱长，从而可求出正方体的外接球的半径，进而可求出正方体外接球的表面积.【详解】对于选项A，连接1AD和1BC，则1AD∥1BC，因为在正方体1111ABCDABCD−中，M是1AD的中点，所以M也是1AD的中点，

所以1MAD因为N是1BD的中点，所以1NBD所以点A，M，N在平面11ABCD中，因为点C平面11ABCD，则四点A，M，N，C不共面，即选项A不正确；.对于选项B，由选项A可知M是1AD的中点，因为N是1BD的中点，所以MN∥AB，又因为CD∥AB，所以MN∥CD，即选项B正确；对

于选项C，因为11AD∥BC，所以点B，C，1D都在平面11ABCD，因为D平面11ABCD，1A平面11ABCD，所以1AD与平面11ABCD相交，即1AD与平面1BCD相交，所以选项C正确；对于选项D，因为MN为1ABD的中位线，且1MN=，所以正方体的棱长为2

，设正方体1111ABCDABCD−外接球的半径为R，则2221112=23RDAAAAB++=，即3R=，则外接球的表面积为24π12πSR==，即选项D正确；故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6312xx−的展开式中，2x

项的系数为_________．【答案】60【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式()61841612kkkkkTCx−−+=−，令1842k−=确定k的值，然后计算2x项的系数即可.【详解】展开式的通项公式()()6361

841661C212CkkkkkkkkTxxx−−−+=−=−，令1842k−=可得，4k=，则2x项的系数为()4644612C41560−−==.故答案为：60.14.已知0a，0b，且()242baba=，则ab+

的最小值为__________.【答案】322+##223+【解析】【分析】先利用指数的运算与性质得到121ba+=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为()242baba=，所以2222abab=，

即222abab+=，则2abab+=，所以121ba+=，又0a，0b，所以()1222332322ababababbababa+=++=+++=+，当且仅当2abba=，即222ab==+时，等号成立.则ab+的最小值为322+.故答案：322+.15.已知()()()0

,0,3,0,,OAPab满足2POPA=，则214ab+−的最小值为__________.【答案】1025−【解析】【分析】由题意，P点的轨迹是圆，然后将问题转化为求圆上的点到直线距离的最小值，进而求出结果.【详解】由2POPA=得()2

22243abab+=−+，整理得()2244ab−+=，所以P点的轨迹是以()4,0为圆心，2为半径的圆，214ab+−表示圆上的点到直线2140ab+−=距离的5倍，而圆心到直线2140ab+−=的距离为4142525d−==，所以直线2140ab+−=与圆相离，所以圆上点

到直线2140ab+−=距离的最小值为252−，为的所以214ab+−的最小值为1025−.故答案为：1025−.16.如图，已知球的表面积为16π，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体

积的最小值为__________.【答案】3ππ##64643【解析】【分析】设圆锥的底面半径为(2)rr，圆锥的高为h，则母线长为22rh+，利用圆锥的轴截面得2244rhr=−，求出圆锥的体积()222444π34−+=−rVr，令24tr=−，再利用基本不等式或利用导数求最值可得

答案.【详解】依题意，得球的半径2R=，设圆锥的底面半径为(2)rr，圆锥的高为h，则母线长为22rh+，如图是圆锥的轴截面，则轴截面的面积()221122222SrhrrhR==++，即2222rhrrh−=+，平方整理得2244rhr=

−，则圆锥的体积()22422244144πππ33434−+===−−rrVrhrr，令24tr=−，则41641664π8)π82π333Vtttt=+++=，当且仅当

4t=时取得最小值，此时22r=.[或求导：424π34=−rVr，所以()()322288π34−=−rrVr，当280−r即22r时0V，()Vr单调递增，当280−r即022r时0V，()Vr单调递减，所以当22r=时V最小，且最小值为6

43π.]故答案为：643π.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2bac=，点D在边AC上，sinsinBDABCaC=.（1）证明：BDb=；（2）若2ADDC=，求cosABC

.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos12ABC=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBDb=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求

得cosABC的值.【详解】（1）设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sinsin,22bcRABCCR==，因为sinsinBDABCaC=，所以22bcBDaRR=，即BDbac=．又因为2bac=，所以BDb=．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2ADDC=，如图，在ABC中，222cos2abcCab+−=，①在BCD△中，222()3cos23babbaC+−=．②由①②得2222223()3babcab+−=+−，整理得2221120

3abc−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，解得3ca=或32ca=，当22,33ccabac===时，333ccabc+=+（舍去）．当2233,22ccabac===时，22233()722cos31222ccABCccc+−==．所以7cos12ABC=．[

