【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.7.1-2柱、锥、台的侧面展开与面积　柱、锥、台的体积【高考】.docx，共(12)页，426.018 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

7．1柱、锥、台的侧面展开与面积7．2柱、锥、台的体积填一填1.简单几何体的侧面积几何体侧面积公式几何体侧面积公式圆柱S圆柱侧＝2πrlr为底面半径l为侧面母线长直棱柱S直棱柱侧＝chc为底面周长h为高圆锥S圆锥侧＝πrlr为底面半径l

为侧面母线长正棱锥S正棱锥侧＝12ch′c为底面周长h′为斜高，即侧面等腰三角形的高圆台S圆台侧＝π(r1＋r2)lr1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长正棱台S正棱台侧＝12(c＋c′)h′c′为上底面周长c为下底面周长h′为斜高，即侧面等腰梯形的高2.柱、锥、台体的体积公式名称体

积公式柱体圆柱、棱柱V柱体＝ShS为柱体底面面积，h为柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体＝13ShS为锥体底面面积，h为锥体的高台体圆台、棱台V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·hS上、S下为台体的上、下底面面积

，h为高判一判1.把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．(√)2．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(×)3．圆台的高就是相应母线的长．(×)4．斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求

解，其中l为侧棱长，c为底面周长．(×)5．三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求．(√)6．锥体的体积是柱体体积的13.(×)7．圆台的体积可由两圆锥的体积差得出．(√)8．柱体、锥体、台体这些简单几何体的体积只与该几何体的底面积和高有关．(√)

想一想1.一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同，表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．2．由三视图求几何体的表面积的步骤是什么？提示：(1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图．(2)标

：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)．(3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)．3．求组合体的表面积的三个基本步骤是什么？提示：(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么．(2

)根据组合体的组成形式设计计算思路．(3)根据公式计算求值．4．求几何体体积的常用方法有哪些？提示：(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(

3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．思考感悟：练一练1.棱长为3的正方体的表面积为()A．27B．64C．54D．36

答案：C2．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其侧面积等于()A．72B．42πC．67πD．72π答案：B3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的侧面积为________．答案：4π4．圆柱的底面积是S

，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________．答案：2SπS5．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________．答案：283知识点一旋转体的侧面积(表面积)及体积1.将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则

圆锥的表面积为________．解析：设圆锥的母线长为l，半径为r，因为120°＝2π3，所以13πl2＝3π，所以l＝3，又2πr＝13×2πl，所以r＝l3＝1，所以S圆锥表＝πr2＋3π＝4π.答案：4π2．已知等腰

直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3B.42π3C．22πD．42π解析：由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝423π.答案：B知识点二多面体的

侧面积(表面积)及体积3.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为()A．32B．48C．64D.323解析：如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的

中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝12PE，因为OE＝12AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4×12×4×4＝32.答案：A4．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA

1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1:V2＝________.解析：设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝13×14S×12h＝124Sh＝1

24V2，即V1:V2＝1:24.答案：1:24知识点三组合体的表面积与体积5.如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为()A．80＋162B．96＋132C．96D．112解析：由三视图，可知此几何体是由棱长为4的正方体和高为2，底边长为4的正

四棱锥组合而成，根据公式易求得该几何体的表面积是5×4×4＋4×12×4×22＝80＋162.答案：A6．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF

＝2，则该多面体的体积为()A.23B.33C.43D.32解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.容易求得EG＝HF＝12，AG＝GD＝BH＝HC＝32，所以S△AGD＝S△BHC＝12×22×1＝24，所以V

＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.答案：A综合知识柱体、锥体、台体的表面积与体积7.已知正四棱锥底面正方形的

边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．解析：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝2cm，∠OPE＝30°，所以PE＝2OE＝4cm.因为S侧＝4×12PE·BC＝4×12×

4×4＝32(cm2)，S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2)．8．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.解析：在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，

A1B＝BD＝A1D＝2a，∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴13×12a2·a＝13×12×2a×32·2a·d.∴d＝33a.∴A到平面A1BD的距离为33a.基础达标一、选择题1．棱长都是1的三棱锥

的表面积为()A.3B．23C．33D．43解析：由三棱锥的表面积公式，得S表＝4×12×1×1×sin60°＝3.答案：A2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A．23πB.3πC.23π3D.33π解析：由题圆锥的底面周长为2π，底面

半径为1，圆锥的高为3，圆锥的体积为13π·12·3＝33π，故选D.答案：D3．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1:2B．1:3C．1:5D.3:2解析：若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r

，则母线l＝h2＋r2＝5r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝5πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1:5，故选C.答案：C4．已知一个圆柱的正视图的周长为12，且底面半径为1，则该圆柱的表面积为()A．4πB．10πC．16πD.8π3解析：圆柱的正视图是一个矩形，若设圆柱的底面

半径为r，高为h，则依题意有4r＋2h＝12，且r＝1，即h＝4.故S表＝2πrh＋2πr2＝2π×1×4＋2π×12＝10π.答案：B5．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A.839B.439C.239D.

