【文档说明】北京市八一学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.253 MB，由小赞的店铺上传

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北京市八一学校2024~2025学年度第一学期9月高二数学试卷2024.09本试卷共4页，120分.考试时长90分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项.1.复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A.(1,1)B.(1,1)−C.(1,1)−−D.(1,1)−【答案】D【解析】【详解】试题分析：111ii+=−，所以对应的点的坐标为(1,1)−．考点：复数

的运算．2.已知角的终边经过点()2,1P−，则cos=（）A.55B.55−C.255D.255−【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果.【详解】因为角的终边经过点()2,1

P−，所以22225cos52(1)==+−，故选：C3.如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（）.A.8B.16C.83D.163【答案】C【解析】【分析】先计算

出每个面的面积，再乘以8即为表面积；【详解】每个面的面积为23234=，所以该图形的表面积为83.故选：C4.已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（）A.12πB.15πC.36πD.45π【答案】A【解析】【分析】根据题意

画出立体图像,根据已知条件求得圆锥的高,即可求得答案.【详解】设圆锥的高为h,母线长为l,底面半径为r画出立体图像如图:根据立体图形可得:2222534hlr=−=−=根据圆锥的体积计算公式:2211ππ343π312Vrh===故选:A.

5.在正方体1111ABCDABCD−中，直线11AC与直线1BC所成角的大小为（）A.30B.45C.60D.120,【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，得到1ACB或其补角为直线11AC与直线1BC所成角，根据1ABC△为等边三角形，

故160ACB=，得到答案.【详解】连接AC，因为11AACC=，11//AACC，所以四边形11AACC为平行四边形，则11//ACAC，故1ACB或其补角为直线11AC与直线1BC所成角，连接1AB，则11ABACBC==，即

1ABC△为等边三角形，故160ACB=，直线11AC与直线1BC所成角大小为60.故选：C6.已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m⊥，⊥，则//mB.若l=，𝑙//𝑚，则//mC.若m，⊥，则m⊥D.若

m⊥，𝛼//𝛽，则m⊥【答案】D【解析】【分析】根据线线，线面及面面位置关系判断各个选项即可.【详解】对于A:若,m⊥⊥,则可能m，A错误；对于B:若,//llm=,则可能m,B错误；对于C:若,,m⊥则m可能不垂直，C错误；对于D:

若,//m⊥,则m⊥,D正确.故选：D.7.已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,mnl是空间不过同一点的三条直线，当,,mnl在同一平面时，可能////mnl，故不能得

出,,mnl两两相交.当,,mnl两两相交时，设,,mnAmlBnlC===，根据公理2可知,mn确定一个平面，而,BmCn，根据公理1可知，直线BC即l，所以,,mnl在同一平面.综上所述，

“,,mnl在同一平面”是“,,mnl两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.8.在正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是AB，1CC的中点，则下列说法正确的

是（）A.1//AE平面1BFDB.1AE⊥平面ADFC.A，E，B，F四点共面D.直线EF与底面ABCD所成角的正切值为255【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果判断A，B；利用异面直线的判断方法判断C

；利用空间向量求线面夹角判断D．【详解】设正方体1111ABCDABCD−中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则()12,0,2A，()2,1,0E，()2,2,0B，()0,2,1F，()10,0,2D，()0,0,0D，对于A：()1

2,2,2BD=−−，()2,0,1BF=−，设平面1BFD的一个法向量𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则1222020nBDxyznBFxz=−−+==−+=，令1x=，则2,1zy==，可得()1,1,2n=，且()10,

1,2AE=−，则130AEn=−uuurr，所以1AE不平行于面1BFD，故A错误；对于B：𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，()0,2,1DF=，()10,1,2AE=−，则10AEDA=，10

AEDF=，即1AEDA⊥，1AEDF⊥，且DADFD=，,DADF平面ADF，所以1AE⊥平面ADF，故B正确；对于C：因为1AE面11ABBA，BF面11ABBA，且1BAE，所以直线1AE与BF为异面直线，故C错误；对于D：因为()2,1,1EF=−，且底面A

BCD的法向量()0,0,1m=，则16cos,661EFmEFmEFm===，设直线EF与底面ABCD所成角为π0,2，则6sin6=，可得230cos1sin6=−=，sin5tancos5==，所以直线EF与底面AB

CD所成角的正切值为55，故D错误．故选：B．9.四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体ABCD的表面积为()Fx，则函数()Fx的最大值为（）A.623+B.423+C.63D.43【答案】B【解析】【分析】如图，设AB为x，由题可得𝐹(𝑥)表达式，即可得

