【文档说明】四川省内江市第六中学2022-2023学年高三下学期第一次月考理科数学试题 含解析.docx，共(26)页，3.977 MB，由小赞的店铺上传

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内江六中2022—2023学年（下）高2023第6次月考理科数学试题考试时间：120分钟满分：150分第I卷选择题（满分60分）一､选择题（每题5分，共60分）1.在等差数列na中，已知35a=，611a=，则10a=（）．A.18B.19C.20D.21【答案】B【解

析】【分析】由35a=，611a=，求得公差d，再利用等差数列的通项公式求解.【详解】解：在等差数列na中，35a=，611a=，所以63263aad−==−，所以103757219aad=+=+=，故选：B2.已知复数2iz=−，则1iz=+（）A.11i44+B.11i

22+C.11i22−D.11i44−【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求解.【详解】解：因为2iz=−，所以2iz=+，所以()111i11i21i444iz−===−++．故选：D．3.设集合的全集为U，定义一种运算，()UMNxxMN=ð，若全集U=R，2Mxx=，

31Nxx=−，则MN=（）A.21xx−B.12xxC.12xxD.21xx−【答案】C【解析】【分析】解不等式求得集合M，求得UNð，根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得2{|22}M

xxxx==−，{3UNxx=−ð或1}x，则MN=12xx，故选：C4.已知多项式()()562560125621xxaaxaxaxax−+−=+++++，则1a=（）A.11B.74C.86D.1−【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理分别求出()52x−与()6

1x−一次项的系数，再相加即可.【详解】对于()52x−，其展开通项公式为()515C2rrrrTx−+=−，令51r−=，得4r=，故()4455C280Txx=−=，对于()61x−，其展开通项公式为()616C1kkkkTx−+=−，令61k−=，得5k=，故()5566C16Tx

x=−=−，所以180674a=−=.故选：B.5.抛物线2yx=−的焦点坐标为（）A.()1,0−B.1,02−C.1,04−D.1,04【答案】C【解析】【分析】由抛物

线的标准方程即可求解.【详解】由抛物线的标准方程可知：抛物线2yx=−的开口向左，焦点在x轴负半轴上，且21p=，所以12p=，124p=，所以焦点坐标为1,04−.故选：C6.如下图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，如果点E是1AA的中点，那么过点1D、

B、E的截面图形为（）A.三角形B.矩形C.正方形D.菱形【答案】D【解析】【分析】根据题意作出截面图形，然后利用正方体的性质求解即可.【详解】分别取11,BBCC的中点,GF，连接11,,,AGBFDF

GF，如图1DEBF即为过点1D、B、E截正方体所得的截面图形，由题意可知：1//AEGB且1=AEGB，所以四边形1AEBG为平行四边形，所以1//AGEB，又因为11//GFBC且11GFBC=，1111//ADBC且1111ADBC=，所以11//ADGF

且11=ADGF，所以四边形11AGFD为平行四边形，所以11//DFAG,所以1//DFEB，同理1//EDBF，所以四边形1DEBF为平行四边形，又因为EBBF=，所以平行四边形1DEBF为菱形，故选：D7.核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现

，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感

染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（）A.0.495%B.0.9405%C.0.99%D.0.9995%【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A,感染新冠病毒的条件下,标本为阳

性为事件,B则()0.5%,()99%PAPBA==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()PABPAPBA==0.5%99%0.495%=，故选：A8.研究发现，任意一个三次函数()

()320axbxdafxcx=+++图象必有一个对称中心.一般地，判断点()()00,xfx是否是三次函数()fx图象的对称中心的流程如图所示，对于函数()3232fxxx=−3148x++，其图象的对称中心以及

1232020···2021202120212021ffff++++的值分别是（）.的A.11,,50524B.11,,101024C.11,,20202

4D.13,,101024−−【答案】A【解析】【分析】分析程序框图得到：点()()00,xfx是否是三次函数()fx图象的对称中心等价于0x是否是()'fx的导函数的零点，接着求导即可求得对称中心，根据对称中心得到()()112fxfx+−=，最后化简求解123

2020···2021202120212021ffff++++即可.【详解】因为()32331248fxxxx=−++，所以()()23334gxfxxx==−+，()()

