【文档说明】江西省南昌市湾里一中等六校2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题含答案.doc，共(14)页，1.977 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021高二联考理科数学期末试卷座位号：考试范围：选修2-3必修二立体几何选修4-5；考试时间：120分钟；一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）1．下列说法中正确的是

（）A．若ab，则11abB．若ab，则22acbcC．若22acbc，则abD．若acbc，则ab2．下列说法中正确的是①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r越接近于1，相关性越弱；②回归直线ybxa=+一定经过样本

点的中心(),xy；③相关系数r用来刻画回归的效果，r越小，说明模型的拟合效果越好.A．①②B．②③C．①②③D．②3．现有甲班,,,ABCD四名学生，乙班,,EFG三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加的方

法有A．10种B．15种C．18种D．19种4．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（）A．4SB．2SC．SD．233S5．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下

列命题中正确的是（）A．若l⊥，m，则lm⊥B．若lm⊥，m，则l⊥C．若l⊥，lm⊥，则//mD．若//lm，m，则//l6．设()1,1XN～，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落

入阴影部分的点的个数的估计值是注：若()2,XN～，则()0.6826PX−+，(22)0.9544PX−+.A．60380B．65870C．70280D．753907．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局

三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为A．B．C．D．8．()61211xx+−的展开式中的常数项是（）A．-5B．7C．-11D．139．3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2

人排在一起，则不同的排法种数为（）A．144B．160C．180D．24010．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A．B．2C．3D．411．若222x4y9z4++=，则xy+3z+的最大值（）A．9B．3C．1D．2712．如图，正方体111

1ABCDABCD−的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面11BBCC的边界及其内部运动，若1DOOP⊥，则11DCP△面积的最小值为（）A．255B．455C．5D．25二、填空题（每小题5分，共4小题，请将正确答案

填写在答题卡上。）13．不等式组214,1123xxxx−++−−的解集为________．14．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共___种.(用数字作答)15．在正方体11

11ABCDABCD−中，E为棱CD上一点，且2CEDE=，F为棱1AA的中点，且平面()23fxxx=++−BEF与1DD交于点G，则1BG与平面ABCD所成角的正切值为________．16．已知以下四个命题：①若0ab→→

，则向量,ab→→的夹角为钝角；②函数4sin,(0,)sinyxxx=+的最小值为4；③若0ab，则11ab；④若,abcd，则acbd−−．其中错误的有____________．三、解答题（第17小题10分，第18,19,20,21,22每题12分。）17．2020年新春伊始

，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。因此，疫苗行业在生产运输、储存

、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从未注射疫苗的小白鼠

中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35．（1）求22列联表中的数据p，q，x，y的值；（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效？（3）在感染病毒的小白鼠中，按未

注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：()()()()()22nadbcKabaccdbd

−=++++，nabcd=+++．()20PKK0.050.010.0050.0010K3.8416.6357.87910.82818．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：//PC平面BDE；（Ⅱ）求

证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥PBDE−的体积是四棱锥PABCD−体积的13，求EAPA的值．19．设函数（1）求不等式()7fxx−的解集；（2）若关于x的不等式()32fxm−有解，求实数m的取值范围.20．为了参加广州亚运会，从四支

较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px注射疫苗60qy总计100100200（1）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（2）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表

发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．21．已知正ABCV边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，1ANBM==，如图1所示.将AMNV沿MN折起到PMNV的位置，使线段PC长为5，连接PB，如图2所示.（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面BCNM；（Ⅱ）求点N到

平面BMP的距离.22．在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA是边长为2的菱形，160AAC=o，BABC=.（Ⅰ）证明：1ACAB⊥；（Ⅱ）若底面是以B为直角顶点的直角三角形，且12AB=，求二面角11ABCC−−的正弦值.2020-2021高二联考理科数学期末试卷座位

号：队别北京上海天津八一人数4635考试范围：选修2-3必修二立体几何选修4-5；考试时间：120分钟；一、单选题（每小题5分，共12小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项涂到答题卡上。）1．下列说法中正确的是（）A．若ab，则11abB．若ab，则22acbcC．

若22acbc，则abD．若acbc，则ab【答案】C【分析】利用不等式性质,及特殊值法可依次判断四个选项.【详解】对于A,当1,1ab==−时,满足ab,但是11ab错误,所以A不正确;对于B,当0c=时,22acbc=,所以B不正确;对于

