【文档说明】黄金卷04（2024新题型）备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用） 含解析.docx，共(14)页，1.131 MB，由小赞的店铺上传

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．某市物价部门对某商品在5家商场的售价x（元）及其一

天的销售量y（件）进行调查，得到五对数据(),iixy（1,2,3,4,5i=），经过分析、计算，得10x=，8y=，x，y之间的经验回归方程是：3.2ˆˆyxa=−+，则相应于点()9.5,10的残差为（）A．0.4B．1.5C．8D．9.6【答案】A【解析】因为1

0x=，8y=，所以样本点的中心为()10,8，又因为经验回归直线3.2ˆˆyxa=−+过样本点的中心，所以83.21ˆ0a=−+，所以ˆ40=a，所以经验回归方程是：3.240ˆyx=−+，当9.5x=时，3.29.5496ˆ0.y=−+=，所以残差为1

09.60.4−=.故选：A.2．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点.若2AB=，3CD=，且4EFAB=，则EF=（）A．172B．212C．422D．5【答案】B【解析】连接EB，EC，如图，可知()()()()111222EFEBECEAA

BEDDCABDC=+=+++=+.由()212EFABABABDC=+，即1242ABDC+=，可得4ABDC=.从而，()()2222211212444EFEFABDCABABDCDC==+=++=，所以2

12EF=.故选：B.3．已知各项均为正数的等比数列na中，若59a=，则3436loglogaa+＝（）A．2B．3C．4D．9【答案】C【解析】由题意得()3436346logloglogaaaa+=，由等比中项性质得246581aaa==，故()3436

3463loglogloglog814aaaa+===.故选：C4．已知,mn表示两条直线，,,表示平面，下列命题中正确的有（）①若,mn==，且//mn，则//；②若,mn相交且都在平面,外，//,//,//,//

mmnn，则//；③若//,//mm，则//；④若//,//mn，且//mn，则//．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】对于①，若,mn==，且//mn，则//或相交，故①错误；对于③和④，与也可能相交，均错误；对于②，设,mn

相交确定平面，根据线面平行的判定定理知//,//，根据平行平面的传递性得知//．故选：A．5．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”

中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）A．110B．144C．132D．156【答案】C【解析】添加节目后，共有12个节目，因为保持原来10个节目的相对顺序不

变，则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，所以，不同的排法种数为212A1211132==.故选：C.6．若直线yaxb=+与曲线2lnyx=+相切，则ab+的取值范围为（）A．)e,+B．1,e

+C．)2,+D．)1,+【答案】C【解析】设切点为()000,2ln,0xxx+，因为()12lnxx+=，所以01ax=．又因为切点()00,2lnxx+在直线yaxb=+上，所以002ln1xaxbb+=+=+，解得01lnbx=+，所以0011lnabxx

+=++．令()()11ln0gxxxx=++，则()22111xgxxxx−=−+=，所以()gx在区间()0,1上()0gx，()gx单调递减，在区间()1,+上()()0,gxgx单调递增，所以()()mi

n12gxg==，故ab+的取值范围为)2,+．故选：C7．已知()2sin23+=，()1coscos2+=，则()tantan++等于（）A．32B．23C．34D．43【答案】D【解析】因为()()()()sin2sinsincoscossin

+=++=+++，所以()()2sincoscossin3+++=．两边除以()coscos+，得()214tantan323++==．故选：D．8．古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π

倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为125π，离心率为23，1F，2F是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（）①椭圆C的标准方程可以为2213620xy+=②若12π3

FAF=，则12203FAFS=③存在点A，使得12π2FAF=④1221AFAF+的最小值为1246+A．①③B．②④C．②③D．①④【答案】D【解析】对于①：由22212523abcaabc===+，解得6,25,4abc===，则椭圆C的标准方程为2213620xy+=

，故①正确；对于②：由定义可知1212AFAF+=，由余弦定理可得：()2222212121212121212122cos22AFAFAFAFFFAFAFFFFAFAFAFAFAF+−−+−==2121212264122AFAFAFAF−−==，整理得1

2803AFAF=，则12121211803203sin22323FAFSAFAFFAF===，故②错误；对于③：设()222229,,1,361363620205sttAstst+==−=−，()()124,0,4,

0FF−，()()22124,4,16AFAFststst=−−−−−=−+2229436162055ttt=−−+=−，由于22t−，22241684404,0,20205555ttt

−，则不存在点A，使得12π2FAF=，故③错误；对于④：()1212122112112AFAFAFAFAFAF+=++21122111221(322)121246AFAFAFAF=++++=+，当且仅当21

