【文档说明】北京市大峪中学2023-2024学年高二下学期期中调研数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，593.591 KB，由小赞的店铺上传

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北京市大峪中学2023—2024学年度第二学期期中调研高二数学2024.04考生须知1．本试卷共4页，共三道大题，21个小题．满分150分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答

无效．选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分、共40分．在每小题四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.数列na的前四项依次是4，

44，444，4444，则数列na的通项公式可以是（）A.4nan=B.4nna=C.()41019nna=−D.411nna=【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得数列{}na的前四项与n的关系，综合即可得答案．【详解】根据题意，数列{}na的前四

项依次是：4，44，444，4444，则有114(101)49a=−=，224(101)449a=−=，334(101)4449a=−=，444(101)44449a=−=，则数列{}na的通项公式可以是(

)41019nna=−，故选：C．2.若,,,abcdR，则""adbc+=+是“a,b,c,d依次成等差数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】

若abcd，，，依次成等差数列，则adbc+=+，即必要性成立若2132abcd====，，，，满足adbc+=+，但abcd，，，依次成等差数列错误，即充分性不成立故选B3.从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为A.24B.18

C.12D.6【答案】B【解析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：

个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．4.数列1(21)(21)nn−+的前n项和为（）A.21nn+B.221nn+C.42nn+D.21nn+【答案】

A【解析】【分析】先将na化为111()22121nn−−+，再利用裂项相消法求出它的前n项和．【详解】由题意得，1111()(21)(21)22121nannnn==−−+−+，所以数列{}na的前n项和11111111[(1)()()()]2335572121nSnn=−+−+−+

+−−+11(1)22121nnn=−=++，故选：A．5.二项式7(2)x+的展开式中含5x项的系数是A.21B.35C.84D.280【答案】C【解析】【详解】5x的系数为：5757284C−=

，故选C．6.随机变量X的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2PX=（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】C【解析】【分析】利用分布列的性质求出m的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.3

21mm+++=，可得0.2m=，所以(2)(1)(2)0.10.20.3PXPXPX==+==+=„．故选：C．7.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（）A

.128B.110C.19D.27【答案】D【解析】【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D8.下述三个命题中，真命题有（）命题1：若数列na前n项和(

)1nnSaba=+，则数列na是等比数列；命题2：若数列na的前n项和()20nSanbnca=++，则数列na是等差数列；命题3：若数列na的前n项和nSnan=−，则数列na既是等差数列，又是等比数列．A.0个B.1个C.2个D.3个【答

案】A【解析】【分析】利用na与nS的关系、等差和等比数列定义，结合反例可依次说明各命题的正误.【详解】对于命题1，当1n=时，11aSab==+；当2n且nN时，()111nnnnnnaSSababaa−−=−=+−−=−，的那么当0a

=时，数列na为,0,0,0,b，不是等比数列，命题1错误；对于命题2，当1n=时，11aSabc==++；当2n且nN时，()()221112nnnaSSanbncanbncanab−=−=++−−−−−=−+，此时12nnaaa−−=；那么当0c时，2132

2aaababcaca−=+−−−=−，数列na不是等差数列，命题2错误；对于命题3，当1n=时，111aSa==−；当2n且nN时，()()1111nnnaSSnannana−=−=−−−+−=−；那么当1a=时，数列

na为0,0,0,，是等差数列，但不是等比数列，命题3错误.故选：A.9.对于数列na，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有naM，则称数列na是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列na是无界的.记数列

na的前n项和为nS，下列结论正确的是（）A.若1nan=，则数列na是无界的B.若sinnann=，则数列na是有界的C.若()1nna=−，则数列nS是有界的D.若212nan=+，则数列nS是有界的【答案】C【解析】【分析】根据1na可知A错误；由sinnann

=可知na不存在最大值，即数列na无界；分别在n为偶数和n为奇数的情况下得到nS，由此可确定1nS，知C正确；采用放缩法可求得22221nSnn−++，由21,213nn−++可知D错误.【详解】

对于A，111nann==恒成立，存在正数1M=，使得naM恒成立，数列na是有界的，A错误；对于B，sinsinnannnn==，sin1n，nan，即随着n的增大，不存在正数M，使得naM恒成立，数列na是无界的，B错误；对于C，当n为偶数

时，0nS=；当n为奇数时，1nS=−；1nS，存在正数1M=，使得nSM恒成立，数列nS是有界的，C正确；对于D，()()22144114421212121nnnnnn==−−+−+，2221111111121241233352121nSnnnnn

=+++++−+−++−−+182241222212121nnnnnnn=+−=+=−++++；221yxx=−+在()0,+上单调递增，21,213nn−++，不存在正数M，使得nSM恒成立，数列nS是无界

的，D错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.10.设{}na是首项为正数的等比数列,公比为,q则“0q”是“对任意的正整数212,nnnaa−

+0”的A充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)nnnnnaaaqqqqq

−−−−+++−−，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：.①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p

，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25

分．11.2和4的等差中项为__________，等比中项为__________．【答案】①.3②.22【解析】【分析】根据等比中项以及等差中项定义即可求解.【详解】2和4的等差中项为2432+=，2和4的等