答案.【详解】如图，设AB为x，因其他棱长为2，则3434BCDACDSS===.取AB中点为E，则2xAE=，又由题可得DEAB⊥，结合2AD=，由勾股定理，244xDE=−，则21424ABDABCxSSx==−则()2234,044xFxxx=+−，则

()222224442324232234444xxxxFx+−=+−+=+.当且仅当2242244xxx=−=时取等号.故选：B10.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点M，N分别

是棱BC，11CD的中点，点P在底面1111DCBA内，点Q在线段1AN上，若5PM=，则PQ长度的最小值为A.21−B.2C.3515−D.355【答案】C【解析】【详解】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵PM5=，则OP＝1，∴

点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于H，△A1ON的面积为2×21132111222−−=，∴11322AN

OH=，可得OH355=，∴PQ长度的最小值为3515−．故答案为;C.点睛：这个题目考查了立体中面面垂直的性质的应用，线面垂直的应用，以及数形结合的应用，较好的考查了学生的空间想像力．一般处理立体的小题，都会将空间中的位置关系转化

为平面关系，或者建系来处理．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的体对角线长为___________．【答案】14【解析】【分析】由长方体的性质计算．【详解】长方体的对角线长为22212314++=．故答案：14．

12.如图，已知矩形ABCD中，4=AD，3CD=，PA⊥平面ABCD，并且11PA=，则PC=______．【答案】6【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，由线面垂直的性质得到PAAC⊥，由勾股定理求解PC即可．【详解】连接AC，在矩形ABCD中，4=AD，3CD=，则222243

5ACADCD=+=+=，因为PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则PAAC⊥，在RtPAC△中，11PA=，则2211256PCPAAC=+=+=．故答案为：6.13.在正三棱柱111ABCABC−中，12ABAA==，则直线1AA与1

BC所成角的大小为__________；点A到平面11BBCC的距离为________.为【答案】①.π4②.3【解析】【分析】分析可知直线1AA与1BC所成角为1BBC（或其补角），即可得结果；做辅助

线，可证AD⊥平面11BBCC，即可得点A到平面11BBCC的距离.【详解】因为1AA∥1BB，可知直线1AA与1BC所成角为1BBC（或其补角），由题意可知：11BCCB为正方形，则1π4BBC=，所以直线1AA与1BC所成角的大小为π4；取BC的中点D

，连接AD，因为ABCV为等边三角形，则ADBC⊥，又因为1BB⊥平面ABC，AD平面ABC，则1ADBB⊥，且1BCBBB=，1,BCBB平面11BBCC，可得AD⊥平面11BBCC，所以点A到平面11BBCC的距离为3

AD=.故答案为：π4；3.14.在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________.【答案】43【解析】【分析】连结EG，HF，交点为O，求出点E到线段AB的距离，利

用勾股定理求出EB和SO的长度，最后利用棱锥体积公式求出体积即可.【详解】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝2212+＝5.SO＝22SEOE−＝51−＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为13×(2)2×2＝43.故答案为：4

3【点睛】本题考查了棱锥体积公式，考查了数学运算能力，考查了空间想象能力.15.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，E为BC的中点，F为线段1CC上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，当3CF=时，截面S与11AD，11

CD分别交于M，N，则MN=_________.【答案】453【解析】【分析】由面面平行的性质可得截面与平面11ADDA及平面1111DCBA的交线，后由几何知识可得答案.【详解】由图，截面S与平面11ADDA，平面11BBCC相交，因平面11ADDA

//平面11BBCC，则相应交线平行.则过A作EF的平行线，则平行线与11AD交点即为M，与1DD延长线交于H.注意到AHDEFC，则162ECFCHDADHD===，又14DD=，则12HD=.又注意到1MHDAHD，则1111433HDMDMDHDAD===.又截面S

与平面ABCD，平面1111DCBA相交，则同理过M作AE平行线，则平行线与11CD交点即为N.注意到1AEBNMD，则1113823EBABNDMDND===.则根据勾股定理，224845333MN=+=.故答案为：453.三、解答题：本大题共4小题，共45分.解

答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知正三棱锥PABC−，请从条件①，条件②，条件③中选择两个条件作为已知，使得三棱锥存在，并求出此正三棱锥的体积.①底面边长为2；②侧棱长为3；③斜高为2.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题意分析

可知：不能选②③.取ABCV的中心O，BC的中点为M，若选①②：求得153OP=，进而可得体积；若选①③：求得333OP=，进而可得体积.【详解】因为32，可知②③不能同时成立，故不能选②③.取ABCV的中心O，BC的中点为M，连接,,POPM

AM，则⊥PO平面ABC，,AMBCPMBC⊥⊥，若选①②：则22333OAAM==，1123322ABCSBCAM===，在RtPOA△中，则22415333OPPAOA=−=−=，所以正三棱锥的体积为1115533333ABCVSOP===△