方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2ADDC=，则23ABDABCSS=△△，即21221sinsin2332bacADABBC=，而2bac=，即sinsinADBABC=，故有ADBABC=，从而ABDC=．由2bac=，即bcab=，即CABACBBD=，即AC

BABD∽，故ADABABAC=，即23bccb=，又2bac=，所以23ca=，则2227cos212cabABCac+−==．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BDbAC==，再由2ADDC=得21,33ADbCDb==．在ADB中，由正弦定理得sinsi

nADBDABDA=．又ABDC=，所以s3sinn2iCbAb=，化简得2sinsin3CA=．在ABC中，由正弦定理知23ca=，又由2bac=，所以2223ba=．在ABC中，由余弦定理，得22

2222242793cos221223aaaacbABCaca+−−+===．故7cos12ABC=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DEAB∥，交BC于点E，则DECABC△∽△．由2ADDC=，得2,,333caaDEEC

BE===．在BED中，2222()()33cos2323BEDacbac−=+．在ABC中222cos2aaBCcAbc+−=．因为coscosABCBED=−，所以2222222()()3322233acbacbacac+−+−=−，整理得22261130ab

c−+=．又因为2bac=，所以2261130aacc−+=，即3ca=或32ac=．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2ADDC=，所以2ADDC=uuuruuur．以向量,BABC为基底，有2133BDBCBA=+．所以222441999BDBCBABCBA=

++，即222441cos999baccABCa=++，又因为2bac=，所以22944cosacaacABCc=++．③由余弦定理得2222cosbacacABC=+−，所以222cosacacacABC=+−④联立

③④，得2261130aacc−+=．所以32ac=或13ac=．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0DAC−．由（1）知，3BDbAC

===，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33Bxyx−，则229xy+=．⑤由2bac=知，2BABCAC=，即2222(2)(1)9xyxy++−+=．⑥联立⑤⑥解得74x=−或

732x=（舍去），29516y=，代入⑥式得36||,||6,32aBCcBAb=====，由余弦定理得2227cos212acbABCac+−==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，

很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何

问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.18.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，,EF分别是棱,BCPD的中点.的（1）证明：//CF平

面PAE；（2）若PA⊥平面ABCD，且1AB=，2ADAP==，求二面角APEB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）取PA中点G，连接FG、EG，即可证明//CFEG，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可

得.【小问1详解】如图，取PA中点G，连接FG、EG，根据题意，因为点F为PD中点，所以//FGAD且12FGAD=，又因为四边形ABCD为矩形，E为BC的中点，所以//ADEC且12ECAD=所以//FGEC且FGE

C=，所以四边形FGEC为平行四边形，所以//CFEG，又因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以//CF平面PAE．【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0E，()

002P,,，所以()1,1,0AE=，()1,1,2EP=−−，()0,1,0BE=，设平面PAE的一个法向量为(),,mxyz=，则020mAExymEPxyz=+==−−+=，令1x=，则()1,1,0m=−，设平面PEB的一个法向量为(

),,nabc=，则020nBEbnEPabc===−−+=，令2a=，则()2,0,1n=，显然二面角APEB−−为锐二面角，设其平面角为，则210cos525mnmn===，所以二面角APEB−−

的余弦值为105.19.已知等差数列na的前n项和为nS，且39a=，432S=，数列nb满足14b=，1114nnbbn+=+．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）记()132nnnnabcn+−=，若数列nc的前n项和

为nT，数列nbn的前n项和为nR，探究：nnnTRc+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）23nan=+，4nnbn=（2）是定值，定值为2【解析】【分析】（1）设等差数列n

a的公差为d，列方程组求出1a和d，即可得na的通项；由1114nnbbn+=+，可得141nnbbnn+=+，数列nbn是等比数列，求出通项后可得nb的通项.（2）2nncn=，由错位相减法求数列nc的前n项和nT，根据

2nnbn=，由等比数列前n项和公式求数列nbn的前n项和nR，代入nnnTRc+中化简即可.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，由已知，可得314129,4632,aadSad=+==+=解得15,2,ad==∴()5122

3nann=+−=+，又11114nnbnbnn++=+=，∴141nnbbnn+=+，又141b=，∴数列nbn是等比数列，首项为4，公比为4，∴1444nnnbn−==，∴4nnbn=.【小问2详解】由（1）知()1

322nnnnnabcnn+−==，数列nc的前n项和为1231222322nnTn=++++①，∴()23121222122nnnTnn+=+++−+②；①-②，得()()231