比中项为2422=，故答案为：3，2212.随机变量X的分布列如下，若1()3EX=，则()DX的值是_______.X-101Pa13c【答案】59【解析】【分析】由离散型随机变量分布列的性质，结合1(

)3EX=，可以求出,ac，最后利用方差的计算公式求出()DX的值.【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知中：11(1)3ac++=，因为1()3EX=，所以有11101(2)33ac−++=，联立（1）（2），可得：11,62ac==，的所以2221111115()(1)(

0)(1)6333239DX=−−+−+−=.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质、离散型随机变量的数学期望和方差的计算公式，考查了数学运算能力.13.为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产

基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设()fn表示前n年的纯利润（()fn=前n年的总收入−前n年的总费用支出−投资额），则()fn=__________（用n表示）；从第__________

年开始盈利．【答案】①.21960nn−+−②.5【解析】【分析】根据题意结合等差数列前n项和公式写出()fn的表达式即可，再令()0fn即可得解.【详解】由题意可得第n年的支出费用为()26n+万元，则前n年的总支出费用为()226872nnnn++=+，所以()22()2

67601960fnnnnnn=−+−=−+−，令()219600fnnn=−+−，解得415n，又*nN，所以从第5年开始盈利．故答案为：21960nn−+−；5.14.已知数列na的通项公式为ncann=+，若对任意的*Nn都有3naa，则实数c的取值范围是______．

【答案】6,12【解析】【分析】将33ccnn++转化为()()330nnc−−对任意的*Nn都成立，分类讨论后可求c的取值范围.【详解】由题设可得33ccnn++对任意的*Nn都成立，整理得到：()()

330nnc−−对任意的*Nn都成立，当12n≤≤时，有30nc−，故6c，当4n时，有30nc−，故12c≤，当3n=时，有()030nc−恒成立，故Rc，故612c，故答案为：6,12.15.已知数列na满足11a=，2112nnnaaa+=−．给出下列四个结

论：①数列na每一项na都满足()*01nanN；②数列na是递减数列；③数列na的前n项和2nS；④数列na每一项都满足21nan+成立．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】①②④【解析】【分析】利用数学归纳法判断①，通过递推公式，判断出

数列单调性，根据取值范围对判断②④，算出4S即可判断③．【详解】对于①，2111(1)22nnnnnaaaaa+=−=−，11a=，当1n=时，212a=，所以201a，假设当nk=时，01ka；则当1nk=+时，()1221121110,222kkkkaaaa+=

−+=−−，综上，*01(N)nan，故①正确；对于②，由2112nnnnaaaa+=−，可得数列{}na是递减数列，故②正确；对于③，11a=，211122a=−=，3113288a=−=，4319398264128a=−=，41339279122

8128128S=+++=，故③错误；对于④，11211(2)2nnnnnaaaaa+==+−−，所以1111122nnnaaa+−=−，累加得1112nna+−，所以1122nna++，122nan++，所以*2(2,N)1nannn+，又11a=，故21nan

+成立，④正确．故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在10件产品中，有3件次品，从中任取5件：（1）恰有2件次品的抽法有多少种？（2）至多有2件次品的抽法有多少种？（3）至少

有1件次品的抽法有多少种？（4）至少有2件次品，2件正品的抽法有多少种？【答案】（1）105（2）231（3）231（4）126【解析】【分析】（1）利用组合法进行求解；（2）利用分类讨论思想进行求解；（3）利用间接法进行求解；（4）利用分

类讨论思想进行求解；【小问1详解】恰有2件次品的抽法有2337CC105=种.【小问2详解】若一件次品都没有则57C21=，若只有1件次品，有1437CC105=，恰有2件次品的抽法有2337CC105=种，则至多有2件次

品的抽法有21105105231++=种.【小问3详解】若一件次品都没有，则57C=21，则至少有1件次品的抽法有55107CC25221231−=−=种.【小问4详解】若恰有2件次品的抽法有2337CC105=种，若恰有3件次品的抽法有3237CC21=种，则

至少有2件次品，2件正品的抽法有10521126+=种.17.已知数列na是公比为3的等比数列，且36a+是2a和4a的等差中项.（1）求na的通项公式（2）设21nnban=+−，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）13nna−=（2）2312nnS

n−=+【解析】【分析】（1）由等差中项定义和等比数列的基本量法求得{}na的首项1a得通项公式；（2）用分组求和法求得和nS．【小问1详解】36a+是2a和4a的等差中项，3242(6)aaa+=+，数列{}na是公比为3的等比数列，2311

12(6)aqaqaq+=+，即1112(96)327aaa+=+，解得11a=，13nna−=【小问2详解】21nnban=+−，()()1212212nnnSbbbaaann=+++=+++++++−()()11312132nnnn−+

=+−−2312nn−=+..18.某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对A题的概率为23，答对B题的概率为12，答对C题的概率为14．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的．（1）求该同学所有题目都答对的概率；（2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X

的分布列与数学期望；（3）若答对A，B，C三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率．【答案】（1）112；（2）分布列见解析，1712；（3）724.【解析】【分析】（1）由独立事件同时发生

