【文档说明】北京市通州区2022-2023学年高一下学期期中质量检测数学试题 含解析.docx，共(17)页，771.802 KB，由小赞的店铺上传

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通州区2022-2023学年第二学期高一年级期中质量检测数学试卷2023年4月本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（

选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数32iz=−的虚部为（）A.3B.2C.2−D.2i−【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义，即可求解．【详解】32iz=−的

虚部为2−．故选：C．2.在复平面内，点()1,2M对应的复数的模等于（）A.5B.5C.2D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数模公式，即可得到答案．【详解】点(1,2)M对应的复数为12i+，则其模为22125+=．故选：B

．3.设a，b是单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A.ab=B.//abC.1ab=D.22ab=【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义，即可得解．【详解】由,ab是单位向量，知||||1ab==，但单位向

量的方向不确定，所以选项A，B和C均错误，选项D正确．故选：D．4.已知向量()()1,2,2,4ab=−=，则向量a与b夹角的余弦值为（）A.35-B.35C.1−D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，设向量a与b夹角为，

求出||a、||b和ab的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设向量a与b夹角为，向量()1,2a=−，(2,4)b=，则||145a=+=，||41625b=+=，286b=−=−，则63cos5||||525abab−===−．故选：A．5.已知向量,

ab满足10ab=，且()3,4b=−，则a在b上的投影向量为（）A.()6,8−B.()6,8−C.68,55−D.68,55−【答案】C【解析】【分析】向量a在向量b上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量()3,4b=−，且10ab=，

那么()22345b=−+=，所以向量a在向量b上的投影向量为()3468cos,555babaabbb−==−，，，故选：C.6.已知向量()()2,4,1,abm==−，则“3m=”是“()abb−⊥”的（）A.充分而

不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】.【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法分析“3m=”和“()abb−⊥”的关系，由此分析可得答案．【详解】根据题意，当3m=时，向量(2,4)a=，(1,3)

b=−，则(3,1)ab−=，有()330abb−=−+=，则有()abb−⊥，反之，若()abb−⊥，则(3,4)abm−=−，则()3(4)0abbmm−=−+−=，解可得3m=或1，3m=不一定成立；故

“3m=”是“()abb−⊥”的充分不必要条件．故选：A．7.如图所示，点C在线段BD上，且3BCCD=，则AD=（）A.32ACAB−B.43ACAB−C.4133ACAB−D.1233ACAB−【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.【详解

】因为3BCCD=，所以14CDBD=，因为()1144ADACCDACBDACADAB=+=+=+−，所以3144ADACAB=−，即4133ADACAB=−.故选：C.8.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本

点的个数为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】利用基本事件的定义，列举即可．【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}

．故选：C.9.若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（）A.0.10B.0.15C.0.40D.0.45【答案】B【解析】【分析】设成员会用

现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则AB为即用现金支付也用非现金支付，()()()()=+−+PABPAPBPAB.【详解】设成员会用现金支付为是事件A，会用非现金支付为事件B，则AB为即用现金支付也用非现金支付，则()0.6PA=，()

0.55=PB，则()1PAB+=，()()()()0.60.5510.15=+−+=+−=PABPAPBPAB.故选：B.10.已知,{2,1,1,2}ab−−，若向量(,)mab=，(1,1)n=r，则向量m与n所成的

角为锐角的概率是（）A.316B.14C.38D.716【答案】B【解析】【分析】由题意可得0mn，且m与n的方向不同，然后利用列举法列出满足条件的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】向量m

与n所成的角为锐角等价于0mn，且m与n的方向不同，即(,)(1,1)0mnabab==+，则满足条件的向量m有(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)−−，其中

(1,1)m=或(2,2)m=时，与n同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有4416=种，则向量m与n所成的角为锐角的概率是41164=．故选：B．第二部分（非选择题共110分）二、填空

题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i是虚数单位，则10i=_________．【答案】1−【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的乘方运算，即可求解．【详解】()()210422iii111==

−=−．故答案为：1−．12.在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.【答案】217【解析】【分析】已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.【详解】∵AB=2，AC=

3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×312=7，∵BC>0，∴BC7=.∴由正弦定理ABBCsinCsinA=，可得32212sin77ABsinACBC===.故答案为：2

17.【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.13.某人射击中靶的概率为0.9，连续射击3次，每次射击的结果互不影响，则至少中靶一次的概率是_________．【答

案】0.999##9991000【解析】【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件，是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个独立重复

试验，∵每次中靶的概率均为0.9，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，3331C(10.9)0.999P=−−=．故答案为：0.999．14.一条河宽为800m，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小

为20km/h，水流速度的大小为12km/h，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为_________min．【答案】3【解析】【分析】首先利用向量的模求出合速度，进一步利用SVt=求出结果．【详解】如图所示：所以222212201216kmVVV=−=−=故0.80.