C,若22acbc,则20,0cc,不等式两边同时除以2c可得ab,所以C正确;对于D,当0c时,若acbc,则ab,所以D错误.综上可知,C为正确选项.故选:C【点睛】本题考查了不等式性质的简单应用

,注意特殊值法的应用,属于基础题.2．下列说法中正确的是①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r越接近于1，相关性越弱；②回归直线ybxa=+一定经过样本点的中心(),xy；③相关系数r用来刻画回归的效果，r越小，说明模型的拟合效果越好.A．

①②B．②③C．①②③D．②【答案】D3．现有甲班,,,ABCD四名学生，乙班,,EFG三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加的方法有A．10种B．15种C．

18种D．19种【答案】D【分析】分情况讨论甲乙两个班的人数求解即可【详解】由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下：若甲班1人，乙班3人，共1种方法；若甲班2人，乙班2人，共12339CC=种方法；若甲班3人，乙班

1人，共21339CC=种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A必须参加的方法有1+9+9=19种故选D【点睛】本题考查组合问题，考查分类讨论，讨论要合理全面，计算要准确，是基础题4．已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图

为正方形，那么圆柱的侧面积为（）A．4SB．2SC．SD．233S【答案】A【分析】根据侧面展开图是正方形，根据圆柱侧面积公式，即可容易求得结果.【详解】不妨设圆柱的底面半径为r，由底面积为S，故可得2Sr=；因为侧面展开图是正方形，故可得圆柱的高2hr=，故可得24hS=故

圆柱的侧面积为24hS=.故选：A.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，属简单题.5．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是A．若l⊥，m，则lm⊥B．若lm⊥，m，则l⊥C．若l⊥，lm⊥，则//

mD．若//lm，m，则//l【答案】A【详解】对于B，根据线面垂直的判定定理要想得到l⊥这个结论，必须证明l垂直于平面内的两条相交直线，故错误；对于C，由l⊥，lm⊥，可得m或mP，故错误对于D，由lmP，m，可得l

或lP，故错误故选A6．设()1,1XN～，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是注：若()2,XN～，则()0.6826PX−+，(22)0.9544PX−+.A．60380B．6587

0C．70280D．75390【答案】B【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．【详解】解：()1,1XN～Q，且()0.6826PX−+，向正方形ABCD中

随机投掷1个点，则点落入阴影部分的概率为11(02)10.34130.65872PPX=−−=．向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是1000000.658765870=．故选B．【点睛】本题考查了正

态分布、几何概型，属于中档题．7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：

设“甲获胜”为事件A，则2()3PA=,则甲以的比分获胜的概率：12132224128()(1)333393327PC=−==，故选A．考点：n次独立试验．8．()61211xx+−

的展开式中的常数项是（）A．-5B．7C．-11D．13【答案】C【解析】611x−Q的展开式的通项公式是61,rrCx−其中含1x的项是1161,Cx−常数项为00611,Cx−=故()61211xx+

−的展开式中的常数项是116121112111.xCx−+=−+=−故选C.9．3男3女共6名同学从左至右排成一排合影，要求左端排男同学，右端排女同学，且女同学至多有2人排在一

起，则不同的排法种数为A．144B．160C．180D．240【答案】C【详解】根据题意，假设从左到右有6个位置，分2步进行分析：①、要求左端排男同学，右端排女同学，在3个男生中任选1人，安排在左端的1号位置，在女生中任选1人，安排在右端的6

号位置，有11339CC=种选法；②、对5号位置分2种情况讨论：若5号位置为女生，有2种情况，则4号位置必须为男生，有2种情况，将剩余的2人全排列,安排在2、3号位置,有222A=种情况，此时有2×2×2=8种情况，若

5号位置为男生，有2种情况，将剩余的3人全排列,安排在2、3、4号位置,有336A=种情况，此时有2×6=12种情况，则剩余的4个位置有8+12=20种情况，故有9×20=180种不同的排法；本题选择C选项.点睛：排列组合的综

合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．10．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为A．B．2C．3D．4【答案】C【详解】分析：首先利

