【文档说明】江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(14)页，112.045 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z＝1＋i，则|z2－2z|＝(▲)．A．0B．1C.2D．22．在平面直角坐标系xOy中，已知AB→＝(2，3)，AC

→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·AC→＝(▲)．A．－3B．－10C．9D．153．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，cos(B＋C)＝14，则a等于(▲)．A．10B．15C．4D．174．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝

π3，点D为边BC上靠近B的三等分点，则AD→·BC→的值为(▲)．A．－113B．－13C．23D．435．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝a2＋b2－c243，则C＝(▲)．A．π6B．π3C．π4D．π26．若α，β∈(π2，π)，且sinα＝

255，sin(α－β)＝－1010，则sinβ＝(▲)．A．7210B．22C．12D．1107．已知|AB→|＝3，|AC→|＝2，若对于任意的实数m，不等式|AB→＋AC→|≤|AB→＋mAC→|恒成立，则cos∠BAC＝(▲)．A．53B．－53C．－23D．23注意事项考生在答题前

请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试

时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。8．已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则cb＋(2ba)2的最小值为(▲)．A．－1B．73C．3D

．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是(▲)．A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，则i3＝iC．若复数z＝1

＋i，则z2＝2iD．若复数z＝－12＋32i，则1＋z＋z2＝010．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在

这个空间图形中必有(▲)．A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有(▲)．A．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共

线且同向B．若非零向量a､b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°C．若单位向量的e1､e2的夹角为60°，则当|2e1＋te2|(t∈R)取最小值时，t＝1D．在△ABC中，若(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0，则△ABC

为等腰三角形12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有(▲)．A．c＝acosB＋bcosAB．若A＞B，则sin2A＞sin2BC．若A＝30º，a＝4，b＝6，则满足条件的三角形有两解D．若△ABC是钝角三角形，则tanA·tanC＜1三

､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a＝(sinα，4)，b＝(1，cosα)，且a⊥b，则sin2α＋2sin2α＝▲________．14．已知函数f(x)＝2cos2(π2x－π4)－1，g(x)＝x3，设函数F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)所有的零点之

和为▲________．15．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN→＝λ1AM→＋λ2BN→，λ1，λ2∈R，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在

，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC中，若O为△ABC的外心，则AO→·AB→＝12AB→2．证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OE⊥AB，则AB→·AO→＝2AE→·AO→

＝2|AE→||AO→|cos∠OAE＝2|AE→|(|AO→|cos∠OAE)＝2AE→2＝12AB→2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，满足a＞c且2bcosA＝3c，3(c＋a)＝2b．设O为△

ABC的外心，若AO→＝xAB→＋yAC→，x，y∈R，则x－2y＝▲________．DCABMNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z=bi(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位(1)求

复数z；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°②sin215°＋cos215°

－sin15°cos15°③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计

算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a＝(3cos，sin)，b＝(sin，3cos)，c＝(cos，－3sin)．(1)若a与b－c垂直，求tan

(＋)的值；(2)求|b－c|的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥平面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)画出平面AM

N与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；(2)证明：直线MN||平面OCD；(3)求异面直线AB与MD所成角的大小．ABCDOMN21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的

半圆上．设∠COB＝θ．(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD＝π3，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值．22．

（本小题12分）已知ΔABC为锐角．．三角形，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．R为ΔABC外接圆半径．(1)若R＝1，且满足sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA，求b2＋c2的取值范围；(2)若b2＋c2

＝2aRcosA＋a2，求tanA＋tanB＋tanC的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z＝1＋i，则|z2－2z|＝(▲)．A．0B．1

C.2D．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy中，已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·AC→＝(▲)．A．－3B．－10C．9D．15答案：D3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，cos

(B＋C)＝14，则a等于(▲)．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为

120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。BDAOA．10B．15C．4D．17答案C4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝π3，点D为边BC上靠近B

的三等分点，则AD→·BC→的值为(▲)．A．－113B．－13C．23D．43答案：D5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝a2＋b2－c243，则C＝(▲)．A．π6B．π3C．π4

D．π2答案：A6．若α，β∈(π2，π)，且sinα＝255，sin(α－β)＝－1010，则sinβ＝(▲)．A．7210B．22C．12D．110答案：B7．已知|AB→|＝3，|AC→|＝2，若对于任意的实数m，不等式|AB→＋AC→|≤|AB→＋mAC→|恒成立，则cos∠

BAC＝(▲)．A．53B．－53C．－23D．23答案：C详解：因为|AB→|＝3，|AC→|＝2，且关于m的不等式|AB→＋AC→|≤|AB→＋mAC→|恒成立，所以|AB→＋AC→|2≤|AB→＋mAC→|2，所以9＋4＋12cos∠BAC≤9＋4m2＋12mcos∠BAC，整

理得m2＋3mcos∠BAC－3cos∠BAC－1≥0，所以Δ＝9cos2∠BAC＋12cos∠BAC＋4＝(3cos∠BAC＋2)2≤0，所以3cos∠BAC＋2＝0，cos∠BAC＝－238．已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2

