【文档说明】浙江省杭师大附2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.298 MB，由小赞的店铺上传

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杭师大附中2022学年第二学期高一年级期中考试高一数学试卷命题人：陈凌云审题人：黄超命题时间：2023．4．10本试题满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若复数32iz=−，则z的实部与虚部的和为（）A.-1B.1C.5D.-5【答案】B【解

析】【分析】直接由实部虚部的定义计算即可.【详解】由32iz=−知实部为3，虚部为2−，故实部与虚部的和为1.故选：B.2.ADDCAB+−=（）A.ADB.ABC.BCD.CB【答案】C【解析】【分析】由向量加减法可解.【详解】ADDCABACABBC+−=−=.故选：C3.ABC

的三个内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若4cos,5,35Bca===，则b=（）A.58B.34C.24D.10【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由4cos,5,35Bca===以及余弦定理得2242cos925235105bacacB=+-=+-创?,

故选：D4.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若//,//mn，则//mnB.若,mm⊥，则⊥C.若,m⊥，则m⊥D.若,,//,//mnmn烫，则//【答案】B【解析】【分析】A选项可由线面平行的判定定理

进行判断；B选项可由面面垂直判定定理可判断；C选项可由线面的位置关系进行判断；D选项可由面面平行的判定定理进行判断；【详解】A选项不正确，因为mn，平行，相交，异面都有可能；B选项正确，,mm⊥，则⊥面面垂直判定定理可得；C.选项不

正确，因为⊥，m时，可能有//m或者m与相交不一定垂直,D选项不正确，可由面面平面的判定定理说明其是不正确的，,mn必须相交.故选:B.5.平行四边形ABCD中，点E满足3,(,)ACAEDEABAD==+Ruuuruuuruuuruuuruuur，则+

=（）A.13B.-1C.1D.13−【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析求解.【详解】由题意可得：()11123333DEDAAEADACADABADABAD=+=−+=−++=−uuuruuuruuuruuur

uuuruuuruuuruuuruuuruuur，即12,33==−，则13+=−.故选：D.6.在正方体1111ABCDABCD−中，E是11CD的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）A.0B.12C.31010D.1010【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线D

E与AC所成角为DEF（或DEF的补角），在DEF中利用余弦定理运算求解.【详解】取11AB的中点F，连接11,,ACEFDF，因为1AA//1CC，且11AACC=，则11AACC为平行四边形，可得AC//11AC，又因为,EF分别为1111,C

DAD的中点，则EF//11AC，所以EF//AC，故异面直线DE与AC所成角为DEF（或DEF的补角），设正方体的棱长为2，则5,2DEDFEF===，在DEF中，由余弦定理22252510cos210252DEEFDFDEFDEDF

+−+−===，所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是1010.故选：D.7.在正方体1111ABCDABCD−中，点P为线段1DB上的动点，M，N分别为棱,BCAB的中点，若//DP平面1BMN，则11DP

DB=（）A.15B.14C.12D.13【答案】A【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算，求解法向量即可由0DPn=，解得的值，即可得解11DPDB的值．或者，根据线面平行的性质可得线线平行，根据相似即可求解.【详解

】方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−边长为2，可得(0,0,0)D，1(0,0,2)D，(2,2,0)B，1(2,2,2)B，(1,2,0)M，(2,1,0)N，设11DPDB=，(01)，可得11(2DPDB

==,2,2)−，可得(2P,2,22)−，可得(2DP=,2,22)−，()()11102012BM,,,BN,,=--=--设平面1BMN法向量为(nx=，y，)z，可得1100BMnBNn==，可得2020xzyz−−=−−=，令2x=−，可得(

2,2,1)n=−−，由于//DP平面1BMN，则0DPn=，可得44220−−+−=，解得15=，即1115DPDB=．方法2：连接BD,交MN于点H,则14BHBD=,连接1BH,延长DP交B1D1于G,由于//DP平面1BMN，DP平面11DBBD,且平面11DBBD平面11B