；选①③：则1333OMAM==，2PM=，1123322ABCSBCAM===，在RtPOM中，则22133433OPPMOM=−=−=，所以正三棱锥的体积为11331133333ABCVSOP===.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD

−中，点E，F分别是棱1BB，1DD的中点.求证：（1）BD∥平面1CEF；（2）⊥EF平面11ACCA.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据平面性质可得BDEF∥，再根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可得ACEF⊥，1AAEF⊥，结合线面垂直的判

定定理分析证明.【小问1详解】因为E，F分别为1BB，1DD的中点，11BBDD=，11BBDD∥，则BEDF∥且BEDF=，可知四边形BDFE为平行四边形，则BDEF∥，且EF平面1CEF，BD平面1CEF，所以BD∥平面1CEF.【小问2详解】因为

四边形ABCD为正方形，则BDAC⊥，且EFBD∥，则ACEF⊥，又因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则1AABD⊥.且EFBD∥，则1AAEF⊥，且1ACAAA=∩，1,ACAA平面11ACCA，所以⊥EF平面11ACCA.18

.如图，四棱锥PABCD−的底面是边长为2的菱形，且60ABC=，侧面PAB是正三角形，M是PD上一动点，N是CD的中点.（1）若PC∥平面BMN，求证：M是PD的中点；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，求线段PC的长；（3）

是否存在点M、使得PCBM⊥?若存在，求出PMMD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）6（3）存在，1【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质可得MNPC∥，再结合平行线的性质分析证明；（

2）根据面面垂直的性质可得PF⊥平面ABCD，进而可得PFCF⊥，即可得结果；（3）做辅助线，可证AB⊥平面PCF，PC⊥平面ABE，可得EMCD，即可得结果.【小问1详解】若PC∥平面BMN，且PC

平面PCD，平面PCD平面BMNMN=，可得MNPC∥，在PCD△中，点N是CD中点，所以点M是PD中点.【小问2详解】如图，取AB中点F，连接PF，CF.因为PAB是正三角形，则PFAB⊥，且平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PF

平面PAB，可得PF⊥平面ABCD，由CF平面ABCD，可得PFCF⊥，在因为侧面PAB是正三角形，则3PF=.因为底面ABCD是菱形，且60ABC=，可知ABCV是等边三角形，则CFAB⊥且3CF=.所以6P

C=.【小问3详解】取PC中点E，连接BE，AE.因为四棱锥PABCD−的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，则PBABBC==，BEPC⊥.由（2）可得PFAB⊥，CFAB⊥，且,PFCF平面PCF，PF

CFF=，所以AB⊥平面PCF，由PC平面PCF，可得ABPC⊥.又因为ABBEB=，AB、BE在平面ABE内，所以PC⊥平面ABE.过E作EMCD交PD于点M.因为EMCDAB∥∥，所以点M平面ABEM.所以P

C⊥平面ABEM，因为BM平面ABEM，所以PCBM⊥，因为E为PC的中点，EMCD，所以PMMD=，即1PMMD=.19.已知定义在R上的函数()fx，()gx满足以下三个条件：①()()()()()fxyfxfygxgy

−=−；②()()()()()gxygxfyfxgy+=+；③存在集合,ab()gxxR.（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明现由；（2）求()0f，()0g的值；（3）判断命题p：“()gx是周期函数”的真假，并说明理由.【答案】（1）()fx为偶函数，理

由见解析（2）()00g=，()01f=（3）假命题，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析判断；（2）根据题意通过赋值令0xy==，运算求解即可；（3）利用周期函数的定义，举反例说明即可.小问1详解】由①可得，()()()()()()fyxfyfx

gygxfxy−=−=−，故()fx为偶函数.【小问2详解】②中令0xy==可得，()()()()()()()00000200ggffggf=+=，【在可得()00g=或()102f=.在①中令yx=可得，()()()220ffxgx=−，若()1

02f=，则()()()2221100024fgf=−=矛盾，故()00g=，可得()()()()2220000ffgf=−=，即()00f=或1.若()00f=时，()()()()()(0)000gxgxgxffxg=+=+=.此时(

)0gxx=R与③矛盾，故()01f=.【小问3详解】假命题，例如()ee2xxfx−+=，()ee2xxgx−−=，则()()()()()eeeeeeee2222ee2xxyyxxyyxyxyfxfygxgyfxy−−−−−−+++−−+−=−==−，即①成立；又因为()()()(

)()eeeeeeeee22222exxyyxxyyxyxygxfyfxgygxy−−−−+−−−++−−+=+==+，即②成立；又因为()00g=，()1ee102g−−=，即③成立；但()gx在R上递增，可知()gx不是周期函数.