B，则cb＋(2ba)2的最小值为(▲)．A．－1B．73C．3D．103答案：C解析：由正弦定理可知:cb＋(2ba)2＝sinCsinB＋(2sinBsinA)2＝sin(A＋B)sinB＋(2sinBsinA)2＝

sinAcosBsinB＋cosA＋(2sinBsinA)2，又A＝2B，则sinAcosBsinB＝sin2BcosBsinB＝2sinBcos2BsinB＝2cos2B，(2sinBsinA)2＝(1cosB)2，从而cb＋2ba＝4cos2B－1＋1cos2B，又A＝2B，知

A＋B＝3B＜π，所以0＜B＜π3，则12＜cosB＜1，可令t＝cosB，则cb＋(2ba)2＝4t2＋1t2－1≥3，等号能取到二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命

题为真命题的是(▲)．A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若i为虚数单位，则i3＝iC．若复数z＝1＋i，则z2＝2iD．若复数z＝－12＋32i，则1＋z＋z2＝0答案：ACD10．如图，在正方形AB

CD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(▲)．A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在

平面C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面答案：BC11．给出下列命题，其中正确的选项有(▲)．A．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且同向B．若非零向量a､b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°C．若单

位向量的e1､e2的夹角为60°，则当|2e1＋te2|(t∈R)取最小值时，t＝1D．在△ABC中，若(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0，则△ABC为等腰三角形答案：ABD12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中，正确的命题有(▲)．

A．c＝acosB＋bcosAB．若A＞B，则sin2A＞sin2BC．若A＝30º，a＝4，b＝6，则满足条件的三角形有两解D．若△ABC是钝角三角形，则tanA·tanC＜1答案：ACD详解：对于A

，作AB边上的高，在两个直角三角形中可知结论成立，故A正确；对于B，当A＝60°，B＝30°时不满足，故B错误；对于C，由正弦定理得asinA＝bsinB，则sinB＝bsinAa＝34，因为b＞a，故有两解，故C正确；对于D，在△ABC中，tanB＝－tan(A＋C)＝－tanA＋

tanC1－tanA·tanC，则tanA·tanC－1＝tanA＋tanCtanB，当△ABC是钝角三角形，若A或C为钝角，则tanA·tanC＜0＜1，满足；若B为钝角，则tanA·tanC－1＝tan

A＋tanCtanB＜0，即tanA·tanC＜1，满足，故D正确．三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a＝(sinα，4)，b＝(1，cosα)，且a⊥b，则sin2α＋2sin2α＝▲________

．答案：241714．已知函数f(x)＝2cos2(π2x－π4)－1，g(x)＝x3，设函数F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)所有的零点之和为▲________．答案：015．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN→＝λ1AM→＋λ2BN→，λ1，λ2∈R

，则λ1λ2的值为▲________．答案：－1316．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC中，若O为△ABC的外心，则AO→·AB→＝12AB→2．证明如下：取AB中点E，连接OE，可知OE⊥AB，则AB

→·AO→＝2AE→·AO→＝2|AE→||AO→|cos∠OAE＝2|AE→|(|AO→|cos∠OAE)＝2AE→2＝12AB→2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

满足a＞c且2bcosA＝3c，3(c＋a)＝2b．设O为△ABC的外心，若AO→＝xAB→＋yAC→，x，y∈R，则x－2y＝▲________．答案：－43332bcosA＝3c，即b2＝a2＋2c2，由条件得c＋a＝233b，联立解得a＝c，b＝3c，或a＝5c，b＝33c.D

CABMNEAB·O又a＞c，所以a＝5c，b＝33c由AO→＝xAB→＋yAC→，得AO→·AB→＝xAB→2＋yAC→·AB→，可得2x＋3y＝1同理，由AO→＝xAB→＋yAC→，得AO→·AC→＝xAB→·AC→＋yAC→2，可得x＋

18y＝9解得x－2y＝－4333.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z=bi(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位(3)求复数z；(4)若复数(m+

z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)z－21＋i＝bi－21＋i＝(bi－2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝－2＋b＋(b＋2)i2＝－2＋b2＋b＋22i因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，b＝－2，故复数z＝－2i.