05(h)3(min)16t===．故答案为：3．15.在正方形ABCD中，2AB=，P为BC边的中点，Q为CD边的中点，M为AB边（包括端点）上的动点，则PQPM的取值范围是_________．【

答案】[1,1]−【解析】【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标计算公式，结合一次函数的性质即可求解.【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,1

),(1,2)PQ，设(,0)Mx，则[0,2]x，所以(1,1),(2,1)PQPMx=−=−−，所以(1,1)(2,1)1[1,1]PQPMxx=−−−=−+−.故答案为：[1,1]−.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文

字说明，演算步骤或证明过程.16.已知,abR，i是虚数单位，复数1iza=+与22izb=+互为共轭复数．（1）求a，b的值，并指出复平面内2z对应的点所在的象限；（2）计算12zz，21z，12zz；（3）当实数取什么值时，复数12zzz=+是下列数？①

实数；②虚数；③纯虚数．【答案】（1）2a=，1b=-，第四象限；（2）125zz=，2134iz=+，1234i55zz=+（3）①1=；②1；③1=−.【解析】【分析】（1）直接由共轭复数的概念求a与b的值，再求出2z对应的点的坐标得答案；（2）直接利用复数代数形式的乘除运

算得答案；（3）122i(2i)(22)(1)izzz=+=++−=++−，再由复数的基本概念求解①②③中的值．【小问1详解】因为1iza=+与22izb=+互为共轭复数，所以2a=，1b=-．所以12iz=+，22iz=−．所以复平面内2z对应的点的坐标为()21−，，所以复平面内2z

对应点在第四象限．【小问2详解】()()2122i2i4i5zz=+−=−=，()22212i44i+i34iz=+=+=+，()()()22112122i2i34i2i2i2i55zzzzz++====+−−+．【小问3详解】()()()()2i2i21

1iz=++−=++−.①当10−=，即1=时，复数z是实数．②当10−，即1时，复数z是虚数．③当10+=，且10−，即1=−时，复数z是纯虚数．17.在平面直角坐标系xOy中，已知点()()()

3,3,5,1,2,1ABP．（1）求PAPB−的值；（2）设点M是坐标平面内一点，且四边形APBM是平行四边形，求点M的坐标；（3）若点N是直线OP上的动点，求NANB的最小值．【答案】（1）22（2）()6,3（3）-2【解析】【分析】（1）由向量的坐标表示求模长即可；（2）由平行

四边形的几何性质，结合向量共线的充要条件计算即可；（2）由直线PO的方程设N坐标，根据数量积的坐标表示计算求最值即可.【小问1详解】的由题意可知()()1,2,3,0,PAPB==()()222,22222PAPB

PAPB−=−−=−+=；【小问2详解】如图所示，因为四边形APBM是平行四边形，故有PABM=，设(),Mxy，即()()1,25,1PABMxy===−−，解之得()6,3,6,3xyM==；【小问3详解】易知直线OP为12yx=，不妨设()2,N

aa，则()()()2232,352,1520185222NANBaaaaaaa=−−−−=−+=−−−，当2a=时，即()4,2N=时，NANB取得最小值-2.18.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．（1）从中有放

回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；（2）从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；（3）若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．【答案】（1）25（2）25（3）710【解析】【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总

数，事件A包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C包含的

基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．【小问1详解】记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.如表1

所示．表1第二次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(

5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．记A=“第一次摸到白球”，则()102255PA==．【小问2详解】在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，

组成20种等可能的结果，如表2所示．表2第二次第一次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3

)(5,4)×第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.记B=“第二次摸到白球”，则()82205PB==．【小问3详解】“同时摸出两个球”的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),

(3,5),(4,5)，共10件，其中至少摸到一个白球基本事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共7件，记C=“至少摸到一个白球”，则()710PC=.19.已知ABC的内角A，B

，C所对的边分别为a，b，c，向量(),3mab=与()sin,cosnBA=−垂直．（1）求A的大小；（2）若7,2ab==，求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）332【解析】【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合正弦定理和同角的商数关系，可得所求角

