【文档说明】[30680248] 微专题：析错正解集合问题中的易错点 -2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册.docx，共(9)页，858.823 KB，由管理员店铺上传

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微专题：析错正解集合问题中的易错点【主题】集合作为表述数学对象的一种数学语言，是贯穿整个高中数学学习的始终。在解不等式（组）中集合被用于表示解集；在讨论函数定义及函数基本性质、基本初等函数时，集合表示函数的定义域和值域；在解析几何中用来表示具有某种性质的点的集合；而

《课程标准》对此的要求是：知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；…会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质

。会求几个集合的交集、并集，会求已知集合的补集，但不要求会解决有关集合的证明问题。在使用集合语言表示有关数学对象的过程中，应注意规范与完整的表述。【典例】1、把握集合元素形式例1、设集合A＝｛平面上的

直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个。【错解】由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２；【错因分析】上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了；【解析】例2、设集合}Rx,1x

yy{A2+==，}2xyx{B+==，求：BA。【错解】显然}1y|y{A=，}2y|x{B=，所以BBA=；【错因分析】错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B

中的元素为x,是表示函数的定义域；【解析】2、检验集合中元素的互异性例3、已知集合}a,3,1{A=，}1aa,1{B2+−=,且BA，求：a的值。【错解】经过分析知，若31aa2=+−，则02aa2=−−，即1a−=或2a=，若a1aa2=+−，则01a2a2=+−，即1a=，从

而1a−=，1，2。【错因分析】忽视集合元素的互异性；【解析】例4、设}Rb,01bx)2b(xx{A2=++++=，求：A中所有元素之和。【错解】错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根

之和为：)2b(+−；错解２：由01bx)2b(x2=++++，得0)1bx)(1x(=+++，（１）当0b=时，1xx21−==，此时A中的元素之和为：2−；（２）当0b时，2bxx21−−=+；【错因分析】述解

法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”；【解析】3、牢记空集的特殊性例5、设集合}03x2xx{A2=−−=，}01axx{B=−=，且BBA=，求：实数a的值。【错解】由}1,3{A=，}a1{B=，又BBA=，故AB，所以31a=或1a−=；【错因分析】忽视了=B的情形；【

解析】例6、已知4x1|xA−=，1m2x1m|xB−+=，当AB，求：实数m的取值范围。【错解】要使AB，应有−−+−+41m211m1m21m解得：25m2；【错因分析】错解忽略了=B时的情况，因为当=B时，AB亦成立；

【解析】4、挖掘隐含条件例7、设全集2{2,3,23}Uaa=+−，{21,2}Aa=−，{5}A=，求：实数a的值。【错解】∵{5}A=，∴U5且5A，从而，2235aa+−=，解得2a=，或4a=

−；【错因分析】导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足AU；【解析】5、注意等价转换例8、设集合}11x1y|)y,x{(M=−+=，}1yx)1a(|)y,x{(N=+−=且=NM，求：实数a。【错解】集合M表示直线2xy−=上的点的集合

，集合N表示直线1x)a1(y+−=上的点的集合。又=NM（即两直线平行时），故1a1=−，即0a=；【错因分析】将集合M转化为直线2xy−=上的点的集合是不等价的，它应除去点)1,1(−；【解析】6、理解符

号的含义例9、如图所示，A、B是两个非空集合，定义BxAx|xBA=−且，则)BA(A−−是下图中的（）A．IB．IIC．IIID．IIIIII【错解】因)BA(A−−表示属于B而不属于A

，应选C；【错因分析】上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使)BA(A−−在迁移运用时出现错误；【解析】【即时练习】1、已知集合}xy|y{M2==，}2yx|y{N22=+=，则NM=（）A．)}1,1(),1,1{(−B．}1{

C．]1,0[D．]2,0[2、已知集合}1x|x{P2=，}a{M=；若PMP=，则a的取值范围是（）A．(,1]−−B．[1,)+C．[1,1]−D．(,1][1,)−−+3、设集合}4,3,2,