(2)(m+z)2=(m－2i)2＝m2－4－2mi，所表示点在第一象限，所以m2－4＞0，且－2m＞0，所以m＜－2.18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①s

in213°＋cos217°－sin13°cos17°②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°④sin2(－18°)＋cos248°－si

n(－18°)cos48°⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒

等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式计算如下sin215°＋cos15°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34(2)三角恒等式：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－

α)＝34证明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14s

in2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝3419．(本小题12分)设向量a＝(3cos，sin)，b＝(sin，3cos)，c＝(cos，－3sin)．(1)若a与b

－c垂直，求tan(＋)的值；(2)求|b－c|的最小值；解:(1)b－c＝(sin，3cos)－(cos，－3sin)＝(sin－cos，3cos＋3sin)，因为a与b－c垂直

，所以a(b－c)＝0，即3cos(sin－cos)＋sin(3cos＋3sin)＝3cossin－3coscos＋3sincos＋3sinsin＝0，即sincos＋cossin＝coscos－s

insin，从而sin(＋)＝cos(＋)，所以tan(＋)＝1．(2)b－c＝(sin，3cos)－(cos，－3sin)＝(sin－cos，3cos＋3sin)，所以(b－c)2＝(sin－cos)2＋(3cos＋3

sin)2＝10＋16sincos＝10＋8sin2，当＝－π4＋kπ，k∈Z时(b－c)2取最小值2，从而|b＋c|的最大值为2．20．(本小题12分)如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥

平面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)画出平面AMN与平面OCD的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)；(2)证明：直线MN||平面OCD；(3)求异面直线AB与MD所成角的大小．解：(1)

在平面ABCD内延长AN、DC交于点E，连结EO，直线EO为平面AMN与平面OCD的交线．(2)证：在菱形ABCD中，AB||CD．因为N是BC的中点，所以N是AE的中点．在△OAE中，M，N分别是OA和AE中点

，所以MN||OE．又因为MN平面OCD，OE平面OCD，所以MN||平面OCD．(3)在菱形ABCD中，AB||CD．所以∠MDC(或其补角)是异面直线AB与MD所成的角连AC，MC，在菱形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC＝π4，由余弦定理得，AC=2－2．因

为OA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以OA⊥AC．在Rt△MAC中，MA=1，AC=2－2，所以MC=3－2．因为OA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以OA⊥AD．在Rt△MAD中，MA=1，AD=1，所以MD=2．在△MCD中，MC=3－2，MD=2，CD=

1，所以cos∠MDC＝12，故∠MDC＝π3，所以AB与MD所成角的大小为π3．ABCDOMNABCDOMNE21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设∠CO

B＝θ．(1)现要在四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD＝π3，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当θ为何值时，栈道

的总长l最长，并求l的最大值．解:(1)由图，SABCD＝S△BOC＋S△COD＋S△DOA＝2sinθ＋2sinπ3＋2sin(π－θ－π3)＝23sin(θ＋π6)＋3，因为∠COD＝π3，所以0＜θ＜23π，所以π6＜θ＋π6＜56π，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，绿植

种植面积最大；(2)由题意可得，∠COB＝∠COD＝θ，所以0＜θ＜π2，由余弦定理，BC＝1＋1－2cosθ＝2sinθ2，DA＝1＋1＋2cos2θ＝2cosθ，∴l＝4sinθ2＋2cosθ(0＜θ＜π2)，令t＝sinθ2，则0＜t＜22，∴l＝4sin

θ2＋2(1－2sin2θ2)＝4t＋2(1－2t2)＝－4(t－12)2＋3，∴t＝12，即θ＝π3时，l的最大值为3．BDAO22．（本小题12分）已知ΔABC为锐角．．三角形，设角A，B，C所对的边分别

为a，b，c．R为ΔABC外接圆半径．(1)若R＝1，且满足sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA，求b2＋c2的取值范围；(2)若b2＋c2＝2aRcosA＋a2，求tanA＋tanB＋tanC的最小值．解：(1)根据正弦定理asin

A＝bsinB＝csinC＝2R，将sinBsinC＝(sin2B＋sin2C－sin2A)tanA转化为b2＋c2－a22bc·sinAcosA＝12即sinA＝12，又因A为锐角，所以A＝π6.b2

＋c2＝4sin2C＋4sin2B＝2cos2C＋2cos2B－4＝2cos(5π3－2B)＋2cos2B－4＝3cos2B－3sin2B－4＝23cos(2B＋π6)－4因为ΔABC是锐角三角形，所以

B＜π2B＋A＞π2，所以π3＜B＜π2，得5π6＜2B＋π6＜7π6，所以23cos(2B＋π6)－4∈[－4－23，－7)故OA→·(AB→＋AC→)的取值范围是[－4－23，－7)．(2)由题设得aR＝bc，根据正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以

sinA＝2sinBsinCsin(B＋C)＝2sinBsinCsinBcosC＋sinCcosB＝2sinBsinC，在锐角三角形ABC中cosBcosC≠0所以tanB＋tanC＝2tanBtanC．又tanA＋tanB＋tanC＝－tan(B＋C)＋tanB＋tanC＝(tanB＋tan

C)(1＋1tanAtanB－1)令tanB＋tanC＝t，因为tanA＝－tan(B＋C)＝tanA＋tanBtanAtanB－1＞0所以t＞1则tanA＋tanB＋tanC＝t(1＋1t2－1)＝t(1＋2

t－2)＝t＋2tt－2＝t＋2(t－2)＋4t－2＝t－2＋4t－2＋4≥8当且仅当t＝4，即tanB＝2＋2，tanC＝2－2．或tanB＝2－2，tanC＝2＋2．时等号成立。