用题中所给的几何体的三视图，将几何体还原，结合对应的边长，可以断定该几何体的顶点都落在棱长为1的正方体的顶点处，从而得到该几何体的外接球即为对应的正方体的外接球，利用正方体的对角线就是其外接球的直径，从而求得结果.详解：观察分析题中所给的三视图，可以确定该四棱锥的底面是边长为1的正方形，,高

为1，且顶点在底面上的摄影落在底面顶点处的四棱锥，从而可以断定该四棱锥的五个顶点都在以1为棱长的正方体上，从而求得该正方体的外接球的半径为32，所以其面积为243Sr==，故选C.点睛：该题考查的是有关通过三视图还

原几何体的问题，再者就是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，一是需要利用三视图将几何体还原，二是要明确特殊几何体的外接球的球心的位置，从而求得结果，注意结论的灵活应用.11．若222x4y9z4++=，则xy+3z+的最大值A．9B．3

C．1D．27【答案】B【分析】利用柯西不等式22222221[()2)(3)][1()1](3)2xyzxyz++++++（求解.【详解】由题得22222221[()2)(3)][1()1](3)2xyzxyz++++++（，所以2943),4x

yz++（所以-3≤x+y+3z≤3.所以+3xyz+的最大值为3.故选B【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点

P在侧面11BBCC的边界及其内部运动，若1DOOP⊥，则11DCP△面积的最小值为（）A．255B．455C．5D．25【答案】B【分析】根据1DOOP⊥，转化为1DO⊥平面1OPC，（1P为1BB的中点），得到点P的轨迹是线段1PC，然后由11DCP

△面积最小时，则11CPPC⊥求解.【详解】如图所示：当点P在C处时，1DOOC⊥，当点P在1BB的中点1P时，()()()222222222111213,226,2219OPDODP=+==+==+=，所以222111OPDODP+=，所以11

DOOP⊥，又1OPOCO=，所以1DO⊥平面1OPC，所以点P的轨迹是线段1PC，因为11DC⊥平面11PCC，所以11DCP△面积最小时，11CPPC⊥，此时11221445521CCBCCPPC===+，11145452255DCPS==，故选：B二、填空题（每小题5分，共4小题

，请将正确答案填写在答题卡上。）13．不等式组214,1123xxxx−++−−的解集为________．【答案】(1,4]−【分析】解一元一次不等式组求得不等式的解集.【详解】由2141123xxxx−++−−得()3332160xxx

−−−−14xx−，所以不等式组的解集为(1,4]−.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.14．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共___种.(用数字作答)【答案】9【分析】分别求出从5名学生中

选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案.【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，共有3510C=种选法，若所选出的3名代表中没有女生，则有331C=种选法，所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有1019−=种.

故答案为：9.15．在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱CD上一点，且2CEDE=，F为棱1AA的中点，且平面BEF与1DD交于点G，则1BG与平面ABCD所成角的正切值为________．【答案】5212【解析】【分析】由题先求得点G的位置，再平面//ABCD平面11

11ABCD可得1BG与平面1111ABCD的正切值为所求答案.【详解】设6AB=，则3,2.AFDE==易证//BFGE，则AFDGABDE=，即362DG=，则11,5.DGDG==在11RtBDG中，11111552tan1262DGDBGBD===，因为平面//ABCD平面1111

ABCD，所以1BG与平面ABCD所成角即为1BG与平面1111ABCD所成角，所以1BG与平面ABCD所成角的正切值为5212故答案为5212【点睛】本题考查了线面角的求法，主要是利用了面面平行的性质，属于中档题.16．已知以下四个命题：①若0ab→→

，则向量,ab→→的夹角为钝角；②函数4sin,(0,)sinyxxx=+的最小值为4；③若0ab，则11ab；④若,abcd，则acbd−−．其中错误的有____________．【答案】①②③④【分析】①注意ar与

br方向的情况；②利用均值不等式求得最值,注意取等条件；③对ab两边同除ab即可判断；④举出反例即可判断.【详解】①当0abrr时,ar与br可能方向相反,故①错误；②因为()0,x,则(sin0,1x,所以4sin244sin

yxx=+=,当4sinsinxx=,即sin2x=时等号成立,不符合题意,则当sin1x=时,4sinsinxx+取得最小值为5,故②错误；③由题,0ab,对ab两边同时除以ab,则根据不等式的性质可得11ba,故③错误；

