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专练27高考大题专练(二)解三角形的综合运用授课提示：对应学生用书55页1．[2023·新课标Ⅰ卷]已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．解析：方法一(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝

3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－π4)＝sin(3π4－A)，展开并整理得2(sinA－cosA)＝22(cosA＋sinA)，得sinA＝3cosA，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sinA＝31

010.(2)由正弦定理BCsinA＝ABsinC，得BC＝ABsinC×sinA＝522×31010＝35，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，得52＝AC2＋(35)2－2AC·35cosπ4，整理得AC2

－310AC＋20＝0，解得AC＝10或AC＝210，由(1)得，tanA＝3>3，所以π3<A<π2，又A＋B＝3π4，所以B>π4，即C<B，所以AB<AC，所以AC＝210，设AB边上的高为h，则12×AB×h＝12×AC×BCsinC，即5h＝210×35×22，解得h＝6，所以AB边上的

高为6.方法二(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝π4.因为2sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以

sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，所以tanA＝3tanC＝3tanπ4＝3，又sinA>0，所以sinA＝332＋12＝31010.(2)由(1)知sinA＝31010，tanA＝3>0，所以A为锐角，所以cosA＝1010，所以sinB＝si

n(3π4－A)＝22(cosA＋sinA)＝22×(1010＋31010)＝255，由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得AC＝AB·sinBsinC＝5×25522＝210，故AB边上的高为AC×sinA＝210×31010＝6.2．[2024·新课标Ⅰ卷]记△ABC的

内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝2cosB，a2＋b2－c2＝2ab.(1)求B；(2)若△ABC的面积为3＋3，求c.解析：(1)已知a2＋b2－c2＝2ab，则有cosC＝a2＋b2－

c22ab＝22.又C∈(0，π)，所以C＝π4.又sinC＝2cosB，所以cosB＝sinC2＝12.又B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)由(1)可得C＝π4，B＝π3，由正弦定理，不妨令csinC＝bsinB＝k(k>0)，则有c＝22k，b

＝32k.又S△ABC＝3＋3，所以S△ABC＝12bcsinA＝12bcsin(B＋C)＝12·22k·32k(sinBcosC＋cosBsinC)＝68k2(32×22＋12×22)＝68k2·6＋24＝3＋3，解得k＝4(负值舍去)，故c＝22k＝22.3．[

2023·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.解析：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCs

in∠ADC＝2×12×1×DC×32＝3，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π3.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7.在△A

DC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝3.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝c2＋a2－b22ac＝7＋16－32×4×7＝5714，所以sinB＝1－cos2B＝2114.所以tanB＝sinBcosB＝

35.(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD2＋BD2－c22AD·BD＝－AD2＋DC2－b22AD·DC，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2

BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝8－122bc＝－2bc，所以S△ABC＝12bcsin∠BAC＝12bc1－cos2∠BAC＝12bc1－－2bc2＝12

b2c2－4＝3，解得bc＝4.则由bc＝4b2＋c2＝8，解得b＝c＝2.4．[2024·新课标Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△AB

C的周长.解析：(1)由sinA＋3cosA＝2，得2(12sinA＋32cosA)＝2，所以sinA＋π3＝1.由A∈(0，π)，得A＋π3∈π3，4π3，所以A＋π3＝π2，所以A＝π6.(2)由A，B，

C为三角形内角，得sinB≠0，sinC≠0.因为2bsinC＝csin2B，所以由正弦定理得2sinBsinC＝sinCsin2B，所以2sinB＝sin2B，即2sinB＝2sinBcosB，所以cosB＝22，所以B＝π4.因为a＝2，A＝π6，所

以由正弦定理，得b＝asinAsinB＝22.由A＝π6，B＝π4，得C＝7π12，所以sinC＝sin7π12＝sinπ3＋π4＝22×32＋22×12＝6＋24，所以由正弦定理，得c＝asinCsinA＝2×6＋2412＝6＋2，所以△ABC的周长为

a＋b＋c＝2＋22＋6＋2＝2＋6＋32．5．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．解析：(1)如图，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝22＋12＋2×2×1×12＝7，得BC＝7.方法一由正弦定理ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，得sin∠ABC＝1×327＝2114.方法二由余弦定理得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋7－1

2×2×7＝5714，所以sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝2114.(2)方法一由sin∠ABC＝2114，得tan∠ABC＝35，又tan∠ABC＝DAAB＝DA2，所以DA＝235，故△ADC的面积为

12DA·AC·sin(120°－90°)＝12×235×1×12＝310.方法二△ABC的面积为12AC·AB·sin∠BAC＝12×1×2×32＝32，S△ADCS△BAD＝12AC·AD·sin∠

CAD12AB·AD·sin∠BAD＝sin30°2×sin90°＝14，故△ADC的面积为15S△ABC＝15×32＝310.6．[2024·北京卷]在△ABC中，∠A为钝角，a＝7，sin2B＝37bcosB.(1)求

∠A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b＝7；条件②：cosB＝1314；条件③：csinA＝532.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，

按第一个解答计分．解析：(1)由题意知，2sinBcosB＝37bcosB，又A为钝角，∴B≠π2，∴2sinB＝37b.∵asinA＝bsinB，∴b＝asinA·sinB，∴2sinB＝37·asinA·sinB，又a＝7，B∈(0，π2)，则sinB≠0，∴2＝3si

nA，∴sinA＝32，∵A为钝角，∴A＝2π3.(2)若选①，∵b＝7，又a＝7，A＝2π3，此时构不成三角形，不符合题意．若选②，∵cosB＝1314，∴sinB＝1－cos2B＝3314.由正弦定理可得b＝asinBsinA＝3

，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32×1314－12×3314＝5314.∴S△ABC＝12absinC＝12×7×3×5314＝1534.若选③，∵csinA＝c·32＝532，∴c＝5.由余弦

定理得cosA＝cos2π3＝－12＝b2＋c2－a22bc，即－bc＝b2＋c2－a2，∴－5b＝b2＋25－49，∴b2＋5b－24＝0，解得b＝3(负值舍去)，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×3×5×32＝1534.7．△ABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.解析：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故

由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可

得cos(C＋60°)＝－22.由于0°<C<120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cosA＝2531，求△ABC的周长．解析：(1)证明：∵sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)，∴sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsin

CcosA－sinBcosCsinA，∴sinCsinAcosB＝2sinBsinCcosA－sinBcosCsinA.由正弦定理，得accosB＝2bccosA－abcosC.由余弦定理，得a2＋c2－b22＝b2＋c2－a2－a2＋b2

－c22.整理，得2a2＝b2＋c2.(2)由(1)知2a2＝b2＋c2.又∵a＝5，∴b2＋c2＝2a2＝50.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即25＝50－5031bc，∴bc＝312.∴b＋c＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝9，∴a＋b＋c＝

14.故△ABC的周长为14.