MNBH=,所以1DP//BH,设正方体的棱长为1，则1244BHBD==,故直角三角形1BHB中，11111BHQDBQBH:BDBQ:QD?,所以114BQ:QD=：，所以115BQ:BD=：,由11DH//GB,DG//BH,所以四边形1DHBG为

平行四边形，所以根据11DDGBBH@,故,11115DPBQDBBD==故选：A8.ABC中，2π3A=，AD为角A的平分线，2AD=，则2ABAC+的最小值是（）A.322+B.622+C.642+D.342+【答案】C【解析】【分析】根据条件，结合三角形的面积公式可得1112ABA

C+=，然后由基本不等式可求2ABAC+的最小值．【详解】由题意得：π3BADCAD==，设ABD△，ACD，ABC的面积分别为：ABDS，ACDS，ABCS，则ABCABDACDSSS=+，即sinsinsin222ABACABADACADBACBA

DCAD=+，即333222222ABACABADACAD=+，则2ABACABAC=+，所以1112ABAC+=，1142422(24)()6()62642ACABACABABACABACABACABACABAC+=++

=+++=+，当且仅当42ACABABAC=，即2ABAC=时，等号成立，联立方程组：21112ABACABAC=+=，解得：22222ABAC=+=+，故当且仅当22222ABAC=+=

+时，2ABAC+取最小值642+．故选：C二、多项选择题（每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知向量(,1),(1,2)axb

==，下列结论中正确的是（）A.若a//b，则2x=−B.若2x=，则a与b的夹角的余弦值为45C.当2x=时，a在b上的投影向量为48,55D.当2x−时，a与b的夹角为锐角【答案】BC【解析

】【分析】根据向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】对于A：若a//b，则211x=，解得12x=，故A错误；对于B、C：若2x=，则(2,1),(1,2)ab==rr，可得2221124,125abab=+===+=rrrr，所以a与b的夹角的余弦值为44555abab==rrr

r，故B正确；所以a在b上的投影向量为2448,555abbbb==rrrrr，故C正确；对于D：a与b的夹角为锐角，等价于1220xabx=+，解得2x−且12x

，故D错误；故选：BC.10.下列结论正确的是（）A.在棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行B.用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直现图的面积是64C.正方体1111ABCDABCD−中，直线1BD与1BC是异面直线

D.正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为,BCAB的中点，P是线段11AD(不含端点)上的动点，过M，N，P点的平面截该正方体所得的截面为六边形【答案】ACD【解析】【分析】根据棱柱的性质即可判断A,根据斜二测画法的性质即可求解B,由异面直线的定义即可判断C,根据

平面基本性质即可作出截面判断D.【详解】对于A,由棱柱的性质可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正确，对于B,根据斜二测画法的规则可知：直观图中，高1223sin452442ADADADⅱ=?=?，所以

直现图的面积是1236124216骣琪创?琪桫，故B错误，对于C,由于在正方体1111ABCDABCD−中，直线1BD与1BC既不平行也不相交，所以是异面直线，故C正确，对于D,延长MN,DA相交于E，连接PE交AA1于点F，同理延长MN,DC

交于点H，由于,MN是中点，所以1111MN//ACAC//ACAC//MNÞ，,故在平面1111DCBA中，作11//PQAC交边11CD于Q，连接QH交1CC于G，因此六边形MNFPQG即为所求截面六边形，故D正确，故选：ACD11.E、F是正方体1111ABCDABCD−的棱DC上两点

，下列说法正确的是（）A.直线1BD⊥平面11ACDB.平面11ACD与底面ABCD的交线平行于11ACC.平面1BEF与平面1111DCBA所成的锐二面角大小为60D.直线11DB与平面1BEF所成的角为30【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据线面垂直的

判定定理和性质定理分析判断；对于B：根据面面平行的性质定理分析判断；对于C：根据二面角的定义分析运算；对于D：根据线面夹角的定义分析运算.【详解】对于选项A：连接11,BDBD，则1111BDAC⊥，因为1DD⊥平面1111DCBA，11AC平面1111