④当4a=,3b=,2c=,1d=,则2ac−=,2bd−=,所以acbd−=−,故④错误.故答案为:①②③④【点睛】本题考查向量的夹角,考查利用均值定理求最值,考查不等式的性质的应用.三、解答题（第17小题

10分，第18,19,20,21,22每题12分。）17．2020年新春伊始，“新型冠状病毒”肆虐神州大地，中共中央政治局常务委员会召开会议研究新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话。会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全。

因此，疫苗行业在生产运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵。国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效。某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px

注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35．（1）求22列联表中的数据p，q，x，y的值；（2）能否在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫

苗有效？（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：()()()()()22nadbcKabaccdbd−=++++，nabcd=+++．()20P

KK0.050.010.0050.0010K3.8416.6357.87910.828【答案】（1）100,100,60,40xypq====；（2）能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效；（3）910.【分析】（1）根据题意可得

4032155x=−=，即可求出x，进而求得,,ypq；（2）计算出卡方值，和7.879比较即可判断；（3）可得5只小白鼠中3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，求出所有基本事件，再得出至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的基本事件，即可求出概率.【详解

】（1）因为从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，所以4032155x=−=，所以100x=，则200100100y=−=，1004060p=−=，1006040q=−=．（2）()222004040606087.8791001001001

00K−==，所以能在犯错误概率不超过0．005的情况下，认为注射此种疫苗有效．（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例为3:2，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用a，b，c表示，2只已注射疫苗，用D，E表示，从这五只小白鼠中

随机抽取3只，可能的情况共有以下10种：(),,abc，(),,abD，(),,abE，(),,acD，(),,acE，(),,aDE，(),,bcD，(),,bcE，(),,bDE，(),,cDE，其中至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有以下9种：(),,abD，(),,abE，()

,,acD，(),,acE，(),,aDE，(),,bcD，(),,bcE，(),,bDE，(),,cDE．所以至多抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为910．18．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一个动点．（Ⅰ）若E为PA的中点，求证：

//PC平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱锥PBDE−的体积是四棱锥PABCD−体积的13，求EAPA的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）13.【解析】试题分析：(1)欲证//PC平面BDE．，即证

//EOPC，借助中位线性质易证；（2）欲证平面PAC⊥平面BDE，即证BD⊥平面PAC;(3)EABDPABDVEAPAV−−==,而111236EABDPABDPBDEVVVVVV−−−=−=−=，13PBDE

VV−=，易得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：如图，设AC交BD于O,连接EO．因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点．又因为E为PA的中点，所以//EOPC．因为PC平面BDE,EO平面BDE，所以//PC平面BDE．（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是菱形，所

以ACBD⊥．又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD⊥．因为PAACA=，所以BD⊥平面PAC．因为BD平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE．（Ⅲ）设四棱锥PABCD−的体积为V．因为PA⊥平面ABCD，所以13

ABCDVSPA=．又因为底面ABCD是菱形，所以12ABDBCDABCDSSS==，所以1132PABDABDVSPAV−==．根据题意，13PBDEVV−=，所以111236EABDPABDPBDEVVVVVV−−−=−=−=．又因为13EA

BDABDVSEA−=，所以13EABDPABDVEAPAV−−==．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直

.19．选修4-5：不等式选讲设函数()23fxxx=++−.（1）求不等式()7fxx−的解集；（2）若关于x的不等式()32fxm−有解，求实数m的取值范围.【答案】（1）{|6xx−或2x}（2）7,1

,3−+【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为只需[f（x）]min≤|3m﹣2|即可，得到关于m的不等式，解出即可．试题解析：解：（1）()7237fxxxxx−++−−()()2{2

37xxxx−−+−−−或()()23{237xxxx−+−−−或()()3{237xxxx++−−2{6xx−−或23{2xx−或3{83xx6x−或23x或3x故所求不等式的解集为{|6xx−或2x}（2）关于x的不等式()32

fxm−有解只需()min32fxm−即可，又()()()23235fxxxxx=++−+−−=，325m−，即1m−或73m，故所求实数m的取值范围是7,1,3−+.点睛：1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号

，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.20．为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：队别北京上海天津八一人数46

35（1）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（2）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）29；(Ⅱ)

的分布列为：012P91153561536153()49E=.【解析】试题分析：(Ⅰ)从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队的选法有22224635CCCC+++种，所以所求概率为222246352182()9C