439或839解析：若正三棱柱的底面周长为2，高为4，则底面积S＝34·232＝39，∴V＝439；若其底面周长为4，高为2，则底面积S＝34·432＝439，∴V＝839.答案：D6．我国古代数学名著《数书九章

》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V＝13(S上＋S上S下＋S下)·h)A．2寸B．3寸

C．4寸D．5寸解析：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为12(14＋6)＝10寸，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)，所以平地降雨量等于5

88ππ×142＝3(寸)．故选B.答案：B7．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A.203B.403C．20D．40解析：由三视图，可知该几何体是一个放倒的四棱锥(如图四棱锥A－BCDE)，其中四棱锥的底面BCDE为直角梯形，其

上底CD为1，下底BE为4，高BC为4.又AB与平面BCDE垂直，所以棱锥的高AB为4，所以四棱锥的体积为13×1＋42×4×4＝403.答案：B二、填空题8．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析：由题底面半径是1，圆锥的母线

为2，则圆锥的高为3，所以圆锥的体积为13×3×π＝3π3.答案：3π39．正六棱柱的一条最长的对角线长是13，侧面积为180，棱柱的全面积为________．解析：如图，设正六棱柱的底面边长为a，侧棱长为h，易知C

F′是正六棱柱的一条最长的对角线，即CF′＝13.因为CF＝2a，FF′＝h，所以CF′＝CF2＋FF′2＝4a2＋h2＝13.①因为正六棱柱的侧面积为180，所以S侧＝6a·h＝180，②联立①②解得

a＝6，h＝5或a＝52，h＝12.当a＝6，h＝5时，S底＝6×34a2×2＝1083.所以S全＝180＋1083.当a＝52，h＝12时，S底＝6×34a2×2＝7534，所以S全＝180＋7534.答案：180＋7534或180＋108310．如图，多面体ABCDEF中

，BA，BC，BE两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB＝BE＝2，BC＝CD＝EF＝1，则多面体ABCDEF的体积为________．解析：多面体ABCDEF的体积等于四棱锥D－ABEF和三棱锥A－BCD的体积之和．因为VD－ABEF＝13×S四边形ABEF×BC＝1

3×12(1＋2)×2×1＝1，VA－BCD＝13×S△BCD×AB＝13×12×1×1×2＝13.所以多面体ABCDEF的体积V多面体ABCDEF＝13＋1＝43.答案：4311．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆

柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________，体积等于________．解析：挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底

面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.体积为π×22×6－13×π×22×6＝16π.答案：(410＋28)π16π12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是___

_____．解析：由三视图可知，该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，且两个14圆柱的底面半径和高分别相等，故V＝2×2×2－12×π×12×2＝8－π.答案：8－π三、解答题13．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高

为3的圆柱，求圆柱的表面积．解析：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如图所示易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝

r2，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.14．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，求圆锥的体积．解析：设圆锥的底面半径是r，母线为l.因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形．

所以2r＝l2＋l2，即l＝2r.由题意得，侧面积S侧＝πrl＝2πr2＝162π，解得r＝4.所以l＝42，圆锥的高h＝l2－r2＝4.所以圆锥的体积V＝13Sh＝13×π×42×4＝64π3.能力提升15.如图，正三棱锥O－ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的

体积及表面积．解析：如图，由已知条件可知，正三棱锥O－ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得底面△ABC的面积为3.所以该三棱锥的体积为13×3×1＝33.设O′是正三角形ABC的中心．由正三棱锥的性质可知，OO′垂直于平面ABC.延长AO′交BC于D，得AD＝3，O′D＝33.又因

为OO′＝1，所以正三棱锥的斜高OD＝233.故侧面积为12×2×233×3＝23.所以该三棱锥的表面积为3＋23＝33.因此，所求三棱锥的体积为33，表面积为33.16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P是BC的

中点，点Q是棱CC1上的动点．(1)点Q在何位置时，直线D1Q，DC，AP交于一点，并说明理由；(2)求三棱锥B1－DBQ的体积；(3)若点Q是棱CC1的中点时，记过点A，P，Q三点的平面截正方体所得截面面积为S，求S.解析：(1)当Q是棱

CC1的中点时，直线D1Q，DC，AP交于一点，理由：延长D1Q、DC交于点O，则QC为△DD1O的中位线，所以C为DO的中点，延长AP、DC交于点O′，则PC为△ADO′的中位线，所以C为DO′的中点，所以点O与点O′重合，所以直线D1Q、DC、AP交于一点．(2)

VB1－DBQ＝VD－B1BQ＝13×12×2×2×2＝43.(3)连接AD1、PQ，由(1)知，AD1∥PQ，所以梯形APQD1为所求截面，梯形APQD1的高为D1Q2－14(AD1－PQ)2＝322，S＝12(2＋22)×322＝92

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