；（2）运用余弦定理求得c，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【小问1详解】因为mn⊥，所以0mn=，即sin3cos0aBbA−=．由正弦定理得sinsin3sincos=0ABBA−．因为()0,πB，所以sin0B，所以sin3

cosAA=，所以tan3A=．因为()0,πA，所以π3A=．的【小问2详解】由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，所以2742cc=+−，解得3c=，或1c=−（舍）．所以ABC的面积11333sin232222ABCSbcA===△．

20.在ABC中，角,,ABC的对边分别为3,,,cos2abcaBbc+=.（1）求A的大小；（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件①：321cos,114Bb==；条件②：2,23ac==；条件③：3,3bc==.注

：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1）6.（2）条件①：217；条件③：32.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得b有两解，不满足条件，条件①：根据

sinsin()CAB=+，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.【小问1详解】在ABC中因为3cos2aBbc+=，由正弦定理得3sincossinsin2ABBC+=，所以3sincossinsin()sinc

ossincos2ABBABABBA+=+=+，即3sinsincos2BBA=，又因为,(0,)AB，sin0B，所以3cos2A=，6A=.【小问2详解】设BC边上的高为h，条件①：因为321cos14B=，所以(0,)2B，7sin14B=

，所以0AB+，根据三角形全等（角角边）可知ABC存且唯一确定.所以21sinsin()sincossincos7CABABBA=+=+=，则11sin22haabC=，解得217h=，即BC边上的高为217.条

件②：由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，即23129243bb+−=，解得24b=或，此时满足条件的ABC的三角形有两个，条件②不符合题意.条件③：根据三角形全等（边角边）可得ABC存在且唯

一确定，由余弦定理得222cos2bcaAbc+−=，即2393263a+−=，解得3a=，则11sin22habcA=，解得32h=，即BC边上的高为32.21.若函数()sincosfxaxbx=+，则称向量(),pab=为函数()fx的特征向量，函数()fx为向量p的特征函数．（1）

若函数()()13sinπsinπ2fxxx=−+−，求()1fx的特征向量1p；（2）若向量()23,1p=特征函数为()2fx，求当()265fx=，且ππ,63x−时sinx的值；（3）已知点()()3,3,3,1

1AB−，设向量313,22p=−的特征函数为()3fx，函数()()2342hxfx=−．在函数()hx的图象上是否存在点Q，使得AQBQ⊥？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）()11,1p=−在的（2）33410−（3）不存在理由见解

析【解析】【分析】（1）由三角函数的和差公式可得1()sincosfxxx=−，再结合特征向量的定义，即可得出答案．（2）由特征向量的定义可得2()3sincosfxxx=+，代入解得3sin65x+=，再计算cos6x+，

最后利用两角和差公式即可得出答案．（3）由特征向量的定义可得3()sin3fxx=−−，三角函数倍角公式可得232()4()22cos23hxfxx=−=−−，若函数()hx的图象上是否存在点Q，使得AQBQ⊥；再计算其数量积可得2222cos27253a−

+=−+，再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断．【小问1详解】因为()()13sinπsinπsincos2fxxxxx=−+−=−，所以函数()fx的特征向量()11,1p=−.【小问2详解】因为2(3,

1)p=，所以()23sincosfxxx=+.又()23163sincos2sincos2sin=2265fxxxxxx=+=+=+．所以3sin65x=+．因为ππ,63x−，所以062

x+，，所以24cos1sin665x=x+−+=．所以sinsinsincoscossin666666xxxx=+−=+−+334133

4525210−=−=．【小问3详解】不存在．理由如下：由向量313,22=−p的特征函数为()3fx，得()313πsincoscos226fxxxx=−+=+，所以()()223ππ4222cos12cos263hxfxxx=−=+−

=+．设函数()hx的图象上任一点,2cos23Qxx+，则3,2cos233AQxx=++−，3,2cos2113BQxx=−+−．所以(

)()332cos232cos21133AQBQxxxx=+−++−+−22π74cos22532xx=++−−．因为1cos213x−+，所以975cos22322x−+−−，所以2

25π781cos24324x+−，所以274cos22532x+−，当且仅当ππ6xk=−，Zk时取等号．所以2274cos225032AQBQxx=++−−．所以函数()hx的图象上任一点

Q，都不能使得AQBQ⊥．即函数()hx的图象上不存在点Q，使得AQBQ⊥．【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是计算出()π2cos23hxx=+，然后再去设Q点，得到向量从而化简向量数量积为得22π74cos22532xx++−−，再利用整体法即可判断

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