CCCPAC+++==.(Ⅱ)先确定的所有可能取值为0，1，2.，再分别求出各随机变量的概率，得分布列为012P91153561536153由期望公式得915664()0121531531539E=++=.试题解析：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两

名，两人来自于同一队”记作事件A，则222246352182()9CCCCPAC+++==.(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2.∵21421891(0)153CPC===，1141421856(1)153CCPC===，242186(2)1

53CPC===，∴的分布列为：012P91153561536153∴915664()0121531531539E=++=.考点：随机变量的概率、分布列、期望.21．已知正ABCV边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，1ANBM==，如图1所示.将AMNV沿MN折

起到PMNV的位置，使线段PC长为5，连接PB，如图2所示.（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面BCNM；（Ⅱ）求点N到平面BMP的距离.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）217【分析】（Ⅰ）由勾股定理以及线面垂直的判定定理证明P

N^平面BCNM，再由面面垂直的判定定理求解即可；（Ⅱ）利用等体积法求解即可.【详解】解：（Ⅰ）依题意得，在AMNV中，2AM=，1AN=，3A=由余弦定理得22221221cos33MN=+−=，即3MN=222MNANAM+=，AN

MN⊥，即PNMN⊥在图2PNC△中，1PN=，2NC=，5PC=222PCPNNC=+，PNNC⊥又MNNCN=QI，,MNNC平面BCNM，PN⊥平面BCNM又PNQ平面PMN，PMN⊥平面BCNM.（Ⅱ）连接BN，由（Ⅰ）可知

PNBN⊥，在BNCV中，2222cos73BNBCNCBCNC=+−=，7BN=在PBNV中，2228PBPNNB=+=，22PB=在PBMV中，2223cos24MBMPPBPMBMBMP+−==−，7si

n4PMB=17sin24PBMSMBMPPMB==△.又1113sin33234BMNBANSSABAN===△△Q设点N到平面BMP的距离为d由NBMPPBMNVV−−=，可知1133BMPBMNSdSPN=△△.则217BMNBMPS

PNdS==△△.点N到平面BMP的距离为217.【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用等体积法求点到平面的距离，属于中档题.22．在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ACCA是边长为2的菱形，160AAC=o，BABC=.（Ⅰ）证明：1

ACAB⊥；（Ⅱ）若底面是以B为直角顶点的直角三角形，且12AB=，求二面角11ABCC−−的正弦值.【答案】(1)见解析;(2)427.【分析】(1)由菱形的性质可得1ACOA⊥，由等腰三角形的性质可得ACOB⊥，从而可得AC⊥平面1OAB，进而可得结

果；（2）由（1）可知13OA=，1OB=，12AB=，则1OBOA⊥，又OBAC⊥，则OB⊥平面1AAC，以O为坐标原点，分别以OB，OC，1OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，求出平面11ABC的法向量与平面1BC

C的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）证明：连接1AC，∵四边形11ACCA是菱形，且160AAC=，∴1ACA为等边三角形.取AC的中点O，连接1OA，OB，则1ACOA⊥，又∵BA

BC=，∴ACOB⊥，∵1OAOBO=，1OA、OB平面1OAB，∴AC⊥平面1OAB，又∵1AB平面1OAB，∴1ACAB⊥.（2）由（1）及题意可知13OA=，1OB=，12AB=，则1OBOA⊥，又OBAC⊥，则

OB⊥平面1AAC，以O为坐标原点，分别以OB，OC，1OA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系Oxyz−，则()0,1,0C，()0,1,0A−，()1,0,0B，()10,0,3A，()0,0,0O，∴()10,0,3OA=uuuv，()0,2,

0AC=uuuv，()11,0,3AB=−uuuv，∴()111110,2,3OCOAACOAAC=+=+=uuuvuuuvuuuuvuuuvuuuv，∴()10,2,3C，∴()110,2,0AC=uuu

uv，设平面11ABC的法向量为()111,,mxyz=v，则11100mABmAC==uuuvvuuuuvv，可得1113020xzy−==，故可取()3,0,1m=v.设平面1BCC的法向量

为nv，同理可取()3,3,1n=−−v，∴7cos,7mnmnmn==−vvvvvv，∴二面角11ABCC−−的正弦值为427.