的概率公式即可求解；（2）X可能的取值为0,1,2,3，分别求出对应的概率，即可得分布列和数学期望；（3）由独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式即可求解.【详解】（1）该同学所有题目都答对的概率为211132412=，（2）由题意可得：X可能的取值为0,1

,2,3，()211113101113243248PX==−−−==，()2112112111111111324324324PX==−−+−−+−−

213113111532432432412=++=()211211211321113243243248PX==−+−+−=()

2111332412PX===，所以X的分布列为：X0123P1851238112()153117012381281212EX=+++=，（3）该同学总分为3分得情况为：只答对AB或只答对C，所以该同学总分为3分概

率：213111732432424+=.19.数列na的前n项和记为nS，已知()*43nnaSn=−N．（1）求数列na的通项公式；（2）求1321naaa−+++的和．（3）若ln

nnba=，则nb为__________（等差/等比）数列，并证明你的结论．【答案】（1）113nna−=−（2）191889n−−（3）等差，证明见解析【解析】【分析】（1）根据,nnaS的关系即可作

差得na为等比数列，且公比为13−，即可利用等比通项求解，（2）根据等比数列求和公式即可求解，（3）根据等差数列的定义即可求解.【小问1详解】由()*43nnaSn=−N可得1143nnaS++=−，两式相减可得111444nnnnnaSaSa++

+−=−=，进而可得113nnaa+=−，又1143aS=−，解得110a=，故数列na为等比数列，且公比为13−，所以113nna−=−【小问2详解】221211139nnna−−

−=−=，所以0121132111111119191999988919nnnnaaa−−−−+++=++++==−−的【小问3详解】()1111lnlnln1l

n333nnnnban−−==−==−，nb为等差数列，证明如下：()()()()111ln31ln3111ln3ln3nnbbnnnn+−=−−−−=−−−−=−为常数，故nb为等差数列，且公差为ln3−20.为研究北京西

部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数酸枣灌木28荆条灌木41孩儿拳头灌木22河朔荛花灌木4臭椿乔木幼苗1黑枣乔木幼苗1构树乔木幼苗2元宝槭乔木幼苗1表2：妙峰山油松次生林林下灌木层植物名称植物类型株数黄栌乔木幼苗6朴树乔木幼苗7栾树乔木幼苗4鹅耳枥乔木幼苗7葎叶蛇葡萄木质藤本8毛樱桃灌木9三裂绣线菊灌

木11胡枝子灌木10大花溲疏灌木10丁香灌木8（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响

），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为1P；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的

植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为2P．请直接写出1P与2P大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）1495；（2）分布列见解析，期望95（3）12PP【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解；（2）根据二项分布概率公式，即可

求解；（3）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.【小问1详解】表1中的灌木有284122495+++=株，乔木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株，所以252100C1C495P==，所以求2株

植物的类型都是乔木幼苗的概率为1495；【小问2详解】表2中的灌木有9111010848++++=株，乔木幼苗有674724+++=株，木质藤本有8株，抽取1株是灌木的概率为483482485=++，由题意可知，0,1,2,3X=,33,5XB()32805125PX=

==，()21332361C55125PX===，()22332542C55125PX===，()332735125PX===，

分布列如下，X0123P8125361255412527125()39355EXnp===；【小问3详解】表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以12PP.21.已知数表11121221222n

nnaaaAaaa=中的项(1,2;1,2,,)ijaijn==互不相同，且满足下列条件：①122ijan，，，；②112(1)()0(12)mmmaamn+−−=，，，.则称这样的数表2nA具有

性质P.（1）若数表22A具有性质P，且214a=，写出所有满足条件的数表22A，并求出1112aa+的值；（2）对于具有性质P的数表2nA，当11121naaa+++取最大值时，求证：存在正整数k(1)kn，使得12kan=.【

答案】（1）满足条件的数表22A为132332424141，，，1122aa+的值分别为4，5，5（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设111222224aaAa=，确定111222,,1,2,3aaa，且11210aa−，1

2220aa−，列举得到答案.（2）利用反证法，假设存在1jn，使得22jan=，考虑111kaa和111kaa两种情况，推导出最值的矛盾，得到证明.【小问1详解】设111222224aaAa=，且111222,,1,2,3aaa，且11210aa−，12220aa

−，故满足条件的数表22A为132332424141，，，所以1122aa+的值分别为4，5，5.【小问2详解】反证法：假设当11121naaa+++取最大值时，存在1jn，使得22jan=.由数表2nA具有性质P可得j为奇数，不妨设此时数

表为1112122222nnnaaaAnaa=.①若存在1ka，k为偶数，且1kn，使得111kaa，交换1ka和2n的位置，所得到的新数表也具有性质P，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1in

，使得12ian=.②若对任意的1ka，k为偶数，且1kn，都有111kaa，交换12a和11a的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况.综上所述：假设不成立，故存在正整数(1)kkn，使得12kan=.【点睛】关键点

睛：本题考查数列相关的新定义问题，意在考查学生的理解能力，转化能力和综合应用能力，其中当正面证明不好处理时，利用反证法可以简化证明过程，是解题的关键.