DCBA，所以111DDAC⊥，且1111BDDDD=，111,BDDD平面11BDDB，可得11AC⊥平面11BDDB，1BD平面11BDDB，所以111ACBD⊥，同理可证：11ADBD⊥，1111ACADA

=，111,ACAD平面11ACD，可得1BD⊥平面11ACD，故A正确；对于选项B：因为平面1111//ABCD平面ABCD，平面1111ABCD平面1111ACDAC=，设平面ABCD平面11ACDl=，所以

11//ACl，即平面11ACD与底面ABCD的交线平行于11AC，故B正确；对于选项C：由题意可知：平面1BEF即平面11ABCD，因为11AB⊥平面11BCCB，111,BCBB平面11BCCB，所以1111111,ABBC

ABBB⊥⊥，故平面1BEF与平面1111DCBA所成的锐二面角大小为1145CBC=，故C错误；对于选项D：设11ADADO=，连接1BO，则11ADAD⊥，因为11AB⊥平面11ADDA，1AD

平面11ADDA，所以111ABAD⊥，且1111ADABA=，111,ADAB平面11ABCD，可得1AD⊥平面11ABCD，所以直线11DB与平面1BEF所成为11DBO为锐角，且111111sin

2DODBOBD==，则1130DBO=，故D正确；故选：ABD.为12.ABC的三个内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，3r=满足coscoscos3RaAbBcC++=，ABC的面积为6，则（）A.1sin2sin2sin

23ABC++=B.4abc++=C.6R=D.1sinsinsin6ABC++=【答案】ABC【解析】【分析】A选项，对已知条件coscoscos3RaAbBcC++=结合正弦定理可说明其正确；B选项，通过内切圆半径和面积法推出4abc++=；C选项，

由A先等价推出sin2sin2sin24sinsinsinABCABC++=，由三角形的面积公式可算出R；D选项，根据R的取值结合4abc++=和正弦定理可计算.【详解】如图，设内切圆圆心为I，则I到三边的距离均为3r=，于是ABCABIBCIAC

ISSSS=++VVVV，即1116222crarbr=++，则3()62abc++=，得到4abc++=，B选项正确；由coscoscos3RaAbBcC++=可得coscoscos31abcABCRRR++=，结合正弦定理可得，12sincos2sincos2s

incos3AABBCC++=，即1sin2sin2sin23ABC++=，A选项正确；根据诱导公式，sin()sin(π)sinABCC+=−=，sin2()sin(2π2)sin2ABCC+=−=−，sin2sin2sin[()()]s

in[()()]ABABABABAB+=++−++−−，按照,ABAB+−整体展开得到，sin2sin22sin()cos()ABABAB+=+−，而sin2sin2()2sin()cos()CABABAB

=−+=−++，于是()sin2sin2sin22sin()cos()cos()ABCABABAB++=+−−+2sin(cos()cos())4sinsinsinCABABABC=−−+=，即14sinsinsin3ABC

=，故1sinsinsin12ABC=，由三角形面积公式，22116sin(2sin)(2sin)sin2sinsinsin226ABCRSabCRARBCRABC=====，解得6R=，C选项正确；由正弦定理结合B选项，42(sinsinsin)12(sinsinsin)abcRABCA

BC++==++=++，即1sinsinsin3ABC++=，D选项错误.故选：ABC三、填空题（每题5分，共20分）13.若复数(12i)5z+=(i为虚数单位)，则z=__________．【答案】12i−【解析】【分析】设复数izab=+，代入等式，利用复数相等，求得a，

b，得到答案.【详解】设复数i,,Rzabab=+，则()i(12i)5ab++=，即()22i5abab−++=，所以2520abab−=+=，解得12ab==−，所以12zi=−.故答案：12i−.14.已知a与b是两个不共线的向量，2,(1)ABabACab

=+=+−，若,,ABC三点共线，则实数=_________．【答案】2或1−【解析】【分析】根据向量共线运算求解.【详解】因为a与b是两个不共线的向量，为若,,ABC三点共线，则ABkAC=，即2(1)(1)abkabkakb+=+−