122FAFAFAAF=，即122AFAF=时，等号成立，故④正确；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()3π3πsin2cos244fxxx=+

++，则（）A．函数π4fx−为偶函数B．曲线()yfx=的对称轴为π,Zxkk=C．()fx在区间ππ,32单调递增D．()fx的最小值为2−【答案】AC【解析】()3π3πsin2cos244fxx

x=+++3π3π3π3πsin2cossincos2cos2cossin2sin4444xxxx=++−2222sin2cos2cos2sin22sin22222xxxxx=−+−−=−，

即()2sin2fxx=−，对于A，iππ422sn22cos2xxfx−−==−，易知为偶函数，所以A正确；对于B，()2sin2fxx=−对称轴为πππ2π,Z,Z242kxkkxk=+=+，故

B错误；对于C，ππ2π,,2,π323xx，sin2yx=单调递减，则()2sin2fxx=−单调递增，故C正确；对于D，()2sin2fxx=−，则sin21,1x−，所以()2,2fx−，故D错误；故选：AC10．已知,zz

C是z的共轭复数，则（）A．若13i13iz+=−，则43i5z−−=B．若z为纯虚数，则20zC．若(2i)0z−+，则2iz+D．若{||3i3}Mzz=+∣，则集合M所构成区域的面积为6π【答案】A

B【解析】()()()213i13i43i13i13i13i5z++−+===−−+，所以43i5z−−=，故A正确；由z为纯虚数，可设()iR,0zbbb=，所以222izb=，因为2i1=−且0b，所以20z，故B正确；由()2i0z−+，得i(2)zaa=+，因

为i(2)zaa=+与2i+均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数i,,Rzabab=+，所以()3iab++由|3i3z+∣得()2239ab++，所以集合M所构成区域是以()0,3−为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，

故D错误.故选：AB.11．已知函数()fx的定义域为R，满足()()()()2fxyfxyfxfy++−=，且()11f=−，则（）A．()01f=B．()fx为奇函数C．()()()1220240fff+++=D．()22112fxfx++=

【答案】ACD【解析】对A：令1x=，0y=，则()()()21210fff=，因为()11f=−，所以()01f=，故A正确；对B：令0x=得：()()()()20fyfyffy+−=，结合()01f=可得()()

fyfy=−，所以()fx为偶函数，故B错误；对C：令1y=可得：()()()()1121fxfxfxf++−=，因为()11f=−，所以()()()112fxfxfx++−=−()()()()11fxfxfxfx++=−+−

，进一步可得：()()()()211fxfxfxfx+++=−++，又()01f=，()11f=−，故()()010ff+=，故()()120ff+=，依次有()()()()()()()()233420222023202320240ffffffff+=+==+=+=,所

以()()()()()123?··20232024010120fffff+++++==，故C正确；对D：令xy=可得：()()()2202fxffx+=()()2212fxfx+=;用12x+代替x，y得：()()2121022fxffx+

+=+()2211122fxfx+++=，结合C的结果，可得：()2212fxfx++=()()22122fxfx+++()()01212ff++==，故D正

确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合1,3,21Am=−−，23,Bm=，若BA，则实数m=．【答案】1【解析】由题知2{1,3,21},3,AmBm=−−=,若BA,则21m=−或221mm=−,当21m=−时,方程

无解;当221mm=−时,2210mm−+=,解得:1m=,此时,{1,3,1},{3,1}AB=−=,符合题意,所以1m=.故答案为：1.13．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，M，N分别为线段11AB，1CC的中点，122AABC==，22AB

=，平面ABN^平面11BBCC，则四面体ABMN的外接球的表面积为．【答案】10π【解析】如图，取BN的中点D，连接CD，因为1CNBC==，所以CDBN⊥，又平面ABN^平面11BBCC，平面ABN平面11BBCCB

N=，CD平面11BBCC，所以CD⊥平面ABN，又AB平面ABN，所以CDAB⊥，依题意1CC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1CCAB⊥，又1=CCCDC，1CC，CD平面11BBCC，所以AB⊥平面11BBCC，又BN，B

C平面11BBCC，所以ABBN⊥，ABBC⊥，所以223ACABBC=+=，所以AN=2210CNAC+=，连接1CM，则2211113CMBCBM=+=，所以22112MNCMCN=+=，又2211AMAAAM=+=6，所以2