63hxgxx==−，令()0hx=，解得12x=，又1124f=，所以三次曲线()32331248fxxxx=−++的对称中心是11,24，则()()112fxfx+−=.所以12020220191010101112021202120212021

202120212ffffff+=+==+=，于是1232020112020505202120212021202122ffff++++==

.故选：A.9.红薯于1593年被商人陈振龙引入中国，也叫甘薯、番薯等.红薯耐旱耐脊、产量丰富，曾于数次大饥荒年间成为不少人的“救命粮食”，现因其生食多汁、熟食如蜜，成为人们喜爱的美食甜点.小泽和弟弟在网红一条街买了一根香气扑

鼻的烤红薯，准备分着吃，如图，该红薯可近似看作三部分：左边部分是半径为R的半球；中间部分是底面半径为R、高为3R的圆柱；右边部分是底面半径为R、高为R的圆锥，若小泽准备从中间部分的甲、乙、丙、丁四个位置选择一处将红薯掰成两块，且使得两块的体积最接近，则小泽选择的位置是（）A

.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】算出分别从甲乙丙丁处分两块的体积之差，比较大小即可.【详解】若从甲处分为两块，则左侧体积为323R，右侧体积为223110π3ππ33RRRRR+=，两者体积差为383R，若从乙处分为两块，则左侧体积为33325πππ33RRR+=，右侧体

积为23317π2ππ33RRRR+=，两者体积差为323R，若从丙处分为两块，则左侧体积为33328233RRR+=，右侧体积为3331433RRR+=，两者体积差为343R，若从丁处分为两块，则左侧体积为333211π3ππ33RRR+=，右侧体积为313R，两者体

积差为3103R，故从乙处掰成两块，体积最接近，故选：B.10.函数()e1πsine12xxfxx−=−+图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；当π02x时，()0fx，排除选项A，可得正确结论．【详解】函

数()fx定义域为R，且()e1πe1sincose12e1xxxxfxxx−−=−=++()()()e11ecoscose11exxxxfxxxfx−−−−−=−==−++，()fx\是奇函数，排除选项C和D；当π02x时，(

)0fx，排除选项A；故选：B11.已知椭圆1C和双曲线2C的焦点相同，记左、右焦点分别为1F，2F，椭圆和双曲线的离心率分别为1e，2e，设点P为1C与2C在第一象限内的公共点，且满足12PFkPF=，若1211eek

=−，则k的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得1221aPFk=+，2221aPFk=−，(12,aa分别为椭圆的长半轴长及双曲线的实半轴长)，从而得1211akak+=−，再代入112212ceaaceaa==中，求解即可.的【详

解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为11,ab，半焦距为c，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为22,ab，半焦距为c，则有222221122abcab−==+，又因为点P为1C与2C在第一象限内的公共点

，且满足12PFkPF=，所以0k且1k，由椭圆的定义可得122221(1)2PFPFkPFPFkPFa+=+=+=，所以1221aPFk=+，由双曲线的定义可得122222(1)2PFPFkPFPFkPFa−=−=−=，所以2

221aPFk=−，所以212211aakk=−+所以1211akak+=−，又因为1122121111ceaakceakka−====+−，解得0k=(舍)或3k=，故选：A.12.已知()()ee,,1.01,1

e1e0.9911abcdabcdcdab==−=−=++，则（）A.0ab+B.0cd+C.0ad+D.0bc+【答案】AD【解析】【分析】A.先构造函数()fx，通过函数的单调性确定,ab的大致范围，再构造()()

()lnlnhxfxfx=−−，通过函数()hx的单调性确定d与c−的大小关系，进而得到A选项.B.先构造函数()gx，通过函数的单调性确定,cd的大致范围，再构造()()()lnlnhxgxgx=−−，通过函数()hx的单调

性确定d与c−的大小关系，进而可知B选项错误.C.通过()()1fxgx=−，得到()()gagd−，进而可得a−与d的大小关系,进而可知C选项错误.D.与C选项同样的方法即可判断.【详解】A.ee1.01011abab==++1,1ab−−令(

)()11xefxxx=−+则()()21xxefxx=+，所以()fx在()1,0−单调递减，在()0,+上单调递增，且()00f=，故0,10ab−.令()()()()()()lnln2l

n1ln1,1,1hxfxfxxxxx=−−=−++−+−则()21122+20111hxxxx−=−=−+−+−，所以()hx在()1,1−上单调递减，且()00h=()1,0b−()()lnln0fbfb−−()()fbfb−()()fafb