1121222222212212nnnnnnTnnn+++−−=++++−=−=−−−，∴()1122nnTn+=−+，又2nnbn=，则其前n项和为()23121222222212nnnnR+−=++++==−−，∴()()111122222222nnnnnnnnnTRncn

n+++−++−+===，∴nnnTRc+为定值2．20.已知函数1()lnfxaxbxx=++且曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为210xy−+=．（1）求实数a，b的值及函数()fx的单调区间；（2）若关于x

的不等式3()222mfxxx−+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）1a=，2b=，减区间10,2，增区间1,2+；（2）1m−【解析】【分析】（1）首先将1x=代入210xy−+=得切点为()1,3，从而

得到()()1312ff==，解方程组即可得到()1ln2fxxxx=++，再利用导数求单调区间即可.（2）首先将题意转化为22ln42mxxxx+−+恒成立，设()22ln42gxxxxx=+−+，利用导数求出设()gx的最小值

即可.【详解】（1）1x=代入210xy−+=得：3y=，所以切点为()1,3.()21afxbxx=−+，所以()()11311122fbafabb=+===−+==.所以()1ln2fxxxx=++.()()()()222221

1112120xxxxfxxxxxx−++−=−+==，令()0fx=，解得12x=，=1x−（舍去）.所以10,2x，()0fx，()fx为减函数，1,2x+，()0fx¢>，()fx为增函数.（2）因为()3222

mfxxx−+恒成立，即13ln2222mxxxxx++−+恒成立，化简为：22ln42mxxxx+−+恒成立.设()22ln42gxxxxx=+−+，即()minmgx即可.()()22ln

2422ln20gxxxxxx=++−=+−，因为()gx在()0,+为增函数，且()10g=，所以()0,1x，()0gx，()gx为减函数，()1,x+，()0gx，()gx为增函数.()()min11gxg==−，即1m−.21.已知,MN

分别为椭圆()2222:10xyEabab+=的左，右顶点，F为其右焦点，3FMFN=，且点31,2P在椭圆E上．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过F的直线l与椭圆E交于,AB两点，且l与以MN为直径的圆交于,CD两点，证明：2124CDAB+为

定值．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()3acac+=−以及222abc=+即可求解,,abc的值，（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即

可化简求解.【小问1详解】由3FMFN=，可得()3acac+=−，解得2ac=，又因为222abc=+，所以3bc=，因为点31,2P在椭圆E上，所以229141ab+=，解得2a=，3b=，1c=，所以椭圆E的

标准方程为22143xy+=．【小问2详解】证明：当l与x轴重合时，4ABCD==，所以212||7,4CDAB+=当l不与x轴重合时，设()()1122,,,AxyBxy，直线l的方程为1xmy=+，

由221,431,xyxmy+==+整理得()2234690mymy++−=，则12122269,3434myyyymm−−+==++，故()()()22221212226361411234

34mABmyyyymmm−=++−=++=++22134mm++圆心O到直线l的距离为211m+，则22||1441CDm=−+，所以222212||34147411CDmABmm++=+−=++，即212||4CDAB+为定值．22.为了避免

就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天

继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为nP．（i）证明：25nP−为等比数列；（ii）证明：当2n时，512nP．【答案】（1）13；（2）（i）证明

见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）设1A=“第1天选择米饭套餐”，2A=“第2天选择米饭套餐”，1A=“第1天不选择米饭套餐”．由全概率公式有()()()()()2121121PAPAPAAP

APAA=+，计算可得；（2）（i）设nA=“第n天选择米饭套餐”，则()nnPPA=，依照（1）可得1nP+与nP的关系，然后根据等比数列定义证明；（ii）求出通项公式nP，然后分类讨论证明结论．【详解】解：

（1）设1A=“第1天选择米饭套餐”，2A=“第2天选择米饭套餐”，则1A=“第1天不选择米饭套餐”．根据题意()123PA=，()113PA=，()2114PAA=，()2111122PAA=−=．由全概率公式，得()()()()()2121121211

1134323PAPAPAAPAPAA=+=+=．（2）（i）设nA=“第n天选择米饭套餐”，则()nnPPA=，()1nnPAP=−，根据题意()114nnPAA+=，()111122nnPAA+=−=．由全概率公式，得()()

()()()()1111111114242nnnnnnnnnnnPPAPAPAAPAPAAPPP++++==+=+−=−+．因此1212545nnPP+−=−−．因为1240515P−=，所以25nP−是以415为首项，14−为公比的等比数列．

（ii）由（i）可得12415154nnP−=+−．当n为大于1的奇数时，1224124155154515412nnP−=++=．当n为正偶数时，1241255154512nnP−=−．因此2

n当时，512nP．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com