22AMMNAN+=，所以AMMN⊥，所以RtAMN与RtABN△共斜边AN，所以四面体ABMN的外接球的球心为AN的中点，且外接球半径11022RAN==，所以该球的表面积S=24π10πR=．14．下列有关命题的说法正确的是（请填写所有正确的命题序号）．①命题“若21x=，则1x=”

的否命题为：“若21x=，则1x”；②命题“若xy=，则sinsinxy=”的逆否命题为真命题；③条件2:pxx−，条件:qxx=，则p是q的充分不必要条件；④已知0x时，()()10xfx−，若ABC是锐角

三角形，则()()sincosfAfB.【答案】②④【解析】对于①，命题“若21x=，则1x=”的否命题是：“若21x，则1x”，故错误；对于②，命题“若xy=，则sinsinxy=”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；对于③，条件2:pxx−，即为1x−或0x；条件:qx

x=，即为0x；则q是p的充分不必要条件，故错误；对于④，0x时，()()10xfx−，当01x时，()0fx¢>，则()fx在()0,1上是增函数；当ABC是锐角三角形，2AB+，即2AB−，所以sinsincos2AB

B−=，则()()sincosfAfB，故正确.故答案为②④.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()()2e211xfxxax=−++

.(1)若12a=，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线；(2)讨论()fx的单调性；【解析】（1）当12a=时，函数()()2e21xfxxx=−+，则()01f=，切点坐标为()0,1，()()2e1xfxx=−，则曲线()yfx=

在点()0,1处的切线斜率为()01f=−，所求切线方程为()10yx−=−−，即10xy+−=.（2）()()2e211xfxxax=−++，函数定义域为R，()()()()2e122e21xxfxxaxaxax=+−−=−+，①12a−，()0fx解得1

x−或2xa，()0fx解得12xa−，所以()fx在(),1−−和()2,a+上单调递增，在()1,2a−上单调递减，②12a−，()0fx解得2xa或1x−，()0fx解得21ax

−，所以()fx在(),2a−和()1,−+上单调递增，在()2,1a−上单调递减，③12a=−，()0fx恒成立，()fx在(),−+上单调递增.综上，当12a−时，()fx在(),1−−和()2

,a+上单调递增，在()1,2a−上单调递减；当12a−时，()fx在(),2a−和()1,−+上单调递增，在()2,1a−上单调递减；当12a=−时，()fx在(),−+上单调递增.16．（15分）某班为了庆祝我国传统节

日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.(1)求一学生既分得月饼又要表演节目

的概率；(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以()211113143138CCCCC15C56+==PA.（2）由题意可知X

的可能取值为：0，1，2，3，则有：()()302153533388CCCC5150,1C28C28======PXPX，()()120353533388CCCC1512,3C56C56======PXPX，可得X的分布列为X0123P52815281556156所以()515151901

23282856568EX=+++=.17．（15分）如图所示，在梯形ABCD中，//ABCD，1ADCDBC===，120BCD=.四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥平面BCF；(2)若直线DE与BC所成角的正切值为7，点M在线段EF上

运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值为3913.【解析】（1）因为四边形ABCD为梯形，//ABCD，120BCD=，1ADCDBC===，所以120ADC=，30ACDCAD==，则90ACB=，即ACBC⊥又因为CF⊥平面AB

CD，AC面ABCD，所以FCAC⊥.因为FC、CB都在平面BCF内，FCCBC=，所以AC⊥面BCF.（2）取AC中点G，连结DG，EG，由ADCD=，知DGAC⊥，由（1）知BCAC⊥，,DGBC共面且不共线，所以//DGBC，故直线

DE与BC所成角为EDG.由CF⊥平面ABCD，BC面ABCD，所以FCBC⊥，又ACBC⊥，,FCAC在面ACFE内，且FCACC=，故BC⊥面ACFE，所以DG⊥面ACFE，EG面ACFE，则DGEG⊥，在RtDEGV中，tan7EGEDGDG=

=，12DG=，所以72EG=，在RtAEG△，易得1AECF==，以C为坐标原点，分别以CA、CB、CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示，则(0,0,0)C，(3,0,0)A，(0,1,0)

B=，(,0,1)(03)M(3,1,0)AB=−，(,1,1)BM=−，设(,,)nxyz=为平面MAB的法向量，则00nABnBM==，即300xyxyz−+=−+=，取1x=，则3

,3yz==−.所以(1,3,3)n=−由题可知，(1,0,0)m=是平面FCB的一个法向量，所以()()22·1139cos,13133134nmnmnm====++−−+.因为03，解得233=或433=（舍去）.当点M为线段EF的靠