−ab−即0ab+故选项A正确B.()()0.991e1e0cdcd=−=−1,1cd令()()()11xgxxex=−则()xgxxe=−，所以()gx在(),0−单调递增，在()0,1上单调递减，且()

01g=，故01,0cd.令()()()()()()()lnln2ln1ln1,1,1mxgxgxxxxhxx=−−=−++−+=−所以()mx在()1,1−上单调递减，且()00m=()0,

1c()()lnln0gcgc−−()()gcgc−()()gdgc−dc−即0cd+故选项B错误C.()()1fxgx=−()()()11000.99,1,0101gaafa−==−(

)()gagd−又()gx在(),0−单调递增ad−0ad+故选项C错误D.由C可知，()()(),0,1gbgcb−−又()gx()0,1单调递减bc−在故选项D正确故选：AD第II卷非选择题（满分90分）二､填空题（每题5分，共20分）13

.已知定点(4,2)A−和曲线224xy+=上的动点B，则线段AB的中点P的轨迹方程为___________．【答案】22(2)(1)1xy−++=【解析】【分析】设出(,)Pxy，(,)Bmn，表达出24mx=−，22ny=

+，结合224mn+=，代入即可求出轨迹方程.【详解】设线段AB中点为(,)Pxy，(,)Bmn，则42mx+=，22ny−+=即24mx=−，22ny=+因为点B为圆上224xy+=的点，所以224mn+=所以22(24)(22)4xy−++=，化简得：22(2)(1)1xy−++=故答案为：2

2(2)(1)1xy−++=14.若2162020CCxx−+=，则正整数x的值是___________.【答案】5或7【解析】【分析】根据组合数的性质可得216xx−=+或21620xx+=+−，进而可求出结果.【详解】

因为2162020CCxx−+=，所以216xx−=+或21620xx+=+−，解得7或5，故答案为：7或5.15.已知命题p：11,22x，21,22x，使得方程2212log2xa

x+=+成立，命题q：12,0,1xx，不等式1234xax+恒成立.若命题p为真命题，命题q为假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】13,44【解析】【分析】先求出命题p和命题q为真时对应的a的取值范围，即可求出.【详解】对于命题p，当11,22x

时，()21log1,1xaaa+−+，当21,22x时，2292,64x+，若命题p为真，则()91,1,64aa−+，即91416aa−+，解得1354a.对于命题q，当12,0,1xx时，23,3axaa+

+，141,4x，若命题q为真，则()()12minmax34xax+，则4a，若命题p为真命题，命题q为假命题，则13544aa，所以1344a，综上可得a的取值范围为13,44

.故答案为：13,44.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，MN，分别是棱1111ABAD，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体1111ABCDABCD−所得的截面图形是五

边形；②直线11BD到平面CMN的距离是22；③存在点P，使得11=90BPD；④△1PDD面积的最小值是556．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解

】对于①，如图直线MN与11CB、11CD的延长线分别交于11,MN，连接11,CMCN分别交11,BBDD于22,MN，连接22,MMNN，则五边形22MMCNN即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MNBD，MN平面CMN，11BD平面CMN，∴11//BD平面

CMN，故点1B到平面CMN的距离即为直线11BD到平面CMN的距离，设点1B到平面CMN的距离为h，由正方体1111ABCDABCD−的棱长为2可得，3,2CMCNMN===，22121723222CMNS=−=，∴11117173326BCMNCMNVShhh−===

，111111123323CBMNBMNVSCC−===，∴由1BCMNV−=1CBMNV−，可得21717h=，所以直线11BD到平面CMN的距离是21717，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,

2,2,0,1,0,2BDCM，设,01PCMC=，∴()1,2,2PCMC==−，又()2,2,0C，()()112,0,2,0,2,2,BD∴()2,22,2P−−，()()11,22,22,2,2,2

2PBPD=−−=−−，假设存在点P，使得11=90BPD，∴()()()2112222220PBPD=−+−+−=，整理得291440−+=，∴71319+=（舍去）或7139−=，故