1{P=，}2x3|x{Q−=，则集合Px|x{A=且}Qx＝________（用列举法表示）4、若集合M满足}4,3,2,1,0{M，且}1,0{}2,1,0{M=，则集合M的个数是________．5、设集合}n

,,2,1{Pn=，*Nn，记)n(f为同时满足下列条件的集合A的个数：①nPA；②、若Ax，则Ax2；③、若x∁AnP，则x2∁AnP。（1）、求)4(f；（2）、求)n(f的解析式（用n表示）。【教师版】微专题：析错正解集合问题中的易错点【主题】集合作为表述数学

对象的一种数学语言，是贯穿整个高中数学学习的始终。在解不等式（组）中集合被用于表示解集；在讨论函数定义及函数基本性质、基本初等函数时，集合表示函数的定义域和值域；在解析几何中用来表示具有某种性质的点的集合；而《课程标准》

对此的要求是：知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；…会用“列举法”和“描述法”表示集合；理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念；掌握集合的“交”、“并”、“补”等运算，知道有关的基本运算性质。会求几个集合的交

集、并集，会求已知集合的补集，但不要求会解决有关集合的证明问题。在使用集合语言表示有关数学对象的过程中，应注意规范与完整的表述。【典例】1、把握集合元素形式例1、设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个。【错解】由直线与

圆的位置关系可知，最多有２个故填２；【错因分析】上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了；【解析】集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故

填０个；【说明】注意审题明确集合的元素是什么。例2、设集合}Rx,1xyy{A2+==，}2xyx{B+==，求：BA。【错解】显然}1y|y{A=，}2y|x{B=，所以BBA=；【错因分析】错因在于对集合中的代表元素不理解

，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为x,是表示函数的定义域；【解析】}1y|y{A=；}0x|x{B=，所以故ABA=；【说明】要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等

，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错；2、检验集合中元素的互异性例3、已知集合}a,3,1{A=，}

1aa,1{B2+−=,且BA，求：a的值。【错解】经过分析知，若31aa2=+−，则02aa2=−−，即1a−=或2a=，若a1aa2=+−，则01a2a2=+−，即1a=，从而1a−=，1，2。【错因分析】忽

视集合元素的互异性；【解析】经过分析知，若31aa2=+−，则02aa2=−−，即1a−=或2a=，若2aa1aa2=+−，则01a2a2=+−，即1a=．从而1a−=，1，2。而当1a=时，Ｂ中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故1a−=，2。例4、设}Rb,01bx)2b(xx{A2

=++++=，求：A中所有元素之和。【错解】错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为：)2b(+−；错解２：由01bx)2b(x2=++++，得0)1bx)(1x(=+++，（１）当0b=时，1xx21−==，此时A中的元素之和为：2−；（２

）当0b时，2bxx21−−=+；【错因分析】述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”；【解析】集合A中的元素是方程的根，由于22b)1b(4)2b(=+−+=，故当0b=时，方程有二重根－1，由集合中元素的互异性，集合}1{

A−=，所以元素之和为1−；当0b时，2bxx21−−=+；【说明】集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果后再代入检验。3、牢记空集的特殊性例5、设集合}03x2xx

{A2=−−=，}01axx{B=−=，且BBA=，求：实数a的值。【错解】由}1,3{A=，}a1{B=，又BBA=，故AB，所以31a=或1a−=；【错因分析】忽视了=B的情形；【解析】由}1,3{A=，B

集合是方程01ax=−的根，当0a=时，方程无根，此时集合B为空集，满足题意。当a不为０时，}a1{B=，所以31a=或1a−=，综合可得31a=或1a−=或０；例6、已知4x1|xA−=，1m2x1m|xB−+=，当AB

，求：实数m的取值范围。【错解】要使AB，应有−−+−+41m211m1m21m解得：25m2；【错因分析】错解忽略了=B时的情况，因为当=B时，AB亦成立；【解析】正解：（1）当B时

，由错解可得：25m2。（2）当=B时，1m21m−+，解得：2m，所以m的取值范围为：25m；【说明】涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非