=+−rrrrrr，可得2(1)kk==−，解得2k==或1k==−.故答案为：2或1−.15.“牟合方盖”是我四古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型，在正方体内作两个互相垂直的

内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖．如图，已知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，则牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是__________．【答案】239π【解析】【分析】利用正方体的体积

公式及正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，结合球的体积公式即可求解.【详解】由题意可知，正方体的体积为2228V==,因为己知棱长为2的正方体按上述方法截得的除去牟合方盖后剩余的体积是163，

所以牟合方盖的体积为1168833V=−=.设正方体的外接球的半径为R,则易知，正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，即()22222222R=++,解得3R=，所以正方体的外接球的体积为()33244ππ343π33VR===.所以牟合方盖与截得它的正方体的外接球的体积之比是

1282339π43πVV==.故答案为：239π.16.平面向量,,abc满足||6ab−=，()()4acbc−−=−，则()cab+的最小值为__________．【答案】52−【解析】【分析】由题意可设()()(),3,,3,,anbncxy==−=rrr，根据向量的坐标运算

求解.【详解】设,aOAbOB==ruuruuurr，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，由题意可设()()(),3,,3,,anbncxy==−=rrr，则()()(),3,,3,2,0acnxybcnxyabn−=−

−−=−−−+=rrrrrr，因为()()()()()334acbcnxyy−−=−+−−−=−rrrr，整理得22225nxxyn=++−，所以()225xny−+=，设5cos,5sinxtnyt=+=，所以()()()222225cos5sin5225coscabnxtntnn

tn+==+++−=+rrr22255552coscoscos2222nttt=+−−−，当且仅当5cos2cos1ntt=−=时，等号成立，故()cab+的最小值为52−.故答案为：52−.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤)．17.已知||3,||4ab==，向量a与b的夹角2π3=．（1）若()akba+⊥rrr，求k的值；（2）求|32|ab+.【答案】（1）32k=（2）|32|73ab+=rr【解析】【分析】（1）根据向量垂直结合

数量积运算律运算求解；的（2）根据模长公式结合数量积的运算律运算求解.【小问1详解】由题意可得：2π1cos34632abab==−=−rrrr，若()akba+⊥rrr，则2()960akbaakabk+=+=−=rrrrrr，所以32k=.【小问2详解】因

为222|32|912481726473abaabb+=++=−+=rrrrrr，所以|32|73ab+=rr.18.设复数()()224554izmmmm=−−+++，m为实数．（1）当m为何值时，

z是纯虚数;（2）若2m=−，求||z的值;（3）若复数z在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）5（2）53（3）()1,5−【解析】【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解；（2）根据复数的模长公式运算求解；（

3）根据共轭复数的概念以及复数的几何意义列式求解.【小问1详解】若z是纯虚数，则22450540mmmm−−=++，解得5m=，所以当5m=时，z是纯虚数.【小问2详解】若2m=−，则72iz=−，所以()227253z=+−=.【小问3详解】因为复数()()224554iz

mmmm=−−−++，对应的点为()()()2245,54mmmm−−−++，若复数z在复平面内对应的点在第三象限，则()22450540mmmm−−−++，解得15m−，故实数m的取值范围为()1,5−.1

9.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱111ABCABC-中，3AC=，5AB=，4BC=，14AA=，点D是AB的中点.（1）求证：1ACBC⊥；（2）求证：11//ACCDB平面（3）求三棱锥11ABCD−的体积.【答案】（1）见解析；（2）

见解析；(3)8.【解析】【详解】试题分析：（1）由勾股定理得，由面得到，从而得到面，故1ACBC⊥；（2）连接交于点，则为的中位线，得到∥，从而得到∥∥面；（3）过作垂足为，面，面积法求，求出三角形的面积，代入体积公式进行运算.试题解析：（1）证明：在中，由勾股定理得为直角三角形，即

．又面，，，面，.（2）证明：设交于点，则为的中点，连接，则为的中位线，则在中，∥，又面，则∥面．（3）在中过作垂足为，由面⊥面知，面，．而，，.考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．20.老王拟