存在点P，使得11=90BPD，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P−−，所以点()2,22,2P−−在1DD的射影为()0,2,2，∴点()2,22,2P−−到1DD的距离为：()()222221622544555d=−+−=−+=−+

，∴当2=5时，min455d=，∴故△1PDD面积的最小值是145452255=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17.小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用

场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为15.年份代码x12345市场规模y0.91.21.51.41.6（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的

关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.参考数据：()55211:1.32,21.4,0.55,103.16iiiiiyxyyy====−；参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixx

yyrxxyy===−−=−−，回归方程ˆˆˆybxa=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−.【答案】（1）答案见解析（

2）ˆˆ0.160.84yx=+【解析】【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）利用最小二乘法求出ˆ0.16b=，ˆ0.84a=，即可

得到y关于x的经验回归方程.【小问1详解】由已知得()()552211123453,1.32,10,0.555iiiixyxxyy==++++===−=−,()()5511521.4531.321.6iiiiiixxyyx

yxy==−−=−=−=1.60.923.160.55r.因为y与x的相关系数近似为0.92，说明y与x的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】由题可得，552222221121.4,1234555

iiiiixyx====++++=()()51522211.6ˆ0.1655535iiiiixxyybxx==−−===−−，ˆˆ1.320.1630.84aybx=−=−=故y关于x的经验回归方程为ˆˆ0.160.84y

x=+.18.已知锐角三角形ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足()()sinsinsinsinsinsin,BCBCACAC−+=.（1）求证：2BC=；（2）若2a=，求三角形ABC面

积的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3,22【解析】【分析】（1）先根据正弦定理得22bacc=+，然后结合余弦定理化简整理得()sinsinBCC−=，解方程即可证明；（2）先利用正弦定理表示出2sinsinCcA=，结合面积公式得出43+tanta

nSCC=，利用C的范围及函数的单调性进行求解.【小问1详解】由正弦定理可得22bacc=+，又2222cosbacacB=+−，所以2222cosaccacacB+=+−，整理得2cosaccB−=，即有sincoscossinsin2sincosBCBCCCB+−=，所以s

incoscossinsinBCBCC−=，即()sinsinBCC−=，π,0,2BC，π,02C−−，则ππ,22BC−−，所以BCC−=，所以2BC=.【小问2详解】由（1）得2BC=，因为2a=，由2sinsinsinbcAB

C==，得2sinsinCcA=,设三角形ABC的面积为S，则()12sinsin22sinsin22sinsin22sinsincoscos22sinsin2sin2coscos2sinsinsin2CCCCCCSacBcBCCACCCCCCCC==

====+++14113tantantan2tanCCCC==+−，在锐角三角形ABC中，π0π2π02π02ABCBC=−−,且2BC=，所以ππ,64C，所以3tan,13C，设tantC=，则3,13t

，记33,,13yttt=−，则2230tyt+=−，所以函数3ytt=−在3,13t上单调递减，所以832,3y，所以43,22Sy=

，即三角形ABC面积的取值范围3,22.19.如图，1AM为圆柱12OO的一条母线，且12112OOOA=．过点1A且不与圆柱底面平行的平面与平面112OAMO垂直，轴12

OO与交于点O，平面截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面112OAMO的另一交点为2A．已知该截线为一椭圆，且12AA和12BB分别为其长轴和短轴，O为其中心．N为2B在上底面内的射影．记椭圆的离心率为e．

（1）证明：1212BBOO⊥，并求e的取值范围；（2）当55e=时，求直线MN与平面所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析，离心率e的取值范围是20,2（2）306【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，得线面垂直，即可证明线线垂直；根据图形可判断椭圆长轴的范

围，以及短轴的值，结合椭圆离心率的公式，即可求离心率的取值范围；（2）首先根据55e=，确定2A的位置，再建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量公式求线面角的正弦值.【小问1详解】因为平面⊥平面112OAMO，且平面平面21121OAMOAA

=，因为1212BBAA⊥，所以12BB⊥平面112OAMO，12OO平面112OAMO，所以1212BBOO⊥,设上下底面圆的半径为r，椭圆短轴1222BBbr==，当2A移至下底面端点时，122OOr=，长轴的最大值()()22122222AArrr=+=，所以长轴的取值范围(