近E的三等分点时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的余弦值为3913.18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:2(0)Cypxp=和点(4,5)R.点P在C上，且45OPOR=.(1)求C的方程；(2)若过点R作两条直线1l与2l，1l与C相交于A，B两点，2

l与C相交于E，D两点，线段AB和ED中点的连线的斜率为k，直线AB，ED，AD，BE的斜率分别为1k，2k，3k，4k，证明：12341111kkkk+=+，且34111kkk+−为定值.【解析】（1）设点()00,Pxy，则()00,OPxy=，因为45OPOR=，(4

,5)OR=，所以0416455x==，04545y==，所以点16,45P，代入方程22ypx=中，得52p=，所以C的方程为25yx=.（2）设点()11,Axy，()22,Bxy，()33,Exy，()44,Dxy，则直线AB的斜率12112125yykxxyy−==−

+，同理得直线ED的斜率43243345yykxxyy−==−+，直线AD的斜率41341145yykxxyy−==−+，直线BE的斜率32432235yykxxyy−==−+，所以()3412123

412111555yyyyyyyykk+++=+=+++，()2314123434111555yyyyyyyykk+++=+=+++，从而得12341111kkkk+=+.由()1254,5,ykxyx−=−=消去x得()21155540kyyk−+−=，所以1

215yyk+=，()1121554kyyk−=由()11Δ2520540kk=−−，得1558k+或1558k−.设AB和ED的中点分别为M，N，则()1211522Myyyk=+=，1211

5510442MMykxkk−−=+=+，同理252Nyk=，22251042Nkxk−=+，所以2212121212511115211125112MNMNkkkkxxkyykkkk−−−−===+−−−，即121112kkk+−=

，所以得34121111112kkkkkk+−=+−=.19．（17分）将有穷数列na中部分项按原顺序构成的新数列nb称为na的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”nc.若{bn}各项的和与nc各项的和相等，则称nb和nc为数列na的一对“完美互补子

列”.(1)若数列na为2,3,5,6,8,9，请问na是否存在“完美互补子列”？并说明理由；(2)已知共100项的等比数列na为递减数列，且10a，公比为q.若na存在“完美互补子列”，求证：112q；(3)数列na满足,1,nannmn=N

剟.设na共有()fm对“完美互补子列”，求证：当4mk=和()43mkk=+N时，na都存在“完美互补子列”且(43)3(4)fkfk+….【解析】（1）解：由题得数列na各项的和为2+3+5+6+8+9=33，由题得“完美互补子列”的和相等，所以每

一个“子列”的和为332是一个小数，由于数列na各项为整数，所以“子列”的和不可能为332，所以na不存在“完美互补子列”.（2）解：假设102q，由题得数列na的前100项和为1001111(

1)2,112aqaSSaaqq−=−−,所以不管1a在哪一个“子列”，都不可能，所以假设不成立，所以112q.（3）解：4mk=时，14241221+14kkkkaaaaaak−+=+==+=+，不妨设{}nb中项为1

23314,,,,,,,,kkkkaaaaaa+{}nc中项为123,,,,kkkaaa++则{}nb中所有项与{}nc中所有的项的和均为(14)kk+，所以4mk=时，数列na存在完美互补子数列

.43mk=+时，只需将4mk=中，{}nc中22kak=移到{}nb中，将4142,kkaa++放入{}nc中，将43ka+放入{}nb中，则此时，{}nc{}nb中的的和均在原来的基础上增加了63k+，所以43

mk=+时，数列na存在完美互补子数列.下面证明(43)3(4)fkfk+….当4mk=时，数列na共有(4)fk对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，（1）假设2k在{}nb中，则将41,42kk++放入{}nb中，将{}nb中的2k移到{

}nc中，再将43k+放入{}nc中，此时{}nc{}nb中的的和均在原来的基础上增加了63k+，仍然相等.（2）同理，假设21k+在{}nb中，则将21k+放入{}nc中，将4+2k放入{}nc中，再将41,43

kk++放入{}nb中，此时{}nc{}nb中的的和均在原来的基础上增加了63k+，仍然相等.（3）同理，假设22k+在{}nb中，则将22k+放入{}nc中，将4+1k放入{}nc中，再将42,43kk++放入{}nb中，此时{}nc{}nb中的的和均在原来的基础上增加了63k+，仍

然相等.故对于4mk=时，na中每一对完美互补子列，都至少有3种情况，