将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC区域规划为枇杷林和放养走地鸡，CMA区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，MNC区城规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC周围筑起护栏，已知40m,403m,,30ACBCACBCM

CN==⊥=．（1）若20mAM=，求护栏的长度即MNC的周长)：（2）若鱼塘MNC的面积是民宿CMA面积的3倍，求ACM．【答案】（1）60203m+（2）45ACM=【解析】【分析】（1）根据题意结合余弦定理可得203mCM=，进而可得CMAB⊥，即可得结果

；（2）由题意可得3MNAM=，在ACM△、CMN中结合正弦定理运算求解.【小问1详解】在RtABC中，因为tan3BCAAC==，可得60A=，在ACM△中，由余弦定理2222212cos40202402012002CMACAMACAMA=+−=+−=，

所以203mCM=，可得222CMAMAC+=，则CMAB⊥，可得3203tan20320m,40m3cos32CMMNCMMCNCNMCN======，所以护栏的长度即MNC的周长204020360203m++=+.【小问2详解】由题意可得：3MNAM=，设ACM

=，则90CNM=−，在ACM△，由正弦定理sinsinAMMCACMA=，整理得sin23sinsin3MCACMMCAMA==，在CMN，由正弦定理sinsinMNMCMCNCNM=，整理得

()sin2sin902cossinMCMCNMNMCMCCNM==−=，则23sin2cos33MCMC=，整理得tan1=，且为锐角，则45ACM==.21.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是平行四边形，ACBC⊥，60,4,90ABCSASB

SCASB=====．（1）求证：平面SAB⊥平面ABC；（2）求SC与平面SAB所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取AB中点O，则SOAB⊥，连接SO,OC,利用勾股定理得出SOOC⊥，然后利用线面垂直判定定理得

出SO⊥平面ABC，再利用面面垂直判定定理即可得出结论.（2）由（1）知，作CHAB⊥，连接SH，由面面垂直的性质定理知CH⊥平面SAB，故CSH即为所求角，再由sinCHCSHSC=，即可得出答案.【小问1详解】取AB中点O，连接SO，OC，60,4,

90ABCSASBSCASB=====，ACBC⊥，SOAB⊥，22COSO==，222SCSOCO=+，SOCO⊥，又AB平面ABC，CO平面ABC，且ABCOO=，所以SO⊥平面ABC，又SO平面SAB，

所以平面SAB⊥平面ABC.【小问2详解】由（1）知，过C作CHAB⊥于H，连接SH，如图，平面SAB⊥平面ABC，平面SAB平面ABCAB=,CH平面ABC，则CH⊥平面SAB，CSH即为SC与平面SAB所成的角，在RtCSH中，4,6SCCH==，6sin4CHCSHS

C==，故SC与平面SAB所成的角的正弦值为64.22.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，S为ABC的面积，且222()Sabc=−−．（1）求sinA的值；（2）求22bcbc+的取值范围．【答案】（1）4sin5A=（2）2

2342,15bcbc+【解析】分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得2sin2cosAA−=，然后利用同角关系式即得；（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得bc434cossin3555sintan5CCCC+==+，结合条件可得3tan4C，进而即得bc范

围，最后换元应用单调性可解.【小问1详解】∵()222Sabc=−−，1sin2SbcA=∴()22sinbcAabc=−−，∴2222sin2cosbcaAAbc+−=−=，∴1cos1sin2AA=−，又∵22

sincos1AA+=，∴221sin1sin12AA+−=∴5sinsin104AA−=，∴sin0A=（舍），4sin5A=.【小问2详解】∵πABC++=，∴()sinsinBAC=+，∴sinsincoscossinsinsinbBACACcCC+

==【434cossin3555sintan5CCCC+==+∵ABC为锐角三角形，∴90C，90AC+，∴90CA−，()cos3tantan90sin4ACAA−==，∴140tan3C，41650tan15C，∴

35,53bc．22,cbcbcbcb+=+令135,,,53btyttct==+，31,1,5tytt=+单调递减，511,,3tytt=+单调递增，当min1,2ty==，当353434,,

531515tyy==或，22342,15bcbc+获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com