22,22arr，则2,12ba，22210,2cbeaa==−，所以椭圆离心率e的取值范围是20,2；【小问2详解】当离心率55e=时，即22225115cbraaa=−=−=，得52ar=，则()()()22

221223131345AAAAAArAAr=+=+=，即13AAr=，即点2A是母线的中点，如图建立空间直角坐标系，设1r=，则122OO=，()0,1,0M,()1,0,2N,()10,1,2A,()20,1,1A−,231,0,2B,()1,1,2MN

=−,()120,2,1AA=−−,1211,1,2AB=−−,设平面的法向量(),,mxyz=，则20102yzxyz−−=−−=，令2z=，得1y=−，0x=，所以()0,1,2m=−，设直线MN与平面

所成角为，则530sincos,665MNmMNmMNm====.20.在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：()2224xy++=和定点()2,0F，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.（1

）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点()(),011Ttt−的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线xt=分别交于点G，H.若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值.

【答案】（1）2213yx−=（2）14−【解析】【分析】(1)根据线段PF的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，则动点Q到两定点的距离之差为定值，故点Q的轨迹为双曲线.(2)设直线方程为xmyt=+，联立直线与双曲线方程，韦达定理求出两根之和，两根之积，因为F，A，G，H四点共圆，所以πHAFH

GF+=，即TAHTGF=，可判断出RtRtTAHTGF，即THTFTATG=，列等量关系可以解得.【小问1详解】因为Q在线段PF的中垂线上，所以QPQF=，故224QEQFQFEPQFEF−=−===，所以点

Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距24c=，2c=，且22a=，1a=，故2223bca=−=，所以曲线C的方程为2213yx−=.【小问2详解】设直线l：xmyt=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立方程组2213xmytyx=+−=，

整理得()222316330mymtyt−++−=，则()()22222310Δ36431330mmtmt−=−−−，且12221226313331mtyymtyym+=−−−=−.因为F，A，G，H四点共圆，所以πH

AFHGF+=，又πHAFTAH+=，所以TAHTGF=，故RtRtTAHTGF，所以THTFTATG=，即TATFTHTG=，所以(1)(2)GHttyy−−=.又直线AM：11(1)1yyxx=−−，令xt=，得1

1(1)1Gtyyx−=−，同理22(1)1Htyyx−=−，故()()()()2212121212(1)(1)1111GHyyyyyyttxxmytmyt=−=−−−+−+−222222223331(1)336(1)(1)31

31tmttmtmmttmm−−=−−−+−+−−−()2223(1)(1)3131(1)ttttt+=−=−=−−−，其中11t−，所以()2(1)(2)31ttt−−=−，解得14t=−，所以实数t的值为14−.21.已知函数()()lnln10fxaxxxaxa=−−+，

设曲线()yfx=在点()()e,ef处的切线方程为()ygx=.（1）证明：对定义域内任意x，都有()()fxgx；（2）当1a=时，关于x的方程()fxm=有两个不等的实数根12,xx，证明：122e1e1e

1xxm−−+−−.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导函数求出切线斜率，由点斜式可得出切线方程，令()()()Fxfxgx=−，根据导函数的的出()Fx的单调性，可证()()e0FxF=恒成立，即()()fx

gx.（2）令()0fx=，解得1x=或e，分别求出两条切线方程()()e1e1gxx=−−，()1hxx=−+，可证()()fxgx，()()fxhx恒成立，由函数()yfx=在两个零点处的切线方程与直线ym=的交点的横坐标分别为1x和2x，与12,

xx的关系即可证明结论.【小问1详解】证明：()11lnlnfxaxaaaxxx=+−−=−，()1eekfa==−，又()e0f=，()()1eegxax=−−；令()()()()()()eeFxfxgxfxfx=−=−−，()()()11elneF

xfxfaxax=−=−−+在()0,+上单调递增，且()e0F=，当0ex时，()0Fx，()Fx单调递减，当ex时，()0Fx，()Fx单调递增，()e0f=，()()e0FxF=恒成立，所以()()fxgx恒成立.【小

问2详解】证明：当1a=时，()()()ln11fxxx=−−，则()1lnfxxx=−，显然()fx在定义域内单调递增，而()110f=−，()10ee1f=−，存在()01,ex，使()00fx=，当()00,xx时，()0fx，()fx单调递减，当()0,xx+