空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。4、挖掘隐含条件例7、设全集2{2,3,23}Uaa=+−，{21,2}Aa=−，{5}A=，求：实数a的值。【错解】∵{5}A=，∴U5且5A，从而，2235aa+−=，解得2a=，或4a=−；【错因分析】

导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足AU；【解析】当2a=时，213aU−=，符合题意；当4a=−时，219aU−=，不符合题意；故2a=；【说明】在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。5、注意

等价转换例8、设集合}11x1y|)y,x{(M=−+=，}1yx)1a(|)y,x{(N=+−=且=NM，求：实数a。【错解】集合M表示直线2xy−=上的点的集合，集合N表示直线1x)a1(y+−=上的点的集合。又=NM（即两直线

平行时），故1a1=−，即0a=；【错因分析】将集合M转化为直线2xy−=上的点的集合是不等价的，它应除去点)1,1(−；【解析】集合M表示直线2xy−=上的不包括点)1,1(−的点的集合，集合N表示直

线1x)a1(y+−=上的点的集合。又=NM（即两直线平行时），故1a1=−，即0a=。或当集合N表示的直线过这个点时，也符合=NM，所以把点)1,1(−代入直线1x)a1(y+−=，解得3a=。故0a=或3。【说明】对于用集合语言叙述的问

题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。6、理解符号的含义例9、如图所示，A、B是两个非空集合，定义B

xAx|xBA=−且，则)BA(A−−是下图中的（）A．IB．IIC．IIID．IIIIII【错解】因)BA(A−−表示属于B而不属于A，应选C；【错因分析】上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使)BA(A−−在迁移运用时出现错误；【解析】)BA(A−−的正确

理解应是属于A而不属于集合BA−，而BA−为图中的区域I，故)BA(A−−应为图中的区域II，应选B。【说明】集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，

需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”实现问题的转化。【归纳】以上就是学习集合必须注意的六个细节，把握住这些细节，就能跳出陷阱。【即时练习】1、已知集合}xy|y{M2==，}2yx|y

{N22=+=，则NM=（）A．)}1,1(),1,1{(−B．}1{C．]1,0[D．]2,0[1、【答案】D；【解析】2{|}{0}Myyxyy===，22{|2}{22}Nyxyyy=+==−

，所以{|02}MNyy=，选D．2、已知集合}1x|x{P2=，}a{M=；若PMP=，则a的取值范围是（）A．(,1]−−B．[1,)+C．[1,1]−D．(,1][1,)−−+2、【答案】C【

解析】集合2{|1}{|11}Pxxxx==−,要使PMP=,须使11a−,所以选C．3、设集合}4,3,2,1{P=，}2x3|x{Q−=，则集合Px|x{A=且}Qx＝________（用列举法表示）3、解析因为3,4∉Q，所以A＝{3,4}．答案{3,4}4

、若集合M满足}4,3,2,1,0{M，且}1,0{}2,1,0{M=，则集合M的个数是________．4、解析由题意，求集合M的个数，即求集合{3,4}的子集个数，共有22＝4个．答案45、设集合}n,,2,1{Pn=，*Nn，记)n(f为同时满足下列条件的集合A的个数：①nPA

；②、若Ax，则Ax2；③、若x∁AnP，则x2∁AnP。（1）、求)4(f；（2）、求)n(f的解析式（用n表示）。5、【答案】解：（1）当=4n时，符合条件的集合A为：21,42,

31,3,4，，，，∴(4)f=4。(2）任取偶数nxP，将x除以2，若商仍为偶数．再除以2，···经过k次以后．商必为奇数．此时记商为m。于是=2kxm，其中m为奇数*kN。由条件知．若mA则xAk为偶数；若mA，则xAk为奇数。于是x

是否属于A，由m是否属于A确定。设nQ是nP中所有奇数的集合．因此()fn等于nQ的子集个数。当n为偶数〔或奇数）时，nP中奇数的个数是2n（12n+）。∴()()2122()=2nnnfnn+为偶数为奇数。【考点】集合的概念和运算，计数原理。【解析】（1）找出=4n时，符合条

件的集合个数即可。（2）由题设，根据计数原理进行求解。