时，()0fx¢>，()fx单调递增，令()0fx=，解得1x=或e，由（1）（2）可知()yfx=在()e,0处的切线方程为()()e1e1gxx=−−，且()()fxgx恒成立，同理可得()yfx=在()1,0处的切

线方程为()1hxx=−+，令()()()()()()()ln1111lnHxfxhxxxxxx=−=−−−−+=−，当1x时，10x−，ln0x，当01x时，10,ln0xx−，()0Hx恒成立，即()()fxh

x恒成立.设函数()yfx=在两个零点处的切线方程与直线ym=的交点的横坐标分别为1x和2x，不妨设12xx，则'11xx，'22xx，令()()gxhxm==，解得2e1eemx=+−，11xm=−，''121

22e1e1e1xxxxm−−−=+−−得证.（二）选考题（共10分）请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，已知曲线2:cosC=，直线32:12txlty==−+（t是参数），且直线l

与曲线C交A,B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设定点P极坐标3π1,2，求(1)(1)PAPB++的值．【答案】（1）22(1)1xy−+=，330xy−−=（2）33+【解析】【分析】（1）利用cosx=，siny=，222xy=+将极坐标方程化

为直角坐标方程；对参数方程中的参数进行消参化为普通方程；（2）点P是直线l上的点，对应的参数0=t，将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得出A,B两点对应的参数12,tt满足的条件，从而求出(1)(1)PAPB++的值．【小问1详解】曲线22o:

csC=，因为cosx=，222xy=+，所以直角坐标方程为：2220xyx+−=，即22(1)1xy−+=；由3212txty==−+，消去参数t可得直线l的普通方程为：330xy−−=．的【小问2详解】因为P的直角坐标为0,1−()，所以直线l过P点，直线l的参数方

程3212txty==−+，代入曲线C的方程22(1)1xy−+=中，得223111122tt−+−+=，即2(31)10tt−++=.设A，B两点对应的参数分别为12,tt，所以1

231tt+=+，121tt=，所以1212(1)(1)133PAPBtttt++=+++=+．选修4-5：不等式选讲23.已知()11fxxax=+−−.（1）当=1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若()0,1x时不等式()fxx成立，求a的

取值范围.【答案】（1）1>2xx；（2）(0,2．【解析】【分析】（1）方法一：将=1a代入函数解析式，求得()11fxxx=+−−，利用零点分段法将解析式化为()2,1,=2,1<<1,2,1.xfxxxx−−−，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）方法一：根据题中

所给的()0,1x，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()fxx可以化为()0,1x时11ax−，分情况讨论即可求得结果.【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当=1a时，()11fxxx=+−−，即()2,1=2,1<<12,1xfxxxx−−−

，所以不等式()1fx等价于12>1x−−或1<<12>1xx−或12>1x，解得：12x．故不等式()1fx的解集为1>2xx．［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当=1a时，

不等式()1fx即为|1||1|1xx+−−．由绝对值的几何意义可知，|1||1|xx+−−表示x轴上的点到1−对应的点的距离减去到1对应点的距离．结合数轴可知，当1=2x时，|1||1|1xx+−−=

，当12x时，|1||1|1xx+−−．故不等式()1fx的解集为1,2+．（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当()0,1x时，11xaxx+−−成立等价于当()0,1x时，11ax−成立．若0a，则当()0,1x时

，111axax−=−；若0a，由11ax−得，111ax−−，解得：20xa，所以21a，故02a．综上，a的取值范围为(0,2．［方法二］：平方法当(0,1)x时，不等式|1||1|xaxx+−−成立，

等价于(0,1)x时，11ax−成立，即2211ax−成立，整理得(2)0axax−．当=0a时，不等式不成立；当0a时，(2)0axax−，不等式解集为空集；当0a时，原不等式等价于220axxa−，解得2

0xa．由>021aa，解得02a．故a的取值范围为(0,2]．［方法三］：【最优解】分离参数法当(0,1)x时，不等式|1||1|xaxx+−−成立，等价于(0,1)x时，|1|1

ax−成立，即111ax−−，解得：20ax，而22x，所以02a．故a的取值范围为(0,2]．【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，

是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用()0,1是不等式解集的子集求出，是通性通法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用()0,1是不等式解集的子集求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成

立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．